Logik - Fachbereich Mathematik und Informatik

Berechenbarkeit,
Beweisbarkeit
Logik
Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
Aussagenlogik
n
n
n
n
Syntax
Boolesche Algebra
Klassische Semantik
Wahrheit, Gültigkeit
Prädikatenlogik
n
n
n
n
Signatur
Sprache
Strukturen
Semantik
Hilbert Kalkül
n
n
n
n
Hilbert Kalkül
Konstruktive und klassische Axiome
Klassische Vollständigkeit
Problematik klassischer Beweise
Intuitionistische Semantik
n
n
n
n
BHK Semantik
Heyting Semantik
Unvollständigkeit konstruktiver Axiome
Satz von Glivenko
Natürliches Schließen
n
n
n
n
Elimination und Einführung
Beweisboxen und Bäume
Quantorenregeln
Jape
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
Aussagenlogik
n
n
n
n
Syntax
Boolesche Algebra
Klassische Semantik
Wahrheit, Gültigkeit
Prädikatenlogik
n
n
n
n
Signatur
Sprache
Strukturen
Semantik
Hilbert Kalkül
n
n
n
n
Hilbert Kalkül
Konstruktive und klassische Axiome
Klassische Vollständigkeit
Problematik klassischer Beweise
Intuitionistische Semantik
n
n
n
n
BHK Semantik
Heyting Semantik
Unvollständigkeit konstruktiver Axiome
Satz von Glivenko
Natürliches Schließen
n
n
n
n
Elimination und Einführung
Beweisboxen und Bäume
Quantorenregeln
Jape
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Minimale Syntax
n
Aussagenvariablen
n
Ausdrücke (engl. expressions oder formulas)
Var := { P, Q, R, P1, P2, P3, … }
Expr ::= Expr ! Expr | ?
| : Expr | >
| Expr Ç Expr | Expr Æ Expr
| Expr $ Expr
n
Klammern
¨
¨
n
Verabredung: ! ist rechtsgeklammert
z.B.: P! Q! R bedeutet P! ( Q! R )
Alternative Schreibweise für ?:
n
n
n
optional
für ?: false, F, 0,
für >: true, T, 1
Beispiele:
n
n
n
P!Q!P!P
P ! (P ! ? ) ! ?
((P ! ? ) ! ? )! P
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Die Boolesche Algebra B
n
n
Sei B = {0,1}
Operationen gegeben durch Tafeln
Konjunktion
Implikation
Komplement
1
1
1
‘
0
1
Disjunktion
Äquivalenz
xor
+
0
1
, 0
0 1
1 0
© 0
0 0
1 1
¢
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
) 0
0 1
1 0
1
1
1
1
0
1
1
0
Andere Schreibweisen für die Operatoren:
statt ¢ , +, ), ,, ‘ benutzt man Æ , , , Ç , !, = , :
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Boolesche Gleichungen
Verband
n
Jede Boolesche Algebra erfüllt die Gleichungen
x+x=x
x+y=y+x
(x + y) + z = x + (y + z)
x¢ x=x
x¢y=y¢x
(x ¢ y) ¢ z = x ¢ (y ¢ z)
x ¢ (x + y) = x
x + (x ¢ y) = x
Absorption
x¢(y+z) = (x¢ y)+(x¢ z)
x + (y ¢ z) = (x+y) ¢ (x+z)
Distributivität
x + x‘ = 1
x ¢ x‘ = 0
x‘‘ = x
Halb
verband
Komplementär
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Boolesche Ordnung
n
n
Auf jeder Booleschen Algebra lässt sich
eine Ordnung definieren durch
Es gilt:
x · y :, x Ç y = y
¨
0·1
¨
x · y gdw. x Ç y = y gdw. x Æ y = x
¨
x Æ (x ) y) · y
¨
x · y gdw. y‘ · x‘
¨
wenn x · y dann
n
n
xÇz·yÇz
xÆz·yÆz
( ‘ ist antiton )
(Ç ist monoton)
(Æ ist monoton)
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Semantik
n
Syntax = sprachliche Form
¨
¨
gegeben durch Grammatik G
Sprache L(G)
n
n
n
wohlgeformete Ausdrücke E
engl: well formed formulas (wff)
Semantik = Bedeutung
¨
Ordnet einem syntaktisch korrekten Ausdruck E
einen mathematischen Wert « E ¬ zu
¨
Oft funktionales Argument
hier :
wobei
Boolesche Funktion « E ¬ : [Var ! B] ! B
Var umfasst die Variablen in E
B ist Menge der Wahrheitswerte B = {0,1} = 2
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Belegungen
n
Eine Belegung ist eine beliebige Abbildung σ : Var ! B
n
[Var ! B] = BVar ist die Menge aller Belegungen
n
Modifikation einer Belegung:
¨
¨
Sei σ 2 B
Var,
v2 Var und z2B.
σ[v a z]
ist definiert durch
σ[v a z](w) := if v=w then z else σ(w)
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Klassische Semantik
n
Semantik eines Ausdruckes E ist eine Abbildung
« E ¬ : BVar ! B
n
Semantische Definition
¨
¨
n
« ? ¬ := λ σ. 0
« E1 ! E2 ¬ := λ σ. « E1 ¬(σ) ) « E1 ¬(σ)
Anders geschrieben:
Für alle σ2 BVar
¨ « ? ¬ (σ) := 0
¨ « E1 ! E2 ¬ (σ) := « E1 ¬(σ) ) « E1 ¬(σ)
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Erweiterte Klassische Semantik
n
Erste Möglichkeit
¨
n
erweiterte Syntax nur als Schreibabkürzung verstehen
zweite Möglichkeit
¨
für jede Belegung σ 2 BVar sei « E ¬(σ) definiert durch
«>¬(σ)=1
« E1 Æ E2 ¬(σ) = « E1 ¬(σ) ¢ « E1 ¬(σ)
« E1 Ç E2 ¬(σ) = « E1 ¬ (σ) + « E1 ¬ (σ)
« E1 $ E2 ¬(σ) = « E1 ¬ (σ) = « E1 ¬ (σ)
« : E ¬(σ) = (« E ¬ (σ))‘
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Erweiterte Syntax als Abkürzung
n
Lemma: Es gilt
¨
¨
¨
¨
n
«:φ ¬
«φÇψ¬
«φÆψ¬
«φ$ ψ¬
=«φ!?¬
= « :φ ! ψ ¬
= « :(φ ! :ψ) ¬
= « (φ ! ψ) Æ ( ψ ! φ) ¬
Konsequenz: Legt man die klassische Semantik zugrunde, so kann man
die zusätzlichen logischen Operationen
¨
Æ, Ç, :
¨
¨
¨
¨
: φ := φ ! ?
