Formel X – Leistungskurs Physik 2004/2005

Formel X – Leistungskurs Physik
2004/2005
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik
Prof. Dr.-Ing. G. Wilhelms
Reversibler/irreversibler Prozess:
Von einem reversiblen Prozess spricht man, wenn der ursprüngliche Zustand eines Systems wieder erreicht wird, ohne das Änderungen in der Umgebung zurückbleiben.
p1
V1
Betrachten wir den mit Gas gefüllten Zylinder (Bild 1). Das Gas habe den Druck
p1 und das Volumen V1. Das Gas sei adiabat von der Umgebung abgegrenzt.
Vergrößern wir das Volumen, so wird an
die Umgebung Arbeit abgegeben. Verri ngern wir das Volumen anschließend, indem wir denselben Betrag an Arbeit wieder in das System bringen (das heißt die
Umgebung bleibt unverändert), und stellt
sich wieder der ursprüngliche Zustand p1,
V1 ein, handelt es sich um einen reversiblen Vorgang. Dies ist nur dann möglich,
wenn im Inneren des Gases keine Reibungseffekte und keine Ungleichgewichte
auftreten.
Reversible Prozesse sind eine Idealvo rstellung, die nicht erreicht werden kann.
Sie werden zum Vergleich und zur Bewertung realer Prozesse angenommen.
p2
V2
p
p2
1
2
p1
V1
V2
V
Bild 1 reversibler/irreversibler Prozess
Man spricht von einem irreversiblen Vorgang, wenn der ursprüngliche Zustand eines Systems nur dann wieder erreicht wird, wenn die Umgebung verändert wird.
Das System kann zwar seinen Ausgangszustand wieder erreichen, es bleiben aber
Veränderungen in der Umgebung zurück. Ursache hierfür sind: Reibungseffekte, die
allgemein als dissipative Effekte bezeichnet werden oder Ausgleichvorgänge (Temperatur-, Druck- oder/und Konzentrationsausgleich).
Quantitative Beschreibung der Irreversibilität:
Zur Quantitativen Beschreibung der Irreversibilität führte Clausius 1 2 die extensive
Zustandsgröße Entropie (Formelzeichen: S) ein. Das Wort kommt aus dem Griechischen: entrepein „umkehren“.
1
2
Rudolf Julius Clausius formulierte 1850 als erster quantitativ den ersten Hauptsatz, indem er den
Begriff „innere Energie“ einführte. 1854 führte Clausius zur quantitativen Formulierung des 2. Haupt satzes die Zustandsgröße Entropie ein.
Rudolf Julius Emanuel Clausius (1818 – 1888) studierte in Berlin. Wurde 1855 Professor für theoretische Physik an dem neuen Eidgenössischen Polytechnikum in Zürich. 1867 wechselte es zur Universität Würzburg. Von 1869 bis zu seinem Tod lehrte er in Bonn.
1
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In Analogie zur Prozessgröße 3 Arbeit, die sich wie z. B. bei der Volumenänderungsarbeit als Produkt aus der intensiven Zustandsgröße p und der Änderung der exte nsiven Zustandsgröße dV berechnet:
dWv = p dV
beschrieb Clausius die Prozessgröße Wärme als Produkt aus absoluter Temperatur
und der Änderung einer neuen extensiven Zustandsgröße, der Entropie S:
dQ = T dS
Indem er die Prozessgröße Wärme durch die absolute Temperatur teilte, machte er
daraus eine Zustandsgröße.
Volumenänderungsarbeit wird verrichtet, wenn sich das Volumen eines Systems verändert, wie viel Arbeit verrichtet wird, hängt von dem Druck ab, der im System
herrscht. Wird einem System Wärme zugeführt, wird ihm auch Entropie zugeführt.
Wieviel Entropie zugeführt wird, hängt von der Temperatur T ab, bei der die Wärme
übertragen wird.
Wärme und Dissipationsarbeit haben wenn sie einem System zugeführt werden, die
gleiche Wirkung. Wir können die letzte Gleichung daher erweitern zu:
T dS = dQi + dWdiss
Stellt man die Gleichung nach der Entropieänderung um:
dS =
dQi dWdiss
+
T
T
erkennt man, dass sich die Entropie eines Systems ändert, wenn Wärme über die
Systemgrenze transportiert, oder wenn Energie im Inneren des Systems dissipiert
wird. Der Betrag der Entropieänderung hängt dabei von der Temperatur ab, bei der
die Wärme übertragen bzw. die Dissipationsarbeit verrichtet wird.
