Kapitel 5: Mechanische Wellen

Kapitel 5: Mechanische Wellen
5.1 Was sind Wellen?
5.2 Beschreibung der eindimensionalen
Wellenausbreitung
5.3 Harmonische Wellen
5.4 Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit
5.5 Wellen im Festkörper
5.6 Prinzip der Superposition
5.7 Stehende Wellen
5.1 Was sind Wellen?
• Wir betrachten ein Medium in seiner Gleichgewichtslage.
! Medium = ein Seil, eine Saite, ein Festkörper, die Luft, Wasser,
usw...
• Wenn wir eine physikalische Eigenschaft dieses Mediums in
einem Punkt stören, wird sich diese Störung durch das Medium
ausbreiten.
! Diese Störung wird eine Welle genannt.
! Man spricht von Wellenausbreitung.
! Die Störung breitet sich mit einer bestimmten
Ausbreitungsgeschwindigkeit aus.
• Beachte: Das Medium wird durch die Wellenbewegung nicht
entlang der Wellenausbreitung transportiert. Die Störung des
Mediums breitet sich aus.
Beispiel: Seilwellen
• Demonstrationsexperiment: Seilwellen
! Wir betrachten ein Seil, dessen beide Enden an den Wänden festgebunden
sind. Das Seil liegt horizontal (wir vernachlässigen die Gravitationskraft) und
ist gespannt.
! Wenn wir ein Seil mit einem kurzen seitlichen Ruck auslenken, wandert die
anfängliche Auslenkung als Wellenberg mit konstanter Geschwindigkeit dem
Seil entlang.
Die transversale Auslenkung („die Störung“) breitet sich als eine Welle aus.
Beispiel: Wellenausbreitung im Gas
• Wir betrachten die elastischen Wellen, die durch Druckveränderung in
einem Gas entstehen. Der Schall ist das wichtigste Beispiel für diese
Art von Wellen.
! z.B. ein Lautsprecher vor einen Glasrohr: Der Schall wird sich als eine
Druckwelle der Luft mit einer bestimmten Schallgeschwindigkeit im Glasrohr
ausbreiten.
Druck p
Druck p’>p
Druck p
Zustand des Gases (=physikalische Eigenschaft) ist durch den Druck
gegeben. Die Störung, die sich ausbreitet, ist die Veränderung des Druckes.
Seilwellen
• Demonstrationsexperiment: Seilwellen. Wir beobachten:
! Jeder Punkt des Seils schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle;
! Ein Punkt des Seils bleibt so lange in Ruhe, bis der Wellenberg ihn erreicht;
! Der Punkt führt dann eine Schwingung um seine Ruhelage aus;
! Er kehrt schliesslich in den Ruhezustand zurück.
•
Die einzelnen Punkte des Seils werden durch die Wellenbewegung nicht entlang
der Wellenausbreitung transportiert. Sie bewegen sich vorübergehend um ihre
Gleichgewichtslage.
"
Auslenkung
Räumliche
Abhängigkeit
Bewegungsrichtung eines
Punkts des Seils
x
Zeitentwicklung
a) ! b) ! c) ! d)
Ausbreitungsrichtung
der Welle
Idealisierung: Masse-Feder-System
• Diskreter Fall: Wir betrachten viele gleiche Massen, die sich in einer
Reihe befinden, und die mit Federn verbunden sind.
• In einem solchen System können longitudinale oder transversale
Wellen erzeugt werden.
! Im Ruhezustand ist der Abstand zwischen den Massen so gewählt, dass
keine Kräfte zwischen Paaren von Massen wirken.
#x
"
Masse m
Feder
Masse m
Masse-Feder-System
"Wenn die erste Masse kurz transversal ausgelenkt wird, erhöht sich der Abstand
zwischen der ersten und der zweiten Masse. Die Federkraft wirkt dann als eine
Rückstellkraft, die versucht, die Massen zusammenzubringen.
"Als Folge bewegt sich die erste Masse in Richtung ihrer Ruhelage und die zweite Masse
wird aus ihrer Ruhelage weggezogen.
"Die zweite Masse bewegt sich jetzt und der gleiche Vorgang findet zwischen der
zweiten und dritten Masse statt.