φ Ç ψ := :φ ! ψ
φ Æ ψ := :(φ ! :ψ)
φ $ ψ := (φ ! ψ) Æ (ψ ! φ)
aus ! und ? definieren durch
n
Vorteil
¨
Man muss relevante Eigenschaften nur für ! und ? beweisen
und kann Ç, Æ, und $ als schlichte Schreibabkürzungen verstehen
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Wahrheit und Gültigkeit
n
Ein Ausdruck E heißt
¨
¨
n
wahr unter der Belegung σ, falls « E ¬(σ)=0
Kurzschreibweise
²σ E
Ein Ausdruck E heißt
¨
¨
gültig (engl.: valid), falls er unter jeder Belegung wahr ist
Schreibweise
²E
¨
erfüllbar (engl.: satisfiable), wenn es eine Belegung gibt,
unter der er wahr ist
n
Gültige Ausdrücke heißen auch Tautologien
n
Unerfüllbare heißen widersprüchlich
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Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
Aussagenlogik
n
n
n
n
Syntax
Boolesche Algebra
Klassische Semantik
Wahrheit, Gültigkeit
Prädikatenlogik
n
n
n
n
Signatur
Sprache
Strukturen
Semantik
Hilbert Kalkül
n
n
n
n
Hilbert Kalkül
Konstruktive und klassische Axiome
Klassische Vollständigkeit
Problematik klassischer Beweise
Intuitionistische Semantik
n
n
n
n
BHK Semantik
Heyting Semantik
Unvollständigkeit konstruktiver Axiome
Satz von Glivenko
Natürliches Schließen
n
n
n
n
Elimination und Einführung
Beweisboxen und Bäume
Quantorenregeln
Jape
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Prädikatenlogik
n
Aussagenlogik
¨
atomare Aussagen nicht näher aufgeschlüsselt
n
¨
n
repräsentiert durch Aussagevariablen p, q, r, …
logische Junktoren !, ?, Ç, Æ, $
Prädikatenlogik
¨
atomare Aussagen sind Beziehungen zwischen Werten x,y,z,...
n
¨
¨
x < y, teilt(2¢x, y), x2+y2=z2,
logische Junktoren !, ?, Ç, Æ, $
Quantoren 8, 9
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Signatur
n
Eine Signatur Σ legt die Werte und Beziehungen fest,
über die man reden möchte
n
Beispiel: Stacks
n
¨
zwei Typen von Variablen:
n
n
¨
Operationen
n
n
n
¨
push: Element £ Stack ! Stack+
top: Stack+ ! Element
pop: Stack+ ! Stack
Relationen
n
n
n
s1, s2, … für Stacks
e1, e2, … für Elemente
isEmpty :: Stack
contains :: Stack £ Element
Im folgenden betrachten wir nur Signaturen mit einer Sorte von
Objekten
¨
weniger aufwendige Notation
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Signatur Gruppen
n
Ein Typ G von Objekten
¨
n
Operationen
¨
¨
¨
n
g1, g2, …
¢ : G£ G ! G
-1 : G ! G
e:!G
Relationen
¨
= :: G£ G
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Signatur für angeordnete Ringe
n
Ein Typ R von Objekten
¨
n
Operationen
¨
¨
¨
n
m, n, k, n1, n2, …
0:!R
+:R£R!R
*:R£R!R
Relationen
¨
¨
¨
= :: R £ R
< :: R £ R
· :: R £ R
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Signatur allgemein
n
Eine Signatur Σ = (S;F,R) besteht aus
¨ einer
Grundmenge S
¨ einer
Folge F=(fi)i2 I von Operationssymbolen
n
n
jede mit einer Stelligkeit ni2 N
wir schreiben fi : Sni! S
¨ einer
n
n
Folge R=(Rj)j2 J von Relationssymbolen
jede mit einer Stelligkeit mj
wir schreiben Rj :: Smj
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Sprache
n
Sei Σ eine Signatur
n
Sei V={x,y,z,x1,x2,…} eine abzählbar unendliche Menge
von Variablen
n
Wir definieren die Sprache L(Σ) durch
¨
Terme – repräsentieren Objekte
¨
atomare Ausdrücke - repräsentieren elementare (nicht
weiter zerlegbare) Aussagen
¨
Ausdrücke
n
n
– aussagenlogische Kombinationen von atomaren Ausdrücken
+ Quantifizierte Aussagen
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Sprache -Syntax
n
Σ =(S,F,R) sei eine Signatur
n
V unendliche Menge von Variablen
n
Terme
¨
n
Term ::= v
für jedes v2 V
fi(t1,…,tni) falls fi2F ni-stellig
und t1…,tni Terme
Atomare Aussagen
¨
At ::= Rj(t1,…,tmj)
falls Rj2 R mj-stellig
und t1,…,tmj Terme
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Beispiel L(Ringe)
n
Variablen seien V={r1, …, rn, … }
n
Terme sind z.B.:
¨
¨
r1, r2, ..., +(r1,r2), *(r1,+(r2,r1)),
infix Notation als Abkürzung
n
n
r1+r2, r1*(r2+r1), …
Atomare Ausdrücke sind z.B.:
¨
r1 = r1+r2, r1+r2 · r1*(r2+r1),
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Ausdrücke
n
Ausdrücke (Expressions) entstehen aus atomaren
Ausdrücken durch Kombination mit Junktoren und
Quantoren
Expr ::=
At
| Expr ! Expr | ?
| Expr Ç Expr | Expr Æ Expr | …
| 8v. Expr | 9v. Expr
Beispiele:
n
In der Sprache der Ringe:
¨
¨
n
8r.9s. r+s = 0
8 r.8s. r¢s = 0 ) r=0 Ç s=0
In der Sprache der Stacks muss man die Variablen
qualifizieren:
¨
8 s12 S. 8 e2 E. s1=push(e,s2) ) top(s1)=e
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Interpretation
n
Sei Σ eine Signatur
n
Eine Interpretation von Σ ist eine Struktur M=(M;FM,RM) mit
¨
¨
n
einer Operation fM: Mni ! M für jedes ni-stellige Funktionszeichen fi
einer Relation RM µ Mmj für jedes mj-stellige Relationszeichen Rj
Eine Interpretation der Gruppensignatur ist z.B.
