§5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

§5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln
Ellipsen: Seien a ≥ b > 0 reelle Zahlen und
2
x
y2
x
E = Ea,b := {
| 2 + 2 = 1}
y
a
b
Eine Quadrik Q ⊆ R2 heißt Ellipse, wenn es reelle Zahlen a ≥ b > 0 gibt,
so dass q ≡ Ea,b . Die Kurven Ea,b heißen Ellipsen in metrischer Normalform.
Im Fall a = b ist
Ea , b : x2 + y 2 = a2 ein Kreis mit Radius a
√
Sei
nun
a
=
6
b.
Wir
setzen
c
:=
a2 − b2 . Es ist 0 < c < a. Die Schnittpunkte
±a
0
und
von E mit den Achsen heißen Haupt- und Neben0
±b
scheitel. DieZahlen
a und b heißen
große und kleine Halbachse von E. Die
c
−c
Punkte f =
und f ′ =
heißen die Brennpunkte von E.
0
0
x
ε = ist die Exzentrizität von E. Es ist 0 < ε < 1. Für
∈ E ist
y
q
√
x ≤ x2 + a22 y 2 = a2 = a.
b
y c
a
E liegt also innerhalb des Kreises um 0 mit Radius a.
(5.1) Satz: E = {p ∈ R2 | 2a = d(p, f ) + d(p, f ′)}.
1
p
x
Beweis: Sei p =
∈ R2 mit d(p, f ′) = 2a − d(p, f ). ⇒ (x + c)2 + y 2 =
y
p
2
2a − (x − c) + y 2 ⇒ (quadrieren)
p
x2 p
+ 2xc + c2 + y 2 = 4a2 + x2 − 2xc + c2 + y 2 − 4a (x − c)2 + y 2 ⇒
4a (x − c)2 + y 2 = 4a2 − 4cx ⇒
a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 = a4 − 2a2 cx + (a2 − b2 )x2 ⇒
b2 x2 + a2 y 2 = a4 − a2 (a2 − b2 ) = a2 b2 ⇒
2
x2
+ yb2 = 1, d.h. p ∈ E
a2
x
Sei nun umgekehrt p =
∈ E. Dann gilt
y
2
x2 + y 2 − b2 = x2 − ab2 x2 = ε2 x2 und daher
d(p, f )2 = (x − c)2 + y 2 = x2 − 2cx + a2 − b2 + y 2 =
= a2 − 2aεx + ε2 x2 = (a − εx)2
Wegen a ≥ |p| ≥ |x| ≥ εx folgt
(1) d(p, f ) = a − εx; analog zeigt man d(p, f ′ ) = a + εx. Es folgt d(p, f ) +
d(p, f ′) = 2a; damit ist (5.1) gezeigt.
Aus (5.1) ergibt sich die sog. Gärtner–Konstruktion“ der Ellipse: Eine
”
Schnur der Länge 2a wird in den beiden Brennpunkten f und f ′ befestigt.
Führt man einen Zeichenstift entlang der gespannten Schnur, so beschreibt
dieser eine Ellipse.
Tangenten an E: Nach Kapitel V, §8 ist
(2)
Tp (E) :
p 1 x1
a2
+
p 2 x2
b2
=1
p1
die Tangente an E im Punkt p =
∈ E.
p2
a − b p2
Parameterdarstellung von t = Tp (E) : v :=
steht senkrecht auf
b
+
p
1
a
p1 dem Normalenvektor ap22 = n von t. Es folgt
b2
2
(3)
a − b p2
Tp (E) = p + R
+ ab p1
(denn p ∈ Tp (E))
Alternative Herleitung der Formel (3):
a cos ϕ
p1 (ϕ)
Behauptung: Die Kurve p(ϕ) :=
=
, 0 ≤ ϕ < 2π
b sin ϕ
p2 (ϕ)
durchläuft E genau ein mal.