Die Änderung der Entropie eines Systems
,
dS = dSq + dSi
S2 − S1 = Sq12 + Si12
setzt sich also zusammen aus der Entropieänderung infolge Wärmetransport:
dS q =
2
dQi
T
,
Sq12 = ∫
1
dQi
T
und einer Entropieerzeugung im Inneren des Systems durch Dissipation:
dSi =
2
dWdiss
T
,
dWdiss
T
1
Si12 = ∫
Der Transport von Arbeit über die Systemgrenze ändert die Entropie des Systems nicht.
3
Man unterscheidet Prozessgrößen und Zustandsgrößen. Prozessgrößen sind vom Verlauf des Prozesses abhängig, z. B. ob während des Prozesses Wärme zu oder abgeführt wird oder Dissipationsarbeit verrichtet wird.
Alle Prozessgrößen lassen sich als Produkt aus einer intensiven Zustandsgröße und der Änderung
einer extensiven Zustandsgröße darstellen.
2
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Die Entropieänderung infolge Wärmetransport kann positiv oder negativ sein je
nachdem, ob die Wärme zu- oder abgeführt wird:
dS q ≥ 0
∨
dSq ≤ 0
Die Entropieerzeugung erhöht immer die Entropie des Systems, da die Dissipationsarbeit nur positiv sein kann:
d Si > 0
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik:
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik definiert zum einen die Zustandsgröße
Entropie:
T dS = dQi + dWdiss
und macht zum anderen die Aussage, dass bei allen realen Prozessen Entropie erzeugt wird:
d Si > 0
Die Erfahrung lehrt, dass alle in der Natur ablaufenden Prozesse irreversibel sind. Mit
dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik folgt damit:
bei allen in der Natur ablaufenden Prozessen wird Entropie erzeugt.
Dabei gilt:
Der Betrag der Entropieerzeugung ist ein Maß für die Irreversibilität des Vorganges.
Damit folgt aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik auch:
Nicht alle thermodynamischen Prozesse sind möglich.
Es sind nur solche Prozesse möglich, bei denen Entropie erzeugt wird. Z. B. fließt
Wärme von allein nur von hohen zu niedrigen Temperaturen, weil nur dabei die Entropie zunimmt. Dieser Erfahrung hat Clausius in seiner ersten Formulierung des
zweiten Hauptsatzes erfasst:
Wärme kann nie von selbst von einem System niedriger Temperatur auf ein System
höherer Temperatur übergehen.
Es ist zwar möglich, Wärme von einem System niedriger Temperatur in ein System
höherer Temperatur zu bringen, dieser Vorgang läuft jedoch nicht von selbst ab,
sondern es muss Arbeit aufgewendet werden.
3
A
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Beispiel: Entropiezunahme bei Temperaturausgleich
Findet ein Temperaturausgleich zwischen zwei Systemen statt, wird Entropie erzeugt
(Wärmetransport über ein Temperaturgefälle ist ein streng irreversibler Vorgang):
Isolierung
Zwei Systeme mit unterschiedlicher TemSystemgrenzen
peratur TA und TB berühren sich. Die Berührungsfläche ist wärmedurchlässig. Gegenüber der Umgebung ist das Gesamtsystem adiabat. Wenn TA größer als TB ist,
wird über die Berührungsfläche Wärme
T A > TB
TB
von A nach B fließen. Die Energie des SysdQ
tems A nimmt dabei um denselben Betrag
ab, wie die Energie des Systems B zunimmt. Nach dem 1. Hauptsatz ist danach,
die aus dem System A herausfließende
Wärme vom Betrag gleich groß der in das Bild 2 Temperaturausgleich
System B hineinfließe nden Wärme:
dQB = dQA
Betrachten wir einen kleinen Zeitraum, und vernachlässigen wir die Temperaturänderung in diesem kleinen Zeitraum, gilt für die Änderung der Entropie:
dS =
dQi + dWdiss
T
und unter der Annahme, dass keine Dissipationsenergie verrichtet wird:
dQA dQB
<
TA
TB
dSA < dSB
Das System A gibt weniger Entropie ab als das System B aufnimmt. Die Gesamtentropie steigt. Der Vorgang ist irreversibel.