Z – die ganzen Zahlen mit Addition
¨ +Z(z1,z2) :=
¨ -1Z(z) = -z
¨ 0Z = 0
z1+z2
n
Eine andere Interpretation ist:
n
N – die natürlichen Zahlen mit der Multiplikation
beachte – es sind keine Gruppenaxiome verlangt
¨ +N(n1,n2) =
¨ -1N(n) = n
¨ 0N = 0
n1¢ n2
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Semantik
n
Wir wollen Ausdrücken Bedeutung zuordnen
n
Ausdrücke können Variablen enthalten
¨
¨
¨
¨
¨
n
z.B. 8 r1. r1+r2 < r1
hier ist r1 gebunden, r2 frei
Ob dieser Ausdruck in einer Interpretation, z.B. I=(Z;+,-,0;<, ·,=) wahr
ist, hängt von der Belegung der freien Variablen r2 ab.
σ = [r2a 5] macht Ausdruck falsch
σ = [r2a -5] macht Ausdruck wahr
die Wahrheit eines Ausdrucks kann nur relativ zu einer Belegung der
freien Variablen bestimmt werden
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Belegung
n
Gegeben
¨
¨
¨
n
Eine Belegung
¨
n
Σ Signatur,
V={v1,… } Menge von Objektvariablen
Interpretation von Σ durch Struktur M=(M,FM,RM)
ist eine Abbildung h:V! M
Die Belegung setzt sich fort auf Terme:
¨
h(fi(t1,….,tni)) := fiM(h(t1),….,h(tni))
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Wahrheit – unter einer Belegung
n
Gegeben
¨
¨
¨
Σ Signatur,
V={v1,… } Menge von Objektvariablen
Interpretation von Σ durch Struktur M=(M,FM,RM)
n
h : V ! M eine Belegung
n
Für einen Ausdruck A der Sprache L(Σ) definieren wir
I ²h A
I ²h
I ²h
I ²h
I ²h
I ²h
R(t1,…,tmj)
A1 ! A2
?
A1 Æ A2
A1 Ç A2
I ²h 8 x.A
I ²h 8 x.A
:,
:,
:,
:,
:,
RM(h(t1), … , h(tmi))
I ²h A1 ) I ²h A2
?
I ²h A1 Æ I ²h A2
I ²h A1 Ç I ²h A2
:, I ²h[x a m] A für jedes m 2 M
:, I ²h[x a m] A für mindestens ein m 2 M
ein zusammengesetzter Ausdruck.
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Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
Aussagenlogik
n
n
n
n
Syntax
Boolesche Algebra
Klassische Semantik
Wahrheit, Gültigkeit
Prädikatenlogik
n
n
n
n
Signatur
Sprache
Strukturen
Semantik
Hilbert Kalkül
n
n
n
n
Hilbert Kalkül
Konstruktive und klassische Axiome
Klassische Vollständigkeit
Problematik klassischer Beweise
Intuitionistische Semantik
n
n
n
n
BHK Semantik
Heyting Semantik
Unvollständigkeit konstruktiver Axiome
Satz von Glivenko
Natürliches Schließen
n
n
n
n
Elimination und Einführung
Beweisboxen und Bäume
Quantorenregeln
Jape
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Beweise
n
Unter einem Beweis versteht man eine Herleitung einer Aussage aus
Axiomen
n
Der Beweis besteht aus endlich vielen Schritten
n
Jeder Schritt muss aufgrund einer akzeptierten Beweisregel erfolgen
n
Ein Beweis ist korrekt, wenn jeder Schritt korrekt ist.
n
Ob ein Beweisschritt korrekt ist, muss zweifelsfrei feststellbar sein
n
Erlaubt sind:
¨
¨
n
unendlich viele Axiome
unendlich viele Schlussregeln
Jeder konkrete Beweis kann aber nur endlich viele der
Axiome und Schlussregeln benutzen
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Beweis, Versuch einer Formalisierung
n
Ein Beweis einer Aussage Ψ ist eine Folge
(ψ1, …, ψn)
von Aussagen, so dass
¨
¨
Ψ = ψn und
jedes ψi ist entweder
n
n
n
ein Axiom, oder
entsteht durch Anwendung einer Schlussregel
mit Prämissen aus {ψ1, …, ψn-1 }
Ob eine Folge (φ1,…,φn) ein Beweis ist, muss entscheidbar sein.
¨
meist kommentiert man jedes φi mit der Angabe, welche
Schlussregel mit welchen Argumenten benutzt wurde.
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Substitution/Instanziierung
n
Seien φ,ψ Ausdrücke und v eine Variable
n
Unter
φ[v/ψ]
verstehen wir den Ausdruck, den man aus φ erhält,
indem man jedes v durch ψ ersetzt.
n
Man kann φ[v/ψ] induktiv über den Aufbau von φ definieren:
¨
1. φ = w 2 Var
n
n
¨
2. φ = ?
n
¨
a) w = v : v[v/ψ] = ψ
b) w ≠ v: w[v/ψ] = w.
?[v/ψ] = ?
3. φ = ψ1! ψ2
n
(ψ1! ψ2)[v/ψ] = (ψ1)[v/ψ] ! (ψ2)[v/ψ]
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Substitution und Modifikation
n
n
Lemma: Seien φ, ψ Formeln, v2 Var und σ eine Belegung.
Dann gilt
« φ[v/ψ] ¬(σ) = « φ ¬(σ[v a«ψ¬(σ)])
Beweis: Induktion über den Aufbau von φ.
¨
φ = w2 Var:
n
a) w = v: « φ[v/ψ]¬ (σ) = « ψ ¬(σ) = «v¬(σ[v a«ψ¬(σ)])
b) w ≠ v: « φ[v/ψ]¬ (σ) = « φ ¬(σ) = «w¬(σ[v a«ψ¬(σ)])
n
« ?[v/ψ]¬ (σ) = « ?¬ (σ) = 0 = « ? ¬(σ[v a«ψ¬(σ)])
n
«(φ1 ! φ2)[v/ψ]¬(σ)
n
¨
¨
φ=?
φ = φ1 ! φ2 :
nach Induktionsvoraussetzung
=
=
=
=
«φ1[v/ψ] ! φ2[v/ψ]¬(σ)
«φ1[v/ψ]¬(σ) ) «φ2[v/ψ]¬(σ)
« φ1 ¬(σ[v a«ψ¬(σ)]) ) « φ2 ¬(σ[v a«ψ¬(σ)])
« φ1 ! φ2 ¬(σ[v a«ψ¬(σ)])
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Hilbert Kalkül - Aussagenlogik
Axiome
n
1.
2.
3.