2
(a cos ϕ)2
+ (b sin ϕ)
a2 b2
= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 ⇒ p(ϕ) ∈ E. p1
2
2
p1
u
Sei umgekehrt
∈ E, d.h. pa1 + pb2 = 1. Dann liegt
= pa2
p2
v
b
u
2
2
auf dem Einheitskreis u + v = 1. Schreibe q =
in Polarkoordinaten:
v
Es gibt genau ein ϕ mit 0 ≤ ϕ < 2π, so dass u = cosϕ undv = sin ϕ. Es
p1
p1 (ϕ)
folgt p1 = au = a cos ϕ, p2 = bv = b sin ϕ und
=
.
p2
p2 (ϕ)
−a sin ϕ
0
′
Leite p(ϕ) nach ϕ ab: p (ϕ) =
6=
für 0 ≤ ϕ < 2π. In der
b cos ϕ
0
Analysis lernt man:
Beweis:
Der Geschwindigkeitsvektor p′ (ϕ) gibt die
der Tangente an die
Richtung
p1
Kurve E = {p(ϕ) | 0 ≤ ϕ < 2π} im Punkt
= p(ϕ) an. Es folgt
p2
a
− b p2
.
Tp (E) = p + R
b
p1
a
(5.2) Optische Bedeutung der Brennpunkte: Ein von f ′ ausgehender
Lichtstrahl wird an der Ellipse so reflektiert, dass er danach durch f geht.
p1
′
′
Beweis: Der von f ausgehende Strahl s treffe E im Punkt p =
, also
p2
s′ ⊆ h′ = f ′ ∨ p. b
p
Wie gesehen ist = aa 1 ein Normalenvektor von t = Tp (E).
p
b 2
g := p + R · n ist die Normale von E im Punkt p, d.h. g ⊥ t und p ∈ g. Setze
h := f ∨ p; α = ∢(h, g);
3
h′ := f ′ ∨ p; α′ := ∢(h′ , g),
−→
−
→
p1 − c
p1 + c
′
′
v := f p =
;v = f p =
.
p2
p2
Nach den Gesetzen der Optik geht der von f ausgehende Lichtstrahl durch
f ′ genau dann, wenn α = α′ ( Einfallswinkel = Ausfallswinkel “).
”
Es ist also z.z.: cos α = cos α′ .
Beweis: Nach (1) ist |v| = a − εp1 und v ′ = a + εp1 .
hn, vi = ab p1 (p1 − c) + ab p22 = − ab p1 c + ab p21 + ab p22 = − ab p1 c + ab
= b(a − εp1 ) = b|v|. Analog: h, n, v ′ i = b|v ′ |. Es folgt
b·|v′ |
b|v|
b
= |n|
= |n|
= cos α′ .
cos α = |n|·|v|
|v′ |
Parabeln: Sei c ≥ 0 und
x
2
P = Pc :=
| y = 4cx
y
Eine Quadrik Q ⊆ R2 heißt Parabel, wenn Q ≡ P
c , für
ein c > 0. Pc ist eine
0
Parabel in euklidischer Normalform. Der Punkt
heißt Scheitel und
0
c
f =
Brennpunkt von P . Die x–Achse heißt Achse, ℓ : x = −c
0
Leitlinie von P .
4
(5.3) Satz. P = {p | d(p, f ) = d(p, ℓ)}
p
x
c
2
Beweis: Sei p =
∈ R und f =
. Dann ist d(p, f ) = (x − c)2 + y 2
y
0
und d(p, ℓ) = x + c. Also ist d(p, f ) = d(p, ℓ) ⇔ (x − c)2 + y 2 = (x + c)2 ⇔
y 2 = 4cx ⇔ p ∈ P.
p1
Tangenten an P : Sei p =
∈ P . Nach Kap. V, §8 ist
p2
(4)
t := Tp (P ) : p2 y = 2cx + 2cp1 = 2c(x + p1 )
die Tangente an P im Punkt p.
Alternative Herleitung von (4): P besteht aus den Punkten
1 2
1 2
y
x
4c
p(y) =
,y ∈ R
∈P ⇔x= y
y
y
4c
1 y
′
Leite p(y) nach y ab: p (y) = 2c .
