4.5 Unitäre Räume

4.5. UNITÄRE RÄUME
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Unitäre Räume
Es soll nun untersucht werden, wie man zweckmäßig vorzugehen hat, wenn der
Grundkörper K der Körper
C = {ζ := ρ + iσ | ρ, σ ∈ R}
der komplexen Zahlen ist, mit den bekannten Rechenregeln und der Konjugation
−: C → C, ζ 7→ ζ := ρ − iσ.
4.5.1 Definition (Semibilinearformen) Ist V ein C-Vektorraum, dann heißt
Φ: V × V → C Semibilinearform, wenn gilt
Φ(ζ0 v0 + ζ1 v1 , v2 ) = ζ0 Φ(v0 , v2 ) + ζ1 Φ(v1 , v2 )
und
Φ(v0 , ζ1 v1 + ζ2 v2 ) = ζ1 Φ(v0 , v1 ) + ζ2 Φ(v0 , v2 ).
•
Die zugehörige quadratische Form ϕ ist wieder durch ϕ(v) := Φ(v, v) definiert,
und auch hier gilt die Parallelogramm-Identität
ϕ(v + w) + ϕ(v − w) = 2[ϕ(v) + ϕ(w)].
p
p
Weiter haben wir, für |ζ| := ζζ = ρ2 + σ 2 :
4.5.2
ϕ(ζv) = |ζ|2 ϕ(v),
und auch hier im komplexen Fall läßt sich Φ aus der quadratischen Form ϕ
wiedergewinnen:
4.5.3 2Φ(v, w) = [ϕ(v + w) − ϕ(v) − ϕ(w)] + i · [ϕ(v + iw) − ϕ(v) − ϕ(w)].
4.5.4 Definition (hermitesche Semibilinearform) Die Semibilinearform Φ
e gilt, wobei
heißt hermitesch, wenn Φ = Φ
e w) := Φ(w, v).
Φ(v,
e ist offensichtlich ebenfalls hermitesche Semibilinearform.)
(Φ
•
Eine Semibilinearform ist also genau dann hermitesch, wenn die zugehörige quadratische Form reellwertig ist. Demnach kann man bei hermiteschen Semibilinearformen auch von positiv definiten sprechen, sie eigenen sich also zur Metrisierung!
4.5.5 Definition (hermitesche Matrix) A ∈ Cn×n heißt hermitesch, wenn
gilt
aik = aki .
•
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Ist z. B. Φ hermitesch, B = (b0 , . . . , bn−1 ) eine Basisfolge, dann ist MBΦ hermitesch.
4.5.6 Beispiele
• Ist V := Cn , dann ist das Standardskalarprodukt Φ, definiert durch
Φ(v, w) :=
n−1
X
vi wi ,
i=o
hermitesch.
• Ein R-Vektorraum V ergibt den C−Vektorraum V × V vermöge
(ρ + iσ)(v, w) := (ρv − σw, ρw + σv).
Dieser Vektorraum heißt die Komplexifizierung von V. Wir bezeichnen ihn
mit C (V × V ). Jeder seiner Vektoren (v, w) ist eindeutig darstellbar als
Summe
(v, w) = (v, 0) + (0, w) = (v, 0) + i(w, 0).
Ist dabei R V euklidisch, h− | −i das innere Produkt, dann definiert
Φ((v, v 0 ), (w, w0 )) := hv | wi + hv 0 | w0 i + i · [hv 0 | wi − hv | w0 i]
eine hermitesche Semibilinearform auf C (V × V ).
3
4.5.7 Definition (unitärer Raum, unitäre Matrix)
i) Ein endlichdimensionaler C−Vektorraum zusammen mit einer positiv definiten hermiteschen Semibilinearform
h− | −i: V × V → C
heißt unitärer Raum. h− | −i heißt dann auch hermitesches inneres Produkt.
ii) A ∈ Cn×n heißt unitär, wenn gilt:
A−1 = t A = (aki ).
