Kapitel 4 Oszillatoren.

© 2007 Dennis Melikjan
4 Oszillatoren
Zur Erzeugung von ungedämpften sinusförmigen Schwingungen kann man Zweipol- bzw.
Vierpol-Oszillatoren einsetzen.
Bei den Zweipol-Oszillatoren wird durch Einbeziehung eines aktiven Zweipols mit negativem
Widerstandsbereich (z.B. Tunneldioden u.a.) die Entdämpfung eines Schwingkreises
herbeigeführt.
Bei den Vierpol-Oszillatoren wird i.a. durch geeignete äußere Rückkopplung des
Wechselsignales vom Ausgang eines Verstärker-Vierpols auf den Eingang eine Schwingung
angeregt. Beurteilungskriterien von Oszillator-Schaltungen sind in erster Linie die
Frequenzstabilität sowie ein möglichst geringer Oberwellengehalt der Ausgangsschwingung. Bei
höheren Anforderungen hinsichtlich der Frequenzstabilität ist meist ein Schwingquarz
einzusetzen.
Zur Erzeugung eines Frequenzrasters (für ein Frequenz-Multiplex) werden heute i.a. PLL-Kreise
eingesetzt.
4.1 Grundprinzip eines Zweipol-Oszillators
Zunächst sei kurz ein Reihenschwingkreis bestehend aus den Elementen R, L, C betrachtet, der
im Zeitpunkt t = 0 an eine Quelle mit der Gleichspannung U0 gelegt wird und dann sich selbst
überlassen bleibt (Bild 4.1-1a).
t≥0
r~ = U < 0
I
I
1
I
A
2
U
b)
Bild 4.1-1
Reihenschwingkreis
a) Einschalten einer Gleichspannung beim
verlustbehafteten Schwingkreis
b) Entdämpfung durch negativen
differentiellen Widerstand
U
Ein Maschenumlauf in Bild 4.1-1a für t ≥ 0 (uC(0⎯) = 0 ) liefert die Gl.(4.1/1).
i R + uL + uC = u1 = U0 (4.1/1)
Mit uL = L di/dt sowie i = iC = C duC/dt in (4.1/1) erhält man die Differentialgleichung (4.1/2).
2
d uC
duC
L C 2 + C R dt + uC = u1 = U0 (4.1/2)
dt
1
Aus dem homogenen Differentialgleichungsanteil erhält man mit dem Lösungsansatz
t
uC,hom(t) = k eλ (siehe TF, Übung 1/1, Hilfsgl. (6)) als charakteristische Gleichung
L C λ² + C R λ + 1 = 0 und damit als Lösung die Gl.(4.1/3).
R
aus TF, Üb.1/1, Hilfsgl. (7) λ1,2 = – 2L ±
1
⎛ R ⎞²
⎜ 2L⎟ – LC
⎝ ⎠
(4.1/3)
Bei positivem Radikand (d.h. beim Vorliegen einer stärkeren Dämpfung) besteht in (4.1/3)
⎛ R ⎞² 1
für ⎜ 2L ⎟ > LC der flüchtige Anteil aus zwei abklingenden Exponentialfunktionen.
⎝
⎠
aus TF, Üb 1/1, Hilfsgl. (10) uC,hom(t) = k1 eλ1 t + k2 eλ2 t
Spezielle Lösung (eingeschwungener Zustand) uC,spez(t) = uC(t→∞) = U0
uC(t) = uC,spez(t) + uC,hom(t) = U0 + k1 eλ1 t + k2 eλ2 t (4.1/4)
Der Gesamtlösungsansatz für uC(t) berechnet sich mit Gl.(4.1/4).
1
⎛R⎞²
Bei negativem Radikand (beim Vorliegen einer schwachen Dämpfung), d.h. für LC > ⎜2L⎟
⎝ ⎠
in (4.1/3) gilt die Gl. (4.1/5).
analog zu TF, Üb. 1/1, Hilfsgl. (7) + (8)
1 ⎛ R ⎞²
R
λ1,2 = – 2L ± j
LC – ⎜⎝2L⎟⎠ = – δ ± j ω0² - δ² = – δ ± jωe
(4.1/5)
1
die Kreisfrequenz der
LC
ω0² - δ² die Eigenkreisfrequenz der gedämpften
R
In Gl.(4.1/5) beschreibt δ = 2L das Dämpfungsmaß, ω0 =
ungedämpften Schwingung und ωe =
Schwingung.
analog zu TF, Üb. 1/1, Hilfsgl. (18)
δ
uC(t) = U0 [ 1 – e – δt (cos (ωet) + ω sin (ωet)) ] (4.1/6)
e
Die gedämpfte Schwingung uC(t) lässt sich mit Gl.(4.1/6) berechnen.
Beim normalen Reihenschwingkreis ist auf Grund der geringen Verluste der Widerstand R
zwar klein, aber sicher positiv. Beim Schließen des Schalters (Bild 4.1-1a) tritt als
Ausgleichsvorgang eine gedämpfte Schwingung auf, die nach einiger Zeit abgeklungen ist.
Im stationären (eingeschwungenen) Zustand (theoretisch t → ∞) ist dann als Spannung am
Kondensator nur noch die Gleichspannung U0 vorhanden.
Interessant dagegen ist der Fall, dass man eine Entdämpfung des Schwingkreises erreicht und
zwar durch Einbringen eines negativen Zusatzwiderstandes. Dadurch ließen sich die
Gesamtverluste gerade zu null machen. Für den Sonderfall Rges = 0 und damit auch δ = 0
bekäme man beim Einschalten einer Gleichspannung U0 nach (4.1/6) eine ungedämpfte
Schwingung mit der Frequenz ƒ0 nach Gl. (4.1/6a).
2
analog zu Gl. (4.1/5):
Rges
1
δ = 2L = 0 => ωe = ω0 => ƒ0 =
2π LC
(4.1/6a)
Für eine Entdämpfung eignen sich Bauelemente, die negative Widerstandsbereiche aufweisen.
D. h. hierbei liegen i-u-Kennlinien vor, bei denen z.B. mit wachsender Spannung der Strom
abnimmt (Bild 4.1-1b). Der differentielle (negative) Widerstand rn im Arbeitspunkt A lässt
sich dann durch den Differenzen-Quotienten in Gl. (4.1/7) annähern.
aus Bild (4.1-1b)
dU ΔU U2 – U1
negativer, differentieller Widerstand: rn = dI ≈
= I –I <0
ΔI
2
1
IF
(4.1/7)
RL =
H
IH
TD
LZ
A
UB
T
IT
RL
a)
UH
UB
i3
i1
rB
UT
UF
Ls
A
i2
u
Lz
Cj
rn
RL
b)
Bild 4.1-2
Zweipol-Oszillator mit Tunneldiode
a) Kennlinie einer Tunneldiode
b) Einfacher Tunneldioden-Oszillator
c) Ersatzschaltbild zu b)
c)
TD
B
äußerer
Kreis
Eine solche Kennlinie besitzen z.B. Tunneldioden (Bild 4.1-2a). Im Verlauf zwischen dem
Höckerpunkt H und dem Talpunkt T tritt ein negativer Widerstandsbereich auf. Hier muss
somit auch der Arbeitspunkt A gewählt werden.
Eine einfache Schwingschaltung ergibt sich, wenn man eine Tunneldiode mit einem äußeren
Kreis, bestehend aus einer Zusatzinduktivität LZ und einem Lastwiderstand RL, in Reihe an
eine kleine Betriebsspannung UB legt (Bild 4.1-2b). Für einen stabilen Arbeitspunkt A muss die
Gleichstrom-Lastgerade RL = so gewählt werden, wie im Bild 4.1-2a dargestellt, d.h UB muss
zwischen UH und UT liegen. Das wechselmäßige Ersatzschaltbild für die Tunneldiode im
Arbeitspunkt A mit der äußeren Beschaltung ist im Bild 4.1-2c angegeben. Die hier enthaltenen
Ersatzgrößen sind in erster Linie der negative differentielle Widerstand –|rn| der Tunneldiode
sowie die Kapazität Cj der Grenzschicht des pn-Übergangs. Zusätzlich kann man noch den
Bahnwiderstand rB der Diode sowie die Zuleitungsinduktivität LS berücksichtigen. Aus dem
Ersatzbild ist ersichtlich, dass Cj die erforderliche Schwingkreiskapazität darstellt.