φ! ( ψ! φ)
(φ ! (ψ ! χ)) ! (φ ! ψ) ! (φ ! χ )
…
Regel(schema)
n
¨
„Abtrennungsregel“
(modus ponens)
φ, φ ! ψ
ψ
¨
Instanziierung
φ
φ [v/ψ]
Instanziierung erlaubt, eine aussagenlogische Variable v
durch einen beliebigen Ausdruck ψ zu ersetzen
n
es folgt, dass mehrere Variablen gleichzeitig ersetzt werden können
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Beweis von A! A
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(φ ! ψ ! χ) ! (φ ! ψ) ! φ ! χ
(A ! (A! A) ! A) ! (A ! (A! A)) ! A ! A
φ!ψ!φ
A ! (A! A) ! A
(A ! (A! A)) ! A ! A
A ! (A! A)
A!A
Axiom
Inst [φ/A, ψ/(A! A), χ/A]
Axiom
Inst 3 [φ/A, ψ/(A! A)]
m.p. 2,4
Inst 3 [φ/A, ψ/A, χ/A]
m.p. 5.6.
q.e.d.
Beweise im Hilbert Kalkül sind nicht einfach und nicht unbedingt „natürlich“
Nachprüfen der Beweise ist trivial und durch einen p.r.-Algorithmus
implementierbar.
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Minimale Logik
Es reicht, Junktoren ! und ? zu betrachten.
Negation verstehen wir als Abkürzung:
n
n
:φ := φ ! ?
Die Einführungs- und Eliminationsregeln zeigen,
wie man Ç und Æ ersetzen kann.
n
Axiome:
1.
2.
φ!ψ!φ
(φ ! ψ ! χ) ! (φ ! ψ) ! φ ! χ
Schlussregeln:
n
Modus ponens
n
Instanziierung
Auf den folgenden Folien zeigen wir:
n
¨
¨
φ ! ::φ
(φ! ψ)!(: ψ ! : φ )
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Beweis von A ! ::A
n
n
Zeige allgemeiner A! (A! B) ! B
Instanziiere ? für B
1.
2.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
φ!ψ!φ
(φ ! ψ ! χ) ! (φ ! ψ) ! φ ! χ
(Q R) (Q R)
((Q R) (Q R)) ((Q R) Q) ((Q R)
((Q R) Q) ((Q R) R)
Q ((Q R) Q)
(((Q R) Q) ((Q R) R))
Q (((Q R) Q) ((Q R) R))
Q (((Q R) Q) ((Q R) R))
(Q ((Q R) Q) ((Q R) R))
(Q ((Q R) Q)) (Q ((Q R) R))
(Q ((Q R) Q)) (Q ((Q R) R)))
Q ((Q R) R))
Inst. Lemma: (A A)
R)
Axiom 2
MP 1,2
Axiom 1
Axiom 1
MP 3,5
Axiom 2
MP 6,7
MP 4,8 QED
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Doppelte Negation
n
Wir haben gesehen
n
Was ist mit
n
In der klassischen Semantik offensichtlich:
A ! ::A
kann man beweisen
::A ! A
¨
n
Logisch höchst problematisch
¨
n
«::A¬ = « A ¬
Wenn :A zu einem Widerspruch führt, warum soll dann A gelten.
:: A ! A kann man mit dem bisherigen Kalkül nicht beweisen
Regeln für Ç Æ,:, $, >
n
Verstanden als Abkürzungen
¨
¨
n
Besser
¨
¨
n
keine neuen Regeln erforderlich
aber Expansion erzegt riesige Formeln
als eigen Operatoren verstehen
eigen Regeln mitgeben
Muster
¨
Für jeden Operator ¯ hat man
¨
Einführungsregeln :
n
¨
wie kann ich E1 ¯ E2 beweisen
Eliminationsregeln
n
Was kann ich aus E1 ¯ E2 herleiten
Regeln für Æ
φ ! (ψ ! φ Æ ψ)
φÆψ!φ
φÆψ!ψ
Hilbertkalkül (konstruktiv)
Seien φ, ψ beliebige Aussagen.
1.
2.
φ ! (ψ ! φ)
(φ ! ψ) ! ((φ ! (ψ ! χ)) ! (φ ! χ))
3.
4.
5.
φ ! (ψ ! φ Æ ψ)
φÆψ!φ
φÆψ!ψ
Æ - Einführung
Æ - Elimination
Æ - Elimination
6.
7.
8.
φ!φÇψ
ψ!φÇψ
(φ ! χ) ! ((ψ ! χ) ! (φ Ç ψ ! χ))
Ç - Einführung
Ç - Einführung
Ç - Elimination
9.
10.
(φ ! ψ) ! ((φ ! :ψ) ! :φ )
:φ ! (φ ! ψ)
: - Einführung
: - Elimination
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Beweisbarkeit
n
Sei eine logische Sprache und ein Beweiskalkül K gegeben
¨
¨
Sei ψ eine logische Formel
Wir schreiben
`K ψ
¨
n
falls es im Kalkül K einen Beweis für ψ gibt
Wir haben gesehen, dass
`H A! A und
`H A! ::A
wenn H der Hilbertkalkül ist.
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Korrektheit und Vollständigkeit
n
Gegeben
¨
logische Sprache
n
¨
Semantik
n
¨
definiert ²
Beweiskalkül
n
n
definiert zulässige Aussagen φ
definiert `
Der Kalkül heißt korrekt, falls für jede logische Aussage φ gilt:
wenn `K φ dann K ² φ
n
er heißt vollständig, falls für jede logische Aussage φ gilt:
wenn ² φ dann `Kφ
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Hilbert Kalkül - aussagenlogisch
n
Der aussagenlogische Hilbert Kalkül ist korrekt
bezüglich der klassischen Semantik
Beweis:
1. Jedes Axiom ist gültig (wahr unter jeder Belegung σ)
n
2.
Nachrechnen
Modus Ponens erhält Gültigkeit:
n
n
Seien φ und φ ! ψ gültig, wir müssen zeigen, dass dann auch ψ gültig ist
Sei σ eine beliebige Belegung
¨
¨
n
3.
Also ist ψ gültig
Instanziierung erhält Gültigkeit
n
n
n
dann gilt « φ ¬(σ) = 1 und « φ !ψ ¬(σ) = 1, also auch
1 = « φ ¬(σ) Æ « φ ! ψ ¬(σ) = « φ¬(σ) Æ (« φ ¬(σ) ) « ψ ¬(σ) ) = 1 Æ (1 ) « ψ ¬(σ) ) = « ψ ¬(σ)
Sei φ gültig und [v/ψ] eine Substitution. Wir behaupten, dass φ[v/ψ](σ) = 1 ist.