Verlängerung der 1. Feder
"
#x
x1 x2 x3 x4
…
xi
…
"4
…
"i
…
"1
"2 "3
Transversale Welle
Transversale Bewegung
"
Longitudinale Welle
Horizontale
Bewegung
"
Vom diskreten zum kontinuierlichen Fall
•
Vergleich zwischen Masse-Feder-System und Seilwellen
! Jede Masse im Masse-Feder-System schwingt um ihre Ruhelage;
! Jede Masse bleibt so lange in Ruhe, bis der Wellenberg sie erreicht;
! Sie führt dann eine Bewegung um ihre Ruhelage aus;
! Sie kehrt schliesslich in den Ruhezustand zurück.
•
Ähnliche Situation wie im Fall der Seilwellen.
•
Diese Feder-Masse-Anordnung wird nützlich sein, wenn wir die Ausbreitung von
Wellen in einem Seil quantitativ betrachten.
•
Ein Seil kann als ein kontinuierliches Masse-Feder-System mit
infinitesimalen Massenelementen dargestellt werden.
#x
"
Masse m
#x ! dx
m ! dm
Masse m
A) Diskreter Fall:
"
#x
x1 x2 x3 x4
"1
"2
"3
"4
B) Kontinuierlicher Fall:
Auslenkungen
…
…
xi
"1, "2, "3, …
"i
"
Massenelement dm
! (x)
x
Die Raumkoordinate x spielt die Rolle eines Indexes für das
Massenelement.
Auslenkung:
! (x)
Eine kontinuierliche Funktion der
Raumkoordinate
5.2 Beschreibung der Wellenausbreitung
• Zeitenwicklung
! Zur Zeit t=0 ist die Form der Welle durch eine Funktion "(x) beschrieben.
Jede bestimmte Koordinate x entspricht einem Punkt des Mediums.
• Nach einiger Zeit ist der Wellenberg weitergewandert.
• Wellenfunktion:
! Die Welle als Funktion der Zeit kann durch eine Funktion von zwei Variablen
ausgedrückt werden
!(x,t)
wobei x die Raumkoordinate, und t die Zeit ist.
• Diese Funktion beschreibt die Ausbreitung der Wellen als Funktion der
Zeit (in einer Dimension).
• Beispiele:
! Seilwellen: "(x,t) = transversale Auslenkung des Seils
! Federwellen: "(x,t) = longitudinale oder transversale Verformung der Feder
! Gaswellen (Schall): "(x,t) = Druck des Gases
!(x,t)
Kontinuerliche Zeitentwicklung
x
t
#t
Zeitintervall #t ! dt
Die Zeit t spielt die Rolle eines Indexes für das Bild.
Dispersion
•
Gewöhnlich wird sich die Form eines Wellenberges mit der Zeit verändern.
Dieser Effekt heisst Dispersion. Die Funktion "(x,t) kann daher im Prinzip eine
komplizierte Zeitabhängigkeit besitzen.
•
Vernachlässigung der Dispersion: Wir werden die Dispersion vernachlässigen
und eine stabile Form des Wellenberges als Funktion der Zeit annehmen.
Ohne Dispersion
Mit Dispersion
Form der Wellenfunktion ohne Dispersion
• Wir nehmen an, dass die Form der Welle (z.B. zur Zeit t=0)
durch die Funktion f(x) dargestellt wird
!(x,t = 0) = f (x)
• Ersetzen: x durch x–a
! Diese Substitution bewirkt eine Translation des Wellenbergs ohne
Veränderung seiner Form! Die Welle hat sich ohne Verformung um
den Betrag a nach rechts verschoben
! (x)
! = f (x " a)
Nach rechts:
! (x)
Nach links:
! (x)
! = f (x " a)
! = f (x + a)
Wellenausbreitung
• Eine „wandernde“ Welle:
a = ±vt
wobei v=Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, t die Zeit.
• Im Allgemeinen betrachten wir die Ausbreitung einer
Welle nach rechts oder nach links.
• Die Ausbreitung (Zeitentwicklung) der Welle:
!(x,t) = ! (x ± vt)
• Die Gleichung stellt eine Welle dar, die sich ohne
Dispersion in die negative x-Richtung (+) oder die
positive x-Richtung (–) ausbreitet.
! (x,t) = ! (x " vt)
Funktion von
zwei Variablen
(x,t)
Funktion von
einer Variablen
! (x,t) = ! (x + vt)
d.h., Zeitabhängigkeit bewirkt
eine triviale Translation im
Raum mit konstanter
Geschwindigkeit v
5.3 Harmonische Wellen
• Harmonische Welle = eine periodische sinus- oder
kosinusförmige Funktion (f(x) ! Asin(kx))
!(x,t) = !0 sin(k(x ± vt))
• Definitionen:
! k=Wellenzahl,"0=Amplitude, v=Ausbreitungsgeschwindigkeit
! Wellenlänge $ = Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Wellenkämmen
k(x + ! ) = kx + 2" # k ! = 2"
2"
!!!!!!!!!!!!!# k =
!
