Die Poincaregruppe in der relativistischen Quantenmechanik

Die Poincaré-Gruppe in der relativistischen Quantenmechanik
Hauptseminar: Gruppen in der Physik
Axel Keller
7. Februar 2008
Die Poincaré-Gruppe
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Quantenmechanik
1.1 Das Theorem von Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Projektive Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2 Die
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
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4
4
5
6
8
8
3 Einteilchen-Zustände
3.1 Standardimpulse und little groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Little groups und deren Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
11
Poincaré-Gruppe und ihre Lie-Algebra
Die Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . .
Die Poincaré-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . .
Die Poincaré-Algebra . . . . . . . . . . . . . . .
Die Lorentz-Gruppe und die SL(2, C) . . . . . .
Projektive Darstellungen der Poincaré-Gruppe
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Die Poincaré-Gruppe
1
Grundlagen der Quantenmechanik
Grundlagen der Quantenmechanik
Zur Beschreibung der Zustände physikalischer Systeme werden in der Quantenmechanik Vektoren eines Hilbert-Raumes H verwendet. Das Skalarprodukt zweier Vektoren Ψ, Φ ∈ H wird im
Folgenden als (Ψ, Φ) geschrieben.
Jedem Zustand entspricht dabei ein Strahl R normierter Vektoren, also eine Menge von Vektoren, die sich nur um eine Phase unterscheiden. Zwei Vektoren Ψ, Φ gehören folglich zum selben
Strahl, wenn es eine Zahl ζ ∈ C gibt mit |ζ| = 1 und Ψ = ζΦ.
Jeder Observable entspricht ein linearer, selbstadjungierter Operator auf dem Hilbert-Raum
H, also eine Abbildung A : H → H, die die Bedingungen
A(λΨ + µΦ) = λAΨ + µAΦ
und
(Ψ, AΦ) = (AΨ, Φ)
mit λ, µ ∈ C und Ψ, Φ ∈ H
(1.1)
erfüllt. Die möglichen Werte, die man bei Messung dieser Observablen erhalten kann, sind die
Eigenwerte des Operators A. Da dieser hermitesch ist, sind seine Eigenwerte reell und die Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten orthogonal.
Ein Zustand, entsprechend dem Strahl R, besitzt nur dann einen eindeutigen Wert α der
Observablen, wenn die Vektoren von R Eigenvektoren von A sind.
AΨ = αΨ
für
Ψ∈R
(1.2)
Misst man an einem Zustand R, dessen Vektoren nicht Eigenvektoren zu A sind, diese Observable, so geht das System in einen Eigenzustand zu A (Zustand, dessen Vektoren Eigenvektoren
zu A sind) über und man erhält als Messwert den zu diesem gehörenden Eigenwert. In welchen
der Eigenzustände Rn es übergeht, entscheidet sich zufällig, wobei die Wahrscheinlichkeiten durch
P (R → Rn ) = |(Ψ, Ψn )|2
Ψ ∈ R,
Ψn ∈ Rn
(1.3)
gegeben sind.
1.1
Das Theorem von Wigner
Unter einer Symmetrietransformation eines quantenmechanischen Systems versteht man einen
Wechsel des Beobachters, der die Ergebnisse möglicher Experimente nicht beeinflusst. Hierbei
dürfen sich also die oben eingeführten Wahrscheinlichkeiten nicht ändern:
P (R → Rn ) = P (R0 → R0n )
(Die gestrichenen Zustände sind diejenigen, in denen der transformierte Beobachter das System
sieht, wenn der ursprüngliche Beobachter es in den jeweiligen ungestrichenen Zuständen sieht.)
Nach den Theorem von Wigner gibt es zu jeder solchen Symmetrietransformation, die einen
Strahl R in einen anderen Strahl R0 überführt, einen Operator U auf dem Hilbert-Raum, der
Vektoren Ψ ∈ R auf Vektoren U Ψ ∈ R0 abbildet. Dabei ist U entweder unitär und linear:
(U Φ, U Ψ) = (Φ, Ψ)
U (ξΦ + ηΨ) = ξU Φ + ηU Ψ
oder antiunitär und antilinear:
(U Φ, U Ψ) = (Φ, Ψ)∗
U (ξΦ + ηΨ) = ξ ∗ U Φ + η ∗ U Ψ
1
Die Poincaré-Gruppe
1.2
Projektive Darstellungen
Die triviale Symmetrietransformation, die jeden Stahl in sich selbst überführt, wird offensichtlich durch den Identitäts-Operator dargestellt. Da dieser unitär und linear ist, und sich diese
Eigenschaften nicht stetig ändern können, können die antiunitären und antilinearen Operatoren
entsprechenden Transformationen nicht stetig in die 1 überführt werden. Daher werden wir uns im
Folgenden auf unitäre und lineare Operatoren beschränken. Es lässt sich zeigen, dass antiunitäre
Operatoren Transformationen mit Zeitumkehr bewirken.
1.2
Projektive Darstellungen
Die Menge der Symmetrietransformationen eines Systems bildet eine Gruppe, wobei das Gruppenprodukt zweier Transformationen die Hintereinanderausführung selbiger ist.