3
Um eine Aussage über die Schwingfrequenz ƒ0 des Tunneldioden-Oszillators zu erhalten, setzt
man wiederum die Differentialgleichung z.B. für u in der Ersatz-Schaltung (Bild 4.1-2c) an
und entnimmt ω0 aus der charakteristischen Gleichung. Mit den Abkürzungen R = rB + RL
und L = LS + LZ erhält man mit Hilfe des Operators s und den dort eingetragenen Zählpfeilen
die Gl. (4.1/8).
aus Bild (4.1-2c)
Abkürzungen: R = rB + RL , L = LS + LZ
–u
1
u
u
i3 = R + sL = –i1 – i2 = –|r | – 1 = – u ( – |r | + sCj )
n
n
sCj
1
u
=
–
u(
–
R + sL
|rn| + sCj )
1
(– |r | + sCj ) (R + sL) + 1 = 0
n
L
R
s²LCj + s (RCj – |r | ) + 1 – |r | = 0
n
n
(4.1/8)
a
b
c
Als Lösung der quadratischen Gleichung (4.1/8) für den Schwingungsfall erhält man mit den
L
R ⎞
⎛
Abkürzungen a = LCj, b = RCj – |r | und c = ⎜ 1 – |r | ⎟ in Analogie zu (4.1/5)
n
⎝
n ⎠
die Gl. (4.1/5).
analog zu (4.1/5) + Bsp. 2.6.1/1 (TF) für den Schwingungsfall:
[
]
s²a + s b + c = 0
b c
s² + s a + a = 0
b
⎛ b ⎞² c
⎜2a⎟ – a = – 2a ± j
⎝ ⎠
⎛ b⎞
s1,2 = – ⎜ 2a⎟ ±
⎝ ⎠
1 ⎛
L⎞
s1,2 = – 2LC ⎜RCj – |r |⎟ ± j
j⎝
n⎠
δ
c ⎛ b ⎞²
a – ⎜⎝ 2a⎟⎠
1 ⎛
1 ⎛
R⎞
L ⎞²
1
–
–
RC
–
⎜
⎟
⎜
j
LCj ⎝
|rn|⎠ 4(LCj)² ⎝
|rn|⎟⎠ = – δ ± jωe
2
ω0
(4.1/9)
2
δ
1 ⎛
R ⎞
Schwingung nur möglich für ω0 > 0 => ω0² = LC ⎜1 – |r | ⎟ > 0
j⎝
n ⎠
R
=> 1 – |r | > 0 => |rn| – R > 0 => |rn| > R => R < |rn|
(4.1/10)
n
Nach (4.1/9) tritt nur bei positivem Radikand eine Schwingung auf. Hierfür ist zu fordern, dass
(1 – R/|rn|) > 0, d.h. es gilt Ungleichung (4.1/10).
1 ⎛
L⎞
Anschwingen nur möglich für δ = 2LC ⎜ RCj – |r |⎟ < 0
j⎝
n⎠
L
L
=> RCj – |r | < 0 => R < |r | C
(4.1/11)
n
n
j
4
Anderseits ist für ein Anschwingen aus (4.1/9) entnehmbar, dass (RCj – L/|rn|) < 0 sein muss, d.h
dafür gilt die Ungleichung (4.1/11).
Die Aussage über R nach (4.1/10) wird in [51] als Gleichstrom-Stabilitätsbedingung
bezeichnet. Die Gleichstrom-Lastgerade R muss in jedem Fall steiler verlaufen als die Flanke der
fallenden Tunneldioden-Kennlinie zwischen H und T, sonst ergibt sich kein stabiler Arbeitspunkt
(Bild 4.1-2a).
Die Aussage über R nach (4.1/11) ist in [51] als Wechselstrom-Stabilitätsbedingung bezeichnet.
Beim Nichterfüllen dieser Bedingung würde statt einer dauerhaften Schwingung lediglich eine
gedämpfte Schwingung auftreten.
Nach dem Anschwingen (zunächst δ < 0) wird auf Grund der Kennlinien-Krümmung die
Entdämpfung abnehmen, d.h rn kleiner werden, so dass sich im stationären Zustand eine
ungedämpfte Schwingung (δ ≈ 0) entsprechend (4.1/9) einstellt.
Dann berechnet sich die Schwingfrequenz ƒ0 des Tunneldioden-Oszillators mit der Gl. (4.1/12).
Ungedämpfte Schwingung (stationärer Schwingungszustand):
=> δ = 0 => aus (4.1/9) ωe = ω0 =
1
LCj
1
R⎞
⎛
⎜1 – |r |⎟ => ƒ0 =
n⎠
⎝
2π LCj
R
1 – |r |
n
(4.1/12)
Aus (4.1/12) ist ersichtlich, wie die Frequenz der erzeugten Schwingung eines TunneldiodenOszillators durch die äußere Beschaltung beeinflusst wird. Der Tunneldioden-Oszillator wurde
hier als Beispiel eines einfachen Zweipol-Oszillators vorgestellt, da er rechnerisch einfach
verfolgbar ist und dabei interessante Grundzusammenhänge aufzeigt.
Tunneldioden sind zwar bis in den GHz-Bereich einsetzbar, allerdings ist auf Grund der
niedrigen Betriebsspannung die Leistung auf einige mW begrenzt, was die Anwendung sehr
einschränkt. Eine Oszillator-Schaltung, bei der eine Tunneldiode im GHz-Bereich in einem
koaxialen Resonator eingesetzt wird und dessen Abstimmung mit einem Kurzschluss-Schieber
erfolgt, ist in [51] dargestellt.
Höhere Ausgangsleistungen bei Zweipol-Oszillatoren im Mikrowellenbereich lassen sich mit
Gunn-Elementen, Impatt-Dioden und Laufzeit-Röhren erreichen [44, 51].
Die Impatt-Diode z.B. wird im Sperrbereich bis kurz vor den Avalanche-Effekt vorgespannt.
Eine überlagerte Wechselspannung u (mit der Frequenz ƒ) löst Stoßionisationslawinen aus.
Infolge der endlichen Laufzeit tD der Ladungsträger durch die Driftzone (abhängig von der
Driftzonenweite w und der Sättigungsdriftgeschwindigkeit vS) tritt eine Phasenverschiebung
φ = 2 π ƒ tD im äußeren Kreis zwischen u (als Ursache) und Strom i auf, wodurch in einem
bestimmten Frequenzbereich ein negativer Realteil der Diodenimpedanz entstehen kann. D.h. die
Impatt-Diode ist ebenfalls zur Entdämpfung in Resonatoren bei Mikrowellen-Oszillatoren
einsetzbar und da die Durchbruchsspannungen bei ca. 10 V...100 V liegen, sind auch wesentlich
höhere Wechselleistungen als bei der Tunneldiode zu erwarten. Als Leistungen sind hiermit
momentan erreichbar bis ca. 10 W bei 10 GHz, einige Watt bei 50 GHz und ca. 0,1 W
bei 100 GHz. Für Zweipol-Oszillatoren mit Leistungen (Dauerleistungen) bis in den kW-Bereich
und bei Frequenzen bis zu mehreren 100 GHz werden Laufzeit-Röhren (z.B. Magnetrons und
Gyrotrons) verwendet [51].
5
4.2 Grundprinzip eines Vierpol-Oszillators
Vor der Darstellung einzelner Transistor-Oszillatoren sei zunächst die allgemeine Betrachtung
eines Vierpol-Oszillators vorangestellt. Hiernach kann man sich einen Vierpol-Oszillator aus
einem Verstärker-Vierpol (aktiv) und einem Rückkopplungs-Vierpol (passiv) zusammengesetzt
denken (Bild 4.2-1a).
1
3
2
1
U1
U 1̀
V
3
K
U2
U3
a)
Verstärkervierpol
U1
V
Rückkopplungsvierpol
U2
ZeinK
K
Z ein V
U3 = U1
b)
Bild 4.2-1
Allgemeine Darstellung eines Vierpol-Oszillators
a) Kettenschaltung aus Verstärker-Vierpol und Rückkoppel-Vierpol
b) Nachbildung der Belastungs-Einflüsse (offene Kette)
Die Verstärkung V desVerstärker-Vierpols berechnet sich mit Gl.(4.2/1).
U2
V=U
(4.2/1)
1
Mit der Gl.(4.2/2) lässt sich der Rückkopplungsfaktor K des Rückkopplungs-Vierpols ermitteln.
U3
K=U
(4.2/2)
2
Aus Bild (4.2-1a):
∑ U = 0 = U `1 + U 3 – U 1
(4.2/3)
U `1 = U 1 – U 3 = U 1 – K U 2
aus (4.2/2)
U3
U3 U2
=
U1
U2 U1 =K V
aus (4.2/2) K
(4.2/4)
V aus (4.2/1)
Ein Umlauf in der Anordnung nach Bild 4.2-1a mit (4.2/2) ergibt die Gl.(4.2/3).
Wenn nach (4.2/3) U `1 = 0 ist, d.h. die rückgeführte Spannung U 3 in Betrag und Phase mit der
gedachten Eingangsspannung U 1 übereinstimmt, dürfen die Klemmen 1-3 verbunden werden. In
diesem Falle wird ein stationärer Zustand aufrechterhalten. Es tritt also eine Ausgangsspannung
U 2 auf, ohne dass eine externe Eingangswechselspannung U 1 angelegt wurde. Somit ist durch
6
die vorliegende Rückkopplung auf den Eingang ein Oszillator entstanden. Betrachtet man das
Verhältnis in (4.2/4), so gilt bei Verbindung der Punkte 1 und 3 mit U `1= 0 bzw. U 1 = U 3
die für eine Schwingschaltung wichtige Beziehung (4.2/5).