•
Natürlich ist Cn mit dem Standardskalarprodukt ein unitärer Nicht ganz so offensichtliches Beispiel ist die oben eingeführte Komplexifizierung C (V × V ) eines
reellen Vektorraums V mit der dort angegebenen hermiteschen Semibilinearform
Φ.
Auf unitären Räumen kann, ganz wie für relle Vektorräume mit innerem Produkt, eine Norm definiert werden:
p
kvk := hv | vi,
4.5. UNITÄRE RÄUME
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denn der Wert unter der Wurzel ist ja eine nicht negative reelle Zahl. Auch hier
gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
|hv | wi| ≤ kvk kwk.
mit Gleichheit genau dann, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind. Der
Beweis verläuft hier völlig analog zum Beweis im Reellen.
4.5.8 Hilfssatz Es gilt die Dreiecksungleichung
kv + wk ≤ kvk + kwk,
mit Gleichheit genau dann, wenn v = ρw, ρ ∈ R≥0 .
Beweis: Die Gültigkeit der Dreiecksungleichung folgt mit Hilfe der CauchySchwarzschen Ungleichung. Bei Annahme der Gleichheit quadriert man beide
Seiten von kv + wk = kvk + kwk und erhält
p
4.5.9
hv | wi + hv | wi = 2 hv | vihw | wi,
also für den Realteil von hv | wi die Gleichung
Re(hv | wi) = kvk kwk.
Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgt damit die Gleichheit
|hv | wi| = kvk kwk,
die Vektoren v und w sind demnach linear abhängig, etwa v = ζw. Setzen wir
dies in 4.5.9 ein, so folgt ζ + ζ = 2|ζ|, der Koeffizient ζ ist demnach reell.
Ist umgekehrt v = ζw, mit ζ ∈ R≥0 , dann wird aus der Dreiecksungleichung
ganz offensichtlich eine Identität.
2
Auch im unitären Fall nennen wir zwei Vektoren v, w genau dann orthogonal,
wenn ihr inneres Produkt verschwindet:
v ⊥ w :⇐⇒ hv | wi = 0.
Wir haben also einen Orthogonalitätsbegriff, Orthonormalbasisfolgen, orthogonale Komplemente usw.
Eine wichtige Konstruktion ist
4.5.10 Definition (der konjugierte Vektorraum) Der zu V konjugierte
Vektorraum V hat dieselbe Grundmenge V von Vektoren, aber das Produkt
eine v ∈ V mit einem Skalar ζ ∈ C setzt man gleich dem Vektor ζ · v im
Vektorraum V, kurz:
ζ · v := ζ · v.
•
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(Das sieht vielleicht auf den ersten Blick merkwürdig aus, wird aber dadurch
erklärt, daß links ein Vektor aus V , und rechts einer aus V steht!) Für die
Abbildung
f : V → V , v 7→ v
gilt
f (i · v) = −i · f (v).
Mit ihrer Hilfe definiert man dann zum unitären V (mit h− | −i) die nicht
ausgeartete Bilinearform (nachrechnen!)
[− | −]: V × V → C: (v, w) 7→ hv | f −1 (w)i.
V und V sind also bzgl. [− | −] zueinander duale Vektorräume. Hiermit läßt sich
auch der Rieszsche Darstellungssatz übertragen: Ist G: V → C eine Linearform,
dann folgt aus einem ganz analogen Beweis, daß g(v) = [v | b], für ein geeignetes
b ∈ V. Wegen [v | b] = hv | f −1 (b)i =: hv | ai ergibt sich für g die folgende
Darstellung mit Hilfe eines geeigneten a ∈ V und des inneren Produkts auf V :
g(−) = h− | ai.
usw.
Dies wird im kommenden Semester in der Vorlesung Algebra I ergänzt
und fortgesetzt!
Inhalt von Kapitel 5: Tensoren, multilineare Algebra