Sei σ eine Belegung, dann gilt φ[v/ψ](σ) = φ([σ[v a«ψ¬(σ)]) = 1, weil φ gültig ist.
Der konstruktive Hilbert Kalkül ist nicht vollständig
bezüglich der klassischen Semantik
¨
« ::A! A ¬ = 1, aber :: A ! A ist nicht beweisbar
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Möglichkeiten
1.
Nehme neue Axiome oder Beweisregeln hinzu
2.
Ändere die Semantik
Beide Wege sind gangbar und machen Sinn
Kandidaten für neue Axiome
n
Doppelte Negation
¨
n
Tertium non datur
¨
n
:: A ! A
φ Ç :φ
Kontraposition
¨
(:ψ ! :φ) ! (φ ! ψ)
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Möglichkeiten
1.
Nehme neue Axiome oder Beweisregeln hinzu
2.
Ändere die Semantik
n
Alle vorgeschlagenen Axiome sind „nichtkonstruktiv“
n
n
n
n
Doppelte Negation setzt Widerspruchsfreiheit voraus.
Tertium non datur behauptet φ Ç :φ gilt, ohne zu sagen, ob φ
oder ob :φ
Kontraposition äquivalent zu DN und TND
Ersetze klassische Semantik durch
¨
¨
¨
BHK-Semantik, oder
Heyting-Semantik oder
Kripke-Semantik.
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Neue Axiome für klassische Logik
Klassischer (minimaler) Hilbert-Kalkül :
n Axiome
1.
2.
3.
n
φ!ψ!φ
(φ ! ψ ! χ) ! (φ ! ψ) ! φ ! χ
(: ψ ! :φ) ! (φ ! ψ)
Kontraposition
Klassischer (voller) Hilbert Kalkül:
¨
¨
Ersetze Axiom 10. durch eine der folgenden äquivalenten Möglichkeiten
Fallunterscheidung/tertium non datur
φ Ç :φ
¨
oder doppelte Verneinung
::φ ! φ
Satz: Der klassische Hilbert-Kalkül ist korrekt und vollständig bezüglich
der klassischen Semantik
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Klassisch vollständiger Hilbertkalkül
3.
4.
5.
φ ! (ψ ! φ)
(φ ! ψ) ! ((φ ! (ψ ! χ)) ! (φ ! χ))
φ ! (ψ ! φ Æ ψ)
φÆψ!φ
φÆψ!ψ
6.
7.
8.
9.
10.
φ!φÇψ
ψ!φÇψ
(φ ! χ) ! ((ψ ! χ) ! (φ Ç ψ ! χ))
(φ ! ψ) ! ((φ ! :ψ) ! :φ )
:φ ! (φ ! ψ)
1.
2.
n
Ersetze Axiom 10 durch eines der folgenden
¨
¨
¨
¨
¨
::φ ! φ
φ Ç :φ
(:φ ! :ψ) ! (ψ ! φ)
:(φ Æ ψ) ! (:φ Ç :ψ)
(φ ! ψ) Ç (ψ ! φ)
Doppelte Negation
Tertium non datur
Kontraposition
deMorgan
..merkwürdig
Hier nicht besprochen
n
Kalkül für Logik erster Stufe
¨
Insbesondere Schlussregeln für Quantoren
φ(a)
8x.φ(x)
n
a kommt nicht
in φ(x) vor
8–intro
8x.φ(x), t Term
φ(t)
8 –elim
Gleichheitsaxiome ( für Logik mit „eingebauter“ Gleichheit)
p=p
p=q
q=p
p=q, q = r
p=r
p=q, φ[p/x]
φ[q/x]
Problematik klassischer Logik
n
Es gibt zu jeder Zeit mathematische Aussagen, deren Wahrheit man nicht kennt
n
Beispiel: Goldbachsche Vermutung
¨
¨
n
Def.: prim(x) :, 8a,b2N. a¢b=x ) a=x Ç b=x.
Goldbach: 8n2N. 9p,q2N. prim(p) Æ prim(q) Æ p+q=2¢n
Möglichkeiten:
¨
Goldbach ist wahr
n
¨
Goldbach ist falsch
n
n
¨
wir erwarten einen Beweis
wir erwarten ein Gegenbeispiel
kleinstes n
Klassische Logik behauptet einfach so:
Goldbach Ç : Goldbach
¨
¨
Gibt es noch einen dritten Weg ?
Siehe:
Auswahlaxiom Ç :Auswahlaxiom Ç ???
Immerhin gilt: Auswahlaxiom nicht beweisbar und :Auswahlaxiom nicht beweisbar.
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Problematik
Wollen wir das ?
¨ (φ!
n
ψ) Ç (ψ ! φ)
Äquivalent zu
¨ ::φ
!φ
:((A! B) Ç (B! A)) ! ?
n
Ein enttäuschender Beweis
1.
Satz: 9p,q2R-Q. pq 2 Q.
n
Von einem Beweis eines Existenzquantors erwarten wir
¨
¨
n
ein Beispiel (engl. witness)
hier konkrete p,q
Aber:
¨
¨
¨
Bekanntlich ist q = √2 irrational
Sei r = qq .
Fallunterscheidung:
n
n
¨
n
r rational : Wähle p= √2
r irrational: Wähle p=r,
q.e.d
Aber ... der Beweis liefert uns kein definitives p !!!
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Ist f berechenbar ?
n
Eine Funktion ist berechenbar, wenn es einen Algorithmus gibt …
n
Betrachte
¨
f(n) = if(8x<n.9p,q.prim(p)Æprim(q)Æ2¢x=p+q) then 1 else 0
n
f berechenbar. Warum ?
n
Aber wo ist der Algorithmus ?
n
Beweis beruht auf Fallunterschheidung
¨
¨
n
Wollen wir solche Beweise zulassen?
¨
n
p Ç:p
hier: Goldbach Ç :Goldbach
Dann müssen wir f als berechenbar zulassen !!
Gibt es eine „bessere Logik“, deren Beweise stets konstruktiv sind ?
