1.1 Seltsame Beobachtungen

1.1
Seltsame Beobachtungen
Beobachtungen, die an verschiedenen Systemen (Elektronen, Silberatomen, grössere Moleküle. . . ,
qualtiativ in der gleichen Form gemacht werden.
Nehmen wir ein Teilchen, nenne wir es “Elektron”, das könne 2 verschiedene “Farben” annehmen
(rot/grün, r/g), und es könne weich oder hart (w/h) sein. Sonst hätten sie keine anderen Eigenb die Elektronen
schaften. Wir hätten 2 Apparate, einen “Farbtrenner” Fb und einen “Härtetrenner” H,
nach den Eigenschaften sortieren.
Wir senden die Elektronen nun in den Apparat, und der sendet alle Elektronen mit einer Eigenschaft an einen Ausgang, die mit der anderen an einen anderen.
1. Fb: wir finden, dass 50% der Elektronen beim r und g Ausgang erscheinen. Wir können daraus
schliessen: Zwar haben wir sonst keine Möglichkeit vorherzusagen, wo ein bestimmtes Elektron
erscheinen wird, aber offensichtlich sind die Farben zwischen gleichverteilt über die beiden
Möglichkeiten.
2. Fb: Wir senden die Elekronen von einen Ausgang, z.B. r, nochmal durch den Apparat Fb. Da die
“r” sein sollten, erwarten, dass die wieder alle aus r kommen. Das beobachtet man tatsächlich,
analog für g. Wir können annehmen, dass unser Apparat zuverlässig r von g Elektronen trennt.
b Nun nehmen wir Elektronen einer Sorte, sagen wir r, und bestimmen H,
b ihre Härte/Weiche.
3. H:
Das Ergebnis ist analog zu oben: wir finden, dass 50% unserer r-Elektronen beim w-Ausgang
erscheinen, die Anderen 50% beim h-Ausgang. Auch hier können wir die Zuverlässigkeit der
b überprüfen, mit dem Gleichen Ergebnis wie bei
Trennung durch nochmaliges Anwenden von H
Fb.
4. Wir würden vermuten, dass unsere Elektronen in 4 verschiedenen Varianten vorkommen, nämlich
wr,hr,wg,hg, und statistisch zu jeweils einem Viertel in diesen Varianten vorliegen.
b Fb mit 4 Ausgängen vorstellen, d.h. zuerst Trennung
5. Wir können uns eine Sortiermaschine H
in 2 Polationen jeweils einheitlicher Farbe, dann Sortierung nach h/w. Wir würden erwarten,
dass an jedem der 4 Ausgänge genau ein Typ wr,hr,wg oder hg Elektronen erscheint.
6. Wir wollen das überprüfen schicken die 25% wr nochmal durch den Farbsortierer Fb. Wir
erwarten natürlich, dass alle Elektronen beim r Ausgang erscheinen. Dies ist aber nicht der
Fall!: wir finden wieder die Hälfte der wr (also nun 1/8 der ursprünglichen) Population beim
g-Ausgang, den anderen Teil bei r. Die 8 Populationen köennen wir uns durch die Apparateb Fb getrennt vorstellen.
abfolge FbH
7. Umgekehrt, wenn wir erst nach Härte und dann nach Farbe sortieren, und dann nochmal die
Farbe messen, erhalten wir wie erwartet nur vier getrennte Populationen.
b 6= FbH
b Fb .
8. Offensichtlich sind die beiden alternativen Messabfolgen nicht äquivalent: FbFbH
b FbH
b 6= H
bH
b Fb gemacht.
9. Die analoge Beobachtung wird mit H
b 6= H
b Fb
10. Es scheint, dass für unsere Messungen gilt FbH
10
Mögliche Erklärungen für diese Beobachtung
b wird umgefärbt bzw. in Fb wird erweicht/erhärtet.
1. In H
2. Farbe und Zustand sind doch nicht alle Eigenschaften der Elektronen, es gib noch weitere, die
wir nicht beoachten, die die Trennungseigenschaften der Apparate bestimmen.
