DIE NATURWISSENSCHAFTEN 23. J a h r g a n g 29. N o v e m b e r z935 H e f t 48 Die gegenw/irtige Situation in der Quantenmechanik. V o n 2 . SCHR~3DINGER, O x f o r d . § z. § 2. § 3§ 4. § 5. § 6. § 7§ 8. § 9. § IO. § I i. § 12. § 13. § 14. § 15. Inhalts~bersicht. Die Pilysik der Modelle. Die Statistik der Modellvariablen in der Quantenmechanik. Beispiele fiir Wahrscheinlichkeitsvoraussagen. Kann man der Theorie ideate Gesamtheiten unterlegen ? Sind die Yariablen wirklich verwaschen? Der bewtlgte Wechsel des erkenntnistheoretitischen Standpunktes. Die ~-Funktion Ms Katalog der Erwartung. Theorie des Messens, erster Teil. Die v)-Funktion als Beschreibullg des Zllstandes. Theorie des Messens, zweiter Tell. Die Aufhebung der Verschr~tnkung. ])as Ergebnis abhAngig vom W'illen des Experimentarots. Eli1 Beispiel. Fortsetzullg des Beispiels: alle mSglichen Messungen sind eindeutig verschr~nkt. Die Jknderung der VerschrXnkung mit der Zeit. Bedenken gegen die Sonderstetlung der Zeit. Natllrprinzip oder Rechenkunstgriff? 1. Die Physik der Modelle. I n der zweiten H~lfte des vorigen J a h r h u n d e r t s w a r aus den grogen E r f o l g e n der kinetischen Gastheorie und der mechanischen T h e o r i e der W ~ r m e ein Ideal der e x a k t e n N a t u r b e s c h r e i b u n g hervorgewachsen, das als K r 6 n u n g j a h r h u n d e r t e langen Forschens und Erffillung j a h r t a u s e n d e a l t e r H o f f n u n g einen H 6 h e p u n k t bildet u n d das klassische heiBt. Dieses sind seine Ztige. Yon den N a t u r o b j e k t e n , deren beobachtetes V e r h a l t e n m a n erfassen m6chte, bildet man, gesttitzt auf die e x p e r i m e n t e l l e n Daten, die m a n besitzt, a b e t ohne der i n t u i t i v e n I m a g i n a t i o n zu wehren, eine Vorsteltung, die in alien Details genau ausgearbeitet ist, viel genauer als irgendwelche E r f a h r u n g in A n s e h u n g ihres b e g r e n z t e n Llmfangs je verbtirgen kann. Die Vorstellung in ihrer a b s o l u t e n B e s t i m m t h e i t gleicht e i n e m m a t h e m a t i s c h e n Gebilde oder einer geometrischen Figur, welche aus einer A n z a h l y o n Bestimmungsstiiclcen ganz nnd gar b e r e c h n e t w e r d e n k a n n ; wie z. ]3. an e i n e m D r e i e c k eine Seite und die zwei ihr anliegenden Winkel, als Bestimmungsstticke, den d r i t t e n Winkel, die anderen zwei Seiten, die drei H6hen, den R a d i u s des eingeschriebenen Kreises usw. m i t b e s t i m m e n . V o n einer g e o m e t r i s c h e n F i g u r n n t e r s c h e i d e t sich die Vorstellung i h r e m W e s e n n a c h bloB d u r c h den wichtigen U m s t a n d , dab sie auch noch in der Zeit Ms v i e r t e r D i m e n s i o n ebenso klar b e s t i m m t ist wie jene in den drei D i m e n s i o n e n des R a u m e s . Das h e i g t es h a n d e l t sieh (was j a selbstverst~ndlich ist) stets u m ein Nw. I935 Gebilde, das sich m i t der Zeit ver~ndert, das v e r schiedene Zusti~nde a n n e h m e n k a n n ; und w e n n ein Z u s t a n d d u r c h die n6tige Zahl yon B e s t i m mungsstticken b e k a n n t g e m a c h t ist, so sind n i c h t n u r alle a n d e r e n Stiicke in diesem A u g e n S l i c k m i t gegeben (wie oben a m Dreieck erl~utert), sondern ganz ebenso alle Stficke, der genaue Zustand, zu jeder b e s t i m m t e n sp~teren Zeit; ~hnlich wie die Beschaffe~beit eines Dreiecks an der Basis seine Beschaffenheit an der Spitze b e s t i m m t . E s geh S r t m i t z u m inneren Gesetz des Gebildes, sich in b e s t i m m t e r Weise zu ver~ndern, das heiBt, w e n n es in einem b e s t i m m t e n A n f a n g s z u s t a n d sich selbst iiberlassen wird, eine b e s t i m m t e Folge y o n Zust~nden kontinuierlich zu durchlaufen, d e r e n j e d e n es zu ganz b e s t i m m t e r Zeit erreicht. Das ist seine N a t u r , das ist die t I y p o t h e s e , die man, wie ich oben sagte, auf G r u n d i n t u i t i v e r I m a g i n a t i o n setzt. Natiirlich ist m a n n i c h t so einf~ltig zu denken, dab solchermat3en zu e r r a t e n sei, wie es auf d e r W e l t wirklich zugeht, U m anzudeuten, dab m a n das nicht denkt, n e n n t m a n den pr~zisen D e n k behelI, den m a n sich geschaffen hat, g e r n ein Bild oder ein t'Vlodell. 