Zur Untersuchung, welche Auswirkung diese Gruppenstruktur der Symmetrietransformationen
auf die ihnen entsprechenden Operatoren U hat, betrachten wir zwei Transformationen T1 und
T2 . T1 überführe den Strahl Rn in R0n , T2 überführe R0n in R00n . Folglich überführt T2 T1 Rn in R00n .
Wenn Ψn aus Rn ist, gilt also:
U (T1 )Ψn ∈ R0n
U (T2 )U (T1 )Ψn ∈ R00n
U (T2 T1 )Ψn ∈ R00n
Da also U (T2 )U (T1 )Ψn und U (T2 T1 )Ψn zum selben Strahl gehören müssen, können sie sich nur
um eine Phase φn (T2 , T1 ) unterscheiden:
U (T2 )U (T1 )Ψn = eiφn (T2 ,T1 ) U (T2 T1 )Ψn
(1.4)
Wie durch den Index n angedeutet, könnte die Phase außer von den Transformationen T1 und
T2 noch vom betrachteten Vektor Ψn bzw. Strahl Rn abhängen. Dass dies (unter gewissen Einschränkungen) nicht der Fall ist, zeigt folgende Überlegung:
Seien ΨA , ΨB ∈ H zwei beliebige linear unabhängige Vektoren und ΨAB = ΨA + ΨB . In obige
Gleichung (1.4) eingesetzt:
eiφAB (T2 ,T1 ) U (T2 T1 )(ΨA + ΨB ) = U (T2 )U (T1 )(ΨA + ΨB ) = U (T2 )U (T1 )ΨA + U (T2 )U (T1 )ΨB
= eiφA (T2 ,T1 ) U (T2 T1 )ΨA + eiφB (T2 ,T1 ) U (T2 T1 )ΨB
Von links mit U −1 (T2 T1 ) multipliziert (das Inverse eines unitären und linearen Operators ist
ebenfalls unitär und linear):
eiφAB (T2 ,T1 ) (ΨA + ΨB ) = eiφA (T2 ,T1 ) ΨA + eiφB (T2 ,T1 ) ΨB
umgeordnet:
eiφAB (T2 ,T1 ) − eiφA (T2 ,T1 ) ΨA + eiφAB (T2 ,T1 ) − eiφB (T2 ,T1 ) ΨB = 0
Da ΨA , ΨB nach Voraussetzung linear unabhängig sind, kann dies nur erfüllt werden, wenn beide
Koeffizienten einzelnen verschwinden:
eiφAB (T2 ,T1 ) = eiφA (T2 ,T1 ) = eiφB (T2 ,T1 )
Die Phase kann also nicht vom jeweiligen Vektor abhängen, so dass sich Gleichung (1.4) als
Operatorgleichung schreiben lässt:
U (T2 )U (T1 ) = eiφ(T2 ,T1 ) U (T2 T1 )
2
(1.5)
Die Poincaré-Gruppe
1.2
Projektive Darstellungen
Die Operatoren U (T ) bilden also nur für φ ≡ 0 eine Darstellung der Gruppe. Im Fall φ 6= 0 spricht
man von einer projektiven Darstellung.
Die Phasenfunktion φ(T2 , T1 ) ist nicht völlig beliebig. Wegen der Assoziativität des Produktes
der Operatoren
U (T3 ) (U (T2 )U (T1 )) = (U (T3 )U (T2 )) U (T1 )
muss φ die Bedingung
φ(T2 , T1 ) + φ(T3 , T2 T1 ) = φ(T3 , T2 ) + φ(T3 T2 , T1 )
erfüllen. Ein Spezialfall liegt vor, wenn sich die Phase als
φ(T1 , T2 ) = α(T1 T2 ) − α(T1 ) − α(T2 )
schreiben lässt. Denn dann kann man zu neuen Operatoren Ũ (T ) übergehen mit
Ũ (T ) = eiα(T ) U (T )
Diese bilden dann eine gewöhnliche Darstellung der Gruppe:
Ũ (T1 )Ũ (T2 ) = ei(α(T1 )+α(T2 )) U (T1 )U (T2 ) = ei(α(T1 )+α(T2 )) ei(α(T1 T2 )−α(T1 )−α(T2 )) U (T1 T2 )
= eiα(T1 T2 ) U (T1 T2 ) = Ũ (T1 T2 )
Es gibt allerdings auch projektive Darstellungen, bei denen die Phase nicht eliminiert werden kann,
die also intrinsisch projektiv sind. Für Lie-Gruppen lässt sich jedoch zeigen, dass man immer zu
einer gewöhnlichen Darstellung übergehen kann, wenn die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind:
(a) Die Generatoren der Gruppe können so umdefiniert werden, dass in der Lie-Algebra keine
central charges auftreten. Darunter versteht man zur Identität proportionale Terme: [ta , tb ] =
ifabc tc + igab 1.
(b) Die Gruppe ist einfach zusammenhängend, d.h. zwei beliebige Gruppenelemente können
durch einen stetigen Weg in der Gruppe miteinander verbunden werden und jeder geschlossene Weg in der Gruppe kann auf einen Punkt zusammengezogen werden.