Im Fall 1 sollten wir versuchen, bessere Apparate zu bauen. Wenn unsere Apparate aber “die
besten” sind, wenn wir uns keine besseren denken können und vermuten müssen, dass es keine
besseren gibt, dann müssen wir überlegen, welche Bedeutung es haben kann, einem Objekt 2 unbhängige
Eigenschaften (Farbe und Zustand) zuzuschreiben. Wenn wir zwei Eigenschften nie unabhängig von
einander beobachten können, d.h. wenn wir nie von einem Objekt sagen können es sei g und h etc.,
hat es dann Sinn zu sagen, es hat diese beiden getrennten Eigenschaften?
Im Fall 2 sollten wir versuchen, die verbleibenden, bisher nicht bestimmten Eigenschaften auch
zu messen und unsere Elektronen genauer zu sortieren und die Wirkung dieser bisher verborgenen
Eigenschaften auf unsere Apparate bestimmen, d.h. einen kompletten Satz von Apparaten bauen,
der alle Eigenschaften misst. Wenn das grundsätzlich nicht möglich sein sollte, müssen wir wieder
darüber nachdenken, was die Bedeutung solcher verborgener Eigenschaften sein kann. Wie real
ist etwas, dem nie eine eindeutige Wirkung zugeschrieben werden kann? Kann man etwas eine
Eigenschaft nennen, das nicht messbar ist, d.h. dem man keine (eindeutige) Wirkung zuschreiben
kann? Hier stehen wir an der Grenze zu erkenntistheoretischen Fragen.
Historische Anmerkung: Stern-Gerlach
Das obige Arrangement entspricht ziemlich genau dem historischen Stern-Gerlach Versuch (Otto
Stern, Walther Gerlach 1922). Statt Farbe und Härte eines “Elektrons” wurde dort das magnetische
Moment von Silberatomen gemessen. Klassisch wäre das ein Vektor mit 3 unabhängigen Komponenten
 
µx

µ
~ = µy 
(1.1)
µz
Das Resultat war ebenso absurd wie unser fiktives Beispiel: Betrachte Farbe und Härte als 2 diskrete
Koordinaten, dann wollten wir jedes unserer “Elektron” einem der 4 Punkte in diesem Raum zuordnen, sind aber daran gescheitert. In genau dieser Weise scheitert das Zuordnen eindeutigem Drehimpuls bzw. magnetisches Moment für alle mikroskopischen System. Es scheiterte bisher, wo immer
unsere Messgenauigkeit gut genug ist, um es zu überprüfen.
1.1.1
Noch seltsamere Beobachtungen
Endgültig absurd werden die Beobachtungen in folgendem Arrangement: nehmen wir an, wir hätten
einen Apparat T , der es erlaubt, die durch einen der beiden Apparate getrennten Populationen
wieder zusammen zu führen. T habe also 2 Eingänge und einen Ausgang. Am Ausgang finden wir
die Summe der beiden Eingangsignale. Wir hätten auch die Möglichkeit, die r und g Elektronen von
den Ausgängen von Fb über beliebig weit getrennte Bahnen zu lenken und bei T zusammenzuführen.
b
Wir messen nach T die Härte H.
11
In einen solchen Arrangement macht man die folgenden Beobachtungen machen:
1. Wir senden ein einzelnes h-Elektron in Fb. Nach Fb kann das Elektron, je nach Ergebnis der
Farb-Messung, einen der beiden Pfade nehmen. Wir lenken an T das Elektron wieder auf den
gemeinsamen Pfad und messen seine Härte. Da wir ja zuerst nach Farben getrennt hatten,
erwarten wir, dass die Härtemessung nun wieder zu 50% h oder w ergeben kann. Das ist aber
nicht der Fall: Wir messen ein h-Elektron, immer!
b vertauscht oder wenn man zu
2. Ganz analoge Beobachtungen macht man, wenn man Fb und H
Beginn ein w-Elektron in den Apparat schickt.