5 ~ t seiner nachsichtslosen Klarheit, die ohne W'illkiir n i c h t herbeizuftihren ist, h a t m a n es lediglich d a r a u f abgesehen, dab eine ganz b e s t i m m t e H y p o t h e s e in ihren F o l g e n geprfi~t w e r d e n kann, ohne n e u e r ~ArilIktir R a u m zu geben wg.hrend der langwierigen R e c h n u n g e n , d u t c h die m a n F o l g e r u n g e n ableitet. D a h a t m a n gebundene Marschroute und e r r e c h n e t eigentlich nut, was ein kluger H a n s aus den D a t e n d i r e k t herauslesen wfirde! M a n weiB d a n n wenigstens, wo die ~vViIlk/ir s t e c k t u n d wo m a n zu bessern hat, wenn's m i t der E r f a h r u n g n i c h t s t i m m t : in der Ausgangshypothese, i m 3/[odell. D a z u muB m a n stets bereit sein. W e n n bei vielen verschiedenartigen E x p e r i m e n t e n das N a t u r o b j e k t sich w i r k Hch so b e n i m m t wie das Modell, so f r e u t m a n sich und denkt, dab nnser Bild in den wesentlichen Ztigen der W i r M i c h k e i t gem~B ist. S t i m m t es bei einem n e u a r t i g e n E x p e r i m e n t o d e r bei Verfeiner u n g der MeBtechnik n i c h t mehr, so ist n i c h t gesagt, dab m a n sich nicht freut. D e n n im G r u n d e ist das die Art, wie allm~hlich eine i m m e r bessere Anpassung des Bildes, das heiBt unserer Gedanken, an die T a t s a c h e n gelingen kann. Die Massische ~<[ettlode des pr~zisen l~Iodelts h a t den H a u p t z w e c k , die u n v e r m e i d l i c h e W'illkfir in den A n n a h m e n sauber isoliert zu halten, ich m 6 c h t e fast sagen wie der K 6 r p e r das K e i m p l a s m a , ftir den historisehen AnpassungsprozeB an die fortschreitende E r f a h r u n g . Vielleicht liegt der 52 808 SCHRODINGER: Die gegenwXrtige Situation in der Quantenmechanik. Methode der Glaube zugrunde, dab i~yendwie der Anfangszustand den AblauI wirlclich eindeutig bestimmt, oder dab ein vollkommenes Modell, welches mit der Wirklichkeit ganz genau tibereinstimmte, den Ausgang aller Experimente ganz genau vorausberechnen lassen wfirde. Vielleicht auch grtindet sich umgekehrt dieser Glaube aui die Methode. Es ist aber ziemlich wahrscheinlich, dab die Anpassung des Denkens an die Erfahrung ein infiniter ProzeB ist und dab ,,vollkommenes Model1" einen Widerspruch im Beiwort enthglt, etwa wie ,,grSgte gauze Zahl". Eine klare Vorstellung davon, was unter einem klassischen Modell, seinen Bestimmur~sst~elcen, seinem Zustand gemeint sei, ist die Grundlage ffir alles Folgende, Vor allem darI e~;n bestimmtes Modell und ein bestimmter Zustand desselbe~ nicht vermengt werden. Am besten wird ein Beispiel dienen. Das RUTHERVORDsche Modell des Wasserstoffatoms besteht aus zwei Massenpunkten. Als Bestimmungsstticke kann man beispielsweise die zwei real drei rechtwinkeligen Koordinaten der zwei Punkte und die zweimM drei Komponenten ihrer Geschwindigkeiten in Richtung der Koordinatenachsen verwenden - - also zw61f im ganzen. S t a t t dessert k6nnte man auch w~hlen: die Koordinaten und Geschwindigkeitskomponenten des Schwerpunktes, dazu die Ent.fernung der zwei Punkte, zwei Winkel, welche die Richtung ihrer Verbindungslinie im R a u m festlegen, und die Gesehwindigkeiten ( = DifferentiMquotienten nach der Zeit), mit welchen die Entfernung und die zwei Winkel sich in dem betreffenden Augenblick ver~ndern; das sind nattirlich wieder zwSlf. Es gehSrt nieht mit zum Begriff ,,R.sches ModeU des H - A t o m s " , dab die Bestimmungsstiicke bestimmte Zahlwerte haben sollen. Indem man ihnen solche zuschreibt, gelangt man zu einem bestimmten Zustand des Modells. Die klare i)bersicht fiber die Gesamtheit der mSglichen. ZustXnde - - noch ohne Beziehung zueinander - - bildet ,,das Modelt" oder ,,das ModelI in irgendeinem Zustand". Aber zum Begriff des Modells geh6rt dann noch mehr als bloB: die zwei Punkte in beliebiger Lage und m i t beliebigen Geschwindigkeiten begabt. Es geh6rt dazu noch, dab fiir yeden Zustand bekannt ist, wie er sich mit der Zeit ver~ndern wird, solange kein ~uBerer Eingriff stattfindet. (Ftir die eine H~lfte der Bestimmungsstficke gibt zwar die andere dartiber Auskunft, abet ffir die andere muB es e r s t gesagt werden.) Diese Kenntnis ist latent in den Aussagen: die Punkte haben die Massen m bzw. M und die Ladungen - - e bzw. + e und ziehen sich daher mit der Kraft e2/r~ an, wenn ihre Entfernung r ist. Diese Angaben, m i t bestimmten Zahlwerten N r m, M und e (aber natiirlich ni&t ftir r), geh6ren mit zur Beschreibung des Modell,~ (nicht erst zu der eines bestimmten Zustands). m, M und e heiBen nicht Bestimmungsstticke. Dagegen ist die Entfernung r eines. In dem zweiten ,,Satz", den Die Naturwissenschaften wir oben beispielsweise angeitihrt hatten, k o m m t ate als siebentes vor. Auch wenn man den ersten verwendet, ist r kein nnabh~ngiges dreizehntes, es l~13t sich ja aus den 6 rechtwinkeligen Koordinaten ausrechnen : ~" = I/(Xl -- X2) 2 + (Yl - - Y2) 2 + (Z1 - - Z2) 2" Die Zahl der Bestimmungsstficke (die oft auch Variable genannt werden im Gegensatz zu den Modellkonstcmten wie m, M, e) ist unbegrenzt. Zw51f passend ausgew~Mte bestimmen alle iibrigen oder den Zustand. Keine zwSlf haben das Privileg, die 13estimmungsstticke zu sein. Beispiete anderer, besonders wichtiger Bestimmungsstficke sind: die Energie, die drei Komponenten des Impulsmomentes beztiglich des Schwerpunktes, die kinetische Energie der Schwerpunktsbewegung. Die eben genannten haben noch eine besondere Eigenart. Sie sind