Vorbemerkung: Alle auf diesem Aufgabenblatt betrachteten

Übungsaufgaben zur Graphentheorie
SoS 2016
Prof. Dr. Klaus Berberich
Blatt 1
Vorbemerkung:
Alle auf diesem Aufgabenblatt betrachteten Graphen seien einfach, d. h. Graphen ohne Schlingen.
Aufgabe 1:
Gegeben ist der folgende gerichtete Graph.
a)
b)
c)
d)
Bestimmen Sie die Summe der Ausgangsknotengrade aller Knoten.
Geben Sie alle einfachen Pfade von Knoten 1 zu Knoten 5 an.
Geben Sie einen Pfad von 1 nach 5 an, der kein einfacher Pfad ist.
Geben Sie alle einfachen Zyklen des Graphen an. Dabei sollen Zyklen nicht mehrfach
gezählt werden, wenn sie die gleichen Knoten beinhalten.
e) Geben Sie eine zu diesem Graphen passende Adjazenzliste und die Adjazenzmatrix an.
Aufgabe 2:
Es sei G ein gerichteter Graph mit n Knoten, nummeriert von 1 bis n. Beschreiben Sie einen
Algorithmus (kein Pseudocode), mit dem man den Grad des Knotens k ermitteln kann, falls
a) G durch eine Adjazenzliste
b) G durch die Adjazenzmatrix
gegeben ist.
Wie groß ist der asymptotische Aufwand in Abhängigkeit von n im schlechtesten Fall jeweils?
Aufgabe 3:
G sei ein ungerichteter Graph mit n Knoten, bei dem jeder Knoten mit jedem anderen
durch eine Kante verbunden sei.
a) Wie viele Kanten besitzt G?
b) Bestimmen Sie die kleinste Zahl n, für die G mindestens 500 Kanten besitzt.
Aufgabe 4:
a) Begründen Sie, dass in einem ungerichteten Graphen die Summe der Grade aller Knoten
stets das Doppelte der Kantenzahl beträgt (so genanntes „Handshake-Lemma“).
b) Zeigen Sie, dass in jedem ungerichteten Graphen die Anzahl der Knoten, die einen
ungeraden Grad besitzen, immer eine gerade Zahl ist.
Hilfe: Teilen Sie die Knotenmenge zunächst in zwei (disjunkte!) Mengen auf:
Menge der Knoten mit ungeradem Grad und Menge der Knoten mit geradem Grad.
Argumentieren Sie dann unter Verwendung von Aufgabenteil a).
c) Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabenteil b), dass es unmöglich ist, eine Gruppe von 9
Personen auf einer Party zu haben, so dass jede Person genau fünf anderen Personen der
Gruppe früher schon einmal begegnet ist. Geben Sie dazu zunächst ein graphentheoretisches
Modell an. D. h., wie kann man die Problemstellung durch einen ungerichteten Graphen
beschreiben: was sind die Knoten, wann gibt es eine Kante zwischen zwei Knoten, welches
Problem für den Graphen stellt das Problem der realen Welt dar?