3. Wir versuchen nun zu bestimmen, wie das einzelne Elektron durch den Apparat fliegt. Dazu
blockieren wir einen der beiden Wege, sagen wir den g-Weg. Unser Messergebnis ändert sich
dramatisch: Mit je 50% Wahrscheinlichkeit finden wir h und w-Elektronen! Eigentlich sollte
uns das nicht überraschen, denn das ist im Grunde unsere ursprüngliche Anordnung ohne
T.
4. Beachten Sie, dass unsere Wege beliebig weit getrennt sein können, so dass eigentlich ein
Elektron auf einem Pfad in keiner Weise von Manipulationen am anderen Pfad beinflusst werden
sollte. In der Sprache der speziellen Relativitätstheorie kann die Trennung “raumartig” sein,
d.h. eine kausale Beinflussung zwischen den Pfaden ist nach der Relativitätstheorie unmöglich.
D.h. wir beobachten eine Wirkung, wo keine Wirkung möglich sein sollte.
5. Man könnte nun vermuten, dass das Elektron sich irgendwie “zerteilt” und jeder der Teile einen
der Wege nimmt. Messen wir also was durch den Pfad läuft: man findet immer ein ganzes
ungeteiltes Elektron oder gar keines.
6. Vielleicht geht das Elektron auf mysteriöse Weise an unserem Apparat vorbei. Blockieren wir
also beide Pfade: wir sehen — NICHTS.
Mathematische Darstellung in Vektorräumen
So absurd die Beobachtungen scheinen, es gibt keinen logischen Widerspruch in ihnen. Daher findet
sich in der dienstbaren Mathematik auch eine Möglichkeit, dieses Verhalten abzubilden. Es erweist
sich, dass Vektorräume, auch “lineare Räume” genannt, das geignete Instrument sind. Eine erste
Anleitung dazu, wie das funktionieren kann, finden Sie am ersten Übungsblatt.
1.1.2
Historische Anmerkungen
Einstein-Podolski-Rosen (EPR)
EPR wiesen darauf hin, dass die Quantenmechanik genau solche absurde Situationen beschreibt und
formulierten das Analoge der obigen Beobachtung als Gedankenexperiment. 1935, brillianter Aufsatz,
der genau diese Zumutung der Quantenmechanik an unsere Denkgewohnheiten ein einem einfachen
Gedankenexperiment offengelegt hat. Wegen der scheinbaren Absurdidät der Schlussfolgerungen
suggerieren EPR, dass die QM die “Natur” nicht vollständig beschreibt.
12
Bell’sche Ungleichungen
1965 reformuliert die Idee hinter dem EPR Argument durch eine Ungleichung für messbare Grössen.
Die Ungleichung wird durch die Quantenmechanik verletzt. Wir werden diese Ungleichungen gegen
Ende der Vorlesung herleiten.
Aspect Experiment
Die Bell’schen Ungleichungen wurden in den 1970er Jahren in einem Experiment erstmal überprüft.
Das Experiment von Alain Aspect verwendete “Photonen”, also Lichtteilchen. Zahlreiche Experimente seither bestätigen die Verletzung der Bell’schen Ungleichung.
1.2
1.2.1
Historische Entwicklung der Quantenmechanik
Stabilität der Materie
Durch die Experimente von Rutherford (1911) wusste man, dass Atome aus einem winzigen, sehr
schweren positiv geladenen Kern und lokalisierten, leichten negativen Ladungen bestehen muss, den
Elektronen. Ein solches System sollte nach den damals bekannen Regeln der Elektrodynamik instabil sein, da die Ladungen bei jedweder Bewegung Energie verlieren sollten, denn bewegte, genauer:
beschleunigte Ladungen strahlen, wie z.B. in jeder Antenne. Somit würden alle negativen Ladungen
letztlich auf die positiven Ladungen stürzen und eine sehr grosse Energie abgeben. In der klassischen Mechanik wäre dies wie ein Sonnensytem mit Reibung: die Erde würde immer langsamer und
schliesslich in die Sonne stürzen. Da wir “Warum nicht?” fragen können, ist dies offensichtlich nicht
der Fall.