Kreisfrequenz %
!(x,t) = !0 sin(k(x ± vt))
= !0 sin(kx ± kvt)
= !0 sin(kx ± "t)
! = kv
Kreisfrequenz
oder
!
v=
k
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Wellenzahl
2!
2!
k=
!#! " =
"
k
5.4 Ausbreitungsgeschwindigkeit
•
Wir beobachten, dass die Wellen sich mit konstanter Geschwindigkeit
ausbreiten. Wovon hängt diese Geschwindigkeit ab?
•
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit wird von mindestens zwei Parametern
bestimmt. Im Allgemeinen werden immer zwei Eigenschaften des Mediums
gegeneinander wirken:
! Eine Kraft wird wirken, die das Medium in seinen ursprünglichen Zustand
zurückzubringen versucht (Rückstellkraft). Je grösser diese Kraft, desto schneller wird
sich die Welle ausbreiten.
! Die Masse, die als Trägheit wirkt, wird die Wellenausbreitung verlangsamen. Je grösser
die Masse, desto langsamer wird sich die Welle ausbreiten.
#x
Masse m
F = ma
Feder F=-kx
Vergleich mit Schwingungen
Lösung der Differentialgleichung:
d2x k
+ x=0
2
dt
m
2
m
d
"
$ x(t)
x(t) = # ! %
k
dt 2
Ansatz:
x(t) = Asin(!t + " )
k
2
!" + = 0
m
#
"=
k
m
Die Kreisfrequenz hängt von der Rückstellkraftkonstante und der inversen Masse ab;
sie ist unabhängig von der Amplitude A der Schwingung. Die Masse (Trägheit) wirkt
gegen die Bewegung. Je grösser die Rückstellkraftkonstante, desto stärker die
Rückstellkraft und desto schneller erreicht die Masse ihre ursprüngliche Lage zurück.
Leicht komprimierbar
Ziemlich fest
Zunehmende Festigkeit
Ausbreitungsgeschwindigkeit in Medien
Fest
Modell: Zunahme der Rückstellkraftkonstante Gas ! Flüssig ! Fest
Die Wellengleichung
• Es gilt (z.B. für harmonische Wellen, die sich nach rechts ausbreiten)
!(x,t) = !0 sin(kx " #t ) = !0 sin(k(x " vt))
!" !
= "0 sin( k(x # vt)) = "0 (#kv ) cos(k(x # vt))
!t !t
! 2"
2
(
)
=
#
"
kv
sin( k(x # vt))
2
0
!t
Zeitabhängigkeit:
Ortsabhängigkeit:
!"
= "0 k cos(k(x # vt))
!x
! 2"
2
=
#
"
k
sin(k(x # vt))
2
0
!x
!"
2
2 ! "
2 = #"0 (kv ) sin( k(x # vt) ) = (v )
2
!t
!x
2
2
! 2"
2
2 ! "
= #"0 ( kv ) sin ( k(x + vt)) = ( v ) 2
In ähnlicher Weise:
2
!t
!x
2
Im Allgemeinen:
! (x,t) = !0 sin ( k(x ± vt))
! "
2 ! "
= (v ) 2
2
!t
!x
2
2
!"
2! "
2 #v
2 =0
!t
!x
2
2
Eine partielle
Differentialgleichung
dieser Form ist eine
Wellengleichung
Sie stellt eine Beziehung zwischen den zweiten zeitlichen und
räumlichen Ableitungen dar. Der Parameter v ist die
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle!
Allgemeine Lösung
• Die allgemeine Lösung der Wellengleichung ist von der Form
!(x,t) = f ( x " vt) + g(x + vt)
wobei f und g zwei beliebige Funktionen sind.
• Eine solche Lösung erfüllt immer die Differentialgleichung, unabhängig
von den Funktionen f und g. Die Lösung entspricht Wellen, die sich
nach rechts und nach links ausbreiten.
