H Dreiecke und Vierecke

H Dreiecke und Vierecke
1
Beziehungen zwischen Seiten
und Winkeln im Dreieck
In einem Dreieck liegt der längsten Seite
C
der größte Winkel gegenüber.
Umgekehrt liegt dem größten Winkel
b
auch die längste Seite gegenüber.
Entsprechend gilt: In einem Dreieck
a
A
liegt der kürzesten Seite auch der
kleinste Winkel gegenüber und umgekehrt.
c
a
b
B
c
Addierst du die Längen zweier Dreiecksseiten, dann ist diese Summe
stets größer als die Länge der dritten Seite.
Es gilt also: a + b > c und a + c > b und b + c > a (Dreiecksungleichung).
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.
a + b + c = 180°
Beispiel
Von einem noch nicht gezeichneten Dreieck weißt du schon:
Der Winkel a ist 66° groß, b ist 55° groß und die Seite c ist 6,0 cm lang.
a) Was weißt du von dem Dreieck alles, bevor du es konstruierst?
b) Kannst du es überhaupt konstruieren?
Lösung
a) Der Winkel c ist 180° – 66° – 55° = 69° groß. c ist der größte Winkel des
Dreiecks. Damit ist c die längste Seite im Dreieck und die dem Winkel b
gegenüberliegende Seite b die kürzeste.
b) Das Dreieck ist konstruierbar. Du würdest mit der Seite c beginnen und daran
die Winkel a und b antragen.
Aufgabe
1. Entscheide, ob folgende Vorgaben
C
c
zu einem Dreieck passen.
b
a) Der Winkel a ist 70°, c ist 60° groß.
a
Die längste Seite ist c.
A
b) Die drei Winkel sind 60°, 70° und 80° groß.
c) Die Seite b ist 3 cm lang, Ferner gilt a = 75°, c = 60°.
64
a
b
c
B
2
Kongruenzsätze – Dreieckskonstruktionen
Dreiecke sind elementare Figuren. Vielecke lassen sich in Dreiecke
zerlegen oder aus ihnen aufbauen. Die Kongruenzsätze stellen
fest, unter welchen Bedingungen zwei Dreiecke kongruent sind.
Gleichzeitig kann man aus ihnen schließen, ob ein Dreieck aus
bestimmten gegebenen Stücken eindeutig konstruierbar ist oder nicht.
C
a
b
A
B
c
2. Kongruenzsatz (SWS)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten
und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
C
b
a
A
b
B
c
C
c
A
B
c
C
A
1. Kongruenzsatz (SSS)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen
drei Seiten übereinstimmen.
b
a
c
B
3. Kongruenzsatz (sSW)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
zwei Seiten und in dem Winkel übereinstimmen,
welcher der längeren Seite gegenüber liegt.
4. Kongruenzsatz (WSW bzw. SWW)
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
einer Seite und zwei gleich liegenden Winkeln
übereinstimmen.
Präge dir die Kongruenzsätze gut ein. Sie sind in der Geometrie sehr wichtig.
Die „Buchstabentrios“ sind eine gute Merkhilfe.
Tipp
Von zwei Dreiecken (A1B1C1 und A2B2C2) sind gegeben:
b1 = 2,1 cm, c1 = 3,5 cm, b1 = 30° und
C2
b2 = 2,1 cm, c2 = 3,5 cm, b2 = 30°.
Sind die beiden Dreiecke kongruent?
Lösung: In der Abbildung siehst
b2
du zu deiner Überraschung, dass
die Antwort „nein“ ist.
A2
C1
Es liegt kein Kongruenzfall vor,
b1
a1
weil hier zwei Seiten und
der Gegenwinkel der kürzeren
A1
c1
Seite gegeben sind.