zwar Variable, d. h. sie haben in verschiedenen Zust~nden verschiedene Werte. Abet in jeder Reihe yon Zust~tnden, die im Laufe der Zeit wirklich durchlaufen wird, behalten sie denselben W e f t bei. Sie heiBen d a t u m auch Konstante der Bewegung -- im Unterschied von den Modetlkonstanten. § 2. D'ie Statistik der Modellvariablen in der Quantenmechanik, I m Angelpunkt der heutigen Quantenmechanik (Q.M.) steht eine Lehrmeinnng, die vielleicht noch manche U m d e u t u n g erfahren, aber, wie ich lest iiberzeugt bin, nicht aufh6ren wird, den Angelpunkt zu bilden. Sie besteht darin, dab Modelle mit Bestimmungsstficken, die einander, so wie die klassischen, eindeutig determinieren, der N a t u r nicht gereeht werden kSnnen. Man wiirde denken, dab fiir den, der das glaubt, die klassischen Modelle ihre Rolle ausgespielt haben. Aber so i s t e s nicht. Vielmehr verwendet man gerade 8ie, nieht nur um das Negative der neuen Lehrmeinung auszndrtieken; sondern aueh die herabgeminderte gegenseitige Determinierung, die danach noch iibrigbleibt, wird so beschrieben, als bestehe sie zwischen denselben VariabIen derselben Modelle, die friiher bentitzt wurden. FoIgendermaBen. A. Der klassische Begriff des Zustandes geht verloren, indem sich h6chstens einer wohlausgew~hlten Hdlfte eines vollst~ndigen Satzes yon Variablen bestimmte Zahlwerte zuweisen lassen; beim RUTHERFORDsChen Model1 beispielsweise den 6 rechtwinkligen Koordinaten oder den Geschwindigkeitskomponenten (es sind noch andere Gruppierungen m6glich). Die andere H~lfte bleibt dann v611ig unbestimmt, w~thrend fiberz~hlige Stficke die verschiedensten Grade yon Unbestimmtheit aufweisen k6nnen. I m Mlgemeinen werdeI1 in einem vollst~ndigen Satz (beim R.schen Modei1 zw6If Stficke) alle nut unscharf bekannt sein. ~lber den Grad der Unsch~rfe l~Bt sich am besten Auskunft geben, wenn man, der klassischen Mechanik folgend, bei der Auswahl der Variablen daftir Heft 48, ] 29. II, X935J SCHRODINGER: D i e gegenwXrtige Situation in der Quantenmechanik. Serge trXgt, dab sie sich zu Paaren sog. kanonisch k o n j u g i e r t e r ordnen, woftir das einfachste Beispiel: eine O r t s k o o r d i n a t e x eines M a s s e n p u n k t e s u n d die K o m p o n e n t e p~, in derselben R i c h t u n g geschXtzt, seines linearen Impulses (d. i. Masse real Geschwindigkeit). Solche zwei beschr~nken eina n d e r in der Schgrfe, mifi der sie gleichzeitig bek a n n t sein k6nnen, fndem das P r o d u k t ihrer Toleranz- oder V a r i a t i o n s b r e i t e n (die m a n d u t c h ein der Gr6Be v o r a n g e s e t z t e s A zu bezeichnen pflegt) n i c h t unter den B e t r a g einer gewissen universellen K o n s t a n t e ~ herabsinken kann, e t w a A x • A p.~h. (HnlSENBnR~S Ungenauigkeitsbeziehung.) t3. W e n n nicht e i n m a l . i n j e d e m A u g e n b l i c k alle Variable d u t c h einige y o n ihnen b e s t i m m t sind, d a n n nattirlich auch nicht in einem sp~teren A n g e n b l i c k aus e r l a n g b a r e n D a t e n eines frfiheren. Man k a n n das einen Jgruch m i t d e m Kausalit~itsprinzip nennen, aber es ist gegeniiber A nichts wesentlich Neues. W e n n in keinem A u g e n b l i c k ein klassischer Z u s t a n d feststeht, kann er sich auch nicht zwangsltiufig ver~tndern. W a s sich ver~ndert, sind die Statistike~ oder Wahrscheinlieh]~eiten, die iibrigens zwangsl~ufig. E i n z e l n e V a r i a b l e k6nnen dabei sch~rfer, andere unsch~rfer werden. I m ganzen l~Bt sich b e h a u p t e n , dab sich die Gesamtsch~rfe der Beschreibung m i t der Zeit nich~ ~nder~, was d a r a u f beruht, dab die d u t c h A auferlegten B e s c h r ~ n k u n g e n in j e d e m A u g e n b l i c k dieselben sind. - W a s b e d e u t e n n u n die Ausdriicke ,,unscharf", ,,Statistik", , , W a h r s c h e i n l i c h k e i t " ? Dartiber gibt die Q.M. folgende Auskunf~. Sie e n t n i m m t die ganze unendliche M u s t e r k a r t e d e n k b a r e r V a r i a b l e n o d e r B e s t i m m u n g s s t f i c k e unbedenkIich d e m klassischen Modell nnd erklfi.rt jedes Sttick ftir direkt mefibar, ja sogar mix beliebiger Genauigkeit mel3bar, w e n n es n u t auf es allein a n k o m m t . H a t m a n sich d u t c h eine passend ausgew~hlte beschr;tnkte Zahl y o n Messungen eine O b j e k t k e n n t n i s y o n j e n e m m a x i m a l e n T y p u s verschafft, wie sie n a c h A gerade n o c h m6glich ist, d a n n gibt der m a t h e m a tische A p p a r a t der neuen Theorie die Mittel an die H a n d , u m ftir denselben Z e i t p u n k t oder fiir irgendeinen sp~teren ~eder V a r i a b l e n eine ganz b e s t i m m t e statistisehe Verteil~tng zuzuweisen, d. h. eine Angabe dartiber, in welchem B r u c h t e i l der F~lle sie bei diesem oder j e n e m W e f t , oder in diesem oder j e n e m kleinen I n t e r v a l l angetroffen w e r d e n w i r d (was m a n auch W a h r s c h e i n l i c h k e i t nennt). Es ist die Meinung, dab dies in der T a t die W a h r s c h e i n lichkeit sei, die betreffende Variable, w e n n m a n sie in d e m b e t r e f f e n d e n Z e i t p u n k t miBt, bei diesem oder j e n e m W e r t anzutreffen. D u r c h einen einzelnen V e r s u c h l g g t sich die R i c h t i g k e i t dieser I~ahrsehein~iehl~eitsvorau~,~age h6chstens a n g e n ~ h e r t prfifen, n~mlich dann, wenn sie einigermaBen h = 1,o41 • io -2~ ergsec. In der Literatur wird meist das 2 e~-fache davon (6,542 • Io-~v ergsec) mit h bezeichnet und ffir unser h ein h mit einem Querstrichlein geschrieben. 