• Mathematischer Beweis:
!( x,t) = x " vt
und
#( x,t) = x + vt
! (x,t) = f (" (x,t)) + g(# (x,t))
Zeitabhängigkeit:
!"(x,t) !f (# (x,t)) !g($( x,t)) !f (# ) !# !g($ ) !$
=
+
=
+
!t
!t
!t
!# !t
!$ !t
!f (# )
!g($ )
(%v ) +
( +v )
=
!#
!$
!f ($ )
!g ( % ) )
! 2" (x,t) ! !" (x,t) ! &
=
=
#v
+
+v
(
)
(
)
!t 2
!t !t
! t ('
!$
!% +*
&
! 2 f ($ ) & ! )
!2 g ( % ) & ! ) )
= ( ( #v )
(' $ +* + ( +v )
(' % +* +
2
2
!$
!t
!%
!t *
'
&
)
! 2 f ($ )
!2 g ( % )
= ( ( #v )
#v
+
+v
+v
(
)
(
)
(
)
+*
!$ 2
!% 2
'
! 2 f ($ ) 2 ! 2 g ( % ) 2
=
v +
v
!$ 2
!% 2
, ! 2 f ($ ) ! 2 g ( % ) /
= v +
0
2
2
!$
!%
.
1
( )
2
In ähnlicher Weise:
!"(x,t) !f (#( x,t)) !g($( x,t)) !f (# ) !# !g($ ) !$
=
+
=
+
!x
!x
!x
!# !x
!$ !x
!f (# ) !g($ )
=
+
!#
!$
! 2"(x,t) !2 f (# ) !2 g($ )
=
+
!x 2
!# 2
!$ 2
2
! 2"
!
"
2
2 #v
2 =0
!t
!x
Anwendung: transversale elastische Seilwellen
• Wir leiten die Wellengleichung der transversalen Seilwellen her.
• Wir unterteilen ein Seil in viele differentielle Massenelemente
dm. Wir nehmen an, dass die Massenelemente sich nur in der
vertikalen Richtung um ihre Ruhelage bewegen können.
• Wir betrachten ein einzelnes Massenelement dm der Länge dx.
! Der Anfangspunkt befindet sich im Punkt x des Seils
! Der Endpunkt befindet sich im Punkt x+dx.
• Die Auslenkung ist durch die Funktion "(x) bestimmt.
• Längendichte: Gesamte Masse des Seils = M, Länge = L
M
!=
L
"
dm = !dx
Einheit der Längendichte = Masse/Länge, d.h. kg/m.
S=Spannung des Seils
Die auf das Massenelement wirkende resultierende vertikale
Komponente der Kraft ist
Fy = S sin " ! # S sin "
$ S tan " ! # S tan "
Für kleine
Auslenkungen
Steigung = Ableitung der Auslenkung nach x
Damit: Fy ! S tan # " $ S tan #
' %& (x + dx,t) %& (x,t) *
= S)
$
,
(
%x
%x +
% 2&
! S 2 dx
%x
Die Bewegung des Massenelements (Geschwindigkeit und Beschleunigung):
!"
v y (x,t) =
!t
! 2"
und ay (x,t) = 2
!t
(vertikale Komponente)
Newtonsches Gesetz:
" #
"#
S 2 dx = dm 2
"x
"t
2
Fy = (dm)ay
!
2
Mit der Längendichte: ! =
M
L
!"
!"
S 2 dx = #dx 2
!x
!t
2
"
2
dm = !dx
! " S! "
2 =
2
!t
# !x
2
$
2
Form der Wellengleichung!
2
! 2"
!
"
2
= (v ) 2
2
!t
!x
Voraussage der Ausbreitungsgeschwindigkeit:
S
v =
!
2
"
S
v=±
!
Ausbreitungsgeschwindigkeit von Seilwellen
• Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Seilwellen ist
S
v=±
!
wobei S=Spannung, &=Längendichte
• Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt nur von den Eigenschaften des
Seils ab. Sie ist unabhängig von der Form der Welle oder ihrer
Amplitude (gilt bei kleiner Auslenkungen).
• Die Ausbreitungsgeschwindigkeit nimmt mit der Spannung zu. Je
grösser die Spannung ist, desto schneller werden die Massenelemente
in ihre Gleichgewichtslage zurückkehren.
• Die Ausbreitungsgeschwindigkeit nimmt mit der Längendichte ab. Je
grösser die Dichte ist, desto langsamer werden die Massenelemente in
ihre Gleichgewichtslage zurückkehren.
