1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomen

1.5 Folgerungen aus dem Kolmogoroff- Axiomensystem
Folg. 2 Sei (Ω, E, P ) W.-raum.
Seien A, B, A1, . . . , An Ereignisse. Es gelten die folgenden Aussagen:
1.
P (A) = 1 − P (A).
2. Für das unmögliche Ereignis gilt:
P (∅) = 0.
3. Es seien A, B ∈ E zwei Ereignisse mit A ⊆ B. Dann
gilt:
(a) B \ A ∈ E;
(b) P (B \ A) = P (B) − P (A) (Subtraktivität);
(c) P (A) ≤ P (B) (Monotonie der Wahrscheinlichkeit).
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4.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B),
P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B).
Sind A und B unvereinbar, so gilt die Gleichheit.
5. Es sei {An : n ∈ N} eine Folge von Ereignissen mit
der Eigenschaft An ⊆ An+1, ∀n ∈ N. Dann gilt:
P lim An = lim P (An).
n→∞
n→∞
Wir sprechen von der Stetigkeit von unten“ bzw.
”
der Stetigkeit von P für eine wachsende Folge von
Ereignissen.
6. Es sei {An : n ∈ N} eine Folge von Ereignissen mit
der Eigenschaft An ⊇ An+1, ∀n ∈ N. Dann gilt:
P lim An = lim P (An).
n→∞
n→∞
Wir sprechen hier von der Stetigkeit von oben“ bzw.
”
von der Stetigkeit von P für eine fallende Folge von
Ereignissen.
Beweis:
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1. Es gilt: Ω = A ∪ (Ω \ A) = A ∪ A, für alle A ∈ E.
Wegen A ∩ A = ∅ folgt:
1 = P (Ω) = P (A ∪ A)
= P (A) + P (A)
Wir stellen um und erhalten: P (A) = 1 − P (A).
2. Wegen ∅ = Ω \ Ω = Ω folgt aus Aussage 1:
P (∅) = 1 − P (Ω) = 0.
3. Es seien A, B ∈ E zwei Ereignisse mit A ⊆ B. Wir
zeigen die drei Aussagen:
(a) Es gilt:
B \ A = B ∩ A.
Wegen B ∈ E und A ∈ E folgt nach Def. 1.4.(2.),
daß auch die Menge B \ A Element der Menge E
ist.
(b) Aus B = A ∪ (B \ A) und A ∩ (B \ A) = ∅ folgt:
P (B) = P (A ∪ (B \ A))
= P (A) + P (B \ A)
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Wir stellen um und erhalten:
P (B) − P (A) = P (B \ A).
(c) Wenn wir die Subtraktivitätsgleichung etwas umstellen, erhalten wir:
P (B) = P (A) + P (B \ A).
Wegen Definition 1.6.(1.) folgt daraus sofort:
P (A) ≤ P (B).
4. trivial
5. Es sei nun {An : n ∈ N} eine Folge von Ereignissen
mit der Eigenschaft An ⊆ An+1, ∀n ∈ N.
Nach Definition der Ereignisfolge (An ) gilt:
∞
[
lim An =
Ak .
n→∞
k=1
Wir definieren:
B1 := A1
B2 := A2 \ A1
..
Bn := An \ An−1
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usw.
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Offenbar gilt für alle i, j ∈ N mit i 6= j:
Bi ∩ Bj = ∅.
Weiterhin gilt:
∞
[
Ak =
k=1
∞
[
Bk .
k=1
Daraus ergibt sich die folgende Gleichungskette:
!
!
∞
∞
[
[
Bk
Ak = P
P lim An = P
n→∞
k=1
k=1
=
∞
X
P (Bk ) (Definition 1.6.(3.))
k=1
= P (A1 ) +
∞
X
P (Ak \ Ak−1)
k=2
= P (A1 ) + lim
n→∞
= lim
n→∞
n
X
P (Ak \ Ak−1)
k=2
n
X
P (A1 ) +
= lim P (An )
(P (Ak ) − P (Ak−1))
k=2
n→∞
Das ist die Aussage.
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!
6. Es sei nun {An : n ∈ N} eine Folge von Ereignissen
mit der Eigenschaft An ⊇ An+1, ∀n ∈ N.
Dann gilt:
lim An =
n→∞
∞
\
Ak .
∞
[
Ak .
k=1
Unter Anwendung der
M ORGAN’schen Regeln
DE
erhalten wir:
lim An =
n→∞
k=1
Außerdem gilt: Ak ⊆ Ak+1. Dann können wir die
folgende Gleichungskette ableiten:
!
∞
[
P lim An = P
Ak
n→∞
k=1
= 1−P
∞
[
Ak
!
(Aussage 1)
k=1
= 1 − P lim An
n→∞
= 1 − lim P (An ) (Aussage 4)
n→∞
= 1 − lim (1 − P (An))
n→∞
= lim P (An)
n→∞
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2
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Folg. 3 (Subadditivität von P)
Seien A1, A2, . . . Er-
eignisse. Dann gilt:
∞
∞
[
X
P ( Ai) ≤
P (Ai)
i=1
i=1
Beweis:
B1 := A1
B2 := A2 \ A1
B3 := A3 \ (A1 ∪ A2)
...
Bi := Ai \ (
[
Aj )
usw.
j<i
Ereignisse Bi sind paarweise disjunkt. Bi ⊆ Ai.
S
S
i≥1 Bi =
i≥1 Ai ⇒
P(
∞
[
Ai) = P (
Bi)
i=1
i=1
=
≤
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∞
[
∞
X
i=1
∞
X
i=1
P (Bi) (3. Axiom)
P (Ai) (Monotonie der Wkt.)