U `1 = 0 => Kurzschluss von 1 und 3 => U 1 = U 3 in (4.2/4) eingesetzt:
U3
U3
1
=K V
=>
K V=1
(4.2/5)
K = | K | e jφk , V = | V | e jφv
| K | | V | e j(φk + φv) = 1
Die Schwingbedingung in Gl.(4.2/5) stellt eine komplexe Gleichung dar, sie enthält eine
Betrags- und Phasenbedingung ( Gl.(4.2/6)).
|K||V|=1
φk + φv = 0 (bzw. 360°)
(4.2/6)
Diese beiden Gleichungen sind die Grundbeziehungen für das Verständnis eines VierpolOszillators. Liegt z.B. bei einem Verstärker (Emitter-Schaltung) eine Phasendrehung
von φV = 180° vor, so muss der Rückkopplungs-Vierpol ebenfalls φK = 180° drehen, um eine
Gleichphasigkeit am Verstärker-Eingang (also 360° bzw. 0°) zu erreichen. Der Betrag des
Rückkoppelfaktors müsste nach (4.2/6) | K | = 1/| V | sein. In der Regel wird man aber | K | etwas
größer als 1/| V | wählen, um beim Einschalten der Gleichspannung ein sicheres Anschwingen
des Oszillators aus dem Rauschen heraus zu gewährleisten. Schematisiert lassen sich folgende
Schritte für die Analyse eines Vierpol-Oszillators angeben:
1) Man trenne den Rückkopplungskreis der Oszillator-Schaltung an geeigneter Stelle auf (d.h.
man öffne die Kette).
2) Man berücksichtige hierbei die Belastungsverhältnisse der Vierpole dadurch, dass man sie
entsprechend Bild 4.2-1b näherungsweise nachbildet. Hierbei ist der Verstärker-Ausgang mit der
Eingangsimpedanz ZeinK des Rückkoppel-Vierpols und der Ausgang des Rückkoppel-Vierpols mit
der Eingangsimpedanz ZeinV des Verstärkers belastet.
3) Man berechne V = U 2/U 1 und K = U 3/U 2 der offenen Kette. Hierbei gelten folgende
Abhängigkeiten:
V = ƒ (Verstärkerparameter, ZeinK )
(4.2/7)
K = ƒ (Rückkopplungsparameter, ZeinV )
4) Man gewinne aus der Schwingbedingung (4.2/6) die gewünschten Aussagen über | K |, φ und
die Schwingfrequenz ƒ0 der Schaltung [153].
4.3 Einige Grundtypen von Vierpol-Oszillatoren
4.3.1 RC-Oszillatoren
In tieferen Frequenzbereichen bis zu einigen MHz verwendet man oft RC-Oszillatoren, da hier
Spulen meist relativ groß und teuer sind. Insbesondere bei Einsatz von Operationsverstärkern
und Brückenschaltungen lassen sich auch hier relativ stabile Oszillatoren erreichen.
a) Oszillator mit RC-Phasenschieber-Kette
In Bild 4.3.1-1a ist eine einfache Grundschaltung betrachtet. Der Verstärker-Vierpol ist hier eine
Emitter-Schaltung. Bei Annahme einer Phasendrehung von 180° zwischen Basis und Kollektor
ist nach (4.2/6) auch bei Rückkopplungs-Vierpol eine Phasendrehung von 180° erforderlich. Um
diese Phasendrehung zu erreichen, werden bei der RC-Phasenschieber-Kette 3 Glieder benötigt
7
(auf Grund der gegenseitigen Belastung der RC-Glieder !). Der Widerstand RE soll nur eine
gleichstrommäßige Arbeitspunkt-Stabilisierung bewirken. Zur Vereinfachung seien folgende
Annahmen getroffen:
Die Ein- und Ausgangsimpedanzen des Verstärkers seien reell (Gl. 4.3.1/1), wobei R1T ≈ 1/Y11
den Transistor-Eingangswiderstand und R2T ≈ 1/Y22 den Transistor-Ausgangswiderstand bei
Vernachlässigung der Transistor-Rückwirkung (Y12) darstellt.
Annahme: reelle Ein- und Ausgangsimpedanzen des Verstärkers
R1T ^
= Transistoreingangswiderstand
= Transistorausgangswiderstand
R2T ^
aus Bild (4.3.1-1a)
ZeinV = Rein = R1 || R2 || R1T
ZausV = Raus = R2T || RC
(4.3.1/1)
+UB
R1
Rc
Z ein K
C
C
Z
ein V
Z aus V
U1
U2
R 2 RE
U3
R
C >>
C
U1
C
Y21 U1
Y22
Rc
U2
R
C
R
UB
C
R
UA
R=Rein
U3
Z ein K
R aus
Verstärkervierpol
Bild 4.3.1-1
Rückkopplungsvierpol
Oszillator mit RC-Phasenschieber-Kette
a) Schaltung
b) Ersatzschaltung
Um 3 gleiche CR-Glieder zu erhalten, wählt man R nach Gl. (4.3.1/2).
symmetrischer Aufbau des Rückkopplungsvierpols => aus Bild (4.3.1-1b)
!
R = Rein
(4.3.1/2)
Damit die Belastung des Verstärker-Ausgangswiderstandes Raus durch die Eingangsimpedanz ZeinK
des Rückkoppel-Vierpols gering bleibt, ist zu fordern die Ungleichung (4.3.1/3).
8
Forderung:
Raus << ZeinK
(4.3.1/3)
ω –> 0:
ZeinK –> ∞
ω –> ∞:
R
ZeinK = R || R || R = 3
R
in (4.3.1/3) eingesetzt: Raus << 3 => R >> 3Raus
(4.3.1/4)
Zu einer Abschätzung von ZeinK kann man durch folgende Überlegungen gelangen: bei ω –> 0
geht ZeinK –> ∞, während bei ω –> ∞ der kleinste Wert von ZeinK, nämlich
ZeinK = R || R || R = R/3 auftritt. Man liegt also nach (4.3.1/3) auf der sicheren Seite, wenn man R
hochohmig genug wählt, also die Ungleichung (4.3.1/4) gilt.
Sollte sich diese Bedingung ungenügend realisieren lassen, könnte man notfalls zwischen
Verstärkerausgang und Phasenschieber-Kette einen Emitterfolger als Impedanzwandler
dazwischenschalten.
Nach obigen Vorüberlegungen lässt sich der Oszillator mit Hilfe der vereinfachten
Ersatzschaltung nach Bild 4.3.1-1b berechnen.
aus Bild (4.3.1-1b)
U 2 = – ұ21 U 1 (Raus || ZeinK)
aus (4.3.1/3)
Raus << ZeinK => Raus || ZeinK ≈ Raus
=> U 2 ≈ – ұ21 U 1 Raus
U2
V = U ≈ – ұ21 Raus = – V0
1
(4.3.1/5)
mit V0 = ұ21 Raus (Leerlaufverstärkung)
U3
U3 UA UB
K= U = U U U
2
A
B
2
U3
UA =
R
1
R+ jωC
RjωC
jωτ
= 1+jωCR = 1+jωτ
mit τ = CR
UA
UB
1
R || (R + jωC)
(4.3.1/6)
1
R (R + jωC)
1
R + R + jωC
R (1 + jωCR)
1 + j2ωCR
= 1
=
=
1
1
1
R (1 + jωCR)
R (R + jωC) jωC + 1 + j2ωCR
jωC + [R || (R+ jωC)]
1
jωC +
1
R + R + jωC
UA
R (1 + jωτ)
jωτ (1 + jωτ)
jωτ (1 + jωτ)
jωτ
=
=
=
U B 1 + j2ωτ
jωτ 1 + j2ωτ + jωτ + (jωτ)² 1 – (ωτ)² + j3ωτ
jωCR + R (1 + jωτ)
(4.3.1/7)
9
R
UB
U2 =
1
1
{ jωC
+ [R || (R + jωC)]}
1
1
1
+
R
||
{
+
[R
||
(R
+
jωC
jωC
jωC)]}
UB
U2 =
1
jωC +
UB
U2 =
UB
U2 =
R
1
R (1 + jωCR)
{ jωC
+ 1 + j2ωCR }
1
R (1 + jωCR)
R + jωC + 1 + j2ωCR
}
{
1
R (1 + jωCR)
{ jωC
+ 1 + j2ωCR }
1
R (1 + jωCR)
R + jωC + 1 + j2ωCR
1
R (R + jωC)
1
R + R + jωC
1
R (R + jωC)
1
R + jωC +
1
R + R + jωC
=
1
R (R + jωC)
1
R jωC +
1
R + R + jωC
1
1
jωC +
R (R + jωC)
1
R + jωC +
1
R + R + jωC
R ||
R
{
1
jωC +
R
=
}
j2ωτ
{ 1 +jωC
+ R (1 + jωτ)}
1
(R + jωC) (1 + j2ωτ) + R (1 + jωτ)
1
jωC +
R
j2ωτ
{ 1 +jωC
+ R (1 + jωτ)}
1
(R + jωC) (1 + j2ωτ) + R (1 + jωτ)
+ j2ωτ
{ 1 jωCR
+ R (1 +jωτ)}
1
1
1 + j2ωτ
jωCR [(R+ jωCR) (1 + j2ωτ) + R (1 + jωτ)] + R{ jωCR + R (1 + jωτ)}
R
jωτ
jωτ
1 + j2ωτ + jωτ (1 + jωτ)
jωτ
1
jωτ
(1 + jωτ) (1 + j2ωτ) + (1 + jωτ) +1 + j2ωτ + jωτ (1 + jωτ)
UB
jωτ (1 + j2ωτ) + (jωτ)² (1 + jωτ)
=
U 2 (jωτ + 1) (1 + j2ωτ) + jωτ (1 + jωτ) + jωτ (1 + j2ωτ) + (jωτ)² (1 + jωτ)
UB
jωτ [1 + j2ωτ + jωτ + (jωτ)²]
=
U 2 jωτ – 2 (ωτ)² + 1 + j2ωτ + jωτ – (ωτ)² + jωτ – 2 (ωτ)² – (ωτ)² – jωτ (ωτ)²
UB
jωτ [1 – (ωτ)² + j3ωτ]
=
U 2 1 – 6 (ωτ)² + j5ωτ – jωτ (ωτ)²
(4.3.1/8)
(4.3.1/6) bis (4.3.1/8) in K
10
jωτ
jωτ (1 + jωτ)
jωτ [1 – (ωτ)² + j3ωτ]
(jωτ)3
K = 1 + jωτ 1 – (ωτ)² + j3ωτ 1 – 6 (ωτ)² + j5ωτ – jωτ (ωτ)² = 1 – 6 (ωτ)² + j5ωτ – jωτ (ωτ)²
5
j
1 1 – 6 (ωτ)² + j5ωτ – jωτ (ωτ)²
=
1
–
+
K =
– jωτ (ωτ)²
(ωτ)² ωτ
1
( (ωτ)²
– 6)
(4.3.1/9)
Aus der Schwingbedingung (4.2/5) erhält man die Gl.(4.3.1/10).