• Demonstrationsexperiment: Seilwellen bei verschiedenen Spannungen
5.5 Wellen im Festkörper
• Elastische Deformation des Festkörpers:
! Allgemein ändert ein Körper seine Form, wenn Kräfte an ihm
ziehen oder ihn komprimieren. Wenn der Körper seine
ursprüngliche Form wieder annimmt, wenn die Kräfte nicht
mehr wirken, dann heisst die Deformation elastisch.
! Elastizitätsgrenze: Die meisten Körper sind nur bis zu einer
bestimmten Grenze der Kräfte elastisch. Über diese Grenze
wird der Körper plastisch sein, und seine Gestalt wird
irreversibel geändert.
• Als Folge der Elastizitätseigenschaft von Festkörpern
werden sich Deformationswellen ausbreiten.
! D.h. die Deformation des Festkörpers breitet sich aus.
! Elastisch = der Festkörper findet seine Gestalt wieder
Ausbreitungsgeschwindigkeit
• Seilwellen
• Festkörper
• Spannung=S (N)
• Dichte
• Längendichte=& (kg/m)
• Ausbreitungsgeschwindig
keit: (m/s)
(Volumendichte) =
& (kg/m3)
• Ausbreitungsgeschwin
digkeit (m/s):
S
v=±
!
Y
v=±
!
Was ist die Konstante Y ?
Elastizitätsmodul Y
• Die Einheit:
' kg ! m $ 2 * ' kg * ' kg.m * ' N *
Y =) 3# & ,=)
=) 2 2,=) 2,
2 ,
)( m " s % ,+ ( m.s + ( m s + ( m +
• Lineare Verformung eines Stabes unter Normalbelastung: Hookesches
Gesetz: gilt innerhalb der Elastizitätsgrenze eines Stabs
!l
F = YA
l
wobei F die Rückstellkraft ist, die an dem Stab zieht, A der Querschnitt
des Stabs und Y das Elastizitätsmodul.
l
#l
F
Querschnitt A
!l
F = YA
l
Y
v=±
!
Wellen im Festkörper
•
Demonstrationsexperiment: Welle im Messingstab
! Ein Schlag an ein Ende eines festen Stabs pflanzt sich längs des Stabs fort
! Die Ausbreitung der Deformationswelle wird mit zwei Tonabnehmern an den zwei
Enden des Stabes nachgewiesen.
! Longitudinale und transversale Wellen werden erzeugt.
• Im Festkörper existieren verschiedene Arten von Wellen:
! Longitudinale Wellen können sich in allen Medien ausbreiten, die
Volumenelastizität besitzen, wie z.B. in Festkörpern, aber auch in
flüssigen und gasförmigen Stoffen. Eine Rückstellkraft, die der
Volumenänderung entgegen gerichtet ist, wirkt.
! Transversale Wellen sind etwas komplizierter, da bei ihnen
Schubkräfte an den Massenlementen des Körpers angreifen
müssen, um sie wieder in ihre Ausgangslage zurückzutreiben.
Solche Wellen breiten sich nur in festen Körpern aus.
5.6 Prinzip der Superposition
•
Experimentell wird beobachtet:
! Wenn sich die beiden Wellenberge treffen, ist die gesamte Auslenkung gleich der
Summe der Auslenkungen der einzelnen Wellenberge.
! Nachher trennen sich die Wellenberge wieder und laufen weiter, ohne dass sich ihre
Form geändert hat.
•
Diese fundamentale Eigenschaft von Wellen wird das Prinzip der Superposition
genannt.
!1 (x " vt)
!2 (x + vt)
Resultierende Welle:
!(x,t) = !1 (x " vt) + !2 (x + vt)
Prinzip der Superposition
#
Konstruktive Interferenz
! = !1 + !2 = 2!1
Destruktive Interferenz
! = !1 + !2 = 0
Superposition harmonischer Wellen
• Wir betrachten zwei harmonische Wellen, die von zwei gleichen Quellen
Q1 und Q2 mit derselben Amplitude A, derselben Kreisfrequenz % und
einem bestimmten Phasenunterschied ' kommen.