3
Die Poincaré-Gruppe
2
Die Poincaré-Gruppe und ihre Lie-Algebra
Die Poincaré-Gruppe und ihre Lie-Algebra
2.1
Die Lorentz-Gruppe
In der speziellen Relativitätstheorie verwendet man zur Beschreibung von Ereignissen in Raum
und Zeit einen vierdimensionalen reellen Vektorraum, den Minkowski-Raum M. Von den vier
Komponenten eines Vektors xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 )T ∈ M ist die nullte die Zeitkoordinate1 , und die
restlichen drei sind die üblichen kartesischen Raumkoordinaten.
Für zwei Vierervektoren xµ , y µ wird mittels des metrischen Tensors


1 0
0
0
0 −1 0
0

ηµν = 
0 0 −1 0 
0 0
0 −1
ein Pseudoskalarprodukt definiert:
xµ ηµν y ν = x0 y 0 − x1 y 1 − x2 y 2 − x3 y 3
Das Pseudoskalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt das Quadrat seiner Minkowski-Norm:
xµ ηµν xν = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2
Als Lorentz-Transformation wird nun eine lineare Abbildung von M in M definiert, die das
Skalarprodukt beliebiger Vierervektoren invariant lässt. Für eine solche Transformation (dargestellt durch die Matrix Λµ ν ) muss also gelten:
Λµ ρ xρ ηµν Λν σ y σ = xµ ηµν y ν
für alle x, y ∈ M
bzw.
Λµ ρ ηµν Λν σ = ηρσ
(2.1)
Diese Transformationen bilden eine Gruppe, die (homogene) Lorentz-Gruppe O(3, 1):
O(3, 1) = {Λµ ν ∈ R4x4 |Λµ ρ ηµν Λν σ = ηρσ }
(2.2)
Berechnet man die Determinante von Gleichung (2.1), so ergibt sich:
det(ΛT ηΛ) = det η
bzw.
(det Λ)2 = 1
Für Lorentz-Transformationen gilt also entweder det Λ = +1 oder det Λ = −1. Da sich die Determinante nicht stetig von +1 nach −1 verändern kann, kann die Lorentz-Gruppe nicht zusammenhängend sein. Der Anteil mit Determinante +1 bildet eine Untergruppe, die eigentliche
Lorentz-Gruppe SO(3, 1).
SO(3, 1) = {Λ ∈ O(3, 1)| det Λ = 1}
(2.3)
Eine weitere Unterteilung erfolgt anhand der 00-Komponente der Transformationsmatrizen:
Die 00-Komponente von Gleichung (2.1) lautet:
1 = η00 = Λµ 0 ηµν Λν 0 = Λ0 0
2
−
3
X
Λi 0
2
i=1
1
falls ein Einheitensystem verwendet wird, in dem die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit gleich 1 ist
4
Die Poincaré-Gruppe
2.2
bzw.
Λ
0
0
2
=1+
3
X
Λi 0
2
Die Poincaré-Gruppe
≥1
i=1
Es gilt also entweder Λ0 0 ≥ +1 oder Λ0 0 ≤ −1. Wiederum ist ein stetiger Übergang von der einen
zur anderen Variante nicht möglich. Die Lorentz-Gruppe besteht also aus insgesammt vier Zusammenhangskomponenten. Die Komponente mit det Λ = +1 und Λ0 0 ≥ +1 ist eine Untergruppe,
die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe SO+ (3, 1).
SO+ (3, 1) = {Λ ∈ O(3, 1)| det Λ = 1 ∧ Λ0 0 ≥ 1}
(2.4)
Es lässt sich zeigen, dass jede Lorentz-Transformation entweder eigentlich und orthochron ist,
oder als Produkt einer solchen mit der Zeitumkehr T , der Rauminversion P oder deren Kombination P T geschrieben werden kann, wobei




−1 0 0 0
1 0
0
0
 0 1 0 0

0
 , und P = 0 −1 0

T =
 0 0 1 0
0 0 −1 0  .
0 0 0 1
0 0
0 −1
Es gilt also:
O(3, 1) ∼
= SO+ (3, 1) × C2 × C2
Im Folgenden werden wir im wesentlichen die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe betrachten.
2.2
Die Poincaré-Gruppe
Die Poincaré-Gruppe P oder inhomogene Lorentz-Gruppe ist das semidirekte Produkt der LorentzGruppe und der Translationsgruppe des R4 :
P = R4 o O(3, 1)
(2.5)
Elemente der Poincaré-Gruppe lassen sich also als ein Paar (Λ, a), bestehend aus einem Element
der Lorentz-Gruppe Λ und einem Vektor a des R4 schreiben. Ihre Wirkung auf Vektoren des
Minkowski-Raumes lautet:
xµ → x0µ = Λµ ν xν + aµ
Der Vektor xµ wird also zuerst mit Λ Lorentz-transformiert und dann um aµ verschoben.
