Felder und Komponenten I

Felder und Komponenten I
Formelsammlung
Jonas Huber
Rev. 10 bis 50, 19.4.2009
1 Elektrostatik
1.1 Coulomb-Gesetz
F~i =
1 Qi Qj
~eji
4πε0 r2
(1.1)
1.2 Elektrisches Feld
Zu N Punktladungen Qj an den Orten ~rj gehört das elektrische Feld:
~ r) =
E(~
N
Qj · (~r − ~rj0 )
1 X
4πε0 j=1 |~r − ~rj0 |3
(1.2)
Zur kontinuierlichen Ladungsverteilung %(~r0 ) gehört das elektrische Feld:
~ r) =
E(~
1
4πε0
ZZZ
V
0
%(~r0 ) · (~r − ~r0 )
dV 0
|~r − r~0 |3
(1.3)
1.3 Satz von Gauss
Für die Raumladungsdichte % und die geschlossenen Fläche ∂V , die als Berandung des
Volumens V aufgefasst werden kann, lautet der Satz von Gauss in der Elektrostatik:
I
Ψ∂V =
∂V
~ = 1
~ · dF
E
ε0
1
ZZZ
% dV
V
(1.4)
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Zusammenfassung
Und für eine Punktladung Q (bzw. Summe von Punktladungen) im Inneren jeder geschlossenen Fläche lässt sich dies schreiben als:
Q
ε0
Ψ=
(1.5)
1.4 Energie und Potential
1.4.1 Arbeit
Betrachtet wird die Punktladung Q0 , welche sich auf einem Weg Γ von ~re nach ~ra in
~
einem von einer oder mehreren anderen Punktladungen erzeugten elektrischen Feld E
bewegt werde. Die dazu nötige Arbeit ist gegeben als:
Z~re
W~ra (~re ) = −Q0
~
~ r) · dl
E(~
(1.6)
~
ra
1.4.2 Elektrostatisches Potential
Das elektrische Potential ist wie folgt definiert:
W~ra (~r)
q
ϕ~ra (~r) :=
(1.7)
W~ra ist die Arbeit, welche geleistet werden müsste, um die Probeladung q vom Ort ~ra ,
dem Bezugspunkt mit ϕ~ra (~ra ) = 0, zum Ort ~r zu bringen.
Verlegt man den Bezugspunkt ~ra ins Unendliche, kann man das Potential, das zu N
Punktladungen Qj oder zu einer Ladungsdichte % gehört, direkt berechnen:
ϕ(~r) =
N
1 X
Qj
4πε0 j=1 |~r − ~rj |
ϕ(~r) =
1
4πε0
ZZZ
V
0
%(~r0 )
dV 0
|~r − ~r0 |
(1.8)
(1.9)
Das Potential kann auch mit einem Wegintegral über das E-Feld berechnet werden,
wobei dann zwischen diesem Integral und dem Potential an den Enden des Weges folgender Zusammenhang gilt:
Z~r
~ = ϕ(~ra ) − ϕ(~r)
~ · dl
E
~
ra
2
(1.10)
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Wählt man die Normierung im Anfangspunkt, ist also ϕ(~ra ) = 0, vereinfacht sich dies
zu:
Z~r
ϕ(~r) = −
~
~ · dl
E
(1.11)
r~a
Weiter gilt für alle geschlossenen Wege:
I
~ =0
~ · dl
E
(1.12)
Γ◦
1.5 Kapazität
1.5.1 Spannung
Die Spannung U ist definiert als Potentialdifferenz:
(ϕ1 − ϕ2 ) = ∆ϕ =: U
(1.13)
1.5.2 Kapazität
Wird in einem System von zwei Elektroden (z. B. Plattenkondensator) die Ladungsmenge
Q von der einen Elektrode auf die andere verschoben, gelten für die Spannung zwischen
den Elektroden und die im System gespeicherte Energeie:
Q=C ·U
1
W = CU 2
2
(1.14)
(1.15)
1.6 Materialeinfluss
1.6.1 Dipoldichte bzw. Polarisation
Die Polarisation P~ beschreibt die polarisierte Materie in kontinuierlicher Weise und ist
definiert als:
1 X
P~ = lim
p~j
(~
pj in ∆V )
(1.16)
∆V →0 ∆V
j
Dabei ist p~j das Dipolmoment des j-ten Teilchens.
Eine allgemeine dreidimensionale Polarisation P~ = (Px , Py , Pz )T kann als Superposition dreier jeweils in eine Koordinatenrichung zeigenden Polarisationen betrachtet werden,
was auf die gebundene Raumladungsdichte
%geb (~r) = −div P~
3
(1.17)
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führt. Das zugehörige Feld kann mit dem Coulomb-Integral (1.3) berechnet werden. Um
auch mit sprunhaften Änderungen von P~ umgehen zu können, kann obiger Zusammenhang auch in Intgralform geschrieben werden:
−
I
~ =
P~ · dF
ZZZ
%geb dV
(1.18)
V
∂V
1.6.2 Elektrische Suszeptibilität
~
Ein äusseres E-Feld
beeinflusst die Polarisation. Als (meistens gute) Näherung, aber
nicht allgemeingültiger Zusammenhang, kann man eine Proportionalität
~
P~ = ε0 χ0 E
(1.19)
verwenden, wobei die Materialkonstante χ0 als elektrische Suszeptibilität bezeichnet
wird. Dies geht bei isotropem Material, bei welchem die Stärke der Polarisation nicht
~
von der Richtung des äusseren E-Feldes
abhängt.