• Die zwei Wellen treffen sich in einem Punkt P
Abstand P-Q1 = x1
P-Q2 = x2
!1 (x,t) = A sin(kx1 " #t) und
!2 (x,t) = Asin(kx 2 " #t + $ )
Superposition
!1 (x,t) = A sin(kx1 " #t) und
!2 (x,t) = Asin(kx 2 " #t + $ )
'=Phasenunterschied der Quellen
Resultierende Welle (Superposition):
!(x,t) = !1 (x,t) + !2 (x,t)
Weil die Wellen verschiedene Wege zurückgelegt haben, erreichen
sie den Punkt P mit einer zusätzlichen Phase. Diese Wegdifferenz
wird als Gangunterschied #x bezeichnet
!x = x 2 " x1 # x 2 = x1 + !x
Superposition
Resultierende Welle (Superposition):
!(x,t) = !1 (x,t) + !2 (x,t)
!(x,t) = Asin(kx1 " # t) + Asin(k(x1 + $x) " #t + % )
= Asin(kx1 " # t) + Asin(kx1 " #t + (% + k$x))
1
&1
( &
(
= 2Acos (% + k$x) sin kx1 " # t + (% + k$x)
'2
) '
)
2
!###"###$ !####
#"#####
$
Amplitude
harmonische Welle
Die resultierende Welle ist eine harmonische Welle mit derselben
Frequenz und derselben Wellenzahl wie die einlaufenden Wellen. Die
Amplitude hängt vom Phasenunterschied und Gangunterschied ab!
Konstruktive Interferenz:
(doppelte Amplitude)
1
(! + k"x) = n#
2
1
#
1%
Destruktive Interferenz:
(! + k"x) = $ n + &'
2
(verschwindende Amplitude) 2
n = 0,1,2,...
n = 0,1,2,...
5.7 Stehende Welle
• Demonstrationsexperiment: Eigenschwingung einer Saite der Länge L
! Ein Seil ist an zwei Wänden fixiert. Wenn wir das Seil mit einer äusseren Kraft in Form
einer harmonischen Schwingung auslenken, beobachten wir für bestimmte Frequenzen
eine stehende Welle. Die Amplitude der Schwingung ist in diesem Fall gross (Resonanz
bei bestimmten Eigenfrequenzen).
Bäuche
Knoten
Frequenz der stehenden Wellen
• Um die Eigenfrequenzen zu bestimmen, bemerken wir, dass für
eine stehende Welle die Länge L der Saite gleich einem
ganzzahligen Vielfachen von $/2 sein muss
!
n =L
2
n = 1,2,3,...
• Eine unendliche Anzahl von Eigenfrequenzen, die die
Wellenlänge $n besitzen
2L
!n =
n
n = 1,2,3,...
• n=Zahl der Harmonischen
! Die n-te Harmonische besitzt n Bäuche und n–1 Knoten.
• Die Frequenz der n-ten Harmonischen:
" n kn v 2#v
v
v
!n =
=
=
=
=n
2# 2# 2#$ n $ n
2L
Ausbreitungsgeschwindigkeit
( n = 1,2,3,...)
Stehende Welle
• Die Frequenz der n-ten Harmonischen als Funktion der
Grundfrequenz (der ersten Harmonischen)
v
!1 =
2L
und
!n = n!1
• Aus der Bestimmung der Ausbreitungsgeschwindigkeit
v=
S
!
"
1 S
#1 =
2L !
Spannung
Längendichte
Wellenfunktion der stehenden Wellen
• Experimentell:
! ein Punkt an einem beliebigen Ort x hat eine einfache
harmonische Bewegung. Die Amplitude der Schwingung ist
von Ort zu Ort verschieden.
Ansatz:
!(x,t) = 2!0 sin(kx )cos("t)
Es gilt: !1 (x,t) = !0 sin( kx " #t)
und
!2 (x,t) = !0 sin( kx + #t )
Prinzip der Superposition: !(x,t) = !1 (x,t) + !2 (x,t)
= !0 sin(kx " #t ) + !0 sin( kx + #t )
= 2!0 sin(kx )cos(#t)
Stehende Welle = Summe von zwei Wellen gleicher Wellenzahl,
Frequenz und Amplitude und entgegengesetzter
Ausbreitungsrichtung!
Randbedingung
• Ist die Saite an beiden Enden (d.h. bei x=0 und x=L) fest
eingespannt, gibt es eine Randbedingung, die für alle Zeiten
gelten muss
!(0,t) = ! (L, t) = 0
für alle Zeiten t
• Bei x=0 immer erfüllt
• Bei x=L:
!(L, t) = 2!0 sin(kL)cos(" t) = 0
# sin(kL) = 0
für alle Zeiten t
kn L = n!
n = 1,2,3,...
2L
!n =
n
n = 1,2,3,...
Genau die Bedingung für stehende Wellen