Das neutrale Element der Poincaré-Gruppe ist (1, 0), das Produkt zweier Elemente entspricht
deren Hintereinanderausführung und lautet daher:
(Λ, a)(Λ0 , a0 ) = (ΛΛ0 , Λa0 + a)
(2.6)
Das zu (Λ, a) inverse Element lautet
(Λ, a)−1 = (Λ−1 , −Λ−1 a)
wie man durch Anwendung von Gleichung (2.6) sieht:
(Λ−1 , −Λ−1 a)(Λ, a) = (Λ−1 Λ, Λ−1 a − Λ−1 a) = (1, 0)
Wie die Lorentz-Gruppe besteht auch die Poincaré-Gruppe aus vier Zusammenhangskomponenten. Im Folgenden werden wir nur den eigentlichen orthochronen Anteil betrachten, der auch
hier eine Untergruppe bildet.
5
Die Poincaré-Gruppe
2.3
2.3
Die Poincaré-Algebra
Die Poincaré-Algebra
Zur Berechnung der Algebra der Poincaré-Gruppe betrachten wir nun eine infinitesimale Transformation, also ein Gruppenelement, das nur infinitesimal vom neutralen Element T (1, 0) abweicht.
Dieses lässt sich als T (1 + ω, ) schreiben, bzw. ausführlicher
Λµ ν = δ µ ν + ω µ ν
und aµ = µ
wobei ω und klein sein sollen. Damit diese Transformation ein Element der Poincaré-Gruppe
ist, muss sie den im vorherigen Abschnitt eingeführten Viererabstand bzw. die Metrik invariant
lassen:
!
ηρσ = ηµν Λµ ρ Λν σ = ηµν (δ µ ρ + ω µ ρ )(δ ν σ + ω ν σ ) = ηρσ + ωσρ + ωρσ + O(ω 2 )
Folglich ist die einzige Bedingung an und ω, dass ω antisymmetrisch ist: ωµν = −ωνµ . Da ω
und also 6 bzw. 4 freie Parameter haben, lässt sich eine Poincaré-Transformation durch 10 reelle
Größen eindeutig beschreiben. Diese entsprechen
• drei Parametern für räumliche und einem für zeitliche Translationen,
• drei Parametern für Raumdrehungen (z.B. die Euler’schen Winkel)
• und drei Parametern für Lorentz-Boosts (Transformationen in relativ zueinander bewegte
Bezugssysteme).
Operatoren zu infinitesimalen Poincaré-Transformationen können demnach als
i
U (1 + ω, ) = 1 + ωµν J µν − iµ P µ + . . .
2
(2.7)
geschrieben werden2 . Damit U eine unitäre Darstellung ist, müssen die Generatoren J und P
selbstadjungiert sein. Sie sind also Kandidaten für Observablen. Zudem kann J µν antisymmetrisch
gewählt werden, da der symmetrische Anteil bei der Kontraktion mit dem antisymmetrischen ω
herausfällt.
P µ† = P µ , J µν † = J µν , J µν = −J νµ
Die Transformationseigenschaften der Generatoren lassen sich nun durch Konjugation der infinitesimalen Transformation mit einem beliebigen Gruppenelement U (Λ, a) berechnen. Entsprechend
des Produktes in der Poincaré-Gruppe gilt dabei3 :
U (Λ, a)U (1 + ω, )U (Λ, a)−1 = U (Λ(1 + ω)Λ−1 , Λ − ΛωΛ−1 a)
Da die so konjugierte infinitesimale Transformation selbst infinitesimal ist, kann auf der rechten
Seite der Gleichung sowie links für U (1 + ω, ) die Entwicklung (2.7) eingesetzt werden:
i
i
µν
µ
U (Λ, a) 1 + ωµν J − iµ P U (Λ, a)−1 = 1+ Λ(1 + ω)Λ−1 µν J µν −i Λ − ΛωΛ−1 a µ P µ
2
2
i
= 1 + (ηµν + Λµ ρ Λν σ ωρσ ) J µν − i (Λµ ρ ρ − Λµ ρ Λν σ aν ωρσ ) P µ
2
Da ω und voneinander unabhängig sind, lässt sich diese Gleichung in zwei Anteile aufspalten:
U (Λ, a)J µν U (Λ, a)−1 ωµν = Λµ ρ Λν σ J µν ωρσ + 2Λµ ρ Λν σ aν P µ ωρσ
U (Λ, a)P µ U (Λ, a)−1 µ = Λµ ρ P µ ρ
2
Die Vorzeichen sowie der Faktor 21 bei J µν wurden so gewählt, dass die Generatoren physikalischen Observablen
entsprechen.
3
Hierbei wird vorausgesetzt, dass U eine gewöhnliche Darstellung der Poincaré-Gruppe ist.
6
Die Poincaré-Gruppe
2.3
Die Poincaré-Algebra
Während beliebig ist, muss ω antisymmetrisch sein. Somit erhält man folgendes Transformationsverhalten der Generatoren:
U (Λ, a)J ρσ U (Λ, a)−1 = Λµ ρ Λν σ (J µν + aν P µ − aµ P ν )
ρ
U (Λ, a)P U (Λ, a)
−1
ρ
= Λµ P
µ
(2.8)
(2.9)
Bei reinen Lorentz-Transformationen (a = 0) transformiert sich J also wie ein Tensor 2. Stufe und
P wie ein Tensor 1. Stufe (Vierervektor). Bei reinen Translationen (Λ = 1) bleibt P invariant,
während sich J wie der Viererdrehimpulstensor ändert.
