Quantencomputer
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Quantencomputer Sommersemester 2009 Quantencomputer (mit Seminar) Hankiewicz (Theoretische Grundlagen) Buhmann (Experimentelle Realisierungen) Prof. Dr. H. Buhmann Quantencomputer Hankiewicz (Theoretische Grundlagen) Buhmann (Experimentelle Realisierungen) Prof. Dr. H. Buhmann Prof. Dr. H. Buhmann DiVicenzo--Kriterien DiVicenzo Prof. Dr. H. Buhmann für die Umsetzung eine Quantencomputers 1. Identifizierung wohl-definierter Qubits 2. zuverlässige Präparation von Zuständen 3. geringe Dekohärenz 4. Durchführbarkeit von Gatter-Operationen 5 Messbarkeit des Ergebnisses 5. D. P. DiVincenzo, Report No. cond-mat/9612126; in Mesoscopic Electron Transport, Vol. 345 of NATO Advanced Study Institute, Series E: Applied Sciences, edited by L. Sohn, L. Kouwenhoven, and G. Schoen (Kluwer, Dordrecht, 1997). 1. Qubit Realisierungsmöglichkeiten Im Fall eines zweidimensionalen Hilbertraumen: Qubit |0> |1> Qubit ||V> ||H> Photon, Linear-Polarisation |L> |R> Photon, Zirkular-Polarisation |+> |-> Elektron-, Atom-Spin |g> |e> Atom-, Ion-, Quantenpunkt-Energieniveau |a> |b> beliebiges zwei Niveau-Quantemsystem Prof. Dr. H. Buhmann 2. zuverlässige Präparation von Zuständen Prof. Dr. H. Buhmann • Präparation p des Ausgangzustands g g z.B. das „Kühlen“ in den Grundzustand Atom (Ion): Grund- und angeregter Zustand Í Raumtemperatur Bewegungsgrundzustand oder Nuklear-Spin Í Nano-Kelvin 3. Dekohärenz Ψ ρ Ψ ≥ 1− ε Î Fehlerkorrektur ist möglich aber b welche l h ε sind i d ttolerierbar? l i b ? ε ≤ 10 −6 Prof. Dr. H. Buhmann 4. QuantumQuantum-Gatter Es muss möglich sein, das Quantensystem eine kontrollierte Folge unitärer Transformationen zu unterziehen U = Te ∫ i H ( t ) dt Prof. Dr. H. Buhmann 5. Messung Prof. Dr. H. Buhmann die Messung bestimmt, in welchen orthogonalen Eigenzustand eines speziellen Hamilton-Operators sich das Quantensystem befindet, wobei die Wellenfunktion des Systems irreversible in dessen Eigenfunktion projiziert wird. Experimentelle Realisierungen 1 Atome, 1. At IIonen und dM Moleküle l kül 2 Licht 2. 3. Festkörper p a. Supraleiter b. Quantenpunkte Prof. Dr. H. Buhmann Prof. Dr. H. Buhmann Qubit Prof. Dr. H. Buhmann Zwei-Niveau-Systeme (orange) können in gespeicherten Ionen als Quantenbits verwendet werden a) verbotene optische Übergänge (Quadrupolübergänge, Interkombinationslinien) wie S-D-Übergänge in den Erdalkali- Ionen Ca+, Sr+, Ba+, Yb+, Hg+ etc., oder b) Mikrowellenübergänge (Hyperfein- und Zeeman-Übergänge) z. B. in 9Be+, 25Mg+, 43Ca+, 87Sr+, 111Cd+, 137Ba+, 171Yb+, die durch Raman-Übergänge getrieben werden. Der jeweils angeregte Zustand des Zwei-Niveau-Systems Zwei Niveau Systems koppelt dabei nicht an einen strahlenden Übergang und lässt sich damit zur Beobachtung von Quantensprüngen nutzen. Prof. Dr. H. Buhmann Ionen: Paul Paul--Fallen Prof. Dr. H. Buhmann Wolfgang Paul (Physik-Nobel-Preis 1989) (10 August 1913 in Lorenzkirch (Sachsen); † 7 (10. 