Beispiel 1
a2
c2
B2
B1
65
H Dreiecke und Vierecke
Beispiel 2 Kann man aus den gegebenen Stücken ein Dreieck ABC eindeutig konstruieren? Weißt du also vor Beginn der Konstruktion, dass es genau ein bestimmtes
Dreieck geben wird, nicht zwei oder mehr oder gar keins?
a) a = 2 cm; b = 3 cm; c = 4 cm
b) a = 42°; b = 62°; c = 76°
c) a = 3,2 cm; c = 4,8 cm; a = 28°
d) b = 3,2 cm; c = 4,8 cm; a = 28°
Lösung
a) Es gibt genau eine Lösung. Kongruenzfall SSS.
b) Es gibt unendlich viele Lösungen. WWW ist kein Kongruenzfall.
c) Es kann eine oder zwei oder auch gar keine Lösung geben.
SsW ist kein Kongruenzfall.
d) Es gibt genau eine Lösung. Kongruenzfall SWS.
Aufgaben
2. Konstruiere ein Dreieck ABC. Lege vorher eine Probefigur an.
a) a = 5,6 cm; b = 3,1 cm; c = 6,2 cm
b) a = 75°; b = 42°; c = 6,2 cm
Tipp
Kontrolliere stets deine Zeichnungen, indem du die Größen der Winkel und
die Längen der Seiten misst, die nicht gegeben sind, und deine Messwerte
mit denen im Lösungsteil vergleichst.
3. Konstruiere ein Dreieck ABC und beschreibe deine Konstruktion.
a) a = 5,8 cm; b = 36°; c = 68°
b) a = 29°; b = 77°; a = 3,2 cm
4. Konstruiere ein Dreieck ABC. Gib auch
eine Konstruktionsbeschreibung.
a) a = 4,4 cm; b = 82°; c = 7,0 cm
b) b = 8,1 cm; c = 5,9 cm; b = 106°
C
Probefigur
zu 4. a)
b
A
5. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck
ABC mit den Schenkeln a und b und den
Basiswinkeln a und b.
a) b = 6,4 cm; a = 71°
b) c = 5,0 cm; a = 65°
c) a = 4,0 cm; c = 125°
66
B
c
C
Probefigur
zu 5. b)
b
A
6. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit c = 90°.
a) a = 3,0 cm; c = 5,0 cm
a
b) a = 3,1 cm; b = 66°
a
c
B
3
Besondere Dreiecke und Vierecke
Besondere Dreiecksformen
gleichschenkliges
rechtwinkliges
Dreieck
gleichseitiges
Dreieck
gleichschenkliges
Dreieck
allgemeines
rechtwinkliges
Dreieck
Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck und das gleichseitige Dreieck
sind Sonderfälle des gleichschenkligen Dreiecks. Die drei zusammen
bilden die Klasse der achsensymmetrischen Dreiecke.
Aber kein Dreieck ist punktsymmetrisch.
Untersuche das gleichschenklige Dreieck. Wie definiert man es? Unter welchen
Bedingungen entstehen kongruente gleichschenklige Dreiecke? Nenne wichtige
Eigenschaften der Figur.
Beispiel
Lösung
Definition: Ein Dreieck, in dem zwei Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Dreieck. Die gleich langen Seiten heißen „Schenkel“, die dritte Seite heißt
„Basis“.
Zwei gleichschenklige Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Länge eines
Schenkels und der Basis oder wenn sie in der Größe eines Basiswinkels und der
Länge einer Seite oder in der Größe des Winkels an der Spitze und der Länge
einer Seite übereinstimmen.
Das gleichschenklige Dreieck ist achsensymmetrisch. Die Basiswinkel sind gleich
groß.
7. Bei zwei Dreiecksformen genügt eine Seitenlänge, um ein ganz bestimmtes
Dreieck zu zeichnen. Begründe.
8. Formuliere einen speziellen Kongruenzsatz für gleichseitige Dreiecke (für
rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke).
9. Spiegele ein gleichschenkliges Dreieck an seiner Basis und untersuche die
entstandene Gesamtfigur.