1.2.2
Diskrete Spektrallinien — Balmer Serie
Im 19ten Jahrhundert war die Welt ganz beruhigend in “diskret” und “kontinuierlich” geteilt: Atome
waren diskret, Kräfte und Strahlung waren kontinuierlich. Allerdings gab es, wenn diese beiden Welten zusammentrafen, manchmal ein Problem, siehe z.B. das Rätsel um die Stabilität der Materie.
Etwas weniger fundamental, aber doch verwirrend, ist die Beobachtung diskreter Spektrallinien.
Warum sollte ein wie oben beschriebenes Atom gerade bei bestimmten Frequenzen Strahlung absorbieren oder emittieren? Genau das war aber von dem in Straubing geborenen Joseph von Fraunhofer 1814 beobachtet. Die erste Beobachtung stammt allerdings von William Hyde Wollaston (1802).
Johann Jakob Balmer — ein Mathematiker mit Neigung zur Zahlenmystik der Kabbala — hat
1866 bemerkt, dass sich die Frequenzen νmn der Spektrallinien des Wasserstoffatoms als Differenzen
νmn = νm − νn , 1 ≤ n < m schreiben lassen. Die νn , νm haben die einfache Form
νn = −νH
1
n2
(1.2)
mit einer einzigen Konstanten νH , die für das Wasserstoffatom H charakteristisch ist. Ähnliche
Formeln mit anderen Konstanen waren für andere Atome bekannt. Bald wusste man auch, dass die
13
1.2.4
Der photoelektrische Effekt
Im Jahr 1902 hat Phillip Lenard beobachtet, wie Licht, das auf eine Metalloberfläche fällt, Elektronen
emittiert. Bemerkenswert ist:
1. Elektronen werden erst über einer Grenzfrequenz des Lichts emittiert. Wir bezeichnen diese
Frequenz mit νW .
2. Oberhalb dieser Grenzfrequenz werden — unabhängig von der Intensität des Lichts — immer
Elektronen emittiert. Bei fester Frequenz ν > νW ist die Anzahl der durchschnittlich emittierten
Elektronen proportional zur Intensität.
3. Die Energie der Elektronen berechnet sich einfach aus ihrer Geschwindigkeit, also aus der Zeit,
die zwischem dem Lichteinfall auf der Oberfläche und der Detektion der Elektronen an einem
entfernten Detektor vergeht. Diese Energie hängt nur von der Frequenz ν, aber nicht von der
Intensität des Lichts ab. Der Zusammenhang ist
E e = me
ve2
= h(ν − νW ) .
2
(1.4)
Hier taucht erneut das Plank’sche Wirkungsquantum h auf!
Die Beobachtungen passen in keiner Weise mit den Erwartungen der klassischen Elektrodynamik
zusammen. Dort ist die Energie des Lichts — einer elektromagnetischen Welle — proportional zur
Intensität, aber im Übrigen weitgehend gleichmässig auf die gesamte räumlich ausgedehnte Welle
verteilt. Wir können uns z.B. einen sehr schwachen Lichtpuls denken und eine dünne Metallnadel.
Die Nadel sei so dünn, dass der Anteil der Energie, der auf die Nadel fällt, kleiner ist, als die Energie
des emittierten Elektrons. Dennoch kann es, manchmal, zur Emission eines Elektrons nach dem
obigen Gesetz kommen.
Es war — wieder! — Einstein, der eine simple Beschreibung des Effekts gab (1905). Ursprünglich
bemerkt er, dass sich Licht im thermischen Gleichgewicht so verhält, als wäre es ein Gas aus Teilchen.
Jedes Teilchen hat dabei die Energie die proportional zur Frequenz des Lichts ist: hν. Damit löst sich
das Rätsel auf: das Licht fällt wie ein Schrot-Schuss auf die Nadel. Wenn ein Teilchen trifft, kann
es seine Energie an das Elektron abgeben. Das Elekton ist noch mit einem gewissen Potential W
(“Workfunction”, Austrittsarbeit) in der Oberfläche verankert. Daraus ergibt sich die beobachtete
Grenzfrequenz
W
νW =
(1.5)
h
und auch die beobachtete Restenergie des Elektrons.
