Lösung Übung 1 - Rechts- und Wirtschaftswissenschaften

Vorkurs Mathematik
für Wirtschaftsingenieure
und Wirtschaftsinformatiker
Übungsblatt 1
Musterlösung
Fachbereich Rechts- und Wirtschaftswissenschaften
Wintersemester 2015/16
Aufgabe 1 (Aussagenlogik)
Seien M1 := {1, 2, 3, 4} und M2 := (1, 4) ⊂ R zwei Mengen. Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind
falsch? Begründe deine Antwort.
a) (∀ y ∈ R)(∃x ∈ R) x > y
b) (∃x ∈ R)(∀ y ∈ R) x > y
c) (∀ y ∈ M1 )(∃x ∈ M1 ) x > y
d) (∃x ∈ M1 )(∀ y ∈ M1 ) x > y
e) (∀ y ∈ M2 )(∃x ∈ M2 ) x > y
f) (∃x ∈ M2 )(∀ y ∈ M2 ) x > y
Lösungsvorschlag:
a) wahr: In Worten bedeutet diese Aussage: Für jede beliebige reelle Zahl y lässt sich eine Zahl x finden, die größer
als dieses y ist. Die Aussage ist wahr, da man ja z.B. die Zahl x := y + 1 nehmen könnte. Die Aussage aus der
Aufgabenstellung sagt nicht, dass es eine Zahl x gibt, die zu allen Zahlen y gleichzeitig größer ist! Die Aussage
ist so zu verstehen: Egal welches y in vorgebe, dann finde ich ein x , dass größer ist. Das x ist also vom zuvor
gewählten y abhängig! Dass es eine Zahl x gibt, die zu allen Zahlen y gleichzeitig größer ist, wird in Aussage „b)“
behauptet.
b) falsch: In Worten bedeutet diese Aussage: Es gibt eine reelle Zahl x , die so gewählt werden kann, dass sie größer
als jede beliebige andere reelle Zahl y ist. Das ist falsch, denn R besitzt kein Maximum, deshalb kann man zu jeder
gewählten Zahl x eine Zahl y finden, die eben größer ist, z.B. y := x + 1.
c) falsch: Diese Aussage ist nun falsch, da die Menge M1 ein Maximum besitzt (nämlich die Zahl 4), gilt die Bedingung nicht für alle y aus M1 , nämlich für die Zahl 4 nicht: 4 > 4 ist ein Widerspruch.
d) falsch: Diese Aussage ist ebenfalls falsch, denn auch hier käme höchstens das Maximum für die Zahl x in Frage
und auch dieses erfüllt die Bedingung für y = 4 nicht: 4 > 4 ist ein Widerspruch.
e) wahr: Diese Aussage ist wieder richtig, ähnlich zu Aussage „a)“. Entscheidend ist auch hier, dass die Menge kein
Maximum besitzt. Dass die Menge M2 – im Gegensatz zu R – beschränkt ist spielt keine Rolle. Die Beschränkung
ist nur entscheidend, wenn man ein Beispiel angeben möchte: Das ist nun nicht mehr so leicht wie in der „a)“ denn
„+1“ bei x := y + 1 kann dazu führen, dass man nicht mehr in der beschränkten Menge ist.
f) falsch: Diese Aussage ist falsch, denn hier existiert kein Maximum. Auch hier gilt wieder: Egal welches x ich aus
der Menge M2 wähle, mag es noch so nahe an der 4 liegen, es gibt stets unendlich viele Zahlen die kleiner als 4
sind und trotzdem größer als das gewählte x .
1
Aufgabe 2 (Herkules I – Weiterführung der Aufgabe aus dem Skript)
Die Pilsstube Herkules kauft für den Monat August 40 Kisten Darmstädter Export, 5 mal 1kg Ültje Erdnüsse, 17 Flaschen
Korn und 20 Stangen Ernte23. Da das schlechte Septemberwetter mehr Besucher anlockt, verdoppelt sich der Getränkebedarf, von den beiden anderen Produkten werden aber nur noch 80% benötigt. Im Oktober stagniert der Bedarf an
Nüssen und Schnaps, Bier wird aber so viel wie in den beiden vorherigen Monaten zusammen eingekauft und aufgrund
des Rauchverbots wird die Pilsstube nun eine Nichtraucherkneipe und kauft deshalb auch keine Zigaretten mehr ein.
a) Stelle den Bedarf der einzelnen Monate als Spaltenvektoren dar.
b) Berechne den Gesamtbedarf der Pilsstube über die 3 Monate.
c) Stelle mit den Preisen von 10 EURO für eine Kiste Export, 5 EURO für 1 kg Erdnüsse, 4 EURO für die Flasche Korn
und 35 EURO für eine Stange Zigaretten zunächst den Kostenvektor auf. Damit sollen die Kosten pro Monat und
die Gesamtkosten über ein Skalarprodukt bzw. eine Matrixmultiplikation bestimmt werden.
d) Nun sind die Kosten pro Monat bekannt und es sollen die Preise für die einzelnen Produkte herausgefunden werden. August: 1335 EURO, September: 1698 EURO, Oktober: 1498 EURO. Des weiteren kommen viele Schnapsleichen aus dem Herkules. Von daher muss die Pilsstube 10% allen Geldes, dass sie in Alkoholeinkäufen steckt, auch
noch ans Ordnungsamt abführen. Das waren in den 3 Monaten 306,50 EURO.
Lösungsvorschlag:1