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
Aussagenlogik
n
n
n
n
Syntax
Boolesche Algebra
Klassische Semantik
Wahrheit, Gültigkeit
Prädikatenlogik
n
n
n
n
Signatur
Sprache
Strukturen
Semantik
Hilbert Kalkül
n
n
n
n
Hilbert Kalkül
Konstruktive und klassische Axiome
Klassische Vollständigkeit
Problematik klassischer Beweise
Intuitionistische Semantik
n
n
n
n
BHK Semantik
Heyting Semantik
Unvollständigkeit konstruktiver Axiome
Satz von Glivenko
Natürliches Schließen
n
n
n
n
Elimination und Einführung
Beweisboxen und Bäume
Quantorenregeln
Jape
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
BHK*-Semantik
n
a 2 « E ¬BHK
:, a ist ein konstruktiver Beweis von E
n
a 2 « E1 Æ E2 ¬BHK
:, a=<a1,a2> mit a12«E1¬BHK
und a22«E2¬BHK.
n
a 2 «E1 Ç E2¬BHK
:, a = <0,a1> mit a12«E1¬BHK
oder a = <1,a2> mit a22«E2¬BHK.
n
«?¬BHK = ;
n
«E1 ! E2¬BHK = [ «E1 ¬BHK ! «E2¬BHK ]
¨
n
d.h. ein Beweis a 2 «E1 ! E2¬BHK ist ein Algorithmus,
der jeden Beweis von E1 in einen Beweis von E2 umwandelt.
«:E¬BHK = «E ! ?¬BHK = «E¬BHK ! «?¬BHK
*
BHK = Brouwer, Heyting, Kolmogoroff
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Konsequenz der BHK-Semantik
n
p Ç:p - Tertium non datur nicht notwendig für alle p
¨
a2«pÇ:p¬BHK, a=<0,a1> mit a12«p¬BHK oder a=<1,a2> mit a22«:p¬BHK.
¨
Es ist aber möglich, dass weder ein Beweis für p noch einer für : p vorliegt
¨
Beispiel: Goldbachsche Vermutung
n
n
n
n
Vielleicht kann man sie beweisen
Vielleicht kann man sie widerlegen
Vielleicht kann man sie weder beweisen noch widerlegen
::p ! p
¨
a2«::p¬BHK
, a 2 [ «:p¬BHK !«?¬BHK ]
, «:p¬BHK= ;
, :p ist nicht beweisbar
Wieso sollte daraus folgen, dass p beweisbar ist ?
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Heyting-Algebra
1
vielleicht
n
Idee: Führe zusätzliche Wahrheitswerte ein
¨
¨
{0,a,b,c,…,1} statt nur {0,1}
analog: Fuzzy-Logic
n
Ersetze Boolesche Algebra B = (B,+,¢,‘, ⇒ ,0,1) durch
Heyting Algebra der erweiterten Wahrheitswerte
n
Struktur (H; +, ¢ ,
¨
¨
n
0,1) mit
(H; +, ¢ , 0,1) ist distributiver Verband
Es gibt immer ein größtes c mit a Æ c · b,
dieses nennen wir: a ⇒ b
Es folgt u.a.:
¨
¨
⇒,
1⇒x =x
( x ⇒ y = 1) gdw. x · y
0
H1
Beispiel:
H1 = { 0 < v < 1 } mit
x+y := max(x,y)
x¢y := min(x,y)
Hier gilt z.B.:
v ⇒ 0 = 0 , also
((v ⇒ 0) ⇒ v) ⇒ v = v
≠1
Heyting Algebra
Verband
n
n
Distributiver Verband
x+x=x
x+y=y+x
(x + y) + z = x + (y + z)
x¢ x=x
x¢y=y¢x
(x ¢ y) ¢ z = x ¢ (y ¢ z)
x ¢ (x + y) = x
x + (x ¢ y) = x
Absorption
x¢(y+z) = (x¢ y)+(x¢ z)
x + (y ¢ z) = (x+y) ¢ (x+z)
Distributivität
mit Pseudokomplement
¨
zu a, b existiert größtes c := a!b mit a¢c · b
Halb
verband
Heyting Semantik
n
Sei
¨
¨
¨
n
n
1
v
E Ausdruck der Aussagenlogik,
H Heyting Algebra
σ: Var! H eine Belegung.
Analog wie für die Boolesche Algebra B definieren wir
« E ¬H (σ) = Wert von E unter σ
Beispiel: In der Heyting Algebra {0,v,1} mit der Belegung σ:
P av
Qa0
erhalten wir: « (((P! Q)! P)! P)¬ = (((v! 0)! v)! v) = v ≠ 1
0
H1
Eigenschaft von Heyting-Algebren
n
a! b :
¨
¨
n
n
a ¢ (a! b) · b
a ¢ c · b ) c · a!b
Folgerung:
¨
¨
¨
n
größtes x mit a Æ x · b
a ¢ (a! b) · b
a ¢ c · b ) c · a!b
a·b,a!b=1
Beispiel: H2 = {0, a, b, c, 1}
mit
0·a·c·1 und 0·b·c,
In H2 gilt z.B.:
¨
¨
¨
a!b = b,
:a = b, aÇ:a = c≠ 1
::c = 1 ≠ c
1
1
c
v
b
a
0
H1
0
H2
Heyting Semantik
E heißt intuitionistisch wahr, falls für jede Belegung σ von E
in einer beliebigen Heyting Algebra H gilt:
n
« E ¬ (σ) = 1
Die Axiome des konstruktiven Hilbertkalküls sind intuitionistisch wahr
Die Schlussregeln
1.
2.
¨
¨
Modus ponens
Instantiierung
erhalten Wahrheit
Folgerung:
n
¨
¨
¨
¨
((P ! Q ) ! P) ! P) (Peirce)
::φ ! φ,
DN
φ Ç :φ
TND
…
intuitionistisch nicht herleitbar.
intuitionistisch nicht herleitbar.
intuitionistisch nicht herleitbar.
1
v
0
H1
Kripke Semantik
p,q,r
n
Mögliche Welten
¨
Welt beschreibt möglichen
Zustand des Wissens
n
n
¨
n
Wissen wird gewonnen
Nie revidiert
¨
q,u,s
Welt w weiß man p
Übergang von einer zu
einer späteren Welt
n
p,q,r
Wissen kann unvollständig sein
w°p
¨
p,q,u,r,s
p,q,r
w ° p, w · w‘ ) w‘ ° p
p
q
Kripke-Modell
¨
A Menge von Aussagevariablen
n
n
¨
A={ p,q,r,p1,p2,…}
Elementaraussagen, Messergebnisse, …
p,q,r
K=(W,·,°) Kripke Modell, falls
n
n
q,u,s
(reflexiv, transitiv, antisymmetrisch)
°µW£A
mit (Monotonie)
n
p,q,r
(W,·) Halbordnung
¨
p,q,u,r,s
p,q,r
wenn w· w‘ und w ° p dann w‘ ° p
p
q
Kripke Semantik
n
n
Gegeben ein Kripke Modell K = (W, · , °)
Definiere Semantik für beliebige zusammengesetzte Aussagen:
¨
¨
¨
¨
n
φÇψ
φÆψ
φ→ψ
?
