3. Mechanische Eigenschaften von Kristallen

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3. Mechanische Eigenschaften von Kristallen
3.1. Elastizität eines Festkörpers
Kontinuumsnäherung: Kristall = homogenes, kontinuierliches Medium, λ » a
zur Beschreibung von statischen Verschiebungen, Ultraschallwellen
Verwendung des Hookeschen Gesetzes für kleine Auslenkungen:
- Dehnung: bei Längenänderung ∆l => Dehnung ∆l/l = ε
Spannung σD = F/A (Kraft/Fläche) = E·ε
(Hooke)
E = linearer Elastizitätsmodul
Bsp: Al E = 7,2·1010 N/m2, d.h. für ∆l/l = 0,01 ist σ = 7,2·108 N/m2 nötig!
Größtes E für Kohlenstoff-Nanoröhrchen E = 1·1015 N/m2
- Querkontraktion bei Dehnung: Poisson-Zahl ν = − ∆d / d
∆l / l
Al: ν = 0,34
- Volumenänderung bei Dehnung: V = ld2
für kleine Änderungen:
∆V σ
= (1 − 2ν )
V E
für ∆V > 0, ν < 0,5
50
- Allseitiger (hydrostatischer) Druck: ∆p
∆V
∆p = − K
oder
V
Kompressionsmodul
∆V
= − κ∆p
V
Kompressibilität
Bsp: Al K = 7,5·1010 N/m2
- Scherung: hier σS || Ebene A
Schubspannung, Scherspannung: σS = µ·θ
µ = Schubmodul
Bsp: Al µ = 2,7 ·1010 N/m2
Für elastisch isotrope Medien: nur 2 unabhängige elastische Konstanten:
E
= 1+ ν
2µ
Messung der elastischen Konstanten:
- Statisch: Messen von σ = f(ε) im linearen Bereich
Analog für µ und K
- Dynamisch: Messung der Schallgeschwindigkeit
E: Longitudinalwellen v = E
ρ
ρ = Dichte
µ
µ: Transversalwellen
v=
ρ
51
Spannung-Dehnungs-Diagramm
In Einkristallen sind die elastischen Konstanten richtungsabhängig
Hookesches Gesetz:
σij = Cijkl ε kl
σ, ε Tensoren, Cijkl Elastizitätsmoduln
Cijkl ist Tensor 4. Stufe mit 34 = 81 Komponenten. Da aber σ, ε symmetrisch => Cijkl hat nur
maximal 62 = 36 unabhängige Komponenten. Bei Kristallen höherer Symmetrie ist die Zahl
der unabhängigen Komponenten viel kleiner: kubisch: 3, hexagonal: 5, tetragonal: 6,
orthorhombisch: 9, isotrop: 2
52
3.2. Gitterschwingungen - Phononen
Wellen in Gittern mit einer Atomsorte
hier: hochsymmetrische Richtungen, z.B. In kubischen Kristall [100], [110], [111]
rein transversale und rein longitudinale Wellen
Longitudinalwelle
Transversalwelle
Ganze Netzebenen schwingen parallel bzw. senkrecht zu K.