1.6.3 Dielektrisches Verschiebungsfeld
Man definiert das nur durch die gegebene Ladungsverteilung %frei und lässt es der Formel
I
~ =
~ · dF
D
ZZZ
%frei dV
(1.20)
V
∂V
gehorchen.
~ also:
Im Vakuum ergibt sich für das dielektrische Verschiebungsfeld D
~ = ε0 E
~
D
(1.21)
Wenn zusätzlich Material vorhanden ist gilt %total = %frei + %geb und es folgt:
~ = ε0 E
~ + P~
D
(1.22)
Betrachtet man schliesslich den Spezialfall aus (1.19) folgt:
~ = ε0 E
~ + ε0 χ0 E
~ = ε0 (1 + χe )E
~ = ε0 εr E
~ = εE
~
D
(1.23)
Dabei ist εr = 1 + χe die relative Dielektrizitätskonstante und ε = εr ε0 heisst Permittivität.
4
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1.6.4 Homogen linear isotropes Material
Isotropes Material, welches zusätzlich linear ist und vor allem im gesamten Feldgebiet
durch eine einzige Materialkonstante εr (bzw. χe ) beschrieben werden kann. Dann kann
das Feld bzw. das Potential einer gegebenen Raumladungsverteilung %(~r0 ) sehr ähnlich
wie im Vakuum berechnet werden:
~ r) = 1
E(~
4πε
ZZZ
1
ϕ(~r) =
4πε
ZZZ
V
V
0
0
%(~r0 ) · (~r − ~r0 ) 0
dV
|~r − ~r0 |3
(1.24)
%(~r0 )
dV 0
|~r − ~r0 |
(1.25)
2 Das Verhalten des Gleichstroms
2.1 Feld der elektrischen Stromdichte
Der Stromdichtevektor J~ zeigt in jedem Punkt eines Leiters in die Fliessrichtung der
(positiven) Ladungen und sein Betrag gibt an, wie viel Ladung pro Fläche pro Zeit
fliesst.
Betrachtet man eine geschlossen Hüllfläche F = ∂V , ergibt sich sofort
I
~ =0
J~ · dF
(2.1)
∂V
denn sonst würde sich die Ladung in V mit der Zeit ändern, was aber im betrachteten
Falle von zeitlich konstanten Grössen, insbesondere dem E-Feld, nicht sein kann.
Weiter findet man zwei wichtige Tatsachen:
• Die Stromdichte ist auf der Leiteroberfläche immer tangential zur Grenze zum
umliegenden Isolator.
• An der Grenze zwischen zwei verschiedenen Leitern kann die Normalkomponente
der Stromdichte nicht springen.
2.1.1 Das Ohm’sche Gesetz
Das Ohm’sche Gesetz lautet für alle metallischen Leiter und eine Reihe von weiteren
Stoffen:
~
J~ = σ E
(2.2)
Dabei bezeichnet σ die Leitfähigkeit des betrachteten Materials.
5
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Falls die Leitfähigkeit entlang des geschlossenen Integrationsweges Γ◦ konstant ist:
I
~ =0
J~ · dl
(2.3)
Γ◦
2.2 Wärmewirkung des elektrischen Stromes
∆WW = U I∆t
(2.4)
2.2.1 Feld der Leistungsdichte
Die Leistungsdichte ist ein Skalarfeld und gibt für jeden Punkt in einem Leiter an, wie
viel elektrische Energie pro Zeit und Volumen in eine andere Energieform umgewandelt
wird:
∆W
~ · J~
=E
(2.5)
pj =
V ∆t
Wenn speziell das Ohm’sche Gesetz gilt, ist pj in der Regel eine Wärme- bzw. Heizleistung und die Gleichung vereinfacht sich zu:
pj =
1 ~2
~ 2
|J| = σ|E|
σ
(2.6)
2.3 Elektrischer Widerstand
Um die bekannte Darstellung des elektrischen Widerstandes, R = U/I zu präzisieren,
kann man ihn wie folgt definieren:
R=
P
1
= 2
2
I
I
ZZZ
~ dV
J~ · E
(2.7)
V
Diese allgemeine Definition ordnet dem Leitervolumen die Grösse R zu.