T,S-Diagramm:
Irreversible Vorgänge können sehr anschaulich in einem T,S-Diagramm dargestellt
werden. Die Fläche unter der Zustandsänderung T
stellt die Summe aus zu- oder abgeführter Wärme
2
T2
und Dissipationsarbeit dar:
Td S = dQi + dWdiss
2
∫ T dS = Q
i12
T1
+ Wdiss12
1
Qi 12+Wdiss 12
1
Bei reversiblen Vorgängen stellt die Fläche unter
der Zustandsänderung die Wärme, bei adiabaten
Zustandsänderungen die Dissipationsarbeit dar.
4
S
Bild 3 T,S-Diagramm
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Berechnung der Entropieänderung:
Berechnet werden kann die Entropieänderung eines Systems mit Hilfe des zweiten
Hauptsatzes der Thermodyamik unter Verwendung der Definitionsgleichung der Entropie:
Aufgabe:
In einem geschlossenen Behälter befinden sich 0,5 kg Luft bei
einer Temperatur von 20 °C. Luft soll näherungsweise als ideales Gas angenommen werden. Die Temperaturabhängigkeit der
Wärmekapazität ist zu vernachlässigen, es ist mit dem Wert bei
0 °C zu rechnen. Die Umgebungstemperatur ist ebenfalls 0 °C.
Mit einem Rührwerk wird der Luft eine Dissipationsenergie von 20 kJ zugeführt. Dabei erhöht sich die Temperatur um 30 K.
Wie groß ist bei diesem Prozess die Entropieänderung?
Gegeben: Luft, ideales Gas, m = 0,5 kg, cp(0 °C), Wdiss12 = 20 kJ
Gesucht: S2 – S1
1. HS der Thermodynamik:
0
dWv +dQi + dWdiss = dU
Isochore Zustandsänderung:
dWv = 0
Definition der Entropie:
TdS = dWdiss + dQi
Kalorische Zustandsgleichung des
idealen Gases:
dU = mc vdT
Td S = mc vdT
dS = mcv
:T
dT
T
2
dT
T
1
S2 − S1 ≈ mc vm ∫
T 
S2 − S1 ≈ mc vm ln  2 
 T1 
Die Änderung der Entropie des Systems, der Luft, beträgt damit:
J
 323,15 
J
S2 − S1 ≈ 0,5 kg 717,1
ln 
 = 34,934
kg K
K
 293,15 
5
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Es muss aber auch noch die Veränderung der Umgebung berücksichtigt werden. Der Umgebung wird die Wärme, die das System abgibt, zugeführt:
1. HS der Thermodynamik:
0
Wv12 + Qi12 + Wdiss12 = U2 − U1
Isochore Zustandsänderung:
Wv12 = 0
Kalorische Zustandsgleichung des
idealen Gases:
U2 − U1 = mc vm (T2 − T1 )
Qi12 = mcvm (T2 − T1 ) − Wdiss12
Qi12 = 0,5 kg 717,1
J
30 K − 20 000 J= − 9,2435 kJ
kg K
Isotherme Wärmezufuhr bei Umgebungstemperatur:
Definition der Entropie:
0
TdS = dWdiss + dQi
dWdiss = 0
T = Tamb = const
2
2
1
1
Tamb ∫ dS = ∫ dQ
( S2 − S1 ) amb =
Q12 9,2435 kJ
J
=
= 32,531
Tamb 293,15 K
K
Damit berechnet sich die gesamte Entropieänderung dieses Prozesses zu:
J
( S2 − S1 )ges = 66,46
K
T,S-Diagramm:
T
2
50 °C
20 °C
1
Qi 12+Wdiss 12
S
34,934 J/K
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Weiter folgt aus dem zweiten Hauptsatz:
B
Die verschiedenen Energieformen sind nicht gleichwertig.
Im ersten Hauptsatz treten die verschiedenen Energien gleichberechtigt nebeneinander auf. Sie werden in gleicher Weise behandelt und scheinen ihrem Wesen nach
gleichwertig zu sein.