7. Dezember 1993 in Bonn) Paul--Fallen Paul Prof. Dr. H. Buhmann Prinzip Schema einer Paul-Falle mit positiv geladenem Teilchen (rot), (rot) das von einer Wolke gleichgeladener Teilchen umgeben ist. Das elektrische Feld (blau) wird erzeugt durch einen Quadrupol aus Endkappen (a) und Ringelektrode (b). 1. Wechselspannungsphase mit positiver Ladung an den E dk Endkappen, 2. 2 mitit negativer. ti Di Die T Teilchenwolke il h lk wird id periodisch verzerrt. lineare Form der Ionenfalle Paul--Fallen Paul Prof. Dr. H. Buhmann Lineare Paul-Fallen Paul Fallen ähneln Paulschen Massenfiltern (a) (a), in denen sich ein Ionenstrahl mit vier (idealer weise hyperbolischen) Stangenelektroden und hochfrequenten Wechselspannungen massenselektiert transportieren lässt. Mit zusätzlichen Ringelektroden (b) gelingt es, Ionen entlang der Fallenachse speichern. Die Ringe lassen sich durch Segmente (c) oder durch Spitzen (d) ersetzen. Kombinationen von Segmenten und Schneiden (e) sind ebenfalls möglich. Prof. Dr. H. Buhmann Optische Kühlung Prof. Dr. H. Buhmann Optische Kühlung Prof. Dr. H. Buhmann Optische Kühlung Dopplereffekt Prof. Dr. H. Buhmann magneto--optische Falle, Laserkühlung magneto Prof. Dr. H. Buhmann atomarer Übergang 1-2 Laser rotverschoben Δω = ω L − ω12 := ω A Impulserhaltung: Mvi + =k = Mv f 2 2 M Mv Mv M f i Energieerhaltung: + =ω L = + =ω A 2 2 =k 2 ω A = ω L − kvi + Dopplerverschobene Resonanzfrequenz 2M Optische Kühlung F± = ±=kr± mit r ± = ΓI 0 Γ + 4(Δω0 ± kv ) 2 ⎛ ⎞ 1 1 ⎟⎟ F = =kΓI 0 ⎜⎜ 2 − 2 ⎝ Γ + 4(Δω0 + kv ) Γ + 4(Δω0 − kv ) ⎠ Prof. Dr. H. Buhmann Atome: magnetische Falle Prof. Dr. H. Buhmann zusätzlich zur geschwindigkeitsabhängigen noch eine ortsabhänigige Kraft anti-parallel Ausrichtung des atomaren magnetischen Moments zu einem äußeren Feld Atome: magnetische Falle Prof. Dr. H. Buhmann parallel Spin-Ausrichtung verlässt die Falle Î rot verstimmter Laser Prinzip der eindimensionalen magnetomagnetooptischen Falle (MOT) Prof. Dr. H. Buhmann S. Chu und D. Pritchard (MIT) demonstriert (Phys.Rev.Lett 59, 2631 (1987)) Prinzip der eindimensionalen magnetomagnetooptischen Falle (MOT) Prof. Dr. H. Buhmann Das Magnetfeld verschiebt die Zustände derart, derart dass für Atome, Atome welche aus dem Zentrum heraus diffundieren die Wechselwirkung mit demjenigen Laserstrahl dominiert, welcher das Atom zurück ins Zentrum treibt Drei--dimensionale MOT Drei Prof. Dr. H. Buhmann Drei--dimensionale MOT Drei Prof. Rudi Grimm - Ultrakalte Atome und Quantengase Universität Innsbruck Prof. Dr. H. Buhmann Drei--dimensionale MOT Drei Laser Centre Vrije Universiteit Amsterdam Amsterdam, Dr. W. Vassen Prof. Dr. H. Buhmann Beispiel Na-MOT am NIST, Washington DC aus der Gruppe von W.D. Philips (Nobelpreis 1997) Prof. Dr. H. Buhmann MOT Prof. Dr. H. Buhmann Typische Daten einer MOT • Zahl der gefangenen Atome: bis zu 1010, typisch 106, aber auch einzelne Atome können beobachtet werden. • Teilchendichte < 1011 cm-3. • Durchmesser der Falle: sub sub-mm mm bis 1 cm cm, je nach Zahl der geladenen Atome Atome. • Temperatur der Atome: TDoppler ≈ 100 μK. • Kollisionsbedingte Lebensdauer in der Falle: 1 sec bei 10-8 mbar Vakuum bis Stunden bei 10-12 mbar. Lädt