Logik für Informatiker

Dr. Christian Săcărea
“Babeş–Bolyai” Universität, Cluj-Napoca
Fachbereich Mathematik und Informatik
Wintersemester 2016/2017
Lösungshinweise zur 9. Übung
Logik für Informatiker
Gruppenübungen:
(G 24)Färbbarkeit und Resolutionsverfahren
a) Gib eine aussagenlogische Formel an, die aussagt, dass die untenstehende Landkarte 2-färbbar
ist.
b) Zeige mit dem Resolutionsverfahren, dass die Landkarte nicht 2-färbbar ist.
Lösung:
a) Wir setzen L := {1, 2, 3} und F := {1, 2}. Dann leistet ¬(p11 ∧ p12 ) ∧ ¬(p21 ∧ p22 ) ∧ ¬(p31 ∧
p32 )∧¬(p11 ↔ p31 )∧¬(p11 ↔ p21 )∧¬(p21 ↔ p31 ), was in konjunktiver Normalform zur folgender
Formel wird, (¬p11 ∨ ¬p12 ) ∧ (¬p21 ∨ ¬p22 ) ∧ (¬p31 ∨ ¬p32 ) ∧ (¬p11 ∨ ¬p31 ) ∧ (p11 ∨ p31 ) ∧ (¬p11 ∨
¬p21 ) ∧ (p11 ∨ p21 ) ∧ (¬p21 ∨ ¬p31 ) ∧ (p21 ∨ p31 )) das Gewünschte.
b) Es ist F = {{¬p11 , ¬p12 }, {¬p21 , ¬p22 }, {¬p31 , ¬p32 }, {¬p11 , ¬p31 }, {p11 , p31 }, {¬p11 , ¬p21 },
{p11 , p21 }, {¬p21 , ¬p31 }, {p21 , p31 }}, woraus wir einen Beweisbaum basteln:
{p11 , p21 }{¬p11 , ¬p31 }
{p21 , p31 }
{p21 , ¬p31 }
{¬p11 , ¬p21 }{p11 , p31 }
{¬p21 , ¬p31 }
{p21 }
{¬p21 , p31 }
{¬p21 }
{}
(G 25)Prädikatenlogik
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei Ω = {f /1, g/2, a/0, b/0} und Π = {p/1, q/2, = /2}. Ferner
sei X eine Menge von Variablen und x, y ∈ X.
Markieren Sie durch Ankreuzen, welcher der folgenden Ausdrücke über Σ und X zu welchem
der genannten Konzepten gehört.
Hinweis: Es können mehrere Spalten zutreffen, d.h. es ist erlaubt mehr als nur 1 Kreuz pro
Zeile zu setzen.
Ausdruck
Term
∀x(q(y, f (a)))
∀x∃y(x = y)
∃x∃y(p(x, g(y)))
¬(f (y) = g(a, b))
¬q(f (y), a) ∧ p(g(a, x))
f (g(f (a), g(x, f (b))))
X
g(f (y), g(x, a))
X
g(x, a) = g(f (b), y)
p(x) = f (y)
q(a, g(a, x))
q(y, b) ∧ f (a)
p(a) ∨ x = f (x)
Atom Literal Klausel Formel
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Nichts
X
X
X
X
X
X
X
(G 26)Prädikatenlogik
Sei Σ = (Ω, Π) eine Signatur, wobei Ω = {1/0, 2/0} und Π = {p/1, q/1, r/2, s/2, t/2, u/3, v/3, =
/2}. Ferner sei Xeine Menge von Variablen und w, x, y, z ∈ X. Die Pradikate beschreiben
folgende Sachverhalte:
• p(x) beschreibt, dass x gerade ist.
• q(x) beschreibt, dass x prim ist.
• r(x, y) beschreibt, dass x die Zahl y teilt.
• s(x, y) beschreibt, dass x und y teilerfremd sind.
• t(x, y) beschreibt, dass x ≤ y ist.
• u(x, y, z) beschreibt, dass x der größte gemeinsame Teiler von y und z ist.
• v(x, y, z) beschreibt, dass x das kleinste gemeinsame Vielfache von y und z ist.
• x = y beschreibt, dass x gleich y ist.
Die Konstante 1/0 entspricht der natürlichen Zahl 1, die Konstante 2/0 der natürlichen Zahl
2. Formalisieren Sie mit Hilfe der Prädikatenlogik:
a) Für alle Zahlen x gilt: Ist x durch 2 teilbar, so ist x eine gerade Zahl.
b) Für alle Zahlen x gilt: Ist x ungleich 1 und nur durch sich selbst und durch 1 teilbar, so
ist x prim.
c) Für alle Zahlen x, y gilt: Gibt es keine Zahl, die x und y teilt und ungleich 1 ist, so sind
x und y teilerfremd.
d) Für alle Zahlen x, y gilt: Ist der größte gemeinsame Teiler von x und y gleich 1, so sind x
und y teilerfremd.
e) Für alle Zahlen x, y gilt: Sind x und y teilerfremd und es gibt eine Zahl, die sowohl x als
auch y teilt, so muss diese Zahl 1 sein.
f) Für alle Zahlen x, y, z gilt: Ist x ein Teiler von y und z, und x ist groer als alle anderen
Teiler von y und z, so ist x der größter gemeinsame Teiler von y und z.
g) Für alle Zahlen x, y, z gilt: Ist x ein Vielfaches von y und z, und x ist kleiner als alle
anderen Vielfachen von y und z, so ist x das kleinste gemeinsame Vielfache von y und z.
Lösung:
a) ∀x r(2, x) → p(x)
b) ∀x (¬(x = 1) ∧ r(x, x) ∧ r(1, x)) → q(x)
c) ∀x, y ∃z (r(z, x) ∧ r(z, y) ∧ ¬(z = 1)) → s(x, y)
d) ∀x, y u(x, y, 1) → s(x, y)
e) ∀x, y s(x, y) ∧ (∃z r(z, x) ∧ r(z, y)) → (z = 1)
f) ∀x, y, z r(x, y) ∧ r(x, z) ∧ (∀a r(a, y) ∧ r(a, z) → a ≤ x) → y(x, y, z)