Blatt 1 - Fakultät für Mathematik, TU Dortmund

Kombinatorische Optimierung auf Graphen
Blatt 1
Dr-Ing. Moritz Mühlenthaler
Lehrstuhl V: Diskrete Optimierung
TU Dortmund
19.10.2016
Allgemeine Hinweise. Graphen sind ungerichtet, wenn nicht anders angegeben.
1 Bäume, Grad, Zusammenhang
In diesem Teil sollen Sie sich mit den grundlegenden Begriffen der Graphentheorie, die in der
Vorlesung eingeführt wurden, vertraut machen. Es gibt zu jeder der Aufgaben kurze Lösungen.
Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass jeder Baum mit mindestens zwei Knoten mindestens zwei Knoten
mit Grad eins hat.
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass jeder zusammenhängende Graph G = (V, E) mit mindestens zwei
Knoten zwei verschiedene Knoten x, y ∈ V hat, so dass G \ x und G \ y zusammenhängend sind.
(Hinweis: Sie dürfen Aufgabe 1 benutzen)
Aufgabe 3.
1. Zeigen Sie, dass jeder Graph mit mindestens zwei Knoten zwei verschiedene
Knoten mit gleichem Grad hat.
2. Finden Sie alle Graphen mit bis zu fünf Knoten, die genau zwei verschiedene Knoten mit
gleichem Grad haben.
3. Bonus (aufwändiger): Charakterisieren Sie alle Graphen, die genau zwei verschiedene Knoten mit gleichem Grad haben.
Aufgabe 4. Sei T die Menge der Spannbäume eines zusammenhängenden Graphen mit n
Knoten. Sei H der Graph mit Knotenmenge T , wobei zwei Knoten T1 , T2 ∈ T benachbart sind,
wenn sich E(T1 ) und E(T2 ) um genau zwei Kanten unterscheiden. Finden Sie für Spannbäume
T1 , T2 ∈ T einen T1 T2 -Weg in H der höchstens Länge n − 1 hat. (Hinweis: benutzen Sie Satz
0.14 aus der Vorlesung)
Der Vollständigkeit halber ist hier Satz 0.14 aus der Vorlesung:
1
Satz. Sei G = (V, E) ein Graph. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
1. G ist ein Baum
2. G ist minimal zusammenhängend (d.h., G ist zusammenhängend und für alle vw ∈ E ist
G \ vw nicht zusammenhängend)
3. G ist maximal azyklisch (d.h., G ist azyklisch und für zwei verschiedene, nicht verbundene
Knoten v, w ∈ V enhält (V, E ∪ {{v, w}}) einen Kreis)
2 Adjazenzmatrizen
Definition 1. Die Adjazenzmatrix zu einem Graphen (V, E) ist gegeben durch (avw )v,w∈V , mit
(
1 wenn vw ∈ E
avw =
0 sonst
Aufgabe 5.
1. Bestimmen Sie die Adjazenzmatrix zu folgendem Graphen
4
3
2
1
2. Sei A die Adjazenzmatrix zu einem Graphen G = (V, E). Zeigen Sie per Induktion, dass
für die n-te Potenz An = (avw )v,w∈V von A, gilt: avw ist die Anzahl der verschiedenen
Wege von v nach w der Länge n.
3. Nutzen Sie diese Aussage, um einen Algorithmus anzugeben, der die Anzahl der Dreiecke
(Kreise der Länge drei) in G bestimmt. Was ist die Laufzeit des Algorithmus?
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