67
Aufgaben
H Dreiecke und Vierecke
4
Besondere Linien im Dreieck
Alle Punkte, die von den Schenkeln
eines Winkels den gleichen Abstand haben,
liegen auf der Winkelhalbierenden des
Winkels (Ortsliniensatz). Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden
sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt MI
des Inkreises.
Alle Punkte, die von zwei Punkten
A und B gleiche Entfernungen haben,
liegen auf der Mittelsenkrechten der
}}
Strecke AB (Ortsliniensatz). Die Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten
schneiden sich in einem Punkt, dem
Mittelpunkt MU des Umkreises.
Beispiel
Kommentiere die Bildfolge.
I
c
II
C
wc
wb
wa
ri
A
B
C
mc
mb
ma
A
B
III
c
c
MU
MU
MU
Lösung
Die Dreiecke haben die gleiche Seitenlänge AB = c = 3,4 cm. Der hervorgehobene Winkel c ist in Abb. I spitz, in Abb. II ein rechter und in Abb. III stumpf.
Der Mittelpunkt MU liegt in I innerhalb des Dreiecks, in II auf der Seite c,
in III außerhalb des Dreiecks. In II ist der Umkreis ein Thales-Kreis.
Aufgaben
10. Konstruiere ein Dreieck ABC aus a = 3,2 cm; b = 2,9 cm; c = 5 cm.
Konstruiere dann die Winkelhalbierenden wa und wb, danach den
Inkreis des Dreiecks.
11. Konstruiere ein Dreieck ABC aus c = 5 cm, a = 77° und b = 44°.
Bestimme den Mittelpunkt MU des Umkreises und zeichne ihn ein.
68
4 Besondere Linien im Dreieck
Rechts siehst du, wie man eine Höhe
(z. B. ha) in einem Dreieck konstruiert. Höhen
stehen senkrecht auf den Seiten (bzw. auf
deren Verlängerung). ha gibt den Abstand
des Eckpunktes A von seiner Gegenseite a an.
Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in
einem Punkt.
C
ha
A
B
C
sc
Die Verbindungsstrecke eines Eckpunkts mit dem
s
Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite heißt
sb
sa
Seitenhalbierende. Die Seitenhalbierenden eines
A
Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S, dem
Schwerpunkt des Dreiecks. Sie werden deshalb auch Schwerelinien
genannt. Die Seitenhalbierenden teilen sich im Verhältnis 2 : 1.
Konstruiere ein Dreieck ABC aus c = 4 cm;
a = 68° und hc = 2,5 cm.
B
Beispiel
C
Lösung
b
a
}
hc
Zeichne AB = c = 4 cm. Konstruiere dazu
eine Parallele im Abstand hc = 2,5 cm.
a
B
Auf dieser Parallelen muss der Punkt C liegen.
A
c
Trage an c im Punkt A den Winkel a an.
Der freie Schenkel dieses Winkels schneidet die Parallele in C. Verbinde C mit B.
ABC ist das gesuchte Dreieck.
12. Es gibt eine Dreiecksform, bei der die Mittelsenkrechten der Seiten, die
Aufgaben
Winkelhalbierenden, die Höhen und die Seitenhalbierenden zusammenfallen. Wie heißt sie und warum ist dies so?
13. Konstruiere ein Dreieck ABC aus }
BC = a = 2,9 cm, b = 72° und ha = 3,8 cm.
Tipp: Zeichne eine Probefigur! Beginne die Konstruktion mit einem Streifen
der Breite ha = 3,8 cm.
▲14. Konstruiere ein Dreieck ABC aus
a = 6,1 cm; c = 6,7 cm; sa = 6,3 cm.
Tipp: In der Probefigur erkennst du:
Das Teildreieck ABX lässt sich aus
den Seiten c, }2a und sa konstruieren.
