Quantenfeldtheorie¨Ubung 1

Quantenfeldtheorie Übung 1
Prof. D. Stöckinger
Marco Schäfer
Philipp v. Weitershausen
http://iktp.tu-dresden.de/Lehre/WS2008/QFT
Wintersemester 2008/2009
1. Darstellung der Poincaréalgebra durch Differentialoperatoren:
Für jede durch (Λ, a) definierte Poincarétransformation definieren wir den Operator U (Λ, a)
auf einem Funktionenraum durch
U (Λ, a)f = f 0
f 0 (Λµ ν xν + aµ ) = f (xµ ).
mit
a) Zeigen Sie, daß diese Operatoren U (Λ, a) eine Darstellung der Poincarégruppe bilden,
d.h. daß U (Λ2 , a2 )U (Λ1 , a1 ) = U (Λ2 Λ1 , Λ2 a1 + a2 ).
b) Zeigen Sie, daß die durch
i
U (δ + ω, ) = 1 + iµ Pµ − ω µν Jµν + . . .
2
definierten Generatoren Pµ , Jµν in dieser Darstellung die Differentialoperatorform
Pµ = i∂µ ,
Jµν = i(xµ ∂ν − xν ∂µ )
annehmen.
2. Poincaréalgebra:
Zeigen Sie anhand obiger Darstellung, daß die Vertauschungsrelationen zwischen den Generatoren der Poincarégruppe durch
[P µ , P ν ] = 0,
[P µ , J ρσ ] = i(g µρ P σ − g µσ P ρ ),
[J µν , J ρσ ] = i(g νρ J µσ − g µρ J νσ + g µσ J νρ − g νσ J µρ )
(1)
(2)
(3)
gegeben sind. Zeigen Sie auch (am einfachsten darstellungsunabhängig), daß P µ Pµ mit
allen Generatoren vertauscht.
3. Darstellung der Lorentzgruppe mit γ-Matrizen:
Auf dem Raum der 4-Spinoren definieren wir die Matrizen
1 µν
σ ,
2
i µ ν
=
[γ , γ ] ,
2
S µν =
σ µν
wobei die γ-Matrizen die Antivertauschungsrelation {γµ , γν } = 2gµν erfüllen. Zeigen Sie,
daß die S µν eine Darstellung der Lorentzalgebra bilden, d.h. daß sie Gl. (??) erfüllen.
1
4. Zusammenhang Spin-Statistik:
Betrachten Sie 1-Teilchenzustände von Teilchen e− und Antiteilchen e+ , die eine innere
Quantenzahl (Spin) haben, sowie die zugehörigen Erzeuger:
|e− , p, σi = c†σ (p)|0i,
|e+ , p, σi = d†σ (p)|0i.
Die nichtverschwindenden (Anti-)Vertauschungsrelationen der Erzeuger und Vernichter
lauten
[cσ (p), c†σ0 (p0 )]∓ = (2π)3 2p0 δσσ0 δ (3) (~p − p~0 ),
[dσ (p), d†σ0 (p0 )]∓ = (2π)3 2p0 δσσ0 δ (3) (~p − p~0 ).
Hierbei wurde die Statistik (−: bosonisch, +: fermionisch) noch offengelassen.
Ein allgemeines Feld Ψ(x), das U (1, a)Ψ(x)U † (1, a) = Ψ(x + a) erfüllt, hat dann die Form
XZ
d3 p −ipx
†
ipx
Ψ(x) =
c
(p)u
(p)e
+
d
(p)v
(p)e
.
σ
σ
σ
σ
(2π)3 2p0
σ
Die Form der “Wellenfunktionen” u, v lässt sich für jeden gegebenen Spin aus der Forderung nach Lorentzkovarianz von Ψ(x) ermitteln.
a) Zeigen Sie:
[Ψ(x), Ψ(y)]∓ = 0,
XZ
†
[Ψ(x), Ψ (y)]∓ =
σ
(4)
3
dp
uσ (p)u†σ (p)e−ip(x−y) ∓ vσ (p)vσ† (p)eip(x−y)
(2π)3 2p0
(5)
b) Spezialisieren Sie auf den Fall von Spin-0-Teilchen: uσ = vσ = 1, und auf den Fall von
Spin-1/2-(Dirac)-Teilchen:
X
X
uσ (p)u†σ (p) = (γ µ pµ + m)γ 0 ,
vσ (p)vσ† (p) = (γ µ pµ − m)γ 0 .
σ
σ
Zeigen Sie nun, daß das Feld Ψ nur dann die kausalen Vertauschungsrelationen
[Ψ(x), Ψ† (y)]∓ = 0 für (x − y)2 < 0
erfüllt, wenn bosonisch (Spin 0) bzw. fermionisch (Spin 1/2) quantisiert wird. Hinweis:
Benutzen Sie, daß die Funktion
Z
d3 p
e−ip(x−y)
∆+ (x − y) =
(2π)3 2p0
für raumartiges (x − y) nur von (x − y)2 abhängen kann.
2