Longitudinaler Fall:
Lösung des Problems einer linearen Kette, bei der Auslenkung der Atome parallel zur Kraft
ist (=longitudinal): Entsprechend dem Hookeschen Gesetz wird angenommen, dass die Kraft
auf die Ebene s durch Auslenkung der Ebene s+p proportional zum Unterschied der
Auslenkungen ist:
Cp = Kraftkonstante zwischen 2
Fs = ∑ C p (u s + p − u s )
Ebenen im Abstand p 53
p
Bewegungsgleichung einer Ebene:
M = Masse des Atoms
Lösung in Form von ebenen Wellen:
d 2u s
∑p Cp (u s+ p − u s ) = M dt 2
u s + p = u 0ei [( s + p ) qa −ωt ]
q = Wellenzahl des Phonons, a = Ebenenabstand
eingesetzt, aus Symmetriegründen ist Cp = C-p
ω2 =
2
∑ Cp (1 − cos(pqa ) )
M p>0
Dispersionsrelation
Spezialfall: nur WW mit nächsten Nachbarn, d.h. p = 1
2C
2C
⎛ qa ⎞
ω2 = 1 (1 − cos(qa ) ) = 1 2 sin 2 ⎜ ⎟
M
M
⎝ 2⎠
ω=
4C1
⎛ qa ⎞
sin⎜ ⎟
M
⎝ 2 ⎠
54
1. Brillouin-Zone enthält alle Informationen über die Gitterschwingungen eines Kristalls
(alle physikalisch sinnvollen Werte) => q > π/a beschreibt Auslenkung, die bereits durch
ein Wellenvektor -π/a ≤ q ≤ π/a beschrieben ist (im realen Raum: Wellen mit λ > 2a)
Atom
Brillouin-Zonengrenze: q = ± π/a
u s (q ) = u 0ei [sqa − ωt ]
⇒
u s ( π / a ) = u 0 e ± isπ eiωt = u 0 ( −1)s eiωt
stehende Welle!
=> Es kann sich im Kristall keine laufende Welle mit q = ± π/a ausbreiten.
Welle mit qmax = π/a wird Bragg-reflektiert (s. Definition der Brillouin-Zonengrenze)
Überlagerung von Welle mit reflektierter Welle ergibt stehende Welle.
Geschwindigkeit elastischer Wellen im Kristall
Phasengeschwindigkeit
v ph =
Gruppengeschwindigkeit v g =
ω
q
dω
C1
⎛1 ⎞
=
a cos⎜ qa ⎟
dq
M
⎝2 ⎠
55
Gitter mit zwei Atomen in der primitiven Elementarzelle (mit Basis)
Bsp: NaCl, Si, Ge
NaCl in [111]: Ebenen enthalten jeweils nur eine Atomsorte
weitere Annahmen: WW nur zwischen nächsten Nachbarn,
Kraftkonstanten gleich
Bewegungsgleichungen:
d 2 u 2s +1
M1
= C(u 2s + 2 + u 2s − 2u 2s +1 )
2
dt
d 2 u 2s
M2
= C(u 2s +1 + u 2s −1 − 2u 2s )
2
dt
56
Lösung: Wellen mit verschiedenen Amplituden für M1- und M2 Netzebenen
u 2s +1 = ξei [( 2s +1) qa −ωt ]
u 2s = ηei [2sqa −ωt ]
Einsetzen und Gleichungssystem lösen
− ω M1ξ = Cη(e + e ) − 2Cξ
− ω2 M 2η = Cξ(eiqa + e −iqa ) − 2Cη
2
iqa
− iqa
2
⎡
⎛
⎞
⎛
⎞
1
1
1
1
4 sin 2 (qa ) ⎤
2
⎟⎟ ± C ⎢⎜⎜
⎟⎟ −
ω = C⎜⎜
+
+
⎥
M
M
M
M
M
M
⎝ 1
1
2
2 ⎠
2 ⎠
⎢⎣⎝ 1
⎥⎦
Lösung für kleine q: sin2qa ≈ 0
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
ω12 = 2C⎜⎜
+
⎝ M1 M 2 ⎠
(optischer
Zweig)
weiter entwickeln: sin2qa ≈ qa
ω22 =
2C
q 2a 2
M1 + M 2
(akustischer
Zweig)
Lösungen für qmax = ± π/2a
ω2 =
1
2C
,
M1
ω22 =
2C
M2
57
M1 > M2
1/ 2
Allgemein: in N-atomiger Basis gibt es 3 akustische Zweige (2TA+1LA) und (3N-3) optische
Zweige ( 2(N-1) TO, (N-1) LO)
Bsp: Auslenkung der Teilchen in den TA und TO Zweigen:
für q = 0 findet man durch Einsetzen ξ / η = − M 2 / M 1 , d.h. die Atome schwingen
gegeneinander. Bei entgegengesetzter Ladung von M1 und M2 (z.B. NaCl) kann diese
Bewegung durch das elektrische Feld einer Lichtwelle angeregt werden => „optischer Zweig“
Frequenzlücke für
2C
2C
<ω<
M1
M2
„Energielücke“ => keine oszillatorische Lösung
=> nur Lösung, falls q komplex, Welle wird also
räumlich gedämpft.