Probefigur
C
X
sa
A
a
2
}
c
B
69
H Dreiecke und Vierecke
5
Besondere Vierecksformen
In der Übersicht der Vierecke fallen zunächst die vier punktsymmetrischen Vierecksformen auf. Sie besitzen einen Mittelpunkt und gehen
bei einer Halbdrehung um diesen Punkt
in sich über.
M
Bis auf das Parallelogramm
sind alle abgebildeten Vierecke
Quadrat
achsensymmetrisch.
Das Quadrat besitzt vier Spiegelachsen, Rechteck und Raute
M
M
haben zwei Spiegelachsen.
In den Vierecken links sind
Raute
Rechteck
die Achsen zugleich
Mittellinien der Vierecke,
M
in den Vierecken rechts
gleichsch. Trapez
sind sie Diagonalen.
Parallelogramm
Beispiel
Drachen
Das gleichschenklige Trapez besitzt zwei Paare gleich großer Nachbarwinkel und
ein Paar gleich langer Seiten. Das gegenüberliegende Drachenviereck besitzt
zwei Paare gleich langer Seiten und ein Paar gleich großer Winkel. Sie haben
„ihre Winkel- und Seiteneigenschaften ausgetauscht“. Zeige, dass dies auch für
Rechteck und Raute gilt.
Lösung
Das Rechteck besitzt vier gleich große Winkel und zwei Paare gleich langer
Seiten. Die Raute hat entsprechend vier gleich lange Seiten und zwei Paare gleich
großer Winkel.
Aufgaben
15. Formuliere Definitionen für die Vierecksformen Quadrat, Rechteck, Raute
und Parallelogramm.
16. Beweise, dass ein gleichschenkliges Trapez zwei Paare gleich großer Nachbarwinkel besitzt.
17. Aus vier kongruenten rechtwinkligen Dreiecken kann man eine Raute
bauen. Warum ist dies möglich?
70
5 Besondere Vierecksformen
D
c
d
Links siehst du ein
Sehnenviereck und
rechts ein Tangentenviereck.
C
b
a
c
C
d
MU
A
D
B
Ein Sehnenviereck
besitzt einen Umkreis,
ein Tangentenviereck
einen Inkreis.
Beweise den Satz: In einem Sehnenviereck ergänzen
sich die gegenüber liegenden Winkel zu 180°.
}} }} }}
Lösung: Man zeichnet die Radien MA, MB, MC und
}}
MD ein. Es entstehen vier gleichschenklige Dreiecke
und es ist a2 = b1; b2 = c1; usw.
Ferner ist: a = a1 + a2 = d2 + b1 und c = b2 + d1.
Daraus folgt: a + c = d2 + b1 + b2 + d1 = b + d.
Da die Summe der Innenwinkel eines Vierecks 360°
beträgt, gilt a + c = 180° = b + d.
b
Mi
B
a
A
D
d2
d1
g2
Beispiel
C
g1
MU
A
a1
a2
b2
b1
B
18. Erläutere, dass Quadrat, Rechteck und gleichschenkliges Trapez Sehnen-
Aufgaben
vierecke sind. Welche Spezialfälle sind Tangentenvierecke?
19. Zur Konstruktion eines allgemeinen Vierecks brauchst du fünf voneinander
unabhängige Stücke, bei einem allgemeinen Sehnenviereck nur vier. Zeige
dies durch die Konstruktion eines Sehnenvierecks aus
a) a = 4,2 cm; b = 3,6 cm; a = 112°; b = 62°
b) a = 4,2 cm; b = 3,6 cm; c = 2,8 cm; b = 62°
Untersuche, ob die Lösung eindeutig ist, begründe deine Antwort.
▲ 20. Zeige: Je mehr Symmetrieachsen eine Vierecksform besitzt, desto weniger
voneinander unabhängige Stücke brauchst du zur Konstruktion eines
konkreten Vierecks. Vergleiche dazu die Konstruktion eines Drachenvierecks
und einer Raute. Gegeben sei in beiden Fällen a = 60°. Wähle weitere
Stücke so, dass es jeweils eine eindeutige Lösung gibt.