1
5
j
1
aus (4.2/5) V K = 1 => V = – V 0 = K = 1 – (ωτ)² + ωτ (ωτ)² – 6
(
aus (4.3.1/5)
1
Im K
{}
!
=0
2πƒ0RC =
(4.3.1/10)
aus (4.3.1/9)
1
Imaginäranteile: 0 = (ω τ)² – 6
aus (4.3.1/10)
)
0
=> ω0τ =
1
=> ω0 =
6
1
6τ
(4.3.1/11a)
Schwingbedingung
1
6
=>
ƒ0 =
1
2π 6 RC
(4.3.1/11b)
Die Schwingfrequenz ƒ0 des Oszillators berechnet sich mit Gl.(4.3.1/11b).
5
5
5
= 1 – 1 = 1 – 30 = –29
aus (4.3.1/10) –V0 ω0 = 1 – (ω τ)² = 1 –
²
1
0
τ/
6
6 τ/
|
(
1
Re K
{ }
V |ω = 29
0
0
)
aus (4.3.1/11a)
(4.3.1/12)
1
Aus dem Realteil der Gl.(4.3.1/10) gewinnt man bei ω0 (Im K = 0 ) die Amplitudenaussage in
Gl.(4.3.1/12), d.h. zum Anschwingen des Oszillators muss die Verstärkung mindestens V0 = 29
betragen.
Abschließend sei noch angemerkt, dass der gleiche Oszillator natürlich auch mit einem
invertierenden Operationsverstärker (statt des Transistors) aufbaubar ist, wobei die Bedingungen
nach (4.3.1/1) und (4.3.1/4) auf Grund der idealeren Verhältnisse beim Operationsverstärker
einfacher zu realisieren sind.
Von der Steilheit des Phasenverlaufes φ(ω) des frequenzbestimmenden Netzwerkes in der
Gegend der Schwingfrequenz hängt in hohem Maße die Frequenzstabilität eines Oszillators ab.
Tritt nämlich beim Verstärker infolge einer Störung eine Phasendrehung ΔφV auf, so muss diese
auf Grund der Schwingbedingung (4.2/6) in der geschlossenen Schleife durch eine
Phasenänderung ΔφK = – ΔφV des Rückkoppel-Vierpols ausgeglichen werden. Die hierdurch
bedingte Frequenzänderung ist dann geringer, d.h. der Oszillator stabiler, wenn die
Phasensteilheit groß ist. Bessere Phasensteilheiten als bei dem bisher betrachteten Oszillator
erhält man im unteren Frequenzbereich durch Verwendung einer Brückenschaltung als
frequenzbestimmendes Netzwerk.
{ }
11
b) Wien-Brücken-Oszillator
Die Prinzip-Schaltung eines Wien-Brücken-Oszillators ist in Bild 4.3.1-2a dargestellt. Für den
nichtinvertierenden Verstärker (z.B. einen Operationsverstärker) sind folgende Annahmen
getroffen:
- die Leerlaufspannungs-Verstärkung V0 sei positiv und reell,
- Eingangswiderstand Rein und Ausgangswiderstand Raus seien ebenfalls reell;
- Rein sei unabhängig von der Last am Ausgang des Verstärkers.
Mit diesen Annahmen lässt sich die in Bild 4.3.1-2b dargestellte Ersatzschaltung angeben.
R1
R ein
R aus
V0
U1
C1
U2
(nicht invertier.)
U3
C2
R2
a)
=
R `1
=
R aus
U1
V0 U1
U2`
C1
R1
U2
C2
R`2
R2
U3
R ein
b)
Verstärkervierpol
Bild 4.3.1-2
Rückkoppelvierpol
Wien-Brücken-Oszillator
a) Schaltung
b) Ersatzschaltung
Zusammenfassung
R`1 = R1 + Raus
R2 Rein
R`2 = R2 || Rein = R + R
2
ein
(4.3.1/13)
Aus Bild 4.3.1-2b für Rückkopplungsnetzwerk
1
U3
K=U ` =
2
ұ
1
=
1
1 + Z1 ұ 2
Z1 +
2
ұ
1
mit Z1 = R`1 + jωC
1
und
ұ
2
1
= R` + jωC2
2
2
12
K=
1
1
=
(4.3.1/14)
R`1 C2
1
1
1
1 + R`1 + jωC
+ jωC2
1 + R` + C + j ωC2R`1 – ωC R`2
R`
1
2
1
2
1
Der Rückkopplungsvierpol lässt sich mit Gl.(4.3.1/14) berechnen.
(
)(
)
(
)
aus Bild 4.3.1-2b für Verstärkungsvierpol
U 2` V0 U1
V = U = U = V0
1
1
1
Aus Anschwingbedingung (4.2/5) K V = 1 => V = V0 = K
=>
R1` C2
1
1
V0 = K = 1 + R ` + C + j ωC2R1`– ωC R `
1
2
1 2
(
Realteil von (4.3.1/15), Amplitudenbedingung
Imaginärteil von (4.3.1/15), Schwingfrequenz
)
(4.3.1/15)
R1` C2
V0 = 1 + R ` + C
2
(4.3.1/16)
1
1
0 = ω0C2R1` – ω C R `
0
1
2
1
ω0C2R1` = ω C R `
0 1 2
2
1
ω0 = C R `C R `
1 1
2 2
1
ƒ0 =
(4.3.1/17)
2π C1R1`C2R2`
Zur Erfüllung der komplexen Gleichung (4.3.1/15) muss als Amplitudenbedingung die
Gl.(4.3.1/16) gelten, während der Imaginärteil von (4.3.1/15) bei ω = ω0 verschwinden muss,
hieraus erhält man die Schwingfrequenz ƒ0 des Oszillators (Gl.(4.3.1/17)).
4.3.2 LC-Oszillatoren
Ein LC-Oszillator besteht praktisch aus einem Selektivverstärker, von dessen Ausgang mit Hilfe
eines geeigneten passiven Vierpols Signalanteile auf den Verstärker-Eingang im Sinne einer
Mitkopplung rückgekoppelt werden.
Diese Rückkopplung kann z.B. transformatorisch oder durch induktive bzw. kapazitive Teilung
erfolgen. Nachstehend werden die wichtigsten LC-Oszillator-Schaltungen betrachtet. Um zu
einer möglichst anschaulichen Darstellung der verschiedenen Oszillator-Grundtypen zu
kommen, wird zunächst bewusst auf die verallgemeinerte Darstellung mit π-Ersatzbild und
komplexen Y-Parametern verzichtet und statt dessen sehr einfache Ersatzbilder angenommen.