man zu viele Atome, sinkt die Lebensdauer jedoch durch falleninterne Stöße. Stöße • Atomsorten: alle Alkalis, ansonsten noch Edelgase in metastabilen Zuständen, einige Erdalkalis. evaporatives Kühlen: Prof. Dr. H. Buhmann eine Radiofrequenz führt zu Spin-Flip-Prozessen bei Atomen hoher Energie T < 100 nK Kleeblattfalle Prof. Dr. H. Buhmann Layout der Kleeblattfalle. Quelle: Webseite der Ketterle-Gruppe am MIT. Problem Prof. Dr. H. Buhmann Um zu verhindern, dass durch ungewollte Spinflips im Fallenzentrum (B = 0) die FAlle verlassen wird dort durch einen blauverstimmten Lichtstrahl ein „optischer Stöpsel“ erzeugt, der die Atome aus dem Fallenzentrum heraus treibt. Quantenregister Prof. Dr. H. Buhmann Der individuelle Zustand eines Ions in einer linearen Fall kann mit einem Laser adressiert und ausgelesen werden Ein-Qubit-Gatter Ionen als Quantengatter a) elektronischer Grundzustand und metastabile Zustände b) zwei metastabile Zustände c) zwei Hyperfeinkomponenten d G des Grundzustandes d t d d) zwei Zeemankomponenten Prof. Dr. H. Buhmann Ionen als Quantengatter Prof. Dr. H. Buhmann Ionen als Quantengatter Resonannte Laseranregung G G Η e = − E ⋅ μe Kopplung des elektrischen Laserfeldes mit dem atomaren elektrischen Dipolmoment Prof. Dr. H. Buhmann Qubit Prof. Dr. H. Buhmann c0 | 0 > +c1 | 1 > R bi O ill ti Rabi-Oszillationen: D Dynamik ik eines i Z Zwei-Niveau-Systems i Ni S t Η e = −ω0S z − 2ω1 cos(ωt )S x =ω0 = E1 − E0 | 0 >→ cos( Ωt) | 0 > +sin( Ωt) |1 > Rabi-Oszillationen eines Zwei-Niveau-Systems kann als virtuelles Spin-1/2-System dargestellt werden, wobei das Koordinatensystem mit der Laserfrequenz um die z-Achse des virtuellen Spins rotiert. Ein Bit Gatter Prof. Dr. H. Buhmann Bestrahlung eines Ions in Resonanz ν = (Ee – Eg)/h mit der Phase Φ Fazit: Durch einen Laserpuls richtiger Frequenz (Resonanz), Phase und Dauer kann ich beliebige unitäre Transformationen auf einem Qubit durchführen. durchführen Problem: Für QC Prozesse ist der direkte Übergang zwischen |e> und |g> verboten! aux Für schnelle Rotationen: z.B. Raman-Anregung e g Gatteroperationen Wechselwirkung der Qubits Wechselwirkung der Ionen aufgrund der Coulomb Wechselwirkung Die Ionenbewegung ist ein zusätzlicher Freiheitsgrad, um Quanteninformation Q t i f ti zu tragen t Prof. Dr. H. Buhmann Schwingungsmoden Prof. Dr. H. Buhmann Breathing mode center of mass mode t Gatteroperationen Laser-Anregung sowohl eines inneren als auch äußeren Freiheitsgrades Trägerübergang Seitenband - Übergänge Î CNOT-Operation möglich Prof. Dr. H. Buhmann Gatter Seitenband-Kühlung Grundzustand Prof. Dr. H. Buhmann 2-Qubit Qubit--Gatter Prof. Dr. H. Buhmann Phase-Gate (Phasengatter) 11 10 aux 01 00 e iπ = − 1 2π Puls: Phase ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ 0 1 0 0 0 1 0 0 SWAP 11 10 π Puls auf das rote Seitenband 01 00 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ ⎟ − 1 ⎟⎠ Gatter kontrollierte Rotation: zeitliche Entwicklung bei einem Laserpuls der Zeit (kπ-Puls), Ω = Rabi Frequenz Prof. Dr. H. Buhmann Zwei--Qubit Zwei Qubit--Gatter CNOT Operation 