71
H Dreiecke und Vierecke
6
Beispiel 1
Begründen und beweisen
Begründe, warum du aus den gegebenen Stücken kein Dreieck konstruieren
kannst.
a) a = 4 cm; b = 5 cm; c = 10 cm
b) a = 4 cm; b = 5 cm; a = 92°
Lösung
a) Die Dreiecksungleichung ist nicht erfüllt. Es müsste a + b > c sein. In diesem
Fall ist aber a + b = 9 cm, und das ist kleiner als 10 cm.
b) a wäre der größte Winkel im Dreieck. Das aber ist nicht möglich, weil die
Gegenseite a dieses Winkels kürzer als die Seite b ist.
Beispiel 2 Beweise, dass in einer Raute die gegenüber liegenden Winkel gleich groß sind.
Lösung
Voraussetzung: Die Raute besitzt zwei Spiegelachsen, die zugleich Diagonalen
des Vierecks sind.
Beweis: Bei der Spiegelung an den Achsen gehen die gegenüber liegenden
Winkel jeweils ineinander über, sind also gleich groß.
Aufgaben
21. Begründe folgende Aussagen.
a) Ein gleichseitiges Dreieck kann niemals einen rechten Winkel haben.
b) Ein Quadrat ist immer eine Raute.
c) Die Summe der Winkel in einem Viereck beträgt immer 360°.
22. Beweise den folgenden Satz: Die Verbindungsstrecke zweier Seitenmitten
eines Dreiecks ist parallel zur dritten Seite und halb so lang wie diese.
Tipp: Zeichne zunächst eine Probefigur.
C
23. Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck
ABC. Auf den Seiten sind die Strecken
} } }
AX = BY = CZ abgetragen.
Beweise: Das Dreieck XYZ ist gleichseitig.
Z
Y
A
X
B
▲ 24. In der Übersicht der Vierecksformen auf Seite 70 ist die Anordnung
der einzelnen Vierecke nicht zufällig so gewählt worden, sondern
nach bestimmten Gesetzmäßigkeiten vorgenommen. Erläutere dies!
Tipp: Nimm als Kriterien z. B. „Sonderfall – Allgemeiner Fall“ oder „Anzahl
der Spiegelachsen“.
72
Probe-Klassenarbeit: Dreiecke und Vierecke
1. Von einem Dreieck ABC sind gegeben
(1) a = 70°; b = 45°; c = 5,0 cm; (2) c = 75°, b = 3,0 cm; c = 5,0 cm.
a) Gibt es eindeutige Lösungen? Begründe deine Antwort!
b) Konstruiere die beiden Dreiecke, miss die Größen der nicht gegebenen
Stücke.
2. Konstruiere ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ABC mit c = 90° aus
a) a = b = 3,8 cm;
b) c = 6,0 cm.
Gib eine Konstruktionsbeschreibung.
3. Warum lassen sich Dreiecke aus den folgenden Maßen nicht konstruieren?
a) a = 4,5 cm; b = 2,4 cm; c = 7 cm b) a = 92°; b = 101°; c = 3 cm
4. Bauer Niederer hat die Grenzen
seiner Wiese an der Spitze in einer
Skizze festgehalten.
a) Zeichne das Flurstück maßstabsgerecht.
}
b) Wie lang ist die Strecke TU?
c) Wie weit ist der kürzeste Weg
von T zur gegenüberliegenden
Straße?
5. Von einer Raute sind gegeben
(1) a = 55°; a = 2,8 cm
(2) a = 55°; b = 125°
a) Gibt es bei der Konstruktion eine eindeutige Lösung?
Begründe deine Antwort.
b) Wenn ja, dann konstruiere das Viereck, miss die Größen der nicht
gegebenen Winkel und Seiten und gib diese an.
6. Die Raute ist ein Sonderfall des Parallelogramms. Begründe diesen Satz.
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