3 Magnetostatik
3.1 Magnetische Pole als Materialeigenschaft
3.1.1 Magnetische Induktion B und Magentisierung M
~ wobei p die magnetische MonoMan definiert ein magnetisches Dipolmoment m
~ = pd,
polstärke ist und nichts mit dem elektrischen Dipolmoment p~ zu tun hat. Dann kann die
~ eingeführt werden:
magnetische Dipoldichte oder die Magnetisierung M
1 X
m
~j
∆V →0 ∆V
j
~ = lim
M
6
(m
~ j in V )
(3.1)
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Falls die Magnetisierung nicht homogen ist, gehört eine gebundene magnetische Ladungsdichte dazu:
~
%m = −µ0 div M
(3.2)
Nun kann man ein weiteres Feld, die magnetische Induktion oder magnetische Flussdichte
~ eingeführt werden, welche für ein beliebiges Volumen V mit Berandung ∂V folgenden
B
Beziehungen gehorcht:
I
~ =0
~ · dF
B
(3.3)
∂V
~ = µ0 ( H
~ +M
~)
B
(3.4)
~ hat die Einheit Tesla. Die erste der beiden obigen Gleichungen enthält die NichtexisB
tenz magnetischer Monopole.
3.1.2 Zusammenhang zwischen H und M
Während in Permanentmagneten die Magnetisierung konstant ist oder mindestens einen
~ = M
~0 + M
~ v (H)
~ ist, hängt bei
konstanten Anteil besitzt, also etwa von der Form M
weichmagnetischen Stoffen wie Eisen die Magnetisierung nur vom äusseren Magnetfeld
~ ab, unter Umständen auch von dessen bisherigem zeitlichen Verlauf.
H
Bei Eisen und für kleine Feldstärken gilt näherungsweise eine Proportionalität:
~ = χm H
~
M
(3.5)
Dabei bezeichnet χm die magnetische Suszeptibilität.
~ und
Setzt man dies in (3.4) ein, ergibt sich ein einfacher Zusammenhang zwischen B
~
H:
~ = µ0 (1 + χm )H
~ = µ0 µr H
~ = µH
~
B
(3.6)
µr ist die relative Permeabilität des Medimus und µ = µ0 µr ist die Permeabilität des
Mediums.
3.2 Magnetische Wirkung des elektrischen Stromes
~ welches immer
Ein Strom, der in einem geraden Draht fliesst, erzeugt ein Magnetfeld H,
tangential an einen Kreis um die Stromachse gerichtet ist. Dies lässt sich durch das
Vektorprodukt zwischen Stromrichtung und der radialen Richtung erreichen, nämlich
~ ∼ ~eI × ~eρ .
H
7
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3.2.1 Gesetz von Biot-Savart
Mit Hilfe des Gesetzes von Biot-Savart kann das durch eine Stromschleife S erzeugte
Magnetfeld berechnet werden:
~ r) = I
H(~
4π
I
~ × (~r − ~r0 )
dF
|~r − ~r0 |3
(3.7)
S
Dabei ist S eine Stromschleife und obiges Integral erstreckt sich über die gesamte Schleife.
Hat man nicht nur eine linienförmige Stromschleife, sondern eine dicke Stromverteilung
~ so gilt:
J,
ZZZ ~
J(~r) × (~r − ~r0 ) 0
~ r) = 1
H(~
dV
(3.8)
4π
|~r − ~r0 |3
V0
Auch dieses Integral gilt nur als Ganzes, wenn J~ eine statische und daher geschlossene
Stromverteilung ist.
3.2.2 Durchflutungsgesetz
Für einen linienförmigen Strom in einer Leiterschleife Γ gilt:
I
I=
~
~ · dl
H
(3.9)
Γ
In allgemeiner Form für die aus geraden Anteilen bestehende dicke Stromverteilung J~
gilt:
ZZ
I
~
~
~
J~ · dF
(3.10)
H · dl =
F
∂F
3.3 Äquivalenz von Magnet und Strom
3.3.1 Kraftwirkung zwischen Strömen
Wie zwischen zwei Magneten kann auch zwischen zwei stromführenden Drähten eine
Kraftwirkung stattfinden, welche je nach Stromrichtung (gleich bzw. entgegengesetzt)
anziehend oder abstossend sein kann. Für zwei parallele Drähte der Länge l im Abstand
d, welche von den Strömen Ii bzw. Ij durchflossen sind, gilt
µ0 lIi Ij
F~i =
~eij
2πd
wobei ~eij der senkrecht vom i-ten zum j-ten Draht weisende Einheitsvektor ist.