809 scharf ist, d. h. nur einen kleinen W e r t e b e r e i c h Iiir i i b e r h a u p t m6glich erkl~rt. U m sie vollinhMtlich zu prtifen, muB m a n den ganzen Versuch ab eve (d. h. einschliel31ich der o r i e n t i e r e n d e n oder pr~p a r a t i v e n Messungen) sehr oft wiederholen und darf bloB die F~lle verwenden, we die orientierende~ Messnngen genau dieseIben R e s n l t a t e ergeben haben. An diesen F~llen soil sich d a n n die ftir eine b e s t i m m t e Variable aus den orientierenden Messungen vorausberechnete S t a t i s t i k d u t c h Messnng b e s t ~ i g e n - das ist die Meinung. Man mul3 sich htiten, diese Meinung deshalb zu kritisieren, well sie so schwer auszusprechen ist; das liegt an unserer Sprache. A b e r eine andere K r i t i k drSngt sich auf. K a u m ein P h y s i k e r der klassischen E p o c h e h a t wohl b e i m A u s d e n k e n eines Modells sich erdreistet zu glanben, dab dessen B e s t i m m u n g s s t i i c k e a m N a t u r o b j e k t meBbar sind. N u r vie1 abgeleitetere F o l g e r u n g e n aus d e m Bild w a r e n tats~chlich der e x p e r i m e n t e l l e n Prtifung zug~ngtich. U n d m a n durfte n a c h aIler E r f a h r u n g iiberzeugt sein: lange b e v o r die fortschreitende E x p e r i m e n t i e r k u n s t die weite K l u f t fiberbrfickt h a b e n wtirde, wird das Modell d u t c h allm~hliche A n p a s s u n g an neue T a t s a c h e n sich erheblich ver~ndert haben. - - W ~ h r e n d nun die neue Theorie das klassische Modell ftir unzustXndig erkl~rt, den Zusammenhar~g der Bestimmungssti~eke untereinander wiederzugeben (woffir seine E r s i n n e r es gemeint batten), h~lt sie es anderseits ffir geeignet, uns dar/iber zu orientieren, was fiir Messungen an d e m b e t r e f f e n d e n N a t n r o b j e k t prinzipiell ausftihrbar sind; was denen, die das t~ild ansgedacht, eine u n e r h 6 r t e 1)berspannung ihres Denkbehelfs, eine leichtfertige V o r w e g n a h m e kiinftiger E n t w i c M u n g geschienen hXtte. W ~ r ' das n i c h t pr~stabilierte H a r m o n i e y o n eigner Art, w e n n die Forscher der klassischen Epoche, die, wie m a n h e u t e h6rt, damals noch gar nicht wuBten, was Messen eigentlich ist, uns gleichwohl als V e r m ~ c h t his ihnen u n b e w u B t einen Orientierungsplan tibera n t w o r t e t h~tten, aus d e m zu e n t n e h m e n ist, was m a n alles z. B. an einem W a s s e r s t o f f a t o m grunds~tzlich messen k a n n l ? Ich h e l l e sp~iter k l a r z u m a c h e n , dab die herrschende L e h r m e i n u n g ans 13edrXngnis geboren ist. Vorl~ufig fahre ich in ihrer D a r l e g u n g fort. b~ 3. Beispiele ji~r Wahrscheinlichkeitsvoraussagen. Also Mle Voraussagen beziehen sich nach wie v e t anf B e s t i m m u n g s s t t i c k e eines klassischen Modells, auf O r t e und Geschwindigkeiten yon Massenpnnkten, auf Energien, I m p u l s m o m e n t e u. dgl. m. Unklassisch ist blo13, dab n u r W a h r scheinliehkeiten v o r a u s g e s a g t werden. Sehen wir uns das genauer an. Offiziell h a n d e l t es sich stets darum, dab vermffctels einiger jetzt angestellter Messungen und ihrer R e s u l t a t e fiber die zu erw a r t e n d e n R e s u l t a t e a n d e r e r Messungen, die entweder augenblicklich oder zu b e s t i m m t e r Zeit d a r a u f folgen sollen, die bestmSglichen W'ahrscheinlichkeitsangaben gewonnen werden, welche die 5 2* SCI-IR6DINGER: Die gegenwXrtige Situation in der Quantenmechanik. 810 N a t u r zul~13t. Wie sieht die Sache n u n a b e t wirklich aus? I n wichtigen a n d t y p i s c h e n FMlen folgendermaBen. ~ e n n m a n die E n e r g i e eines PLANC~SChen Oszillators miBt, d a n n ist die Veahrscheinlichkeit, daffir einen W e f t zwischen E n n d E" zu Iinden, n u r d a n n m6glicherweise y o n N u l l verschieden, wenn zwischen E a n d E ' ein W e r t aus der R e i h e 3¢chv, 5 ~ h v , 7 ~ h v , 9=l~v . . . . . . . liegt. Ffir jedes Intervall, das keinen dieser W e r t e enthMt, ist die W a h r s c h e i n l i e h k e i t Null. Auf d e u t s c h : andere 3/[eBwerte sind ausgeschlossen. Die Zahlen sind u n g e r a d e Multipla der ModelZkonstante ~ h v (t~ ~ PLaNcxsche Zahl, v ~ Freq u e n z des Oszillators). Zwei Dinge fallen auL E r s t e n s fehlt die B e z u g n a h m e auf v o r a n g e h e n d e Messungen - - die sind gar n i e h t n6tig. Zweitens: die Aussage leidet wirMich n i c h t an einem iibert r i e b e n e n Mangel an PrXzision, ganz i m Gegenteil, sie ist schXrfer als eine wirkliche Messung je sein kann. E i n anderes typisches Beispiel ist der B e t r a g des I m p u l s m o m e i l t s . I n Fig. I sei M ein b e w e g t e r Massenpunkt, der Pfeit soil seinen I m p u t s (Masse mal Geschwindigkeit) nach Gr6Be und R i c h t u n g darstellen. 