Die Algebra der Poincaré-Gruppe ergibt sich, wenn man mittels der Transformationsgleichungen (2.8), (2.9) das Verhalten von J und P unter infinitesimalen Transformationen Λ = 1 + ω,
a = berechnet:
i [J µν , J ρσ ] = η νρ J µσ − η µρ J νσ + η σν J ρµ − η σµ J ρν
i [P µ , J ρσ ] = η µρ P σ − η µσ P ρ
[P µ , P ν ] = 0
Der Vorteil dieser Schreibweise für die Kommutatoren der Generatoren ist ihre direkt sichtbare Lorentz-Kovarianz. Ihre physikalische Bedeutung lässt sich jedoch aus einer dreidimensionalen Schreibweise einfacher erkennen. Dafür definiert man H = P 0 sowie folgende drei DreierVektoroperatoren:
P = (P 1 , P 2 , P 3 ),
J = (J 23 , J 31 , J 12 ),
K = (J 01 , J 02 , J 03 )
Mit diesen lauten die Kommutatoren:
[Ji , Jj ] = iijk Jk
[Ji , Kj ] = iijk Kk
[Ki , Kj ] = −iijk Jk
[Ji , Pj ] = iijk Pk
[Ki , Pj ] = −iHδij
[Ji , H] = [Pi , H] = [H, H] = 0
[Ki , H] = −iPi
Diese Darstellung der Poincaré-Algebra erlaubt die direkte Interpretation der Generatoren:
• H ist der Hamilton-Operator des Systems, welcher die Observable Energie repräsentiert.
• P ist der (Dreier-) Impulsoperator. Wie in der nichtrelativistischen Quantenmechanik vertauschen seine Komponenten untereinander und mit dem Hamiltonoperator (bei freien Teilchen).
• J ist der Drehimpuls-Operator. Seine Komponenten erfüllen dieselben Vertauschungsrelationen wie in der nichtrelativistischen Quantenmechanik.
• Die Komponenten von K, also die Generatoren der Lorentz-Boosts, entsprechen hingegen
keiner physikalischen Observablen.
Da die Komponenten von P und J mit H vertauschen, sind die diesen Operatoren entsprechenden
Observablen gleichzeitig mit der Energie scharf messbar, also Erhaltungsgrößen.
7
Die Poincaré-Gruppe
2.4
2.4
Die Lorentz-Gruppe und die SL(2, C)
Die Lorentz-Gruppe und die SL(2, C)
Jedem Vektor xµ des Minkowski-Raumes lässt sich durch
0
x + x3 x1 − ix2
0
1
2
3
X = x 1 + x σ1 + x σ2 + x σ3 =
x1 + ix2 x0 − x3
(2.10)
eine selbstadjungierte komplexe 2x2-Matrix X zuordnen (σi sind die Pauli-Matrizen). Da sich
jede hermitesche 2x2-Matrix in dieser Form schreiben lässt, ist diese Zuordnung bijektiv. Die
Abbildung
1
(2.11)
σ(X, Y ) = [det(X + Y ) − det X − det Y ]
2
ordnet jedem Paar (X, Y ) von Matrizen das Vierer-Skalarprodukt der ihnen entsprechenden Vektoren zu:
σ(X, Y ) = x0 y 0 − x1 y 1 − x2 y 2 − x3 y 3 = ηµν xµ y ν
Insbesondere ist das Quadrat der Minkowski-Norm eines Vektors gleich der Determinante der
entsprechenden Matrix:
ηµν xµ y ν = σ(X, X) = det X
Jeder komplexen 2x2-Matrix λ mit Determinante 1 (λ ∈ SL(2, C)) lässt sich über
φ(λ)X = λXλ†
(2.12)
eine Abbildung φ(λ) zwischen den hermiteschen 2x2-Matrizen zuordnen (falls X hermitesch ist,
so gilt dies auch für λXλ† ). Diese Abbildungen sind linear und lassen das Skalarprodukt σ(X, Y )
invariant:
σ(φ(λ)X, φ(λ)Y ) = σ(λXλ† , λY λ† ) =
i
1h
det(λ(X + Y )λ† ) − det(λXλ† ) − det(λY λ† )
2
1
= | det λ|2 [det(X + Y ) − det X − det Y ] = σ(X, Y )
2
Da φ(λ) auf den hermiteschen 2x2-Matrizen wie eine Lorentz-Transformation im Minkowski-Raum
wirkt, entspricht jedem λ ∈ SL(2, C) eine Lorentz-Transformation Λ. Aus
φ(λ)φ(ξ)X = λξXξ † λ† = (λξ)X(λξ)† = φ(λξ)X
folgt, dass φ ein Homomorphismus zwischen SL(2, C) und der Lorentz-Gruppe O(3, 1) ist. Der Kern
von φ sind die positive und die negative Einheitsmatrix ker φ = {±1} ∼
= Z2 . Desweiteren lässt
sich zeigen, dass das Bild von φ die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe ist: im φ = SO+ (3, 1).