 

120
80
40
 4 
4
5
s =   , o~ = 
a) a~ =   , ~
34 
34
17
0
16
20

    
 
 

40
80
120
40 + 80 + 120
240
 5   4   4   5 + 4 + 4   13 
b) a~ + ~
s + o~ =   +   + 
=
=
17
34
34   17 + 34 + 34   85 
20
16
0
20 + 16 + 0
36
c) Mit ~k = 10
5
4
T
35 und dem Skalarprodukt lassen sich die Kosten der einzelnen Monate bestimmen:

10
5
20 ·   = 40 · 10 + 5 · 5 + 17 · 4 + 20 · 35 = 1193
4
35

Kostena = a~ T · ~k = 40
5
17
Analog für die anderen Monate: Kostens = 1516, Kosteno = 1356. Man hätte auch analog zum Skript eine Matrix für den Bedarf aufstellen können und mittels Matrix-Vektor-Multiplikation die Kosten ausrechnen können
(vertauscht lediglich die Reihenfolge der Rechenschritte).
d) Hierbei stellt man ein Lineares Gleichungssystem auf indem man die Vektoren a~, ~
s, o~, ~b in eine Matrix A schreibt.
40
 80
 120
24

5
4
4
0
17
34
34
8, 5
20
16
0
0

1335
1698 
1498 
306, 50
Daraus erhält man die Kosten für Bier (11 EURO), für Erdnüsse (2 EURO), für Korn (5 EURO) und für Zigaretten
(40 EURO).
1
2
Bitte beachtet: In dieser Lösung wurde die Vektornotation mit einem Pfeil über den Symbolen v~ verwendet. Diese ist eher bei Raumvektoren
im R3 , z.B. in der Mechanik und in der Elektrodynamik üblich. Dies ist allerdings nur eine mögliche Schreibweise. Sehr häufig findet man in
der Literatur, gerade in wissenschaftlichen Zeitschriften, auch fett-gedruckte Buchstaben für Vektoren v und Matrizen M. Manche Professoren
bevorzugen auch unterstrichene Symbole in der Form v oder M zur Kennzeichnung mehrdimensionaler Größen.
Aufgabe 3 (Gleichungssysteme)
a) Löse folgendes Gleichungssystem:
x 1 + 2x 2 + x 4 = 110
2x 1 + x 4 = 90
x 1 + x 2 = 70
3x 2 + x 3 + 3x 4 = 140
b) Löse das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren. Für welche Werte von a ∈ R hat es keine,
genau eine oder unendlich viele Lösungen?
2x 1 + x 2 + 2x 3 = −1
2x 1 + a2 x 2 + 2x 3 = a
2x 1 + x 2 + x 3 = 1
Lösungsvorschlag:
a) Umformen der zugehörigen Matrix mittels Gauß-Verfahren auf die Form einer oberen Dreiecksmatrix: A~
x = ~b mit
1
2
A=
1
0
2
0
1
3