0 ist irgendein fester P u i l k t im R a u m , sagen wir der K o o r d i n a t e n u r s p r u n g ; also nicht ein P u n k t n i t physikalischer B e d e u t u n g , sondern ein geometrischer B e z u g s p u n k t . Als B e t r a g des I m p u I s m o m e n t s y o n M bezfiglich 0 bezeichnet die ldassische M e c h a n i k das P r o d u k t aus tier L~tnge des Impulspfeiles a n d der L~nge des Lores Oil. t I O /l • ...."'---.. !/ ..... ./~ ! Fig. I. Impulsmoment: M i s t ein materieller Punkt, 0 ein geometrischer Bezugspunkt. Der PfeH soil den Impuls ( = Masse real Geschwindigkeit) yon M darstellen. Dann ist das Impulsmoment das Produkt aus der L~nge des Pfeils und der L/inge OF. / I I n der Q.M. gilt ffir den B e t r a g des I m p u l s m o m e n t s ganz Nhnliches wie ffir die Energie des Oszillators. \~Tieder ist die W a h r s c h e i n l i c h k e i t Null ffir jedes IntervaI1, das keinen \~Tert aus der ~oIgenden R e i h e enthMt O, hf2, h f ~ × 3, hl/3x4, 1~g'4×5 . . . . . . d. h. n u t einer dieser W e r t e k a n n h e r a u s k o m m e n . Das gilt wieder ganz ohne B e z u g auI vorangeheilde Messungen. E n d m a n k a n n sich wohl vorstellen, wie wichtig diese pr~zise Anssage ist, vial wichtiger sis die Kenntilis, welcher y o n diesen W e r t e n oder welche W a h r s c h e i n l i c h k e i t f fir jeden voil ihnen im Einzelfall wirklich vorliegt. Aul3erdem ~Mlt hier aber n o c h anf, dab v o m B e z u g s p u n k t gar n i c h t die R e d e ist: wie i m m e r m a n ihn w~hlt, m a n wird einen \~rert aus dieser R e i h e finden. A m ModelI ist diese B e h a u p t u n g unsinnig, d e n n das L o t O f ver~indert sich stetig, w e n n m a n den P u n k t 0 v e t - [ Die Natur- [wissenschaften schiebt, nnd der Impulspfeil bleibt unge~tndert. W i r sehen an diesem Beispiel, wie die Q.M. das Modell zwar benfitzt, u m an i b m die Gr6Ben abzulesen, welche m a n messen kann a n d fiber welche Voraussagen zu m a c h e n ffir sinnvotl gehaltem wird, w~hrend es ifir n n z u s t g n d i g erkl~rt w e r d e n m u g , den Z u s a m m e n h a n g dieser Gr6Ben u n t e r e i n a n d e r z u m A u s d r u c k zu bringen. H a t m a n nun nicht in beiden Fgllen das Geffihl, dab der wesentliche I n h a l t dessen, was gesagt w e r d e n soil, sieh Ilur m i t einiger Miihe zwgngen lgBt in die spanischen Stiefel einer Voraussage fiber die Wahrscheinlichkeit, ffir eine VariabIe des klassischen Modells diesen oder j e n e n MeBwert anzutreffen? H a t m a n nicht den E i n d r u c k , dab hier yon g r u n d l e g e n d e n E i g e n s c h a f t e n neuer M e r k m M g r u p p e n die R e d e ist, die n i t den klassischen n u r noch den N a m e n gemein h a b e n ? Es h a n d e l t sieh keineswegs m n Ausnahmef~lle, gerade die w a h r h a f t w e r t v o l l e n Aussagen der neuen Theorie h a b e n diesen Charakter. Es gibt wohl auch Aufgaben, die sich d e m T y p u s n~hern, auf den die Ausdrucksweise eigentlich zugeschnitt e n ist. Aber sie h a b e n nicht ann~thernd dieselbe Wichtigkeit. U n d vollends die, die m a n sich naiverweise als Schulbeispiele konstruieren wfirde, die h a b e n gar keiile. ,,Gegeben der Ort des Elektrons im W a s s e r s t o f f a t o m zur Zeit t = 0; m a n konstruiere seine O r t s s t a t i s t i k zu einer sp~teren Zeit." Das interessiert keiilen Menschen. D e m ~ o r t l a u t n a c h beziehen sich alle Aussagen auf das anschauIiche Modell. A b e t die w e r t vollen Anssagen sind an i h m wenig anschaulieh a n d seine anschaulichen M e r k m a i e sind yon geringem W e f t . 