Nach dem Homomorphiesatz gilt daher:
SL(2, C)/Z2 ∼
= SO+ (3, 1)
(2.13)
Wie im folgenden Abschnitt erläutert wird, ist SL(2, C) die einfach zusammenhängede Überlagerungsgruppe der Lorentz-Gruppe.
2.5
Projektive Darstellungen der Poincaré-Gruppe
Im Abschnitt 1.2 über projektive Darstellungen wurden zwei Bedingungen aufgeführt, die erfüllt
sein müssen, um das Auftreten intrinsisch projektiver Darstellungen einer Gruppe auschließen zu
können:
8
Die Poincaré-Gruppe
2.5
Projektive Darstellungen der Poincaré-Gruppe
• Die Lie-Algebra muss sich ohne central charges schreiben lassen
• und die Gruppe muss einfach zusammenhängend sein.
Diese Kriterien sollen nun für die Poincaré-Gruppe untersucht werden:
Im Abschnitt 2.3 wurde, ausgehend von einer nicht-projektiven Darstellung, die Lie-Algebra
der Poincaré-Gruppe ohne central charges hergeleitet. Ginge man von einer projektiven Darstellung aus, erhielte man eine Algebra mit central charges. Diese können jedoch im Falle der
Poincaré-Gruppe durch Umdefinition der Generatoren eliminiert werden, so dass es keinen algebraischen Grund für das Auftreten intrinsisch projektiver Darstellungen gibt. Für Details hierzu
siehe [1], Kapitel 2.7. (Es lässt sich allgemein zeigen, dass central charges bei halbeinfachen LieGruppen immer eliminiert werden können; allerdings ist die Poincaré-Gruppe nicht halbeinfach,
da die P µ eine invariante abelsche Unteralgebra bilden.)
Zur Untersuchung der Zusammenhangseigenschaften der Poincaré- bzw. Lorentz-Gruppe betrachten wir zunächst die Gruppe SL(2, C) aus dem vorherigen Abschnitt: Matrizen λ ∈ SL(2, C)
können wie alle nicht-singulären komplexen Matrizen eindeutig polar zerlegt werden in
λ = ueh
wobei u unitär und h hermitsch ist. Aus der Bedingung det λ = 1 folgt dann: det u = 1 und
det eh = etr h = 1, also tr h = 0. u ist also aus SU(2) und h ist spurlos. Da demnach h als
a
b − ic
, a, b, c ∈ R
h=
b + ic −a
geschrieben werden kann, wobei die Parameter a, b, c keinen weiteren Bedingungen unterliegen,
ist der Raum der h homöomorph zum R3 . Zudem ist SU(2) (der Raum der u) homöomorph zur
3-Sphäre S3 , also ist SL(2, C) homöomorph zum Produktraum S3 × R3 . Beide Faktoren dieses
Produktes sind einfach zusammenhängend, also ist auch SL(2, C) einfach zusammenhängend.
Für die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe SO+ (3, 1) ∼
= SL(2, C)/Z2 liefert eine analoge
3
3
Überlegung, dass diese homöomorph zu R × S /Z2 ist. Im Quotientenraum S3 /Z2 (dreidimensionaler projektiver Raum) werden dabei Antipoden auf der 3-Sphäre miteinander identifiziert.
Dieser Raum ist nicht einfach zusammenhängend, da Wege auf der 3-Sphäre, die in der Antipode
des Startpunktes enden (also in S3 /Z2 geschlossen sind), nicht zu einem Punkt zusammengezogen
werden können.
Daher können Darstellungen der Lorentz-Gruppe (oder der Poincaré-Gruppe) intrinsisch projektiv sein. Um mit gewöhnlichen Darstellungen arbeiten zu können, verwendet man anstelle
der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe deren einfach zusammenhängende Überlagerung
SL(2, C). Anstelle der eigentlichen orthochronen Poincaré-Gruppe wird folglich das semidirekte
Produkt
P̄ = R4 o SL(2, C)
verwendet.
9
Die Poincaré-Gruppe
3
Einteilchen-Zustände
Einteilchen-Zustände
Einteilchen-Zustände lassen sich nach bestimmten irreduziblen unitären Darstellungen der Poincaré-Gruppe klassifizieren (Wigners Klassifikation). Diese sollen im Folgenden gefunden werden.
Jede Poincaré-Transformation (Λ, a) lässt sich in in eine reine Translation und eine reine
Lorentz-Transformation zerlegen:
U (Λ, a) = U (1, a)U (Λ, 0)
Daher reicht es aus, das Transformationsverhalten physikalischer Zustände unter reinen Translationen und reinen Lorentz-Transformationen zu untersuchen.