8
(3.11)
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Zusammenfassung
3.4 Der magnetische Kreis
Betrachtet man lineares Material und das Magnetfeld nur in einem stromfreien Bereich,
so kann folgende Gegenüberstellung gemach werden:
I
~ =0
J~ · dF
←→
∂V
~ =0
~ · dF
B
(3.12)
∂V
~
J~ = σ E
I
I
~ =0
~ · dl
E
←→
←→
Γ
~ = µH
~
B
I
(3.13)
~ =0
~ · dl
H
(3.14)
Γ
~ E
~ und σ formal die gleiche Rolle
Daran sieht man, dass die elektrischen Grössen J,
~ H
~ und µ.
spielen wie die magnetischen Grössen B,
3.4.1 Der magnetische Widerstand
Um die Analogie komplett zu machen, definiert man im Magnetfeld den Grössen I, U
und R entsprechende Begriffe:
ZZ
~
J~ · dF
I=
←→
ZZ
Φ=
~
~ · dF
B
(3.15)
F
F
Z
U=
~
~ · dl
E
←→
Z
Θ=
Γ
U
R=
I
~
~ · dl
H
(3.16)
Γ
←→
RM = Θ/Φ
(3.17)
Dabei bezeichnet Φ den magnetischen Fluss, Θ die magnetische Spannung und RM den
magnetischen Widerstand.
4 Wirkung zeitvariabler Magnetfelder
4.1 Elektromagnetische Induktion
4.1.1 Elektromotorische Kraft
In einer Quelle gibt es antreibende Kräfte nichtelektrischer Natur, die den Stromfluss in
Gang halten. Diese Kräfte können durch eine äquivalente elektrische Feldstärkeverteilung
~ ne dargestellt werden. E
~ ne gehorcht nicht den geleichen Gesetze wie das normale elekE
trostatische Feld.
~ ne entlang des orientierten Weges ~Γ, erhält man eine
Integriert man die Feldstärke E
Grösse der Dimension Spannung, welche man als elektromotorische Kraft oder kurz EMK
9
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bezeichnet:
Z
EM K =
~
~ ne · dl
E
Zusammenfassung
(4.1)
Γ
Unabhängig davon, wie die EM K in der Quelle genau entsteht, ist die an den Klemmen
messbare Spannung U immer der EM K entgegengesetzt.
4.1.2 Induktionsgesetzt
Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine Leiterschleife bewirkt einen
elektrischen Strom in dieser Schleife, sie verursacht eine EM K:
d
EM K = −
dt
ZZ
~ = − dΦ
~ · dF
B
dt
(4.2)
F
~
Billigt man dem E-Feld
zwei grundsätzlich verschiedene Ursachen zu, nämlich zum
~ erhält man das allgemeine
einen Ladungen und zum anderen zeitliche Änderungen von B,
Induktionsgesetz, welches die zweite Ursache für elektrische Felder beschreibt.
I
~ =−d
~ · dl
E
dt
ZZ
~ = − dΦ
~ · dF
B
dt
(4.3)
F
∂F
~ = 0 aus der Statik widerspricht, wenn
~ · dl
Beachte, dass dies nicht der Gleichung E
~
man für den statischen Fall die Konstanz aller beteiligter Grössen, speziell auch von B
fordert.
Beachte weiter, dass wenn es sich um eine Spule handelt, ein Faktor N für die Anzahl
der Windungen hinzukommt.
H
4.1.3 Selbstinduktion
Jede stromführende Leiterschleife umfasst den von ihr selbst erzeugten magnetischen
Fluss Φ. Da jede Änderung des Schleifenstromes auch eine Änderung von Φ nach sich
zieht, welche ihrerseits eine EM K bewirkt, entsteht in der Schleife ein weiterer Strom,
Iind , welcher nach der Lenz’schen Regel dem ursprünlichen Strom entgegengerichtet ist.
4.2 Induktivität
Die Induktivität L ist wie folgt definiert:
ZZ
1
~
~ · dF
L :=
B
I
(4.4)
F
Setzt man wie beschrieben U = −EM K gilt:
U (t) =
dΦ
dI
=L
dt
dt
10
(4.5)
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4.2.1 Gegeninduktivität
~
Der B-Fluss
muss nicht nur zum Strom in der gleichen Schleife gehören, er kann auch
von einer anderen Stromverteilung herrühren, d. h. die Stromänderung in einer ersten
Schleife induziert eine Spannung in einer zweiten Schleife, wenn der Fluss der ersten
acuh von der zweiten Schleife (teilweise) umfasst wird.
Man betrachtet zwei Stromschleifen mit den Strömen Ii , Ij mit den zugehörigen Ma~ i und B
~ j . Weiter seien Fi und Fj die von den jeweiligen Schleifen berandeten
gnetfeldern B
Flächen. Dann sind die Gegeninduktivitäten definiert als:
Mij :=
1
Ij
ZZ
~
~ j · dF
B
Mji :=
Fi
1
Ii
ZZ
~ i · dF
B
(4.6)
Fj
Berücksichtigt man auch die im allgemeinen verschiedenen Selbstinduktivitäten der Schleifen, Li und Lj , ergibt sich für die induzierten Spannungen:
Ui = Li
dIi
dIj
+ Mij
dt
dt
Uj = Lj
Ij
dIi
+ Mji
dt
dt
(4.7)
Unter recht allgemeinen Bedinungen sind die Gegeninduktivitäten aus beiden Richtungen
gleich: Mij = Mji .