4, K a n n m a n der Theorie ideale Ge~arathdten unterlegen? Das klassische Modell spielt in der Q.M. eine Proteus-Rolle. Jedes seiner Bestimmungsstficke k a n n n n t e r U m s t ~ n d e n Gegenstand des Interesses w e r d e n und eine gewisse R e a l i t ~ t erlangen. A b e r niemals alle zugleich - - bald sind es diese, bald sind es jene, und zwar i m m e r h6chstens die Hi~l]te eines vollst~ndigeil Variablensatzes, der ein klares Bild y o n d e n angenblicklichen Z u s t a n d e r l a u b e n wfirde. V~Tie s t e h t es jeweils m i t den fibrigen? Haben die d a n n keine Realit~t, vielleieht (s. v. v.) eine v e r s e h w o m m e n e R e a l i t ~ t ; oder h a b e n stets alle eine a n d ist bloB, nach Satz A yon § 2 ihre gleichzeitige K e n n t n i s unm6glich? Die zweite Auffassung ist auBerordentlich naheliegend ftir den, der die ]3edeutung der statistischen Betrachtungsweise kennt, die in der zweiten H ~ l f t e des vorigen J a h r h u n d e r t s entstanden ist; zumal w e n n er gedenkt, dab a m Vorabend des Illeueil an8 ihr, aus einem z e n t r a l e n P r o b l e m der statistischenW~rmelehre, die Q u a n t e n theorie geboren w u r d e (MAx PLANCI~S Theorie der \ ¥ ~ r m e s t r a h l u n g , D e z e m b e r 1899). Das W e s e n j e n e r D e n k r i c h t u n g b e s t e h t gerade darin, dab m a n p r a k t i s c h niemals alle B e s t i m m u n g s s t f i c k e des Heft 48. ] 29. i i . x935J SCItRSDINGER: Die gegenwgrtige Situation in der Quantenmechanik. Systems kennt, sondern viel weniger. Zur Beschreibung eines wirklicheu K6rpers in eiuem gegebenen Augenblick zieht m a n darum nicht einen Zustand des Modells, sondern ein sog. Gibbssehes Ensemble heran. D a m i t ist gemeint eine ideale, das heiBt MoB gedachte, Gesamtheit yon Zust~tnden, welche genau unsere beschrgnkte Kenntnis v o m wirklichen I~Srper widerspiegelt. ]Der KSrper soll sich dann so benehmen wie ein beliebig aus dieser Gescvmtheit herausgeg~'i]]ener Zustand. ]Diese Auffassnng h a t die allergr6Bten Erfolge gehabt. Ihren hSchsten Triumph. bildeten solche F~lle, in denen nicht alle in der Gesamtheit vorkommenden Zustgnde dassdbe beobachtbare Verhalten des K6rpers erwarten lassen. ]Der K6rper b e n i m m t sich n~mlich dann wirklich bald so, bald so, genau der Voraussicht entspreehend (thermodynamische Schwankungen). Es liegt nahe, dab man versuche, die stets unscharfe Aussage der Q.M. anch zu beziehen auf eine ideale Gesamtheft yon Zustgnden, yon denen im konkreten Einzelfall ein ganz bestimmter vorliege - - abet man weiB nicht welcher. DaB das nicht geht, zeigt uns das eine BeispieI v o m Impulsmoment, als eines ffir viete. Man denke sieh in Fig. I den P u n k t 2~I in die verschiedensten Lagen gegeniiber O gebracht und m i t den versehiedensten Impulspfeilen versehen und vereinige alle diese M6glichkeiten zu ether idealen Gesamtheft. Dann kann man wohl die Lagen und die Pfeile so ausw~ihlen, dab in jedem Fall das P r o d u k t aus der L~inge des Pfeils und der L~nge des Lotes OF einen oder den anderen yon den zul~issigen Werten h a t - - beztiglich des bestimmten Punktes O. Aber ffir einen beliebigen anderen P u n k t O' treten selbstverstgndlich unzulgssige Werte auf. Das Heranziehen der Gesamtheit hilft also keinen Schritt wetter. - - Ein anderes Beispiel ist die Energie des Oszillators. Es gibt den Fall, dab sie einen scharf bestimmten W e f t hat, z. t3. den niedersten 3 ~hvDie Entfernung der zwei Massenpunkte (die den Oszillator bilden) erweist sieh dann Ms sehr unseharfl U m diese Aussage auf ein statistisches Kollektiv yon Zust~nden beziehen zu k6nnen, mfiBte dann aber in diesem Fall die Statistik der Entfernungen wenigstens nach oben hill scharf begrenzt sein durch diejenige Entfernnng, bet der schon die potentielle Energie den V~Tert 3 ~ h v erreicht bzw. fiberschreitet. So ist es aber nicht, sogar beliebig groBe Entfernungen kommen vor, wenn auch m i t stark abuehmender Wahrscheinlichkeit. Und das ist nicht etwa ein nebens~ichliches Rechenergebnis, das irgendwie beseitigt werden k6nnte, ohne die Theorie ins Herz zu treffen: neben vielem anderen grtindet sich auf diesen Sachverhalt die quantenmechanische Erkl~irung der Radioaktivit~tt (GAMow). - Die t3eispiele lieBen sich ins Unbegrenzte vermehren. Man beachte, dab you zeitlichen Vergnderungen gar nicht die Rede war. Es wtirde nichts helfen, wenn m a n dem Modell erlauben wollte, sich ganz ,,unklassisch" zu wergndern, etwa zu ,,sprin- 8II gen". Schon ffir den einzelnen Augenblick klappt es nicht. Es gibt in keinem Augenblick ein Kollektiv klassischer Modellzustgnde, auf das die Gesamtheit der quantenmechanischen Aussagen dieses Augenblicks zutrifft. Dasselbe lgBt sich aueh so ausdrficken: wenu ich dem Modell in jedem Angenblick einen bestimmten (mir bto13 nieht genau bekannten) Zustand zuschreiben wollte oder (was dasseIbe ist) allen Bestimmungsstficken bestimmte (mir bloB nicht genan bekannte) Zahlwerte, so ist keine Annahme fiber diese Z a h l w e r t e denkbar, die nicht mit einem Teil der quantentheoretischen Behauptungen im Widersprueh stiinde. Das ist nicht ganz, was man erwartet, wend man h6rt, dab die Angabeu der neuen Theorie immer unseharf sind im Vergleich zu den klassischen. 