Da die Komponenten des Viererimpuls-Operators eine invariante Unteralgebra bilden, bietet
es sich an, Einteilchen-Zustände durch Eigenvektoren zu P µ auszudrücken:
P µ Ψp,σ = pµ Ψp,σ
(3.1)
Hierbei ist pµ der Eigenwert und der zweite Index σ beinhaltet alle weiteren Freiheitsgrade. Unter
Translationen transformieren sich diese Vektoren gemäß:
U (1, a)Ψp,σ = e−iP
µa
µ
Ψp,σ = e−ip
µa
µ
Ψp,σ
(3.2)
Zur Berechnung ihres Transformationsverhaltens unter Lorentz-Transformationen betrachten wir
die Wirkung von P µ auf einen Lorentz-transformierten Vektor:
µ
P µ U (Λ)Ψp,σ = U (Λ)U (Λ)−1 P µ U (Λ)Ψp,σ = U (Λ)(Λ−1 )ν P ν Ψp,σ = Λµ ν pν U (Λ)Ψp,σ
(3.3)
Der transformierte Vektor ist also Eigenvektor von P µ zum Eigenwert Λµ ν pν , lässt sich also als
Linearkombination der Vektoren ΨΛp,σ0 darstellen:
X
U (Λ)Ψp,σ =
Cσ0 σ (Λ, p)ΨΛp,σ0
σ0
Die Cσ0 σ (Λ, p) bilden eine Darstellung der (homogenen) Lorentz-Gruppe.
3.1
Standardimpulse und little groups
Bezeichnet man mit B(k) die Bahn des Viererimpulses k unter der Wirkung der Lorentz-Gruppe
B(k) = {Λk|Λ ∈ SO+ (3, 1)}
so lässt sich jedes p ∈ B(k) aus dem Repräsentanten k dieser Bahn durch eine Standard-Lorentztransformation L(p) gewinnen:
pµ = Lµ ν (p)k ν
Gleiches gilt für die Eigenvektoren zu diesem Impuls:
Ψp,σ = N (p)U (L(p))Ψk,σ
Diese Gleichung ist als Definition des Zusammenhangs der Werte von σ bei unterschiedlichem
Impuls zu verstehen: Die Benennung soll so erfolgen, dass diese Gleichung gilt. N (p) ist dabei ein
noch nicht bestimmter Normierungsfaktor. Die Wirkung einer Lorentztransformation Λ auf Ψp,σ
lässt sich so auf den Zustand zum Repräsentanten k zurückführen:
U (Λ)Ψp,σ = N (p)U (ΛL(p))Ψk,σ = N (p)U (L(Λp))U (L−1 (Λp)ΛL(p))Ψk,σ
10
(3.4)
Die Poincaré-Gruppe
3.2
Little groups und deren Darstellungen
Durch das Einschieben der 1 im letzten Schritt hat man nun erreicht, dass die zweite Transformation k invariant lässt, da:
(L−1 (Λp)ΛL(p))k = L−1 (Λp)Λp = k
Folglich ist L−1 (Λp)ΛL(p) ein Element des Stabilisators von k (auch little group genannt):
S(k) = {W ∈ SO+ (3, 1)|W k = k}
Für W ∈ S(k) gilt offensichtlich:
U (W )Ψk,σ =
X
Dσ0 σ (W )Ψk,σ0
σ0
Die Koeffizienten-Matrizen D(W ) bilden dabei eine Darstellung der little group, da:
X
Dσ0 σ (W1 W2 )Ψk,σ0 = U (W1 W2 )Ψk,σ = U (W1 )U (W2 )Ψk,σ
σ0
= U (W1 )
X
Dσ00 σ (W2 )Ψk,σ00 =
σ 00
X
Dσ00 σ (W2 )Dσ0 σ00 (W1 )Ψk,σ0
σ 0 σ 00
oder (da die Ψk,σ linear unabhängig sind):
Dσ0 σ (W1 W2 ) =
X
Dσ0 σ00 (W1 )Dσ00 σ (W2 )
σ 00
Mit der Definition
W (Λ, p) = L−1 (Λp)ΛL(p)
lautet dann Gleichung (3.4):
U (Λ)Ψp,σ = N (p)
X
Dσ0 σ (W (Λ, p))U (L(Λp))Ψk,σ0 =
σ0
N (p) X
Dσ0 σ (W (Λ, p))ΨΛp,σ0
N (Λp) 0
(3.5)
σ
Die Wirkung einer homogenen Lorentz-Transformation auf Ψp,σ kann also auf die Darstellungen
der little group zurückgeführt werden. Daher reicht es zur Klassifikation der Ein-Teilchen-Zustände
aus, die irreduziblen Darstellungen der little groups aller möglichen bzw. physikalisch sinnvollen
Standard-Impulse k zu finden.
3.2
Little groups und deren Darstellungen
Die Bahnen der Wirkung der Lorentz-Gruppe bzw. der SL(2, C) auf die Viererimpulse werden
durch die Größen beschrieben, die bei Lorentz-Transformationen invariant bleiben. Das ist zum
einen das Quadrat des Impulses
ηµν pµ pν = (p0 )2 − (p1 )2 − (p2 )2 − (p3 )2 = m2
und, falls m2 ≥ 0 noch das Vorzeichen von p0 . Damit erhält man sechs Typen von Bahnen, die
in folgender Tabelle zusammen mit einem Standard-Impuls (Repräsentant der Bahn), dargestellt
durch die entsprechende hermitesche 2x2-Matrix, aufgeführt sind:
11
Die Poincaré-Gruppe
3.2
Bahn
(a) m2 > 0, p0 > 0
(b) m2 > 0, p0 < 0
(c) m2 = 0, p0 > 0
(d) m2 = 0, p0 < 0
(e) pµ = 0
(f) m2 < 0
Little groups und deren Darstellungen
Standard-Impuls
m 0
0 m −m 0
0 −m
2 0
0 0
−2 0
0 0
0 0
0 0
0
−|m|i
|m|i
0
Für diese Fälle ist nun die little group (Fixpunktgruppe des Standard-Impulses) zu bestimmen:
• Im Fall (a) besteht die little group aus den Matrizen A ∈ SL(2, C), für die gilt:
m 0
m 0
A
A† =
0 m
0 m
Da m 6= 0 ist dies äquivalent zu AA† = 1. Somit ist die little group hier die SU(2). Gleiches
gilt im Fall (b).