4.2.2 Induktivität als Energiespeicher
Im magnetischen Feld einer Induktivität, die vom Strom I (Momentanwert) durchflossen
wird, ist die Energie
1
WL = LI 2
(4.8)
2
gespeichert.
5 Maxwell-Gleichungen
5.1 Grundgrössen
Im Mittelpunkt stehen folgende, bereits bekannte Grundgrössen:
~ Elektrische Feldstärke (V/m)
E:
~ Dielektrische Verschiebungsdichte (As/m2 )
D:
~ Magnetische Induktion (T)
B:
~ Magnetische Felstärke (Am)
H:
~
J: Elektrische Stromdiche (A/m2 )
%: Elektrische Ladungsdichte (As/m3 )
Weiter werden gelegentlich folgende weniger wichtige Grössen verwendet:
φ: elektrisches Skalarpotential (V)
11
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Zusammenfassung
P~ : elektrische Polarisation
~ : Magnetisierung
M
5.2 Integralform
~ =−d
~ · dl
E
dt
I
I∂F
∂V
I
~
~ · dF
B
(5.1)
F
∂F
I
ZZ
~ =
~ · dl
H
ZZ
~ + d
J~ · dF
dt
F
~ =
~ · dF
D
ZZ
~
~ · dF
D
(5.2)
F
ZZZ
% dV
(5.3)
V
~ =0
~ · dF
B
(5.4)
∂V
Der letzte Term auf der rechten Seite von (5.2) bezeichnet man als Verschiebungsstrom.
Dieser wird jedoch nur relevant, wenn die zeitlichen Änderungen sehr gross werden.
5.3 Differentialform
Von den Maxwell-Gleichungen in Integralform gelangt man durch den Übergang zu infinitesimal kleinen Flächen F bzw. Volumen V zur Differentialform:
∂ ~
B(~r, t)
∂t
~ r, t) = J(~
~ r, t) + ∂ D(~
~ r, t)
rot H(~
∂t
~ r, t) = %(~r, t)
div D(~
~ r, t) = 0
div B(~
~ r, t) = −
rot E(~
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
Beachte, dass dies räumlich und zeitlich lokale Beziehungen sind, d. h. die Gleichungen setzen die Feldgrössen und deren Ableitungen am Ort ~r zur Zeit t zueinander in
Beziehung.
6 Maxwell-Gleichungen lösen
6.1 Unmittelbarer Gehalt der Maxwell-Gleichungen
6.1.1 Direkte Aussage der Maxwell-Gleichungen
Die vier Maxwell-Gleichungen in Integralform stehen für folgende vier Aussagen:
12
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Zusammenfassung
1. Die in eine geschlossene Schleife ∂F induzierte elektrische Spannung (EMK ) wir
verursacht durch die zeitliche Änderung des magnetischen Flulsses durch eine beliebige, von ∂F berandete Fläche F .
2. Die in eine geschlossene Schleife ∂F induzierte magnetische Spannung wird verursacht durch den elekrischen Strom I, der durch eine beliebige, von ∂F berandete
Fläche F fliesst. Der Strom I setzt sich aus zwei Anteilen zusammen, nämlich (a)
aus der durch J~ beschriebenen bewegten Ladung und (b) dem Verschiebungsstrom,
welcher der zeitlichen Änderung des dielektrischen Verschiebungsflusses durch die
Fläche F entspricht.
3. Der Fluss der dielektrischen Verschiebung aus einem Volumen V heraus ist gleich
~
der gesamten in V enthaltenen Ladung oder: D-Linien
enden auf Ladungen.
4. Der magnetische Fluss durch jede geschlossenee Fläche F = ∂V verschwindet oder:
~
die B-Linien
enden nirgends, sind also geschlossen.
Die Differentialform der Maxwell-Gleichungen ermöglicht nur eine weniger aussagende
und naturgemäss nur lokal gültige Interpretation:
~
~
1. Die zeitliche Veränderung des B-Feldes
verursacht eine Verwirbelung des E-Feldes.
~
~
2. Die zeitliche Veränderung des D-Feldes
sowie das J-Feld
verursachen zusammen
~
eine Verwirbelung des H-Feldes.
~
3. Das %-Feld bildet die Quellen des D-Feldes.
~
4. Das B-Feld
hat keine Quellen (Nichtexistenz magnetischer Ladungen).
6.1.2 Implizite Aussagen der Maxwell-Gleichungen
~ = 0) ist beinahe eine Folge der Ersten (rot E
~ =
• Die letzte Maxwell-Gleichung (div B
~
∂B
~
− ∂t ), d. h. B kann höchstens eine konstante Divergenz besitzen. Diese letzte
Maxwell-Gleichung ist also vor allem in der Statik wichtig und ist in zeitlich
veränderlichen Situationen von untergeordneter Bedeutung; sie kann insebesondere
beim stationären Zustand (reine Sinusgrössen aller Felder) weggelassen werden.