1
2
1
0

2
0
1
3
0
0
0
1
1
1
0
3


110
1
90 
0
⇔
70 
0
140
0
2
4
1
3
 



x1
110
1
x 
90
1



und x~ =  2 
, ~b = 
x3
70 
0
x4
140
3
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
3


110
1
130
0
⇔
40 
0
140
0
2
1
0
0
0
0
0
−1
1
1
3
0


110
1
40 
0
⇔
30 
0
−20
0
2
1
0
0
0
0
−1
0
1
1
0
3

110
40 
−20
30
Also folgt x 4 = 10 , x 3 = 20 , x 2 = 30 , x 1 = 40.
b) Erneut umformen in obere Dreiecksmatrix:



2
2 1 2 −1
2 a 2 2 a  ⇔ 0
2 1 1 1
0
1
1 − a2
0

2 −1
0 −1 − a
1 −2
Für a = 1 entsteht in der zweiten Zeile die Gleichung 0 = −2, folglich ist das Gleichungssystem unlösbar. Für
a = −1 folgt 0 = 0 in der zweiten Zeile für alle x 2 und somit kann x 2 beliebig gewählt werden; es gibt in diesem
Fall also unendlich viele Lösungen. Für a ∈ R \ {−1, 1} existiert genau eine Lösung, da sich alle drei Unbekannten
eindeutig bestimmen lassen.
Aufgabe 4 (Volumina)
Berechne die 3-, bzw. 4-dimensionalen Volumina, die von den gegebenen Vektoren aufgespannt werden und interpretiere
das letzte Ergebnis geometrisch. Für das 3-dimensionale Volumen steht dir dafür u.a. das Spatprodukt zur Verfügung.
Überlege dir einen geeigneten Transfer in die 4. Dimension, in der das Spatprodukt nämlich nicht definiert ist.
 
 
 
−1
1
1
a) u1 =  1 , u2 = −1 und u3 =  1 .
1
1
−1
 
 
 
 
5
4
1
2
6
7
3 
2 
b) v1 =  , v2 =  , v3 =   und v4 =  .
1
8
5
2
3
1
9
2
3

 
 


1
2
4
−14
−1
5
1 
−10
c) w1 =  , w2 =  , w3 =   und w4 = 
.
5
−7
1
2 
3
3
8
−28

Lösungsvorschlag:
Das Spatprodukt ist definiert als a~ × ~b · ~c , das Volumen entspricht dem Betrag des Spatprodukts. Rechnet man das
Spatprodukt aus, so sollte einem auffallen, dass die Koeffizienten exakt denen entsprechen, die bei der Regel von Sarrus
auftauchen. Man kann das Spatprodukt also auch als Determinante einer Matrix interpretieren, welche als Spalten die
einzelnen Vektoren besitzt. Letzteres entspricht dann dem Transfer in die 4. Dimension.
a)

−1
V = det  1
1
1
−1
1

1 1  = |−1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1| = 4
−1 b)

5
6
V = det 
1
3
4
7
8
1
1
3
5
9


2 7
2 
8
=
5
·
det
2 1
2
3
5
9


2
4
2 − 6 · det 8
2
1
1
5
9


2
4
2 + det 7
2
1
1
3
9


2
4
2 − 3 · det 7
8
2
1
3
5

2 2
2 = |−312| = 312
c)

1
−1
V = det 
5
3
2
5
−7
3
4
1
1
8

−14 −10
=0

2 −28
Man sieht daran, dass diese 4 Vektoren also kein vierdimensionales Gebilde aufspannen, sondern nur ein dreidimensionales. (Entspricht einer dreidimensionalen Hyperebene in einem vierdimensionalen Vektorraum.) Die
4 Vektoren sind somit nicht linear unabhängig.
4