Blatt 5

Übungen zur Mathematik für Ingenieure 1
Wintersemester 2015/16
Priv.-Doz. Dr. M. Gnewuch
C. Drenkhahn
Blatt 5
Aufgabe 1 (2 + 2 = 4 Punkte)
Verifizieren Sie mit den Rechenregeln für Skalarprodukte und Vektorprodukte
für allgemeine Vektoren die folgenden beiden Identitäten:
1. Für ~x, ~y , ~z ∈
R3 gilt
~x × (~y × ~z) = (~x · ~z)~y − (~x · ~y)~z.
2. Für ~u, ~v , ~x, ~z ∈
R3 gilt
(~u × ~v ) · (~x × ~y) = (~u · ~x)(~v · ~y ) − (~v · ~x)(~u · ~y).
Aufgabe 2 (1 + 2 + 1 = 4 Punkte)
1. Welches Volumen besitzt der von den Vektoren ~x := (1, 0, 5/2), ~y :=
(−1, 5, −2) und ~z := (1, 1/2, 1) aufgespannte Spat?
2. Verifizieren Sie, dass das Spatprodukt invariant unter zyklischer Vertauschung ist, d.h., dass für alle ~x, ~y , ~z ∈ 3 gilt:
R
[~x, ~y , ~z ] = [~z, ~x, ~y ] = [~y, ~z , ~x].
3. Verifizieren Sie, dass das Spatprodukt antisymmetrisch unter Vertauschung
zweier Vektoren ist, d.h., dass für alle ~x, ~y , ~z ∈ 3 gilt:
R
[~x, ~y , ~z ] = −[~y , ~x, ~z ].
Aufgabe 3 (2 Punkte)
In der Vorlesung wurde die orthogonale Zerlegung eines Vektors ~x ∈
in Richtung eines Vektors ~y ∈ n \ {0} behandelt:
R
Rn \ {0}
~x = ~xy~ + ~xy⊥
~.
Zeigen Sie, dass im Fall n = 3 die orthogonale Komponente von ~x längs ~y
gegeben ist durch
1
~y × (~x × ~y).
~xy⊥
~ =
|~y |2
Aufgabe 4 (2 Punkte)
Ein Elektron mit Ladung −e 1 bewegt sich mit Geschwindigkeit ~v = 103 (2, 2, 0)
ms−1 in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B~ = 10−1 (0, 0, 3) T. Wie
groß ist die magnetische Kraft, die auf das Elektron wirkt? (Wie lässt sich die
Einheit der magnetischen Flussdichte T = 1 Tesla in den Grundeinheiten des
mksc-System2 ausdrücken?)
Aufgabe 5 (2 + 2 = 4 Punkte)
1. Berechnen Sie für z := 2 + i5, ζ := 12 − 5i und r := 4 die vier komplexen
ζ
Zahlen z −rζ, zζ, zζ und r+z
und tragen Sie diese Zahlen in der komplexen
Zahlenebene auf.
C
2. Bestimmen Sie zu z1 := −1−i und z2 := 3+2i ein z3 ∈ so, dass z1 , z2 , z3
die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks in der komplexen Zahlenebene bilden. Zeichen Sie anschließend zur Probe das resultierende Dreieck.
Aufgabe 6 ((Freiwillige!) Knobelaufgabe; 4 Knobelpunkte)
Die Mathematikerin Lisa Leuchte lädt den Ingenieur Karl Karohemd und den
Informatiker Achim Awkward zu einer Party ein. Anstatt ihnen das genaue Datum zu sagen, gibt sie ihnen zehn mögliche Termine, aus denen sie den richtigen
herausfinden müssen:
• 5. Januar, 6. Januar, 9. Januar,
• 7. Februar, 8. Februar,
• 6. März, 24. März,
• 5. April, 7. April, 24. April.
Dann sagt sie Karl nur den Tag und Achim nur den Monat, an dem bzw. in
dem die Party stattfindet. Achim und Karl führen folgendes Gespräch:
• Achim: Ich weiß nicht, wann die Party stattfindet, aber ich weiß, dass du
es auch nicht weißt.
• Karl: Eben wusste ich es auch noch nicht, aber jetzt weiß ich es.
• Achim: Jetzt weiß ich es auch.
Wann ist die Party? Begründen Sie Ihre Antwort nachvollziehbar!
Abgabe bitte bis spätestens Freitag, den 4. Dezember, 10:10 Uhr im Schreinfach
(1. Stock Math. Sem.) bzw. Postfach (3. Stock Math. Sem.) Ihres Übungsgruppenleiters.
1e
ist die Elementarladung 1, 6 · 10−19 C
dem die Einheiten Meter m, Kilogramm kg, Sekunde s und Coulomb C
zu Grunde liegen
2 Einheitensystem,