a b
der little group die Bedingung
• In den Fällen (c) und (d) müssen die Matrizen A =
c d
∗ ∗ 2
|a| ac∗ ! 1 0
a c
1 0
a b
=
=
0 0
a∗ c |c|2
b∗ d∗
0 0
c d
erfüllen. Es ist also |a|2 = 1, c = 0 und d = a−1 (da det A = 1). Diese Matrizen lassen sich
demnach als
2iθ iθ
e
b
b̃
−iθ e
=e
A=
−iθ
0 e
0 1
schreiben, wobei θ ∈ R und b, b̃ ∈ C ist. Diese Matrizen bilden die zweifache Überlagerungsgruppe (θ entspricht einer Drehung um 2θ) der Euklidischen Gruppe in zwei Dimensionen,
welche hier Ē(2) genannt werden soll.
• Im Fall (e) ist die little group offensichtlich die ganze SL(2, C).
• Die Bedingung im Fall (f)
0
−|m|i
0
−|m|i
†
A
A =
|m|i
0
|m|i
0
ist (da m 6= 0) äquivalent zu
0 −1
0 −1
†
A
A =
1 0
1 0
a b
Schreibt man A =
, so gilt für A und die Transponierte AT :
c d
0 −1
0
bc − ad
0 −1
T
A
A =
=
1 0
ad − bc
0
1 0
12
Die Poincaré-Gruppe
3.2
Little groups und deren Darstellungen
(da det A = ad − bc = 1). Daher müssen im Fall (f) die Matrizen der little group AT = A†
erfüllen. Sie sind also reell, woraus als little group die SL(2, R) folgt.
Folgende Tabelle zeigt die sechs Typen von Bahnen mit den zugehörigen little groups:
Bahn
(a) m2 > 0, p0 > 0
(b) m2 > 0, p0 < 0
(c) m2 = 0, p0 > 0
(d) m2 = 0, p0 < 0
(e) pµ = 0
(f) m2 < 0
Standard-Impuls
m 0
0 m −m 0
0 −m
2 0
0 0
−2 0
0 0
0 0
0 0
0
−|m|i
|m|i
0
Little group
SU(2)
SU(2)
Ē(2)
Ē(2)
SL(2, C)
SL(2, R)
Von physikalischer Relevanz sind die Fälle (a), (c) und (e): (a) beschreibt Teilchen der endlichen
Ruhemasse m, (c) beschreibt Teilchen ohne Ruhemasse und (e) beschreibt das Vakuum. In den
Fällen (b) und (d) würden die Teilchen rückwärts in der Zeit laufen und im Fall (f) handelte
es sich um ”Tachyonen”, also Teilchen, die sich schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.
Es sind also nur die irreduziblen Darstellungen der relavanten little groups SU(2) und Ē(2) zu
untersuchen.
Die irreduziblen Darstellungen der SU(2) lassen sich bekanntlich durch einen halbzahligen,
nichtnegativen Parameter
1
3
s = 0, , 1, , 2 . . .
2
2
charakterisieren und sind jeweils vom Grad 2s + 1. s entspricht hier dem Spin des Teilchens.
Ē(2) besitzt zwei Arten irreduzibler unitärer Darstellungen. Die erste Art entspricht denen der
SO(2): Diese Darstellungen sind eindimensional und werden durch einen halbzahligen Parameter
1
3
s = 0, ± , ±1, ± , ±2 . . .
2
2
charakterisiert. s kann hier mit der Helizität (Projektion des Spins auf den Impuls) identifiziert
werden. Die zweite Art ist unendlichdimensional. Da Teilchen zu diesen Darstellungen somit einen
weiteren kontinuierlichen Freiheitsgrad aufweisen würden, den man aber in der Natur nicht beobachtet, sind diese Darstellungen nicht realisiert.
Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass Einteilchen-Zustände nach irreduziblen unitären
Darstellungen der Poincaré-Gruppe klassifiziert werden können, wobei die physikalisch relevanten durch einen kontinuierlichen nichtnegativen Parameter m (Ruhemasse) und einen diskreten
Parameter s (Spin oder Helizität) charakterisiert werden. Hierbei ist
1
3
s = 0, , 1, , 2 . . .
2
2
und
für m > 0
1
3
s = 0, ± , ±1, ± , ±2 . . .
2
2
13
für m = 0
Die Poincaré-Gruppe
LITERATUR
Literatur
[1]
Steven Weinberg: The Quantum Theory of Fields 1: Foundations, Cambridge University Press, 2005
[2]
Shlomo Sternberg: Group Theory and Physics, Cambridge University Press, 2002
14