Dies ist natürlich nur für tiefere Frequenzbereiche zulässig, wo die Blindanteile noch relativ
gering sind und die Schwingfrequenz ƒ0 sehr klein gegenüber der Transitfrequenz ƒT des
Transistors ist.
a) Meißner-Schaltung
Die Meißner-Schaltung ist eine der ältesten Oszillator-Schaltungen. Den recht einfachen Aufbau
zeigt Bild 4.3.2-1a. Vom Ausgang des Selektivverstärkers wird durch einen Umkehrübertrager
die notwendige Mitkopplung am Verstärker-Eingang erreicht. Die Punkte an den Wicklungen
kennzeichnen die (gleiche) Phasenlage (z.B. Punkt = Wicklungsanfang). Bild 4.3.2-1b zeigt das
wechselmäßige Ersatzschaltbild der Meißner-Schaltung. Vereinfachend sind
Rückwirkungsfreiheit des Transistors (Y12 ≈ 0), ein Kleinsignal-Ersatzbild mit reellen
Parametern, sowie ein idealisierter Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis ü = n1 / n2 > 1
angenommen. Die Ersatzgrößen in Bild 4.3.2-1b haben folgenden Zusammenhang mit den YParametern (vgl. mit [15]):
13
1
rBE = Y ;
1
rCE = Y
11
und die Steilheit S = Y21
22
UB
+
R1
C1
n2
C
L ,n1
C2
U2
U1
a)
C
B
U1
b)
rBE
SU1
U2
rCE
E
n1 n2
UK
RP
E
Z Pges=
Bild 4.3.2-1
L
C
1
Y Pges
Meißner-Oszillator
a) Oszillator in Emitterschaltung
b) Ersatzschaltbild zu a)
aus Bild 4.3.2-1b
U 2 = – S U1 Zpges = – S U1
1
ұ
(4.3.2/1)
pges
Die Ausgangsspannung U 2 in Bild 4.3.2-1b berechnet sich mit der Gl.(4.3.2/1) und damit die
Verstärkung V mit der Gl.(4.3.2/1a).
U 2 – S U1 1
–S
V= U = U
=
(4.3.2/1a)
1
1
ұ
ұ
pges
pges
Der Eingangswiderstand rBE wird auf die Kollektorseite hochtransformiert und bedämpft dabei
mit dem Wert r`BE den Schwingkreis. Das Übersetzungsverhältnis ü wird festgelegt mit der
Gl.(4.3.2/2).
n1
ü=n >1
(4.3.2/2)
2
2
n1 ²
=>
r`BE = rBE n
= rBE ü
(4.3.2/2a)
2
Den Gesamtleitwert auf der Kollektorseite erhält man dann mit der Gl.(4.3.2/3), wobei RP den
Verlustwiderstand des Parallelschwingkreises mit der Güte QP darstellt (Gl.(4.3.2/3a)).
( )
ұ
analog zu (2.3.1/6b)
pges
1
1
1
1
= r + R + r` + j ωC – ωL
CE
P
BE
RP = QP ω0L
(
)
(4.3.2/3)
(4.3.2/3a)
14
Mit der rückgekoppelten Spannung U K in Gl.(4.3.2/4) erhält man den
Rückkoppelfaktor K (Gl.(4.3.2/4a)).
n2
U2
UK=–n U2=– ü
(4.3.2/4)
1
UK
U2 1
1
K=U =– ü U =–ü
(4.3.2/4a)
2
2
aus (4.3.2/4)
Aus der Schwingbedingung folgt mit den Gl.(4.3.2/4a), (4.3.2/1a) und (4.3.2/3) die Gl.(4.3.2/5).
1
K=V
ұ pges
1
1 1
1
1
1
– ü = – S = – S [ r + R + r` + j (ωC – ωL ) ]
CE
P
BE
aus (4.3.2/4a)
aus (4.3.2/1a)
(4.3.2/5)
aus (4.3.2/3)
Ein Vergleich der Realteile in (4.3.2/5) liefert die Amplitudenbedingung (4.3.2/6).
1
1 1
1
1
Realteil von (4.3.2/5), Amplitudenbedingung
– ü = – S ( r + R + r` )
CE
P
BE
1
1
1 1 1
ü = S ( rCE + RP + r`BE ) (4.3.2/6)
Da nach (4.3.2/5) der Imaginärteil in der Schwingbedingung null sein muss, folgt hieraus, dass
die Schwingfrequenz des Oszillators gleich der Resonanzfrequenz des Selektivverstärkers
(Gl.(4.3.2/7)) ist.
Imaginärteil von (4.3.2/5), Schwingfrequenz
1
1
0 = S (ω0C – ω L ) ,
1
ω0C = ω L
0
1
ω0² = LC
=> ƒ0 =
0
1
(4.3.2/7)
2π LC
Der Meißner-Oszillator schwingt also auf der Resonanzfrequenz ƒ0. Nach dem Einschalten der
Betriebsspannung UB soll der Oszillator sicher anschwingen.
Ein exponentieller Anstieg der Schwingamplitude erfolgt solange, bis auf Grund von
Nichtlinearitäten (z.B. geringe Abflachung der Steuerkennlinie) die Steilheit S und damit die
Verstärkung V0 abnimmt. Dann schwingt der Oszillator mit konstanter Amplitude und es gilt
K V = 1. Besser sind sicher schaltungsmäßig vorgesehene Maßnahmen für eine AmplitudenStabilisierung. So sollte man auf jeden Fall eine gleichstrommäßige Gegenkopplung zur
Arbeitspunktstabilisierung vorsehen, eventuell auch eine geringe wechselmäßige
Stromgegenkopplung zur Verringerung von Verstärkung und Klirrfaktor.
Auch ein zu großes Übersetzungsverhältnis ü sollte man vermeiden, da sich dies ungünstig auf
den Klirrfaktor der Oszillatorschwingung auswirkt.
15
b) Hartley-Oszillator
Beim Hartley-Oszillator wird der Schwingkreis eines Resonanz-Verstärkers induktiv angezapft
(induktive Dreipunkt-Schaltung). Bild 4.3.2-2a zeigt eine Ausführung in Basisschaltung. Die
abgegriffene Teilspannung wird als Rückkoppel-Signal dem Verstärker-Eingang (hier Emitter)
zugeführt.
UB
+
C
R2
RE
UB
n1
L
n2
+
R1
C>>
C>>
a)
E
U1
RE
r EB
–
S U1
rC B
L
n2
RP U 2
C
n1 U K
B
b)
B
re
1
Z P=
Y P
Bild 4.3.2-2 Hartley-Oszillator
a) Schaltung
b) Ersatzschaltung
In Bild 4.3.2-2b ist das wechselstrommäßige Ersatzschalbild des Hartley-Oszillators dargestellt,
hier mit den Parametern der Basis-Schaltung. Aufgrund des höheren Eingangsstromes ist der
Eingangswiderstand der Basisschaltung wesentlich niederohmiger als bei der Emitter-Schaltung.
Den nicht invertierenden Charakter der Basis-Schaltung berücksichtigt man bei tieferen
Frequenzen durch das negative Vorzeichen der reellen Steilheit, bei höheren Frequenzen rechnet
man dann allgemein mit einer komplexen Steilheit.
Für die Ersatzgrößen in Bild 4.3.2-2b gilt mit dem Stromverstärkungsfaktor β >> 1
rEB
1
Y21b = – Y21e = – S
rEB = Y ≈ β ;
11b
1
und
rCB = Y >> rCE.
22b
Der Rückkopplungsfaktor K lässt sich mit der Gl.(4.3.2/8) und die Ausgangsspannung U2 mit der
Gl.(4.3.2/9) berechnen.
UK
n1
1
Aus Bild 4.3.2-2b
K = U = n + n = ü`
(4.3.2/8)
2
1
2
1
U 2 = – ( – S U1 ) Zp = S U1
(4.3.2/9)
ұ
p
16
U2
1 1
S
V = U = S U1
=
U
1
ұ 1 ұ
p
(4.3.2/10)
p
aus (4.3.2/9)
Der Schwingkreis wird wieder durch den transformierten Eingangswiderstand r`e belastet
(Gl.(4.3.2/11)).
RE rEB
re = RE || rEB = R + r
E
EB
RE >> rEB => re ≈ rEB
r`e= ü`² re ≈ ü`² rEB
(4.3.2/11)
1
1
1
1
ұ p = r + ü`² r + R + j (ωC – ωL)
(4.3.2/12)
CB
p
EB
Den Gesamtleitwert ұ p erhält man mit der Gl.(4.3.2/12), wobei RP den Verlustwiderstand des
Parallelschwingkreises mit der Güte QP darstellt (Gl.(4.3.2/13)).
analog zu (2.3.1/6b)
RP = QP ω0L
(4.3.2/13)
Aus der Schwingbedingung folgt mit den Gl.(4.3.2/8), (4.3.2/10) und (4.3.2/12) die
Gl.(4.3.2/14).
1
K=V
1 ұP 1 1
1
1
1
=
=
[
+
+
+
j
(ωC
–
ü` S S rCB ü`² rEB RP
ωL)]
aus (4.3.2/8) aus (4.3.2/10)
(4.3.2/14)
aus (4.3.2/12)
Ein Vergleich der Realteile in (4.3.2/14) liefert die Amplitudenbedingung (4.3.2/15).
1
1
1 1 1
Realteil von (4.3.2/14), Amplitudenbedingung ü` = S [ r + ü`² r + R ]
(4.3.2/15)
CB
P
EB
Da nach (4.3.2/14) der Imaginärteil in der Schwingbedingung null sein muss, erhält man mit
Gl.(4.3.2/16) die Schwing-(Resonanz)-Frequenz ƒ0 des Hartley-Oszillators.