,
,
,
w ° φ or w ° ψ
w ° φ und w ° ψ
w‘ ° ψ für alle w‘ ¸ w mit w‘ ° φ
Niemals
w ° :φ
,
Leicht zu zeigen:
¨
n
°
°
°
°
Regel für die Negation
¨
n
w
w
w
w
w ° :φ
,
w ° φ!?
Es folgt, dass für alle Formeln gilt
¨
Wenn w ² φ und w · w‘ dann w‘ ° φ
n
(Induktion über Aufbau)
w‘ 1 φ für alle w‘ ¸ w
Beispiel
p,q,r
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1°pÇq
01pÇq
3°pÆq
3°u!s
4 ° :s
31s
3 1 :s
3 1 s Ç :s
51r
5 1 :r
p,q,r
p,q,u,r,s
4
p,q,r
p
1
3
5
2
0
q
q,u,s
Gegenbeispiel zu ::φ!φ
n
n
n
Ein Kripke-Modell
Es erfüllt nicht ::p ! p
Es erfüllt nicht p Ç : p
nErinnerung:
¨
Regel für Negation:
w ° :φ , w‘ 1 φ für alle w‘ ¸ w
v
p
u
v
u
u
u
u
1 :p
1 :p
° ::p
1p
1 ::p ! p
Korrektheit (für! Fragment)
n
Ist φ intuitionistisch herleitbar, dann gilt für
jede beliebige Welt w in jeder Kripke-Struktur:
Wenn `H φ dann
w°φ
Beweis:
1.
2.
φ! ( ψ! φ)
(φ ! (ψ ! χ)) ! (φ ! ψ) ! (φ ! χ )
Wir zeigen, dass Axiom 1 in jeder Welt gilt. (Axiom 2.: Übung)
Widerspruchsbeweis: Angenommen, w 1 φ!(ψ ! φ),
dann ex. w‘¸ w mit w‘ ° φ aber w‘ 1 ψ!φ
dann ex. w‘‘¸ w‘ mit w‘‘ ° ψ, w‘‘ 1 φ .
Aus w · w‘ · w‘‘ folgt aber mit Monotonie: w‘‘ ° φ .
Schlussregel (Modus ponens)
w ° φ! ψ nach Def.: aus w‘ ¸ w und w‘ ° φ folgt w‘ ° ψ
Setze w=w‘ . Dann steht da: Aus w ° φ, w ° φ!ψ folgt w ° ψ
Vollständigkeit (für !-Fragment)
Gilt φ in jeder Welt jeder Kripke-Struktur, dann ist φ herleitbar
8 K. 8w2K. w ° φ impliziert `H φ
nBeweis:
nSei
(Wir betrachten nur die logischen Operatoren ! und ?.)
A Menge von Aussagevariablen
Für jede Menge Γ eine Menge von Ausdrücken in A definiere:
n Γ `H φ :
Es gibt einen Beweis in H wobei Formeln aus Γ
als zusätzliche Axiome benutzt werden dürfen
n Γ abgeschlossen:
Wenn Γ `H φ dann φ 2 Γ.
nDefiniere
¨W
nun ein Kripke-Modell: K=(W, °, · ) durch
:= { Γ µ Expr(A) j Γ abgeschlossen , ? ∉ Γ }
¨ Γ1 · Γ2 :, Γ1 µ Γ2
¨ Γ ° p :, p 2 Γ , für jedes p 2 A
nLemma:
K ist Kripke Modell
nLemma(Induktion):
Γ ° φ :, φ 2 Γ für alle Formeln in Expr(A)
nBeobachtung: Es gibt eine kleinste Welt w0 = { φ 2 Expr(A) j `H φ }
nAus w0 ° φ folgt φ 2 w0 also `H φ
Vollständigkeit
n
Der intuitionistische Hilbertkalkül ist korrekt und vollständig
bzgl.
n
n
n
n
Alternative Semantik:
¨
¨
n
BHK-Semantik
Kripke Semantik
Heyting Semantik
Kripke-Semantik
„possible world semantics“
Alternativer Kalkül
¨
¨
Natural deduction
Auch korrekt und vollständig
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Äquivalenz
n
Satz von Glivenko (aussagenlogisch)
¨
¨
n
n
φ gilt klassisch gdw. ::φ gilt intuitionistisch
«::φ¬Heyting gdw. «φ¬B
Grund:
Für jede Heyting Algebra ist
R = { ::x | x2 H }
eine Boolesche Algebra, wobei :x:= x! 0.
Konsequenz:
¨
1
c
b
a
0
H2
Klassischer und intuitionistischer Kalkül gleich nützlich.
n
Statt φ klassich herzuleiten,
kann man intuitionistisch ::φ herleiten
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Inhalt
1.
2.
3.
4.
5.
Aussagenlogik
n
n
n
n
Syntax
Boolesche Algebra
Klassische Semantik
Wahrheit, Gültigkeit
Prädikatenlogik
n
n
n
n
Signatur
Sprache
Strukturen
Semantik
Hilbert Kalkül
n
n
n
n
Hilbert Kalkül
Konstruktive und klassische Axiome
Klassische Vollständigkeit
Problematik klassischer Beweise
Intuitionistische Semantik
n
n
n
n
BHK Semantik
Heyting Semantik
Unvollständigkeit konstruktiver Axiome
Satz von Glivenko
Natürliches Schließen
n
n
n
n
Elimination und Einführung
Beweisboxen und Bäume
Quantorenregeln
Jape
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Natürliche Herleitung
n
Beweise im Hilbert Kalkül sind unnatürlich
¨
sehr kompliziert
n
Beispiel: A! (A! B) ! B
n
Natürlicher Beweisgang:
¨
¨
¨
¨
¨
n
Aus Annahme A versuche (A!B)!B zu zeigen
{ A … (A!B)!B }
{ 1. assume A … show (A!B)!B }
{ 1. assume A, 2. assume (A!B) … show B }
{ 1. assume A, 2. assume (A!B), by MP 2,1 : B }
Natural deduction versucht solche einfachen Beweisgänge
nachzubilden.
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Natürliche Herleitung
n
Beweis ist Folge von Schritten
{ φ1,…,φn}
Hilfsbeweis
Schlussregeln
Schluss
¨
n
¨
Modus Ponens benutzt !