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2
Folg. 4 (Siebformel) Seien A1, . . . , An Ereignisse. Dann
gilt:
P(
n
[
X
Ai) =
i=1
=
|I|−1
(−1)
I⊆{1,...,n},I6=∅
n
X
P (Ai) −
i=1
(−1)n+1
P(
\
Ai)
i∈I
X
P (Ai ∩ Aj ) + −...
i<j
X
P(
i1 <i2 <···<in
n
\
Aiν )
ν=1
Siebformel,
Prinzip von Inklusion und Exklusion
Formel von Poincare-Sylvester
(Montmort: Briefwechsel mit Bernoulli)
Beweis: (Induktion nach n)
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1. IA n = 1 trivial, (n = 2 : Subtraktivität)
P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2) − P (A1 ∩ A2)
2
X
X
P (Ai ∩ Aj )
=
P (Ai) −
i=1
I={1,2}
X
=
|I|−1
(−1)
P(
\
Ai)
i∈I
I⊆{1,...,n},I6=∅
2. IS: Aussage der Folgerung gelte für n. Dann
n+1
n
n
[
[
[
P ( Ai) = P ( Ai) + P (An+1) − P ( (Ai ∩ An+1))
i=1
i=1
i=1
wegen Subtraktivität. Auf den ersten und dritten Summanden wird jeweils die IV angewendet. Der dritte
Summand ist gleich
n
[
− P ( (Ai ∩ An+1))
i=1
=−
X
|J|−1
(−1)
P(
=
|J|−1
(−1)
{n+1}⊆J⊆{1,...,n+1},J6={n+1}
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(Ai ∩ An+1))
i∈J
J⊆{1,...,n},J6=∅
X
\
P(
\
Ai).
i∈J
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1. Summe: alle nichtleeren Teilmengen von {1, . . . , n}
3. Summe: alle nichtleeren Teilmengen von
{1, . . . , n + 1}, die das Element n + 1 enthalten
2. Summe: das Element n + 1.
2
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Bsp. 1.5 (Rencontre-Problem) n Studenten sollen schriftlich von einer Änderung des Vorlesungstermins benachrichtigt werden. Im irrtümlichen Glauben, daß jeder der
n Briefe den gleichen Inhalt aufweist, verteilt eine Sekretärin die Briefe willkürlich in die verschiedenen Umschläge.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens
ein Brief in den richtigen Umschlag gelangt? Welchen
Wert erhält man für n → ∞?
Hinweis: Sei A das Ereignis: “mindestens ein Brief
im richtigen Umschlag” und Ai das Ereignis: “Brief
i kommt in den richtigen Umschlag”. Wenden Sie auf
Sn
P (A) = P ( i=1 Ai) das Prinzip von Inklusion und Exklusion (Siebformel) an.
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Sortierprobleme
geg.: Feld der Länge n
Daten zufällig angeordnet, gleichverteilt mit Wkt. n!1 .
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein
Feldelement schon an der richtigen Stelle liegt.? Welchen Wert erhält man für n → ∞?
das ist dasselbe wie beim Rencontre-Problem.
Wie groß ist die Wkt., daß genau k Elemente bereits am
richtigen Platz stehen? → Übung
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Bem. 1 (Bonferroni-Ungleichungen) Die Ungleichung
P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B)
heißt Bonferroni-Ungleichung. Weitere (Bonferroni)- Ungleichungen erhält man durch Abbruch der Siebformel
nach Gliedern mit positivem (≤) bzw. negativem (≥)
Vorzeichen.
Bsp. 1.6
P (A ∪ B ∪ C) ≤ P (A) + P (B) + P (C)
(n = 1)
P (A ∪ B ∪ C) ≥ P (A) + P (B) + P (C)
(n = 2)
−P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)
P (A ∪ B ∪ C) ≤ P (A) + P (B) + P (C)
−P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)
+P (A ∩ B ∩ C)
(n=3, es gilt hier sogar Gleichheit)
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1.6 Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
Wir betrachten für ein zufälliges Experiment die Menge der Elementarereignisse Ω = {ω1, . . . , ωN }. Sei E =
P(Ω) und jedes Elementarereignis habe die gleiche Wahrscheinlichkeit (d.h. P ({ωi}) =
1
,
N
∀i = 1, . . . , N ).
Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
A:
P (A) =
=
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#{ω : ω∈A}
n(A)
=
N
N
# der für das Eintreten von A günstigen
# der möglichen Ereignisse
Ereignisse
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Paradoxon von D E M ÉR É
Es wird ein Experiment mit drei Würfeln durchgeführt,
wobei die Würfel gleichzeitig geworfen werden.
Folgende Ereignisse werden betrachtet:
A = Es fallen 11 Augen.
B = Es fallen 12 Augen.
Frage: P (A), P (B)?
Die Menge der Elementarereignisse ist
Ω = {(i, j, k) : 1 ≤ i, j, k ≤ 6}.
Anzahl der Elementarereignisse N := 63 = 216.
P ((i, j, k)) =
1
216 .
Sehen wir uns nun die beiden Ereignisse A und
B an. Dabei geben wir in der ersten Spalte an,
welche Ziffernkombinationen auftreten können.
In der zweiten Spalte steht jeweils die Anzahl der
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Möglichkeiten für die Anordnung der jeweiligen
Zifferntrios.
A
B
Ereignisse # Ereignisse #
6-4-1
6 6-5-1
6
6-3-2
6 6-4-2
6
5-5-1
3 6-3-3
3
5-4-2
6 5-5-2
3
5-3-3
3 5-4-3
6
4-4-3
3 4-4-4
1
n(A)=27
n(B)=25
Also:
P (A) =
27
216
>
25
216
= P (B).
Folglich ist das Werfen von 11 Augen wahrscheinlicher als das Werfen von 12 Augen!
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