1. Kontroll-Qubit Seitenbandanregung (Î verschränkter Zustand) 2. Anregung des Ziel-Qubits wenn Bewegungszustand stimmt 3. Rücksetzen der Kettenbewegung durch Kontroll-Qubit-Laserpuls Prof. Dr. H. Buhmann Prof. Dr. H. Buhmann Realisierungen • Ca+-Ionen (Insbrucker-Experiment) • Be+-Ionen (Boulder-Experiment) Prof. Dr. H. Buhmann Controlled--Z Gate Controlled Prof. Dr. H. Buhmann das controlled-Z Gatter (CONZ) ist äquivalent zum CNOT Gatter setze: Wirkung von CONZ auf diesen Zustand: Zwischen |g>,|e> und | ±> kann durch passende Ein-Qubit Rotationen hin und her transformiert werden! Controlled--Z Gate Controlled Prof. Dr. H. Buhmann Zwischen |g>,|e> und | +>,|-> kann durch passende Ein-Qubit Rotationen hin und her transformiert werden! Vˆnk (φ ) 1 Qubit Rotation auf Ion n mit Phase φ über Zeit t = kπ/Ω. Quantenalgorithmen faire oder unfaire Münze? Quantenmünze Superposition der beiden Münzseiten Î Deutsch-Josza-Algorithmus Prof. Dr. H. Buhmann Quantenalgorithmen Prof. Dr. H. Buhmann Deutsch--Jozsa Deutsch Jozsa--Algorithmus Prof. Dr. H. Buhmann Deutsch--Jozsa Deutsch Jozsa--Algorithmus Prof. Dr. H. Buhmann Anwendung Erzeugung von Bell-Zuständen g + e g ⎯CNOT ⎯⎯→ gg + ee Prof. Dr. H. Buhmann Drei--Qubit Drei Qubit--Rechenoperationen Prof. Dr. H. Buhmann Der Zustände maximaler Verschränkung: ψ GHZ ( ) 2 ( ggg + eee =1 ) Greenberger, g Horne und Zeilinger g (eine Messung zerstört die Kohärenz des Zustand) ψ W ( =1 ) 3 ( ggee + ege g + eegg ) (eine Messung zerstört nur die Kohärenz des gemessenen Zustands mit den beiden anderen, die Kohärenz dieser Zustände bleibt erhalten.) GHZ-Zustände und W-Zustände lassen sind nicht durch rein lokale Operationen ineinander überführen überführen. Drei-Qubit-Zustände sind wichtig für die Quantenkommunikation. Drei--Qubit Drei Qubit--Rechenoperationen Prof. Dr. H. Buhmann Teleportation Prof. Dr. H. Buhmann C. Bennett et al., Phys. Rev. Lett. 70, 1895 (2004) Eines der wichtigsten Verfahren für die Übertragung von Quanteninformation ist die Teleportation eines quantenmechanischen Zustands J. Das Kommunikationsprotokoll besteht aus Anweisungen für die Messung und Manipulation des Bell-Zustandes, den sich die beiden Partner Alice und Bob anfangs teilen. Teleportation Prof. Dr. H. Buhmann Skalierbarkeit Prof. Dr. H. Buhmann Einfach: Ionen bzw. Atome hinzuzufügen Schwierig: schwere Ketten durch Seitenbandkühlung in den Grundzustand zu bringen oder Schwingungsmoden anzuregen Î Rechenoperationen werden immer langsamer Skalierbarkeit Prof. Dr. H. Buhmann Quantenkanal Bei skalierbaren Quantenrechnern mit gefangenen Ionen dienen interne atomare Zustände als Quantenspeicher. Um Einbzw. Zwei-Qubit-Gatter auszuführen, werden Ionen vom Speicherbereich in den Prozessorbereich bewegt. Aufheizen durch den Transport der Ionen lässt sich durch sympathetisches Laserkühlen mit einer anderen Ionensorte unterdrücken. Skalierbarkeit Prof. Dr. H. Buhmann Ion--Chip Ion Prof. Dr. H. Buhmann Ion--Chip Ion rf und statische elektrische Felder Prof. Dr. H. Buhmann Ion--Chip Ion Prof. Dr. H. Buhmann Quantencomputer mit