¨
wie erhält man ein ! ?
n
Um p! q zu beweisen,
konstruiere einen
Hilfsbeweis:
¨
Aus Annahme p beweise q
¨
Schließe p! q
{ … { p … q } p!q … }
Hilfsbeweis
Schluss
Unfertiger Beweis
¨
Beweis von p! q ! p
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Natürliche Herleitung
n
Eliminationsregeln
¨
Was darf man aus einer Aussage schließen,
der einen bestimmten Operator enthält
φ ! ψ, φ
ψ
n
! -elim
Introduktionsregel
¨
wie erhalte ich einen Aussage
mit dem Operator
φ
M
ψ
φ!ψ
! -intro
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Æ - Regeln
n
Eliminationsregeln
φÆψ
φ
n
Æ –elim-1
φÆψ
ψ
Æ –elim-2
Introduktionsregel
φ, ψ
φÆψ
Æ –intro
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Ç-Regeln
n
Introduktionsregeln
φ
φÇψ
n
Ç –intro-1
ψ
φÇψ
Ç –intro-2
Eliminationsregel
φ
ψ
M
M
Ç –elim
φ Ç ψ, χ χ
χ
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:-Regeln
n
Introduktionsregel
φ
M
: –intro
?
:φ
n
Eliminationsregel
:φ , φ
?
: –elim
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Truth
n
Introduktionsregel
>
n
> –intro
keine Eliminationsregel
¨
¨
hilft nicht irgendetwas zu beweisen
zu nichts gut
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Falsity = konstruktiver Widerspruch
n
Keine Introduktionsregel
¨
n
etwas falsches kann man nicht beweisen
Eliminationsregel
¨
¨
ex falso quodlibet
aus falschem folgt beliebiges
?
φ
? –elim
= konstruktive
Kontradiktion
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Nat. Deduction Regeln - konstruktiv
φ ! ψ, φ
ψ
φ Ç ψ,
φÆψ
φ
φ
M
ψ
φ!ψ
! -elim
φ
ψ
M
M
χ χ
χ
Æ –elim-1
φ
φÇψ
Ç –elim
φÆψ
ψ
Æ –elim-2
Ç –intro-1
φ, ψ
φÆψ
! -intro
ψ
φÇψ
Ç –intro-2
Æ –intro
φ
:φ , φ
?
?
φ
M
: –elim
? –elim
?
:φ
>
: –intro
> –intro
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
deMorgan
n
De-Morgan‘sche Regel
:(p Ç q), (:p Æ :q)
ist Spezialfall
n
Duale de-Morgansche Regel
:(p Æ q) , (:p Ç :q)
gelingt nicht !!!
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Baumdarstellung
n
Traditionell werden Beweise im nat. Herleitungskalkül als Bäume dargestellt
¨
¨
¨
Jede Herleitungsregel entspricht einem Knoten
Wurzel: Zu beweisende Aussage
Beweis beendet, wenn alle Blätter entlassen (discharged) sind
n
Annahmen für einen !-I Beweis werden in eckige Klammern […] geschrieben
Oberer Index […]n kennzeichnet die !-intro Regel, welche die Annahmen verwendet
dabei wird die Annahme entlassen (discharged)
Im Box-Proof entspricht der Pfad [P]n …. ! In Q der Box { P … Q }
n
Mehrfache Benutzung der gleichen Annahme führt zu mehrfachem Auftreten der Annahme
n
n
n
[E Æ F]1Æ-elim
[E Æ F]1
E [E ! (F ! G)]2
! elim
Æ-elim
F
F!G
! elim
G
! intro1
EÆF!G
! intro2
E!(F!G)! (EÆF! G)
Zwei Darstellungen des gleichen Beweises
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Klassische Axiome
n
Die Aussagen
¨
¨
¨
::φ ! φ
φ Ç :φ
:(φ Ç ψ) ! (:φ Æ :ψ)
lassen sich nicht beweisen.
n
Dagegen sind
¨
¨
¨
φ ! ::φ
(:φ Æ :ψ) ! :(φ Ç ψ)
::: φ $ :φ
problemlos zu zeigen
n
Es gilt sogar allgemein:
(((φ! ψ)! ψ) ! ψ) $ (φ ! ψ)
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Klassische Regeln
n
n
n
tertium non datur TND
doppelteNegation DN
deMorgan
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Natürliche Herleitung - Existenzquantor
n
Introduktionsregel
φ[v/t]
9v.φ[v]
n
9 –intro
Eliminationsregel
φ[v/i]
M
9v.φ[v], χ
χ
9 –elim
i „neue“ Variable
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Beispiel: Der Universaltrinker
n
n
Es gibt eine Person, so
dass wenn diese
betrunken ist, alle
betrunken sind
Geht nur mit
Widerspruchsbeweis
¨
contra(classical) 2-13
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Natürliche Herleitung - Allquantor
n
Introduktionsregel
φ(a)
8x.φ(x)
n
a kommt nicht
in φ(x) vor
8–intro
Eliminationsregel
8x.φ(x), t Term
φ(t)
8 –elim
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8-intro in Jape
a
M
φ(a)
8x.φ(x)
n
n
Intro-Regeln für
Rückwärtsbeweise
8–intro erzeugt neuen
Parameter
a lokal
9-elim in Jape
a
M
φ(a)
8x.φ(x)
n
n
Intro-Regeln für
Rückwärtsbeweise
8–intro erzeugt neuen
Parameter
a lokal
9 x.8y.R(x,y)) 8 y.9x.R(x,y)
n
n
Elim-Regeln für
Vorwärtsbeweise
9–elim erzeugt neuen
Parameter - hier i
n
n
Aus 1: soll 4: bewiesen werden
9–elim in 1: erzeugt [2:…3:]
Metatheoreme
n
Ded: Γ ` φ!ψ , Γ [ {φ} ` ψ
Γ [ {φ} ` ψ
Γ`ψ
n
Γ` φ! ψ
Γ [ {φ} ` ψ
Cut (wähle ein Lemma φ)
Γ ` φ , Γ [ {φ} ` ψ
Γ`ψ
Vollständigkeit
n
Der Kalkül der natürlichen Herleitung
¨
ohne klassische Regeln
ist korrekt und vollständig bzgl. der Heyting-Semantik
¨
mit klassischer Regel
ist korrekt und vollständig bzgl. der klassischen Semantik
n
Jede Schlussregel erhält Wahrheit
¨
n
¨
Jede einzelne Regel überprüfen
Jedes Axiom des Hilbertkalküls herleitbar.
Sei Γ eine Menge von Aussagen, φ eine Aussage.
Wir schreiben
Γ`φ
falls es einen Beweis von φ mit Annahmen aus Γ gibt.
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg