WELLEN in RESONATOREN - Fakult at f ur Physik

Kapitel 11
WELLEN in
RESONATOREN
Die Reflektion einer ”elektrischen” Welle an einer leitenden Wand wird von
einem Phasensprung von 180o begleitet. Das Bild hier ist folgendes: Die Welle
! parallel zur Wand). Die Wand ist
trifft senkrecht auf die Wand (damit liegt E
!
! an der Wand nicht ver!
ein idealer Leiter (σel = ∞ und j = σel E). Wenn E
schwindet, dann fließt ein unendlich großer Strom.
3 , . / / 4
5 # ", ))
! "# $ # % & # '( # ))#
# *% +, ))# % & # '( # ))#
- # . / % & 0 1 2 # ))#
! verschwindet, braucht man eine reflektierte Welle derart, dass ihr E!
Damit E
Feld das Feld der einfallenden Welle gerade auf Null kompensiert. Bild: der in
der Wand induzierte Wechselstrom entspricht einem Dipol für sekundäre Wellen,
die der einlaufenden Welle überlagert werden. Im Metall heben sich die Felder
gerade auf, vor der leitenden Wand bildet sich eine stehende Welle aus.
97
11.1
Stehende elektromagnetische Wellen
Eine linear polarisierte ebene Welle Ex (z) = E0 cos(ωt − kz) breitet sich in der
positiven z-Richtung aus und wird an einer an einer ideal leitenden Ebene bei
! an der Wand verschwinz=0 reflektiert. Da die Tangentialkomponente von E
det, gilt
Ex (z = 0) = E0ein + E0ref = 0
⇒
E0ein = −E0ref
(11.1)
Damit gilt
Ex (z, t)
= E0ein cos(ωt − kz) + E0ref cos(ωt + kz)
= E0ein [cos(ωt − kz) − cos(ωt + kz)]
(11.2)
= −2E0ein sinωt sinkz
Wegen ∂By /∂t = +∂Ex /∂z gilt
∂By /∂t = 2k E0 sinωt coskz
(11.3)
und nach Integration über die Zeit
By (z, t)
k
E0 cosωt coskz
ω
=
−2
=
− +2B0 cosωt coskz
(11.4)
! und B
! sind räumlich um λ/4 und zeitlich um T /4 verschoDie Maxima von E
! und B
! in Phase.
ben. In einer laufenden Welle hingegen schwingen E
!
#
"
$
%
Der Nachweis der Schwingungsbäuche der beiden Feldgrößen gelingt mit
Glimmlampen und Leiterschleifen auf einer terminierten Lecherleitung, die mit
einer Hochfrequenz von 250 M Hz (Wellenlänge von λ=1.2 m) gespeist wird.
Die Reflexion der Welle passiert am Kurzschlussbügel.
11.2
Hohlleiter
Im Hohlraumresonator können sich stehende Wellen in 3 Dimensionen
ausbilden. Ein Hohlleiter entspricht einem Resonator mit offenen Endflächen.
Dabei treten zwei spezielle Typen von Lösungen auf
! = {Ex , Ey , 0}. E
! ⊥ zur Ausbreitungsrichtung (z)
• TE -Wellen: E
! = {Bx , By , 0}. B
! ⊥ zur Ausbreitungsrichtung (z)
• TM-Wellen: B
Diese transversal elektromagnetischen Wellen werden durch T Enm bzw. T Mnm
charakterisiert (n, m gibt die Anzahl der Knotenstellen in x, y-Richtung).
Beispiel für Hohlleiter mit T E10 Mode
! = {0, Ey , 0}
E
! = {Bx , 0, Bz }
B
#
"
!
4
5
! "# $ % & '( ) * # $% & '( & )
+ , - . # % '( ) * # $% & '( & )
*+ $, & - . /& - 0 1 2 3 . ''& */& )
Einkopplung in den Resonator über ein Dipolantenne am Orte maximaler elektrischer Feldstärke, oder über eine kleine Drahtschleife am Ort maximaler magnetischer Feldstärke.
Koaxialkabel
Ein gerader Draht mit hochfrequentem Wechselstrom stellt einen Hertz’schen
Dipol dar. Der Energieverlust durch Abstrahlung ist ∝ ω 4 . Zur verlustarmen
Leitung von hochfrequenten Stömen verwendet man entweder eine Lecherleitung (2 Leitungen mit Abstand d & λ, z.B. Antennenkabel), oder ein Koaxialkabel (ein zylindrischer Wellenleiter, wobei die Außenleitung geerdet ist). Das
Koaxialkabel hat pro Längeneinheit eine Kapazität C und eine Selbstinduktivität L. Mit den typischen Größen C̃ = 100 pF/m und L̃ = 250 nH/m ist die
Ausbreitungsgeschwindigkeit eines elektromagnetischen Pulses im Bereich
!
v = 1/ C̃ L̃ = 2 × 108 m/s
(11.5)
"
Der Quotient Z0 = U0 /I0 = L̃/C̃ heisst Wellenwiderstand. Für das obige Kabel beträgt er 50 Ω. Bei geeigneter Dimensionierung und Wahl des Isolationsmaterials ist Z0 über weite Bereiche unabhängig von der Frequenz und eine
dispersionsfreie Leitung relativ kurzer elektromagnetischer Pulse ist möglich.
Heaviside Schicht
gekennzeichnet sind. Dabei steht n
für die Dichte der Ladungsträger
und m für die Elektronenmasse.
Mit Heaviside Schicht bezeichnet
man die Grenzfläche der Erdatmosphäre zur Ionosphäre. An ihr
werden elektromagnetische Wellen mit Frequenzen unterhalb der
Plasmafrequenz reflektiert, höhere
Frequenzen durchdringen die Ionosphäre. (typisch erfolgt Reflexion für ν < 100 M Hz)
E! F ?C " G
/ 1% 3 -
/ 0 0 12 3 -
/ 0 1% 3 -
/ 0 10 0 0
! " # $
% &''( )
* + , - . ( ))(
9 : ; 4 5 &4 5 '
/ 0 0 0
# " 4 5 '6
3 D 5 ( 1&# 12 @
In der Ionosphäre führen lokale
Abweichungen von der Quasineutralität zu Plasmaschwingungen,
die durch eine charakteristische
Frequenz, die Plasmafrequenz
#
n
νplasma ∝
m
'" $ 6 7 8 ( ,
/ 0 0
< : ; 4 5 &4 5 '
= : ; 4 5 &4 5 '
< )( 2 ', > # ( # 1?1@ A
/ 0
/ 0 B
/ 0 / 0
/ 0 / C
! " #$ %
: "
: ;
. <=%
!
/, ( , 0 1 2 3
*' #45 6& 7 2
87 2 +9
+ , #- . / #0 1 2#3 . / / 1
* " "
$ %
& ' ( ) ' *
! " " #$ %
. *) '
& " & " ' ()% *
+, +' #- , ( '
Lichtwellenleiter
In optischen Fasern verwendet man einen Kern mit höherem Brechungsindex
als im Mantelbereich. Nach Einkopplung einer elektromagnetischen Welle in
den Kern kommt es zur Totalreflexion, solange der Winkel zwischen dem Ausbreitungsvektor und der Grenzschicht Kern - Mantel klein genug ist. Siehe Seite
??.