Aus dem zweiten Hauptsatz folgt, das dies aber nicht der Fall ist. Die Ungleichwertigkeit äußert sich unter anderem darin, dass es bestimmte Energieformen gibt, die sich
grundsätzlich vollständig in andere Energieformen umwandeln lassen (sofern man
als Idealisierung reibungsfreie Vorgänge zulässt), während bei anderen Energien
dies prinzipiell nicht möglich ist:
• So wird man elektrische und mechanische Energie vollständig in innere Energie
eines Systems umwandeln können, indem man Wasser durch einen elektrischen
Tauchsieder oder durch einen Rührer erwärmt,
• während Wärme oder innere Energie sich nicht vollständig in elektrische oder
mechanische Energie umwandeln lassen.
Von dieser Überlegung ausgehend, kann man eine Energie aufteilen in einen besonders wertvollen Teil, der sich vollständig in andere Energieformen umwandeln lässt,
und in einen anderen Teil, bei dem diese Umwandlung nicht möglich ist.
Am Beispiel der Wärme soll gezeigt werden, welcher Anteil der Wärme in mechanische Arbeit umwandelbar ist und welcher Anteil nicht.
Dazu betrachten wir eine Maschine, der Wärme zugeführt wird und die Arbeit abgibt.
Eine solche Maschine nennt man Wärmekraftmaschine. Z. B. der Stirling-Motor ist
eine solche Maschine.
Da wir wissen wollen, welcher Anteil der Wärme im allergünstigsten Fall in Arbeit
umwandelbar ist, setzen wir voraus, dass in dieser idealen Maschine keine Dissipationseffekte also keine Reibungs- und Ausgleichsvorgänge auftreten. Das heißt unsere Maschine muss reversibel arbeiten.
Isotherme Wärmezufuhr 1 ? 2:
Dem Arbeitsfluid in dem Motor (z. B. der Luft im Stirlingmotor) wird bei hoher Temperatur Wärme zugeführt. Dabei wollen wir annehmen, dass dies wie beim Stirlingmotor
bei konstanter Temperatur geschieht.
T
T1
Qzu
1
2
Qzu
4
3
Qab
S
Bild 4 Wärmekraftmaschine
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Adibate, reversible Expansion 2 ? 3:
Es soll sich eine Expansion anschließen, die adiabat und reversibel ist. Da bei der
Expansion Arbeit abgegeben wird, fällt die Temperatur. Aus der Definition der Entropie: TdS = dWdiss + dQi folgt, dass sich die Entropie bei dieser Zustandsänderung
nicht ändert.
Isotherme Wärmeabfuhr 3 ? 4:
Adibate, reversible Kompression 4 ? 1:
Um das Arbeitsfluid wieder in den Ausgangszustand zu bringen, muss die Entropie
wieder auf den Anfangswert gesenkt werden und der Druck wieder auf den Anfangsdruck erhöht werden. Dazu wählen wir eine isotherme Wärmeabfuhr und eine adiabate, reversible Kompression.
Die zugeführte Wärme wird zum Teil wieder abgeführt und zum anderen Teil als Arbeit abgegeben. An den Flächen im T,S-Diagramm erkennt man: die Arbeit, die diese
Maschine liefert, ist die von den Zustandsänderungen umschlossene Fläche .
Um zu bestimmen welche Arbeit im günstigsten Fall aus der zugeführten Wärme gewonnen werden kann, müssen wir die umschlossene Fläche möglichst groß machen.
Dies gelingt, indem wir die Temperatur, bei der die Wärme abgeführt wird, möglichst
klein gemacht wird. Im Extremfall (wenn wir vernachlässigen, dass ein Temperaturgefälle erforderlich ist, damit die Wärme an die Umgebung abgegeben werden kann)
ist dies die Umgebungstemperatur.
Aus der bei T1 zugeführten Wärme kann im günstigsten Fall, die der grauen Fläche entsprechende
Arbeit gewonnen werden. Beispiel:
T
T1
Qzu
2
1
Wk (-)
Wk
Wk 1000 K - 293,15 K
=
= 70,7 %
Qzu
1000 K
Nur 70,7 % der bei 1000 K zugeführten Wärme
kann im günstigsten Fall in Arbeit ( Umgebungstemperatur 20 °C) umgewandelt werden.