Phononen = quantisierte Gitterschwingungen, harmon. Oszillator mit E = hω(n + 1 / 2)
n = Besetzungszahl
Quasiteilchen (existiert nicht im Vakuum)
58
3.3. Experimentelle Bestimmung von Dispersionskurven: Inelastische Neutronenstreuung
- Wiederholung elastische Streuung: E = E0, |k| = |k0|
r
r r r
K = k − k0 = G
Bragg
r
hG = Impuls, der an das Gitter übertragen werden
kann
r
r
Bragg-Reflex nur, falls hK = hG
r
- Inelastische Streuung: E ≠ E0 , Impuls hK kann nun zum Teil dazu verwendet werden,
elastische Wellen anzuregen, oder: Phononen zu erzeugen!
r r
r r r
K = k '− k 0 = G ± q
+ Phonon wird erzeugt
- Phonon wird vernichtet
Energieerhaltung: E = E ' ± hω
0
2 2
h 2 k 20 h k '
oder :
=
± hω(q)
2m
2m
ω = f(q) Dispersionsrelation
59
Inelastische Neutronenstreuung
r r
- Messgrößen: k 0 , k ' , E 0 , E '
=> ω(q)
z. B. mit Dreiachsspektrometer
- Monochromator: nur n mit E0
r
- n treffen in bestimmter Richtung k 0 auf
Probekristall
r und werden in anderer
Richtung k ' beobachtet
- Messung der Energie der gestreuten n mit
Analysator
60
Beispiele: Al (fcc)
=> 1. Brillouinzone bcc
KBr
61
Infrarotabsorption
Betrachtet werden Ionen mit Ladung ±e, Grenzfall q ≈ 0
− iω t
Das elektrische Feld einer Lichtwelle E e führt zu erzwungenen Schwingungen
=> Addition eines Kraftterms ±eE in den Bewegungsgleichungen.
− ω2 M1ξ = 2C(η − ξ ) + eE
− ω2 M 2η = 2C(ξ − η) − eE
ξ=
(e / M1 ) E ,
ωT2 − ω2
η=
− (e / M 2 ) E
ωT2 − ω2
E = Amplitude des elektrischen Feldes am Ort des Ions
und ω2 = 2C⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟ = 2C der Grenzwert des optischen Zweigs, µ = reduzierte Masse
T
⎜M M ⎟ µ
⎝ 1
2 ⎠
Diese Gleichungen beziehen sich auf ein transversales optisches Phonon.
Resonanz für ω = ωT !
Ne 2 / µ
E
Polarisation: P(ionisch ) = Ne(ξ − η) = 2
ergibt eine frequenzabh.
2
ωT − ω
Dielektrizitätskonstante
ωT2 [ε(0) − ε(∞)]
ε(ω) = ε(∞) + 2
ωT − ω2 − iωγ
Beitrag der (Rumpf-) Elektronen bei hohen Frequenzen
Dämpfung
62
Folge: in einem gewissen Bereich wird
die ε negativ => der Brechungsindex
n = ε 1/2 wird imaginär
=> es existieren keine oszillatorischen
Lösungen der Wellengleichung in
diesem Frequenzbereich (≠ verbotenen
Frequenzlücke bei Bragg-Reflexion),
eine e.m. Welle kann sich nicht im
Kristall ausbreiten
=> Strahlung wird reflektiert
63
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