• Die Ladungserhaltung ist in den Maxwell-Gleichungen enthalten:
div J~ = −
∂%
∂t
Die Integralform der Ladungserhaltung ist bereits früher aufgetaucht.
13
(6.1)
Felder und Komponenten I
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Zusammenfassung
6.2 Materialgleichungen
~ und
Die Maxwellgleichungen beeinhalten auch die zusätzlich eingeführten Grössen D
~
B, was eine übersichtlichere Schreibweise ermöglicht. Auf der anderen Seite wird so
vertuscht, dass alle vier Gleichungen miteinander verkoppelt sind, und nicht nur je zwei.
~ und D
~ bzw. B
~ und H
~ wurden bereits oben angesprochen
Die Beziehungen zwischen E
~ = ε0 E
~ + P~ und B
~ = µ0 ( H
~ +M
~ )). Die Bestimmung von P~ undn D
~ ist nicht trivial.
(D
Daher beschränken wir uns auf den Spezialfall einfacher Proportionalitäten. Dann gilt
im Vakuum
~
~
~ = µ0 H
~ = ε0 E
(6.2)
B
D
und im Material entsprechend:
~ = εE
~
D
~ = µH
~
B
mit µ 6= µ0 , ε > ε0
(6.3)
Wenn solche Bedingungen gelten, spricht man von linear isotropem Material. Die Po~ (H)
~ ab und µ, ε sind
larisation (Magnetisierung) hängt nicht von der Richtung von E
unabhängig vom Betrag der Feldstärken. Die Materialparameter dürfen allerdings sehr
wohl vom Ort abhängen. Ist dies nicht der Fall, ist das Material zusätzlich homogen.
In vielen Materialien gilt zusätzlich das Ohm’sche Gesetz
~
J~ = σ E,
(6.4)
wobei das Material bezüglich des Parameters σ ebenfalls homogen, linear und isotrop
sein kann – oder auch nicht.
6.2.1 Einsetzen in die Maxwell-Gleichungen
Setzt man obige Materialgleichungen in die Maxwell-Gleichungen in Differentialform ein
erhält man:
~ = −µ ∂ H
~
rot E
∂t
~ = J~ + ε ∂ E
~
rot H
∂t
~ =%
div (εE)
~ =0
div (µH)
(6.5)
(6.6)
(6.7)
(6.8)
Dieses System ist nun vollständig verkoppelt, enthält dafür weniger Feldgrössen.
6.3 Stückweise homogenes Material
Innerhalb eines homogenen Materialstücks ergeben sich beträchtliche Vereinfachungen in
(6.5), da dann die Materialparameter vor den div -Operator gezogen werden dürfen. Auf
14
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Zusammenfassung
den Materialgrenzen hingegen benötigt man Gleichungen, welche dir Maxwell-Gleichungen
auf der Grenze ersetzen, weil dort die Differentiation aufgrund der Unstetigekeiten grosse
Schwierigkeiten bereiten würde.
6.3.1 Flächenladungen und -ströme auf Grenzflächen
Auf Grenzflächen kann eine Flächenladungsdichte ς existieren, sofern Ladungen auf
die Oberfläche gelangen können. Geschieht dies durch einen externen Prozess, z. B.
Reibung, müssen diese Ladungen als fest vorgegeben betrachtet werden. Entsteht die
Flächenladungsdichte anders, d.h. mindestens eines der an der Grenze beteiligten Materialien ist leitfähig, muss ς berechnet werden.
Bewegen sich die Ladungen in der Oberfläche, entspricht dies einer Flächenstromdichte
α
~ , welche aber nur in idealisierten Modellen, welche z. B. eine sogenannte Grenzfolie
enthalten, vorkommen kann.
6.4 Grenzbedingungen
Die folgenden Stetigkeitsbedingungen ersezten die Maxwell-Gleichungen auf dem Rand
bzw. der Grenze zwischen zwei Materialien.
6.4.1 Allgemeiner Fall ohne ideale Leiter und ohne Grenzfolien
~ i,T − E
~ k,T = ~0
E
~ i,T − H
~ k,T = ~0
H
(6.10)
Di,n − Dk,n = ς
(6.11)
Ji,n − Jk,n = −
Bi,n − Bk,n = 0
∂
∂
Ji,n +
− Jk,n + Dk,n = 0
∂t
∂t
(6.9)
∂ς
∂t
(6.12)
(6.13)
(6.14)
Dabei ist die Normalkomponente (Index n) bezüglich ~en , welcher von Gk nach Gi weist,
angegeben. Der Index T steht für die Tangentialkomponente, welche als Vektor geschrieben wird, da innerhalt der Grenzfläch die Richtung in zwei Dimensionen frei ist.
(6.9, 6.10): notwendig; (6.11, 6.12): Bestimmungsgleichungen für ς; (6.13, 6.14): Folgen
meist aus (6.9, 6.10); (6.14): Folgt aus (6.11, 6.12).