5. Sind die Variablen wira~lich verwaschen? Die andere Alternative bestand darin, dab m a n bloB den jeweils scharfen Bestimmungsstticken Realitgt zugestehe --- oder allgemeiner gesprochen ether jeden Variablen eine sotche A r t der ¥ e r wirldichung, die genau der quantenmechanischen Statistik dieser Variablen in dem betreffenden Augenblick entspricht. ]DaB es nicht etwa unm6glich ist, Grad und A ~ der Verwaschenheit aller Variablen in e~nem vollkomrnen klaren Bilde z u m Ausdruck zu bringen, geht schon daraus hervor, dab die Q.1K. ein solches I n s t r u m e n t tats~clllich besitzt und verwendet, die sog. Wellenfunktion oder y~-Funktion, auch Systemvektor genannt. Von ihr wird wetter untell noch viel die Rede sein. ]DaB sie eiu abstraktes, unanschauliches mathemafisches Gebilde set, ist ein Bedenken, das gegenfiber neuen Denkbehelfen fast framer auftaucht und nicht viel zu sagen h~itte. Jedenfalls ist sie ein Gedankending, das die Verwaschenheit aller Variablen in jedem Augenblick ebenso klar und exakt kouterfeit, wie das klassische iVIodell deren scharfe Zahlwerte. Auch ihr Bewegungsgesetz, das Gesetz ihrer zeitlichen ~nderung, solange das System sich selbst iiberlassen ist, steht an Klarheit und Bestimmtheit hinter den Bewegungsgleichungen des klassischen Modells u m kein Jota zurfick. 15~ithink6nnte die ~-Funktion geradezu an desseu Stelle Irelen, solange die Verwaschenheit sich auf atomare, der direkten Kontrolle entzogeue Dimensionen besehrgnkt. In der Ta~ hat man aus der Funktion ganz anschau- liche und bequeme Vorstellungen abgeleitet, beispielsweise die ,,'Wolke negativer Elektrlzit~it" a m den positiven Kern u. dgl. Ernste Bedenken erheben sieh abet, wenn man bemerkt, dab die Unbestimmtheit grob tastbare und sichtbare Dinge ergreift, wo die t3ezeichnung Verwaschenheit dann einfach falsch wird. Der Zusta.nd eines radioaktiven Kerns ist vermutlich in solehem Grade und in solcher Art verwaschen, dab weder der ZeitpunlCc des Zerfalls noch die t~ichtung feststeht, in der die a-Partikel, die dabei austritt, den Kern verl/iBt. I m Innern des Atomkerns st6rt uns die 8~2 R~CK: Der Ausbruchscyklus des Merapi in den J a h r e n I933/34. V e r w a s c h e n h e i t n i c h t . Die a u s t r e t e n d e P a r t i k e t wird, w e n n m a n a n s c h a u l i e h d e u t e n will, als Kugelwelle b e s c h r i e b e n , die n a c h alien R i c h t u n g e n n n d f o r t w ~ h r e n d v o m K e r n e m a n i e r t u n d e i n e n benachbarten Lenchtschirm fortw~hrend in seiner g a n z e n A u s d e h n u n g trifft. D e r S c h i r m a b e r zeigt n i c h t e t w a ein b e s t ~ n d i g e s m a t t e s F l ~ c h e n l e u c h t e n , s o n d e r n b l i t z t in e i n e m A n g e n b l i c k a n einer Stelle a u f - - oder, u m d e r W a h r h e i t die E h r e zu geben, er b l i t z t b a l d hier, b a l d d o r t auf, weft es u n m 6 g l i c h ist, d e n V e r s u c h m i t bloB e i n e m e i n z i g e n r a d i o a k t i v e n A t o m a u s z u f / i h r e n . ]3entitzt m a n s t a r t des L e u c h t s c h i r m s e i n e n r g u m l i c h a u s g e d e h n t e n D e t e k t o r , e t w a ein Gas, d a s v o n d e n c~-Teilchen i o n i s i e r t wird, so f i n d e t m a n die I o n e n p a a r e lgngs g e r a d l i n i g e r K o l o n n e n a n g e o r d n e t ~, die rfickw~rts verlfi.ngert d a s r a d i o a k t i v e M a f e r i e k 6 r n c h e n fretfen, y o n d e m die a - S t r a h l u n g a u s g e h t (C.T.R. WILSONsche B a h n s p u r e n , d u r c h N e b e l t r 6 p f c b e n s i c h t b a r g e m a c h t , die a n t d e n I o n e n k o n d e n s i e r e n ) . M a n k a n n a u c h g a n z b u r l e s k e F~Ite k o n s t r u i e r e n . E i n e K a t z e w i r d i n eine S t a h l k a m m e r gesperrt, z u s a m m e n m i t f o l g e n d e r H511enmaschine (die m a n gegen d e n d i r e k t e n Zugriff d e r K a t z e Zur Veranschaulichung kann Fig. 5 oder 6 a.uf S. 375 des Jg. 1927 dieser Zeitschrift dienen; oder auch Fig. ~, S. 734 des vorigen Jahrganges (I934), da sind es aber B a h n s p u r e n yon \¥asserstoffkernen. Die Naturwissenschaften s i c h e r n m u g ) : in e i n e m G E m E a s c h e n Z g h I r o h r b e f i n d e t sich eine winzige Menge r a d i o a k t i v e r S u b s t a n z , 8o wenig, daG i m L a u f e i n e r S t u n d e vielleicht eines y o n d e n A t o m e n zerfallt, e b e n s o w a h r s c h e i n l i c h a b e r a u c h keines; g e s c h i e h t es, so spricl~t d a s Z a h l r o h r a n n n d b e t a t i g t fiber ein Relais ein H ~ m m e r c h e n , d a s ein K 5 1 b c h e n m i t B l a u s g u r e z e r t r f i m m e r t . H a t m a n dieses g a n z e S y s t e m eine S t u n d e l a n g sich s e l b s t fiberlassen, so w i r d m a n sich sagen, d a b die K a t z e n o c h lebt, vven:n i n z w i s c h e n k e i n A t o m zerfallen ist. D e r e r s t e Atomzerfa11 wfirde sie v e r g i f t e t h a b e n . Die w - F u n k t i o n des g a n z e n S y s t e m s wfirde das so z u m A u s d r u c k b r i n g e n , d a b i n i h r die l e b e n d e u n d die t o t e K a t z e (s. v. v.) zu gleichen T e i l e n g e m i s c h t o d e r v e r s c h m i e r t sind. D