4
Qab
Qzu (+)
3
Qab (-)
S
Bild 5
Wärme, die bei Umgebungstemperatur übertragen wird, kann überhaupt nicht in Arbeit umgewandelt werden.
Energieumwandlungsvorgänge sind dadurch gekennzeichnet, dass ein Teil der wertvollen Energie, die dem Prozess zugeführt wird, entwertet wird.
Qzu
In unserem Beispiel bedeutet dies: Da in
einer realen Maschine Reibungs- und
Ausgleichvorgänge auftreten, liefert die
reale Maschine trotz gleichviel zugeführter Wärme weniger Arbeit. Das heißt, ein
Teil der zugeführten wertvollen Energie
Wki
Wk
der Wärme geht verloren.
QabQi ab
Bild 6 Energieentwertung
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C
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Damit erlaubt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik eine qualitative Bewertung
der thermodynamischen Güte von Prozessen.
Er gibt dem Ingenieur der Ingenieurin ein Werkzeug zur Hand, wie er die Prozesse
und die zugrunde liegenden Maschinen gestalten muss, damit möglichst wenig wervolle Energie verbraucht (entwertet) wird.
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D
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Aufgabe 1
Die Luft in einem Stirlingmotor wird bei einer konstanten Temperatur von 40 °C komprimiert. Dabei wird eine Dissipationsenergie von 50 W verrichtet und eine Wärme
von 240 W abgeführt.
Wie groß ist die Änderung der Entropie?
Aufgabe 2
Um das Wasser in einem elektrisch beheizten Speicher auf 50 °C zu halten, ist eine
Leistung von 10 W erforderlich.
a) Wie groß ist der mit dem Verlustwärmestrom aus dem Speicher fließende Entropiestrom?
b) Welcher Entropiestrom fließt in die Umgebung ( tamb = 20 °C ) ?
c) Wie groß ist der bei der Wärmeübertragung vom Speicher an die Umgebung erzeugte Entropiestrom?
Aufgabe 3
In einem adiabaten Verdichter wird Luft verdichtet. Die Temperatur der Luft ändert
sich dabei von 17 °C auf 200 °C. Der Entropiestrom nimmt dabei um 0,878 W/K zu.
Tragen Sie diese Zustandsänderung in ein T , S& -Diagramm ein und kennzeichnen Sie
die dissipierte Leistung als Fläche.
Aufgabe 4
In einer Druckflasche mit einem Volumen von 0,08 m3 befinde sich Kohlendioxid bei
einer Temperatur von 18 °C. Das Manometer zeigt einen Druck von 360 kPa an.
Kohlendioxid soll näherungsweise als ideales Gas angenommen werden. Für die
spezifische Wärmekapazität soll die wahre spezifische Wärmekapazität bei 0 °C
verwendet werden.
a) Welchen Druck zeigt das Manometer an (pamb = 100 kPa), wenn die Temperatur
des Gases infolge eines Brandes in dem Gebäude, in dem die Flasche steht, auf
212 °C steigt?
b) Um welchen Wert ändert sich die Entropie des in Druckflasche eingeschlossenen
Gases aufgrund der Temperaturerhöhung?
c) Nach dem Löschen des Brandes und Absenkung der Umgebungstemperatur auf
18 °C kühlt sich das Gas in der Flasche unter Wärmeabgabe an die Umgebung
wieder auf 18 °C ab. Welche Entropieänderung ist mit dieser Abkühlung (Umgebung eingeschlossen) verbunden?
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Kontrollfragen:
1.
Was versteht man unter einem reversiblen Prozess?
2.
Was versteht man unter einem irreversiblen Prozess?
3.
Was ist die Ursache für Irreversibilität?
4.
Wodurch ändert sich die Entropie eines Systems?
5.
Wie lautet die Definitionsgleichung der Entropie?
6.
Welche Aussage macht der 2. Hauptsatz der Thermodynamik?
7.
Welche Aussagen macht der 2. Hauptsatz der Thermodynamik zur Umwandelbarkeit von einer Energie in eine andere?
8.
Welche Aussagen über Energieumwandungsprozesse folgen aus dem
2. Hauptsatz der Thermodynamik?
9.
Wodurch lässt sich thermodynamische Güte eines Prozesses bewerten?
11