Atomen • Laserkühlung (T < 100 nK) • magnetische und optische Speicherung (bis zu Minuten) • weitest gehende Entkopplung von der Umwelt • Skalierbarkeit ((bis zu 105 Qubits)) Prof. Dr. H. Buhmann Atome auf einem Chip Prof. Dr. H. Buhmann Atome auf einem Chip Prof. Dr. H. Buhmann BEC Atome auf einem Chip Prof. Dr. H. Buhmann http://www.mpq.mpg.de/~haensch/ Prof. Dr. H. Buhmann Dipolfalle Prof. Dr. H. Buhmann typische Potentialtiefe: kB x 1 mK Dipolfalle Prof. Dr. H. Buhmann Liegt die Laserfrequenz unterhalb der Resonanzfrequenz der Elektronen eines At Atoms (Moleküls), (M l kül ) d dann iistt d der Ph Phasenschub h b zwischen i h A Anreger und d El Elektron kt kleiner als π/2. W h l ik Wechselwirkungsenergie: i W = − d E cos φ < 0 Î aufgrund des induzierten Dipols erfährt das Atom eine Kraft in Richtung ansteigender Intensität. Dipolfalle Anwendung: Mikropinzetten (Optical Force Microscope) Prof. Dr. H. Buhmann Quantencomputer mit Atomen At Atome b bewegen sich i hd durch hd das Gitt Gitter mit der Hüpfamplitude J Atom am g gleichen Gitterplatz p stoßen sich ab, WW = U Prof. Dr. H. Buhmann Dipolfalle Prof. Dr. H. Buhmann Verschränkung V hä k atomarer Zustände Dipolfalle Prof. Dr. H. Buhmann Quantencomputer mit Atomen bevorzugt: Rubidium Cäsium Prof. Dr. H. Buhmann Quantencomputer mit Atomen Prof. Dr. H. Buhmann Kontrollierte Stöße zweier Atome mit | (rote ( und internem Zustand ||0> und |1> blaue Kreise) in einem verschiebbaren zustandsabhängigen Potential (rotes und blaues Gitter) führen zur Verschränkung der Atome Dipolfalle Prof. Dr. H. Buhmann Bell--Zuständ mit Atome im optischen Gitter Bell Prof. Dr. H. Buhmann 1. 1 2. 3 3. Präparation des Produktzustands |0>|0> π/2-Puls Î 0 +1 0 +1 ( 1 )( 1 2 2 ) kohärenter Stoß erzeugt Phasenverschiebung Φ falls |1>1 und |0>2 d.h., 0 1 0 2 + 0 1 1 2 + e iφ 1 1 0 2 + 1 1 1 2 4. ein weiterer π/2-Puls erzeugt (1 + e ) 1 iφ (1 − e ) Bell + iφ 12 1 2 2 für Φ = π entsteht ein reiner Bell-Zustand ( (0 Bell = 0 1 2 −1 2 )+ 1 ( 0 1 2 +12 )) Optische Gitter Prof. Dr. H. Buhmann typische Potentialtiefe: kB x 1 mK Diese Anordnung von Atomen in Dipolfallen, die durch Mikrolinsen erzeugt werden, dient als zweidimensionales Register für atomare Qubits Qubits. Die Einzelfallen in dieser Fluoreszenzaufnahme haben einen lateralen Abstand von 125 Mikrometern. Quantenregister Mikro- und Nanostrukturierte Mikrooptische Elements Prof. Dr. H. Buhmann Dipolfallen Mikrolinsensysteme derzeitig: Felder mit 50 x 50 Linsen Durchmesser und Abstand: 125 μm Brennweite: 625 μm Brennebene Strahltaille: 2 μm Mikro- und Nanostrukturierte Mikrooptische Elements Prof. Dr. H. Buhmann ca. 1000 Atome ca 100 Atome ca. Mikro- und Nanostrukturierte Mikrooptische Elements Ein-Qubit-Gatter Prof. Dr. H. Buhmann Mikro- und Nanostrukturierte Mikrooptische Elements Prof. Dr. H. Buhmann Zwei-Qubit-Gatter zwei gegeneinander verschiebbare Dipolfallen R. Dumke, M. Volk, T. Mu¨ther, F. B. J. Buchkremer, G. Birkl, and W. Ertmer, PRL 89, 97903 (2003) Mikro- und Nanostrukturierte Mikrooptische Elements Zwei-Qubit-Gatter Prof. Dr. H. Buhmann