a s T y p i s c h e a n diesen F ~ l l e n ist, d a b eine ursprfinglich auf den Atombereich beschrgnkte U n b e s t i m m t h e i t sich in g r o b s i n n l i c h e U n b e s t i m m t h e f t u m s e t z t , die sich d a n n d u r c h d i r e k t e B e o b a c h t u n g entscheide~ l~gt. D a s h i n d e ~ nns, in so n a i v e r ~Veise ein , , v e r w a s c h e n e s M o d e l l " als A b bild d e r \ ¥ i r k l i c h k e i t g e l t e n zu lassen. A n sich e n t h i e l t e es n i c h t s U n k l a r e s o d e r \ ¥ i d e r s p r u c h s volles. E s ist ein U n t e r s c h i e d z w i s c h e n einer v e r wackelten oder unscharf eingestellten Photographie u n d e i n e r A u f n a h m e y o n W'olken n n d NebeIschwaden. (Fortsetzung fotgt.) Der Ausbruchscyklus des Merapi in den Jahren I933/34. V o n HANS RECK, Berlin. S c h o n e i n m a i b a b e ich in dieser Z e i t s c h r i f t 1 fiber e i n e n d e r s t ~ r k s t e n A u s b r t i c h e dieses r e g s t e n und gef~hrlichsten Vulkans NiederlXndisch-Indiens b e r i c h t e t , n~imlich fiber d e n des J a h r e s I93 o, m i t d e m n a c h l a n g e r P a u s e eine n e u e U n r u h e p e r i o d e seines H e r d e s e i n g e l e i t e t w u r d e . D i e s e r P a r o x y s mus, dessert A b k l i n g e n n o c h w e f t i n d a s J a h r I93 i h i n e i n r e i c h t e , ist v o m v u l k a n o l o g i s c h e n D i e n s t Niederl. I n d i e n s s e h r grfindlich s t u d i e r t u n d i n z w i s c h e n in e i n e r s c h 6 n e n M o n o g r a p h i e y o n NEUMANN V&N PADANG ~ v e r 6 f f e n t l i c h t w o r d e n . D r e i V u l k a n o l o g e n v o r a l l e m : S~rEHN, NEUS~ANN VAN PADANG u n d I-L~RT~ANN, v e r d a n k e n w i t die w e i t g e h e n d e K l g r u n g d e r E r s c h e i n u n g e n dieses A u s b r u c h e s u n d d a m i t eines A u s b r u c h s t y p s , d e r n i c h t y o n minderem allgemein vulkanologischem Interesse und nicht yon geringerer praktischer Bedeutung i s t als e t w a d e r eines S t r a t o v u l k a n s , wie d e r Vesuv, o d e r eines S c h i l d v u l k a n s , wie d e r S k j a l d b r e i d a u f I s l a n d einer ist. D i e s e r T y p l~tBt sich a l l g e m e i n d a h i n c h a r a k ±erisieren, d a b eine e r s t e E x p l o s i v p h a s e TrXger d e r B e f r e i u n g des i n d e r v o r a n g e g a n g e n e n R u h e z e i t ~uBerlich m e h r o d e r m i n d e r u n m e r k l i c h e r u p t i o n s It. RECK, Der Merapi-Vulkan auI J a v a und sein Ausbruch im Dezember I93 o. Naturwiss. 19, 369--373 (~93~)2 1~. I~EUMAIN-N VAN PADANG, D e u i t b a r s t i n g van den Merapi (Midden Java) in de jaren I 9 3 o - - I 9 3 I. Vulkanol. en seismolog. Mededeel z933, Nr 12. reif g e w o r d e n e n M a g m a s ist. Diese P h a s e k e n n z e i c h n e n sowohl auf- wie a b s t e i g e n d e E r u p t i o n s w o l k e n ; sie ist d a d u r c h bet w e i t e m die g e f g h r l i c h s t e des g a n z e n Cyklus. Sie w i r k t z e r s t 6 r e n d u n d v e r ausgabt stfirmisch den angesammelten f3berschug a n E n e r g i e i m H e r d . E i n e zweite P h a s e f f i h r t zghes, g a s g r m e r g e w o r d e n e s M a g m a d u r c h d e n S c h l o t e m p o r u n d s t a u t es zu d n e r K u p p e fiber d e m A u s t r i t t s p u n k t auf. E i n e d r i t t e , m i t d e r v o r a n g e h e n d e n m e i s t eng v e r k n f i p f t e P h a s e e n d lich ffihrt, ebenfalls gas- u n d e x p l o s i o n s a r m , d e n A n d r a n g d e r L a v a m a s s e n , die d e r s t e t s r e l a t i v klein b l e i b e n d e K u p p e n b a u n i c h t zu fassen v e r mag, in S t r o m f o r m a n d e r g e e i g n e t s t e n Stelle aus d e m K r a t e r b e r e i c h fiber die V u l k a n h g n g e ab. Diese b e i d e n P h a s e n sind die A u f b a u p h a s e n des V u l k a n s . E i n e v i e r t e P h a s e e n d l i c h i s t die s e h r verschieden tange Pause der Ersch6pfung, wghrend w e l c h e r d e r V u l k a n Stoff u n d Kr~ifte e r g / i n z t u n d zu n e u e m D u r c h b r u c h s a m m e l t . E s ist s e l b s t v e r s t g n d l i c h , d a b bet d e m iibergewaltigen, v e r w i r r e n d e n K r g f t e s p i e l eines V u l k a n a u s b r u c h e s diese E i n z e l p h a s e n e b e n s o w e n i g s c h e m a t i s c h gleich a b l a u f e n wie die g a n z e n Cyklen. Die V a r i a b i l i t g t aller E i n z e l h e i t e n ist ftir u n s e r S c h a u e n u n d V e r s t e h e n f a s t u n b e g r e n z t ; sie k 6 n n e n die erk a n n t e n G e s e t z m ~ G i g k e i t e n s o g a r zeitweise fiberw u c h e r n ; a b e r die G r u n d z f i g e des C y k l u s a b l a u f e s , d a s Typologische, schXlt sich d o c h bet j e d e m Ges a m t t i b e r b l i c k fiber eine solche E r u p t i o n s p e r i o d e