Wir sehen nun nachträglich auch, was die Energien des Wassertoffatoms mit den Frequenzen νn
der Balmer-Formel zu tun haben:
νn =
En
,
h
En = −Ry
15
1
n2
(1.6)
1.2.6
Licht kann ein einzelnes Teilchen sein —- Doppelspaltexperiment
Reduziert man im selben Experiment die Intensität immer mehr, so erscheint zunächst auf dem
Schirm hinter den Spalten nicht mehr ein gleichförmiges Interferenzmuster. Stattdessen tauchen
vereinzelt hier und dort Punkte auf, die sich nach und nach akkumulieren. Stellen Sie sich als Detektor
den Chip einer Digitalkamera vor — die werden übrigens in modernen Experiment wirklich verwendet
und laufen unter dem Namen CCD, “Charge Coupled Device”. Die Auflösung sei natürlich viel feiner
als die Abmessungend des Interfernzmusters. D.h. die Energie wird in einzelnen Pixeln deponiert, die
zunächst weitgehend zufällig verteilt erscheinen. Wir erkennen das Phaenomen des Photo-Effekts
wieder: offensichtlich tragen doch einzelne, sehr gut lokalisierte Teilchen die Lichtenergie auf den
Schirm!
1.2.7
Ein Teilchen ist eine Welle ist ein Teilchen
Sammelt man — mit viel Geduld — ausreichend viele dieser Lichtpunkte, so findet man sie nach
dem Interferenzmuster verteilt, aber nur, wenn beide Spalten offen sind! Deckt man einen Spalt ab
baut sich nach und nach eine gleichmässige Verteilung auf: Viele einzelne Teilchen nacheinander(!)
scheinen wieder eine Welle zu bilden.
(Video mit Untertitel: http://www.hitachi.com/rd/portal/research/em/doubleslit.html)
Ist aber das einzelne Photon dafür empfindlich, ob da ein oder zwei Spalten sind? Hier ist es
nützlich, sich die Geometrie des Problems anzusehen: der Abstand der beiden Spalte kann sehr gross
sein, durchaus ein Vielfaches der Wellenänge. Typische Wellenlängen für sichtbares Licht liegen bei
∼ 1/2µm. Die Spalte (oder auch einfach Löcher) kann man von Hand mit einer Nadel durch eine
Lichtdichte Folie stechen, also wahrscheinlich in wesentlich grösserem Abstand als die Wellenlänge.
Die Seitenlänge eines Pixels in einem nicht sehr raffinierten Chip, sagen wir mit 1M P ix/mm2 ist
grade eine Mikrometer. Also ist das Photon wohl wenigstens auf . 1µm lokalisiert? D.h. ein solches
einzelnes Teilchen geht wohl durch einen der beiden Spalten. Für den Durchgang eines einzelnen
Photons sollte es also egal sein, ob ein 2ter Spalt offen ist. Ist es aber nicht!
Wir können nun, z.B., zufällig mal den einen, mal den anderen Spalt abdecken, mit gleicher
Wahrscheinlichkeit für beide. Wir werden nur halb so viele Photonen messen, weniger Intensität,
doch für die Photonen, die durch den gerade offenen Spalt gehen, sollte es keinen Unterschied machen,
ob der andere zu oder offen ist. Dennoch verschwindet das Interferenzmuster und einfach die Summe
der gleichförmigen Verteilung der beiden eizelnen Löcher erscheint.
Man kann diese Versuche beliebig weitertreiben, immer wieder mit dem gleichen, schwer verständlichen
Resultat.
Wir erkennen das Muster der eingangs diskutierten fiktiven Farb/Härte Messung: Manipulationen an Orten, die das Resultat nicht beinflussen sollten, führen doch zu Änderungen. Hier sind
die Abstände noch im mm-Bereich. Analoge Experimente hat man aber tatsächlich zwischen Kanarischen Inseln (Zeilinger et al.) oder am Koko-Nor See (China, J.W. Pan et al.) über zig Kilometer
hinweg gemacht.
Das Photon scheint sowohl kontinuierlich und ausgedehnt (Welle) als auch auf einen Punkt
konzentriert (Teilchen).
Daher: Ein Teilchen ist eine Welle ist ein Teilchen.
17