1
1
Imaginärteil von (4.3.2/14), Schwingfrequenz
0 = S ( ω0C – ω L)
0
1
ω0C = ω L
0
1
1
ω0² = L C => ƒ0 =
(4.3.2/16)
2π L C
c) Colpitts-Oszillator
Beim Colpitts-Oszillator wird aus dem Schwingkreis eines Selektiv-Verstärkers kapazitiv ein
Rückkoppelsignal ausgekoppelt und auf den Verstärker-Eingang rückgeführt (kapazitive
Dreipunkt-Schaltung). Bild 4.3.2-3a zeigt eine typische Ausführung in Emitter-Schaltung und
Bild 4.3.2-3b das dazugehörige wechselstrommäßige Ersatzschaltbild. Die Kondensatoren C»
sind wieder als wechselstrommäßige Kurzschlüsse aufzufassen und daher im Ersatzbild nicht
enthalten. Sie verhindern zwischen Kollektor und Basis einen gleichspannungsmäßigen
Kurzschluss durch L und heben die wechselstrommäßige Strom-Gegenkopplung durch RE auf
(nur Arbeitspunktstabilisierung).
17
Zur rückgekoppelten Spannung (Bild 4.3.2-3b) gelangt man, wenn man den kapazitiven Teiler
C2 , C1 als nahezu „unbelastet“ auffasst. Dann gilt für das Spannungsverhältnis die Gl.(4.3.2/17).
1
ωC
| UC1 |
C2
1
(4.3.2/17)
| UC2 | ≈ 1 ≈ C1
ωC2
Die erforderliche Phasenumkehr von 180° wird dadurch erreicht, dass die Verbindung zwischen
C2 und C1 an Masse gelegt ist (Punkt 2). Der Rückkoppelfaktor K ergibt sich mit Gl.(4.3.2/17a).
U K –U C1
| U C1 |
C2
K=U = U
= – | U | ≈ – C (4.3.2/17a)
2
C2
1
C2
aus (4.3.2/17)
+
UB
+
RC
C >>
1
UB
C2
L
R2
2
C1
3
R1
RE
C >>
a)
1
B
U1
R1||R 2
r BE
rC E
S U1
RC
C2
U2
U C2
UP
2
E
C1
r2
re
UK
b)
RP
L
U C1
3
S U1
rCE
RC
RP̀
r`e U 2
c)
R P0
Bild 4.3.2-3
Colpitts-Oszillator
a) Schaltung
b) Ersatzbild zu a)
c) Ersatzbild zur Berechnung von V0
18
Auch im vorliegenden Fall ist aus dem Ersatzbild erkennbar, dass die Schwingfrequenz wieder
mit der Resonanzfrequenz übereinstimmen muss. Dies führt auf schnellstem Wege zur
Schwingfrequenz des Colpitts-Oszillators (Gl.(4.3.2/18)).
C1 C2
Cges = C + C
1
2
1
(4.3.2/18)
2π L Cges
Die Amplitudenbedingung erhält man dann aus K (reell) und der Verstärkung V0 bei ƒ0 (d.h. dem
Realteil von V). Die Berechnung von V0 kann man mit dem etwas umgezeichneten Ersatzbild
(Bild 4.3.2-3c) vornehmen, das die Transformation bezüglich der Klemmen C-E bei Resonanz
berücksichtigt (vgl. Bild 4.3.2-3b). Hierin bedeutet Rp` den transformierten Verlustwiderstand Rp
des Schwingkreises.
Damit berechnet sich die Verstärkung V0 bei der Resonanzfrequenz ƒ0 mit Gl.(4.3.2/19).
ƒ0 =
aus Bild 4.3.2-3c
U 2 = – S U1 RP0
U2
S
V0 = U
= – S RP0 = – G
1 ƒ0
P0
1
1
1
1
mit Gp = r + R + R ` + r `
0
C
CE
P
e
|
(4.3.2/19)
Ersetzt man die Spule L durch einen Reihenschwingkreis, dessen Reaktanz-Summe bei ƒ0
induktiv ist, erhält man einen Clapp-Oszillator, der eine recht gute Frequenzstabilität besitzt.
UB
+
L >>
R2
L
C2
L
C>>
RE
R1
C1
C
a)
L
C2
b)
L
C 22
XK
C
c)
C1
C 11
^=
C2̀
C 22
C1̀
C 11
C2
C 22
C1
C 11
C
Bild 4.3.2-4 Clapp-Oszillator
a) Schaltung
b) Colpitts-Oszillator in Basisschaltung (Prinzip)
c) Rückführung des Clapp-Oszillators auf Colpits-Oszillator
19
Bei freischwingenden LC-Oszillatoren lässt sich eine Frequenzkonstanz von ƒ / ƒ0 ≈ (0,1 ....1)
×10 –3 erreichen. Ein sorgfältiger Oszillator-Aufbau (z.B. Arbeitspunktstabilisierung, gute
Schirmung, lose Lastankopplung) wirkt sich hierbei günstig auf eine optimale Stabilität der
Schwingfrequenz aus.
Im Falle höherer Anforderungen hinsichtlich der Frequenzstabilität sind in OszillatorSchaltungen Quarze als Resonatoren mit wesentlich besseren Gütewerten (Q ≈ 104 ....106) als bei
üblichen LC-Kreisen (Q ≈ 30 ...300) einzusetzen [51, 12].
4.3.3 Quarz-Oszillatoren
Bei einem Schwingquarz wird der reziproke Piezzo-Effekt ausgenutzt, d.h. eine angelegte
Wechselspannung regt den Quarz zu mechanischen Schwingungen an.
Abhängig von der Schnittführung (bezogen auf die Kristallachsen) sowie von der Form
(Scheiben oder Stäbe) sind Schwinger mit unterschiedlichen Eigenschaften herstellbar. So
werden z.B. bei tieferen Frequenzen ( < 100 kHz) überwiegend Biegeschwinger als
Grundwellenquarze verwendet, d.h. der Quarz wird in der Oszillator-Schaltung in seiner
Grundschwingung angeregt.
Im Anwendungsbereich zwischen ca. 300 kHz und 25 MHz werden Quarze meist als
Dickenscherschwinger hergestellt und dabei als Grundwellenquarze betrieben.
Für Anwendungsbereiche oberhalb 25 MHz verwendet man Dickenscherschwinger als
Oberwellenquarze. Hier wird der Quarz durch geeignete Anregung in der Oszillator-Schaltung
bei einer ungeraden Oberwelle (3., 5. oder 7. Harmonische) betrieben. Grundwellenquarze für
höhere Frequenzen stellt man i.a. nicht her, da im Hinblick auf die mechanische Stabilität die
Dicke des Quarzscheibchens nicht beliebig zu verringern ist. Näheres über besondere
Quarzschnitte sowie deren Frequenzstabilität bei Temperaturänderungen sind in [51] dargestellt.
a) Quarz-Ersatzschaltbild
Da bei der Anregung eines Quarzes frequenzmäßig sehr selektive mechanische Resonanzen
auftreten, entspricht der Schwingquarz somit einem Resonanzkreis mit sehr hoher Güte Q. Das
elektrische Ersatzschaltbild hierfür zeigt Bild 4.3.3-1a. Die Ersatzschaltung besteht aus einem
Reihenschwingkreis mit einer großen Induktivität L1, einer sehr kleinen Kapazität C1 und dem
Verlustwiderstand R1 (dynamische Ersatzgrößen), sowie aus der hierzu parallelen Kapazität C0
(C0 >> C1), die durch die Anregungselektroden bzw. die Halterung bedingt ist (statische
Ersatzgröße).Um eine Aussage über das elektrische Verhalten eines Quarzes in der Umgebung
der zu erwartenden Resonanzstellen (Reihenresonanz, Parallelresonanz) zu erhalten, setzt man
im Ersatzbild (Bild 4.3.3-1a) den Gesamt-Leitwert an.
C1
R1
C0
L1
a)
Bild 4.3.3-1
Schwingquarz
a) Elektrisches Ersatzbild
b) Verlauf von G = Re {Yges} und B = Im {Yges}
20
ұ
ұ
ges
ges
=
=
1
1
R1 + j ωL1 – ωC
1
(
)
2
R1
1
R1 + ωL1 – ωC
1
2
(
)
2
+ jωC0 =
1
R1 – j ωL1 – ωC
(
)
1
+ ( ωL – ωC )
1
2
2
R1
1
(4.3.3/1)
1
1
ωL1 – ωC
1
+ j ωC0 – 2
1
R1 + ωL1 – ωC
1
[
+ jωC0
(
)
2
]
(4.3.3/2)
Zur Ermittlung der beiden Resonanzfrequenzen ƒS und ƒP sind in Gl.(4.3.3/2) die Nullstellen des
Im{
ұ
ges
} zu suchen.
Im { ұ ges} =! 0
1
ωrL1 – ω C
r 1
!