1
1 2
1 p2 p1
y
y
′
4c
2c
Analysis: Für
= p(y) =
ist p (y) =
= 2c Richp2
y
1
1
tungsvektor von t = Tp (P ) und daher
p2 t = Tp (P ) = p + R 2c
1
−1
Somit ist n = p2 ein Normalenvektor von Tp (P ) und
2c
Tp (P ) : −x +
p2
y = d, d ∈ R
2c
p1
p2
1
Wegen
∈ Tp (P ) ∩ P ist d = −p1 + 2c2 = −p1 + 4cp
= −p1 + 2p1 = p1 .
2c
p2
Damit ist −x + p2c2 y = p1 eine Gleichung für Tp (P ). Multiplikation mit 2c
ergibt:
Tp (P ) : p2 y = 2c(p1 + x)
5
die Formel (4) von oben.
(5.4) Reflexionseigenschaft der Parabel: Ein vom Brennpunkt ausgehender Lichtstrahl wird an der Parabel parallel zur x–Achse reflektiert.
p1
Beweis: Sei p =
∈ E, g : y = p2 Parallele zur x–Achse durch p
p2
−c
{q} := g ∩ ℓ ⇒ q =
p2
Nach (5.3) ist das Dreieck (q, p, f ) gleichschenklig. Zeige:
(∗)
t = Tp (P ) ⊥ q ∨ f
Da (q, p, f ) gleichschenklig ist, folgt daraus: t ist die Winkelhalbierende des
Dreiecks (q, p, f ) bei p. Es folgt: Die Normale von P im Punkt p teilt auch
den Winkel zwischen den Geraden f ∨ p und g.
Nach den Gesetzen der Optik ( Einfallswinkel = Ausfallswinkel“) wird daher
”
der Strahl von f durch p längs g reflektiert.
−
→
−2c
Beweis von (∗): f q =
p2
−
→
−2c
Tp (P ) : −2cx + p2 y = 2cp1 , d.h.
= f q ist ein Normalenvektor von
p2
−
→
Tp (P ) und Tp (P ) ⊥ f q.
Hyperbeln: Seien a, b > 0 und
H = Ha,b
2
x
y2
x
=
| 2 − 2 =1
y
a
b
Eine Quadrik Q mit Q ≡ Ha,b heißt Hyperbel.
0
Ha,b ist eine Hyperbel in metrischer Normalform.
heißt Mittelpunkt und
0
√
±a
±c
Scheitel von H.
mit c := a2 + b2 sind die Brennpunkte
0
0
b
von H. Die Geraden y = ± a x nennt man die Asymptoten an H.
Geometrische Bedeutung
Hp
ist gegeben durch die
p der Asymptoten:
b
a 2
Gleichung y = y(x) = ± a x 1 − ( x ) . Es gilt: lim
1 − ( xa )2 = 1. Fazit:
x→±∞
Für x → ±∞ nähert sich y(x) den Asymptoten y = ± ab x.
6
(5.6) Satz: Ha,b = {p | d(p, f ) − d(p, f ′ ) = ±2a}
Beweis:
d(p, f )2 = c2 + p21 − 2cp1 + p22
d(p, f ′)2 = c2 + p21 + 2cp1 + p22
d(p, f ) = d(p, f ′) ± 2a ⇔
p
2
2
2
2
2
2
2
2
c2 + p21 − 2cp1 + pp
2 = c + p1 + 2cp1 + p2 + 4a ± 4a c + p1 + 2cp1 + p2
⇔ cp1 + a2 = ±a c2 + p21 + 2cp1 + p22 ⇔
c2 p21 + 2cp1 a2 + a4 = a2 c2 + a2 p21 + 2a2 cp1 + a2 p22 ⇔
(a2 + b2 )p21 − a2 p21 − a2 p22 = a2 (a2 + b2 ) − a4 = a2 b2 ⇔
p2
p2
b2 p21 − a2 p22 = a2 b2 ⇔ a12 − b22 = 1 ⇔ p ∈ H
Tangenten an H: Nach Kapitel V, §5 ist
p1 x p2 y
− 2 =1
a2
b
p1
die Tangente an H im Punkt p =
∈ H.
p2
Tp (H) :
7