15
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Zusammenfassung
6.4.2 Grenze zum idealen Leiter
~ i,T = ~0
E
~ i,T
~ i,T = α
H
~ × ~en ⇒ α
~ = ~en × H
(6.16)
Di,n = ς
(6.17)
Ji,n = −divF α
~−
∂ς
∂t
(6.18)
Bi,n = 0
Ji,n +
(6.15)
(6.19)
∂
Di,n = −divF α
~
∂t
(6.20)
Hier weist ~en vom idealen Leiter ins i-te Feldgebiet.
(6.15): notwendig; (6.16–6.18): Bestimmungsgleichungen für ς und α
~ ; (6.19): Folgt
meist aus (6.15); (6.20): Folgt meist aus (6.17, 6.18), Bestimmungsgleichung für divF α
~.
6.5 Entkopplung der Maxwell-Gleichungen
6.5.1 Der Laplace-Operator
Neben den verschwindenden Kombinationen rot grad und div rot gibt es nocht die
Möglichkeiten div grad , rot rot und grad div . Dies ergibt den Laplace-Operator:
∆s := div grad s
(6.21)
∆~v := grad div ~v − rot rot ~v
(6.22)
Beachte, dass der Laplace-Operator unterschiedlich definiert ist, wenn er auf einen Vektor
angewandt wird. Weiter ist ∆s wieder ein Skalar und ∆~v wieder ein Vektor.
6.5.2 Die homogene Wellengleichung
~ hängt mit H
~
Betrachtet man das quellenfreie Vakuum, d. h. J~ und % verschwinden, B
~
~
~
sowie D mit E über einfache Proportionalitäten zusammen, ergibt sich, wenn nur E und
~ benutzt werden:
H
~
~ = −µ0 ∂ H
rot E
∂t
~
∂
E
~ = ε0
rot H
∂t
~
div E = 0
~ =0
div H
⇒
⇒
~
∂H
=0
∂t
~
∂E
div
=0
∂t
div
(6.23)
(6.24)
(6.25)
(6.26)
16
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Zusammenfassung
∂
Wendet man rot auf die erste und den Operator −µ0 ∂t
auf die zweite Gleichung an
∂
bzw. rot auf die zweite und ε0 ∂t auf die erste, erhält man zwei sogenannte vektorielle
~ und H.
~
Wellengleichungen für E
∂2 ~
E
∂t2
2
~ = µ 0 ε0 ∂ H
~
∆H
∂t2
~ = µ 0 ε0
∆E
(6.27)
(6.28)
~ und H
~ skalare Wellengleichungen der
Daraus lassen sich für alle Komponenten von E
Form
∂2
∆Ex − µ0 ε0 2 Ex = 0
(6.29)
∂t
schreiben.
6.5.3 Allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung
Die allgemeine, noch komplexe, Lösung der homogenen Wellengleichung kann mittels
Separation der Variablen gefunden werden und hat die Form:
~
Cej(ωt−kx x−ky y−kz z) = Cej(ωt−k·~r)
(6.30)
Dabei wurden die Konstanten kx , ky und kx zum sogenannten Wellenvektor zusammengefasst und die kartesischen Koordinaten zum Ortsvektor ~r.
Hier sind jedoch nur reellwertige Lösungen interessant und daher hat eine Lösung f
der homogenen Wellengleichung die Form:
~
f (~r, t) = < Cej(ωt−k·~r)
(6.31)
Der Wellenvektor ~k und ω sind durch die Nebenbedingung
~k · ~k = ω 2 µ0 ε0 =: k 2
0
(6.32)
miteinander verknüpft.
Man nimmt an, dass die Komponenten von ~k sowie ω und C seien reell und positiv.
Dann hat ~k eine eindeutige Richtung, die Ausbreitungsrichtung der Welle, und man kann
nun das Koordinatensystem so drehen, dass ~k in z-Richtung weist, also ~k = k0~ez . Dann
gilt:
~
f (~r, t) = < Cej(ωt−k·~r) = < Cej(ωt−k0 z) = C cos(ωt − k0 z)
(6.33)
Nun haben wir eine Cosinuswelle, die sich mit Geschwindigkeit v = kω0 in positiver
z-Richtung ausbreitet.
Eine solche Welle heisst (skalar) ebene Welle, da sich die Lösung nur in eine Richtung
ändert.
17
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Zusammenfassung
6.5.4 Maxwell-Lösungen
Um aus obigen allgeminen Ausführungen auf Lösungen der Maxwell-Gleichungen schliessen zu können, muss deren interne Verkopplung wieder brücksichtigt werden.
Das elektromagnetische Feld
~ r, t) = < E
~ 0 ej(ωt−~k·~r)
E(~
~ r, t) = < H
~ 0 ej(ωt−~k·~r)
H(~
(6.34)
mit den Bedingungen
~ 0 = 1 ~k × E~0
H
ωµ0
~ 0 · ~k = 0
E
~k · ~k = ω 2 µ0 ε0 = k 2 .