ωrC0 – 2
1 2 = 0
R1 + ωrL1 – ω C
r 1
2
2
2
1 2
1
ωr C0 [R1 + ωrL1 – ω C ] = ωr L1 – C
1
r 1
(
)
(
)
2
2
L1
ωr L1 – 2 C +
1
1
2
ωr C1
2
Beim Ausmultiplizieren des Imaginärteils ergibt sich eine biquadratische Gleichung. Mit der
2
Substitution ω~ = ω erhält man die Gl.(4.3.3/3).
r
2
2
2ωr C0L1 C0
1
ωr C0R1 + ωr L1C0 – C
+ 2 = ωr L1 – C
1
1
C1
2
2
4
4
2
2
2
2C0L1
C0 1
ωr L1 C0 + ωr [C0R1 – L1 – C ] = – 2 – C
1
1
C1
2
4
2
ωr + ωr [
R1
1
2
1
1
–LC –CL ]=– 2 2–
2
1 0
1 1
L1
C1 L1 C1L1 C0
2
2
ω~ = ωr
2
ω~
2
R1
1
2
1
1
+ ω~ [ 2 – L C – C L ] + 2 2 +
2 = 0
1 0
1 1
L1
C1 L1 C0C1L1
2
ω~
R1
1
1
+
–
1,2 =
L1C1 2L1C0 2L12 ±
(
2
2
R1
1
1
+
–
L1C1 2L1C0 2L12
2
)
2
–
1
1
2
2 –
2
C1 L1 C0C1L1
2
2
(4.3.3/3)
4
R1
R1
R1
R1
R1
1
1
1
1
1
1
–
+
+
–
–
+
2
2 +
2
3
2
2
2 –
3
3
3
4 –
2
2 –
2
L1 C1 2L1 C0C1 2L1 C1 2L1 C0C1 4L1 C0 4L1 C0 2L1 C1 4L1 C0 4L1 C1 L1 C0C1L1
2
4
R12
R1
R14C02 4R12C02 2R12C0
1
1
– 3 +
+
=
[1+
– LC – L ]
2
2 –
3
4
4L12C02
L12
1 1
1
L1 C1 4L1 C0 2L1 C0 4L1
R1
21
2
4
R1
1
1
1
+
–
1,2 = ωr 1,2 =
L1C1 2L1C0 2L12 ± 2L1C0
ω~
2
1+
2
R1 C0
2
L1
2
2
2
4R1 C0 2R1 C0
– LC – L
1 1
1
(4.3.3/3a)
vernachlässigbar
4
Da im Allgemeinen L1 sehr groß und R1 sowie C0 klein sind, ist der Ausdruck
2
R1 C0
2
L1
<< 1 und
1
somit in Gl.(4.3.3/3a) vernachlässigbar. Mit der Näherung 1 + x ≈ 1 + 2 x erhält man aus der
Gl.(4.3.3/3a) die Gl.(4.3.3/3b).
Näherung:
1
1+x≈1+2x
2
2
ωr 1,2
2
2
2
R1
2R1 C0 R1 C0
1
1
1
≈ L C + 2L C –
[
1
–
2 ±
L1C1 – L1 ]
1 1
1 0
2L1 2L1C0
(4.3.3/3b)
Das positive Vorzeichen in (4.3.3/3b) führt auf die Parallelresonanz (Gl.(4.3.3/4)).
2
2
2
2
2
2
2
R1
R1 C0 R1
R1 R1 C0
1
1
1
1
1
ωr 1 = ωP ≈ L C + 2L C –
– 2 –
+
– 2– 2
2 +
2 =
1 1
1 0
2L1 2L1C0 L1 C1 2L1 L1C1 L1C0 L1 L1 C1
2
2
R1
C1 + C0 1
R1 C0
1
ωP ≈ L C C (C0 + C1) – 2 (C1 + C0) = C C L 1 – L
1 1 0
1 0
1
1
L1 C1
(
2
)
(4.3.3/4)
Aus Gl.(4.3.3/4) ergibt sich für den verlustlosen Quarz (R1 = 0) die Gl.(4.3.3/4a).
2
C1 + C0 1
C1
1
(4.3.3/4a)
ωP R = 0 = C C L = L C 1 + C
1 0
1
1 1
0
Das negative Vorzeichen in (4.3.3/3b) liefert die Serienresonanz (Gl.(4.3.3/5)).
|
(
1
)
aus (4.3.3/3b)
2
2
2
2
2
2
R1
R1 C0 R1
R1 C0
1
1
1
1
ω r2 = ωS ≈ L C + 2L C –
+ 2 +
+ 2
2 –
2 =
1 1
1 0
2L1 2L1C0 L1 C1 2L1 L1C1 L1 C1
2
R1 C0
1
ωS ≈ L C 1 + L
1 1
1
2
(
)
(4.3.3/5)
Aus Gl.(4.3.3/5) ergibt sich für den verlustlosen Quarz (R1 = 0) die Gl.(4.3.3/5a).
2
1
ωS R = 0 ≈ L C
(4.3.3/5a)
1
1 1
Bezieht man auf die Resonanzfrequenzen des verlustlosen Quarzes, also (4.3.3/4) auf (4.3.3/4a)
sowie (4.3.3/5) auf (4.3.3/5a), so erhält man die Gleichungen (4.3.3/6) und (4.3.3/7).
|
aus (4.3.3/4)
ωP ≈
C1 + C0 1
C1C0 L1
aus (4.3.3/4a) ωP
|
R1=0
2
R1 C0
1 – L ≈ ωP
1
|
2
1 R1 C0
[1–
R1=0
2 L1 ]
(4.3.3/6)
1
1+x≈1+2x
22
mit ωP
|
R1=0
≈
C1
1+C
1
L1C1
(4.3.3/6a)
0
aus (4.3.3/5)
2
R1 C0
1 + L ≈ ωS
1
ωS ≈ L1C1
aus (4.3.3/5a)
mit ωS
|
R1=0
≈
ωS
|
|
R1=0
2
1 R1 C0
[1+2 L ]
1
(4.3.3/7)
1
1+x≈1+2x
R1=0
1
L1C1
(4.3.3/7a)
Die Güten des Quarzes lassen sich angeben, wenn man wie üblich ein Blindelement des
Reihenkreises (z.B. L1) bei Resonanz auf den Verlustwiderstand R1
bezieht (Gl.(4.3.3/8) + (4.3.3/9)).
|
ωSL1 ωS R1=0 L1
1
1 L1 1
QS = tan(δ ) = R ≈
=
=
R1
1
C1L1 R1 R1
S
L1
C1
(4.3.3/8)
aus (4.3.3/7a)
ωPL1
1
QP = tan(δ ) = R ≈ ωP
1
P
|
R1=0
L1
1
R1 = L1C1
C1 L1
1+C R
0
1
aus (4.3.3/6a)
1
QP ≈ R
1
L1
C1
C1
1 + C = QS
0
C1
1+ C
0
(4.3.3/9)
aus (4.3.3/8) QS
In (4.3.3/8) ist der Kennwiderstand des Quarzes aus den dynamischen Ersatzgrößen (also das
L/C-Verhältnis) sehr groß gegenüber dem Verlustwiderstand R1 und damit die Güte sehr groß. In
Bild 4.3.3-1b sind die Verläufe von G = Re{Yges} und B = Im{Yges} nach (4.3.3/2) qualitativ
aufgetragen. Man erkennt hieraus, dass der Quarz bei ƒS niederohmig ist, d.h. einem
Reihenschwingkreis mit dem Verlustwiderstand R1 und der hohen Güte QS entspricht (bis auf den
kleinen Blindanteil jωSC0). Bei ƒP ist der Quarz hochohmig, entspricht also einem
Parallelschwingkreis mit dem Verlustwiderstand RP [51].
Zwischen ƒS und ƒP hat Yges einen negativen und somit Zges = 1/Yges einen positiven Blindanteil. Der
Quarz entspricht also in diesem Bereich einer Impedanz mit induktivem Charakter. Somit lässt
sich z.B. im Colpitts-Oszillator die Spule L durch einen Quarz ersetzen, der in obigem
Frequenzbereich schwingt.
Zur Veranschaulichung der Größenverhältnisse sind für einen Quarz mit seinen Ersatzgrößen
(nach Herstellerangabe) nochmals die wichtigsten Kenngrößen verfolgt (Beispiel 4.3.3/1).
23
Bsp. 4.3.3/1: Vom Hersteller liegen über einen Grundton-Quarz die folgenden Ersatzgrößen vor:
L1 = 37,2 mH; C1 = 16 fF = 0,016 pF;
R1 = 38 Ω;
C0 = 5 pF + 30 pF = 35 pF (hiervon 30 pF Lastkapazität).
a) Wie groß sind ƒS
|
und ƒP
R1=0
|
R1=0
beim Quarz?
b) Wie groß sind ƒS und ƒP bei R1?
c) Wie groß ist der absolute und prozentuale Abstand zwischen ƒP und ƒS?
d) Wie groß sind die Güten QS und QP?
a) aus (4.3.3/5a) ƒS
aus (4.3.3/6a) ƒP
|
R1=0
|
R1=0
≈
1
≈ 2π
1
=
2π L1C1
b) aus (4.3.3/5)
0
2
R1 C0
1 + L = ƒS
1
1
L1C1
2
ƒS = 6,523620 MHz
2π
C1
1 + C = 6,523620 MHz
1
L1C1
1
ƒS ≈ 2π
1
= 6,523620 MHz
–3 Vsec
–15 Asec
37,2 · 10 A · 10
V
2
0,016
1 + 35 = 6,525111 MHz
2
R1 C0
1+ L
1
|
R1=0
–12
38 V · 35 ·10 Asec
1+ 2
= 6,523624 MHz
–3 Vsec
A · 37,2 · 10 A · V
–6
1,3586 · 10
2
R1 C0
aus (4.3.3/6) ƒP ≈ ƒP R1=0
1 – L = 6,525111 MHz
1
ƒP ≈ 6,525106 MHz
|
–6
1 – 1,3586 · 10
c) absoluter Frequenzabstand ∆ƒ = ƒP – ƒS = (6,525106 – 6,523624) MHz
∆ƒ = 1482 Hz
ƒP – ƒS
1482
prozentualer Frequenzabstand
=
6 = 0,2272 %o
ƒS
6,523624 · 10
d) aus (4.3.3/8)
1
QS ≈ R
1
L1 1 A
C1 = 38 V
–3
37,2 · 10 Vsec
= 40.126
–15 Asec
16 · 10
V A
C1
1 + C = 40.126 ·
0,016
1 + 35 = 40.135
0
Oft ist man daran interessiert, die Schwingfrequenz eines Quarzes geringfügig zu verändern.
Dieses „Ziehen“ des Quarzes lässt sich durch eine Reihen- oder Parallelschaltung von
Kapazitäten bzw. Induktivitäten erreichen (Bild 4.3.3-2).Nachteilig ist hierbei, dass die Güte des
gezogenen Quarzes durch die wesentlich höheren Verlustfaktoren der Zusatzreaktanzen
abnimmt. Ist ein Ziehen erforderlich, bevorzugt man daher i.a. kleine Kapazitäten, da diese
geringere Verlustfaktoren besitzen als Spulen. Besser ist es allerdings, die im Oszillator (z.B. bei
kapazitiver Dreipunkt-Schaltung) zu erwartende kapazitive Last gleich dem Quarz-Hersteller
mitzuteilen. Durch Berücksichtigung dieser Angabe bei Schleifen des Quarzes ist später kaum
aus (4.3.3/9)
QP ≈ QS
24
noch ein Ziehen erforderlich. Erfolgt keine eigene Mitteilung, wird meistens vom Hersteller
ersatzweise eine Lastkapazität angenommen (z.B. CL = 30 pF).
Bild 4.3.3-2
Ziehen eines Quarzes
durch Kapazität bzw. Induktivität
b) Pierce-Oszillator im Grundton-Betrieb
Ersetzt man bei der kapazitiven Dreipunkt-Schaltung (Colpitts-Oszillator, vgl. Bild 4.3.2-3) die
Spule L durch einen Quarz, so erhält man den Pierce-Oszillator, dessen Schaltung in
Bild 4.3.3-3a dargestellt ist. Die zugehörige wechselmäßige Ersatzschaltung zeigt Bild 4.3.3-3b.
Zur Unterscheidung von den übrigen Bauelementen sind die dynamischen Ersatzgrößen des
(verlustlos angenommenen) Quarzes mit dem Index Q versehen.
Die Schwingfrequenz des Quarzes erhält man wiederum aus der Resonanzbedingung, d.h. aus
dem Verschwinden des gesamten Blindanteils. Mit der Last- oder Bürdenkapazität CL für den
Quarz ergibt sich die Gl.(4.3.3/10).
C1* C2*
CL = C * + C *
1
(4.3.3/10)
2
mit C1* = C1 + CBE
C2* = C2 + CCE
(4.3.3/11)
25
UB
+
L >>
C>>
C2
Q
R2
C1
R1
RE
C>>
a)
Bild 4.3.3-3
Pierce-Oszillator in Emitterschaltung
a) Schaltung
b) Ersatzschaltung
Der Gesamt-Blindanteil beträgt
1
jBges(ω) = jω (C0 + CL) +
1
jωL1Q – jωC
(4.3.3/12)
1Q
Bei Resonanz gilt Bges(ωr) = 0 ( Im{ ұ ges(ωr)} = 0)
1
==> ω0 (C0 + CL) =
1
ω0L1Q – ω C
0 1Q
C0 + CL
C1Q
ω02L1Q (C0 + CL) – C
=1
·C +C
1Q
0
L
C
1Q
ω02L1Q C1Q – 1 = C + C
0
L
Damit beträgt die Schwingfrequenz ƒ0 des Pierce-Oszillators
C1Q
1
ƒ0 =
1+C +C
(4.3.3/13)
2π L1QC1Q
0
L
Wie zu erwarten war, wird die Schwingfrequenz des Oszillators durch die Lastkapazität CL
|
beeinflusst. Der Oszillator schwingt also weder bei ƒS
|
R1=0
noch bei ƒP
|
R1=0
, sondern auf einer
Frequenz ƒ0 zwischen diesen beiden Werten. Hier stellt der Quarz die erforderliche Impedanz mit
26
induktiven Charakter dar. Man spricht auch davon, dass der Oszillator auf seiner „gezogenen“
Parallelresonanz schwingt.
Wie schon angemerkt, empfiehlt sich bei Bestellung eines Quarzes die Angabe der Lastkapazität
CL, wodurch später der Quarz in der Schwingschaltung nur noch geringfügig auf die gewünschte
Frequenz ƒ0 gezogen werden muss. Bei dem eben betrachteten Pierce-Oszillator in EmitterSchaltung handelt es sich um einen Grundton-Oszillator, d.h. der Quarz schwingt auf seiner
Grundfrequenz. Der gleiche Oszillator lässt sich auch in Basis- oder Kollektor-Schaltung
aufbauen (Bild 4.3.3-4).
UB
+
R 2T
C>>
C1
CK
Q
R1T
C2
RE
RL
a)
C1
B
R1T || R2T
E
Y21C. U 1
re
ra
CCE
U2
RE
RL
L 1Q
UP
C2
C0
C1Q
b)
C
Bild 4.3.3-4
Pierce-Oszillator in Kollektor-Schaltung
a) Schaltung
b) Ersatzschaltbild
c) Quarz-Oberton-Oszillatoren
Wird der Quarz bei einer ungeraden Harmonischen, im sog. Oberton-Betrieb, angeregt, so ist die
dynamische Kapazität C1Q viel kleiner als bei Grundton-Betrieb und trotz größeren
Verlustwiderstandes R1Q die Güte Q nach (4.3.3/8) i.a. höher als bei Grundton-Betrieb.
Bild 4.3.3-5a zeigt als Beispiel die Schaltung eines Quarz-Oszillators, der bei ƒ0 = 50 MHz im
3.Oberton betrieben wird [51]. Der Parallelschwingkreis wird hierbei auf die 3.Harmonische
(ƒ0 = 50 MHz) abgestimmt. Der Quarz schwingt in Serienresonanz (niederohmig und ≈ reell) und
bewirkt dadurch, dass bei Schwingfrequenz ƒ0 der Verstärker praktisch in Basis-Schaltung
arbeitet. Durch die innere Kapazität CCE (sowie die Steilheitsphase) erfolgt die zur Rückkopplung
notwendige Phasendrehung zwischen Ausgang und Eingang. D.h. bei ƒ0 ist die Schaltung
vergleichbar mit der Oszillator-Schaltung von Bild 4.3.2-4. Schwingbedingung und
Schwingsicherheit (Betrag und Phase) sind durch L und C2 einstellbar (C2 ist hier kein
wechselmäßiger Kurzschluss).
Ein weiterer oft benutzter Oszillator in Basisschaltung mit Oberton-Quarzen
(5., 7., 9. Harmonische) für den Frequenzbereich von ca. 70...200 MHz ist in Bild 4.3.3-5b
dargestellt. Hier wird der Quarz ebenfalls in seiner Serienresonanz betrieben und liegt mit
seinem niederohmigen reellen Widerstand im Rückkopplungszweig der kapazitiven DreipunktSchaltung.
27
UB
+
C1
R2
C>>
Q
R1
CS
RE
L
C2
a)
UB
+
C>>
R2
LP
C1
L
Q
C2
RE
b)
R1
C>>
Bild 4.3.3-5 Quarz-Oberton-Oszillator
a) für Frequenzbereich von ca. 30...80 MHz
b) für Frequenzbereich von ca. 70...200 MHz
Durch Kompensation der statischen Kapazität C0 mit einer Zusatzinduktivität
2
LP = 1 / (ω0 C0) wird erreicht, dass die Schwingfrequenz des Oszillators ƒ0 exakt mit der
Serienresonanzfrequenz des Quarzes übereinstimmt. Die Kompensation mit LP sowie der
Schaltungsaufbau müssen sehr sorgfältig erfolgen, damit nicht eine ungewollte Frequenz
angeregt wird. Der Parallelschwingkreis ist auf die Frequenz des Oberton-Quarzes ausgelegt. Die
restliche Dimensionierung erfolgt ähnlich wie bei einem Colpitts-Oszillator im GrundtonBetrieb.
28