0
(6.35)
genügt im Vakuum den Maxwell-Gleichungen und heisst (linear polarisierte, harmonische) ebene Welle. ~k beschreibt die Ausbreitungsrichtung der Welle, seine Komponenten
√
werden Wellenzahlen in x-, y- und z-Richtung genannt. k0 = ω µ0 ε0 heisst Wellenzahl
des Vakuums.
Eine ebene Welle ist durch ω, ~k und die senkrecht auf ~k stehende vektorielle Amplitude
~ 0 eindeutig bestimt.
des elektrischen Feldes E
Wellenimpedanz
Die Wellenimpedanz des Vakuums ist wie folgt definiert:
Zw0 :=
~ 0|
|E
=
~ 0|
|H
r
µ0
ε0
(6.36)
6.6 Potentiale des elektromagnetischen Feldes
~ und B
~ können eindeutig aus dem elektrischen Skalarpotential φ bzw. aus
Die Felder E
~ abgeleitet werden:
dem magnetischen Vektorpotential A
~
~ = −grad φ − ∂ A
E
∂t
~ = rot A
~
B
(6.37)
(6.38)
Durch Einführung der Potentiale kann die Anzahl der unbekannten Funktionen in den
Maxwell-Gleichungen reduziert werden.
Bestimmungsgleichungen für die Potentiale:
~ r, t) = µ
A(~
4π
ZZZ J~ (~
0 0
√
0 r , t )|t0 =t− µε|~
r−~
r0 |
1
φ(~r, t) =
4πε
|~r − ~r0 |
V0
dV 0
ZZZ % (~
0 0
√
0 r , t )|t0 =t− µε|~
r−~
r0 |
V
|~r − ~r0 |
0
dV 0
(6.39)
(6.40)
Da die Wirkung der Quelle verzögert am Aufpunkt eintrifft, spricht man von retardierten
Potentialen.
18
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Zusammenfassung
7 Maxwell-Gleichungen in Spezialfällen
7.1 Der stationäre Zustand
Im stationären Zustand hängen alle Feldgrössen sinusförmig mit der Kreisfrequenz ω von
der Zeit ab. Zur Darstellung verwendet man sogenannte zugeordnete komplexe Grösse,
welche man als Zeiger oder Phasoren bezeichnet und die durch komplexe Zahlen dargestellt werden können. Wir kennzeichnen eine komplexe Zahl mit einer Unterstreichung
als Zeiger, denn jeder Zeiger kann als komplexe Zahl dargestellt werden, jedoch ist nicht
jede komplexe Zahl ein Zeiger (z. B. Impedanz).
7.1.1 Maxwell-Gleichungen im stationären Zustand
Die Darstellung der Feldgrössen durch Zeiger der Form U ejωt ermöglicht es, die zeitlichen Ableitungen durch den Faktor jω zu ersetzen und weiter, die Maxwell-Gleichungen
nur wzischen den komplexen Amplituden der Feldgrössen zu schreiben. Man erhält das
System:
~ r) = −jω B(~
~ r)
rot E(~
~ r) + jω D(~
~ r)
~ r) = J(~
rot H(~
~ r) = %(~r)
div D(~
~ r) = 0
div B(~
(7.1)
(7.2)
(7.3)
(7.4)
~ und E
~ stationär so zusammenhängen,
Wir beschränken uns auf Material, bei welchem D
~ gilt. Analog:
~ = εE
dass für ihre komplexen Amplituden eine Beziehung der Form D
~
~
~
~
B = µH und J = σ E. Die Materialparameter ε, µ und σ hängen nicht von den Feldgrössen ab. Dafür können sie komplex sein, was dann einer Phasenverschiebung zwischen den Komponenten der beteiligten Felder entspricht, d. h. die Trägheit des Materials beim Polarisations- bzw. Magnetisierungsvorgang berücksichtigt. Materialparameter
sind Funktionen der Frequenz.
7.1.2 Grenzbedingungen
Die Grenzbedingungen können im Wesentlichen übernommen werden und erden für die
~ i,T − E
~ k,T = ~0, etc.
Phasoren geschrieben, d. h. sie haben die Form E
7.1.3 Diskussion des Wellenverhaltens
Die Diskussion der Wellenzahl k als Funktion der Materialparameter ε, µ und σ liefert
Anhaltspunte für das Verhalten der Lösungen der homogenen als auch der inhomogenen
Lösungen. Es gilt:
k 2 = ω 2 µ c ε = ω 2 µε − jωµσ = ωµ(ωε − jσ)
19
(7.5)
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Zusammenfassung
Insbesondere lässt sich k als β − jα schreiben, wobei α und β die Ortsabhängigkeit charakterisieren und man α als Dämpfungkonstante und β als Phasenkonstante bezeichnet.
Die grösse γ = α + jβ = jk heisst Fortpflanzungskonstante.
In zwei wichtigen Spezialfällen kann k recht einfach als Funktion der Materialparameter dargestellt werden:
• Im Leiter ist k 2 fast rein imaginär, d. h. σ ωε.
• Im Isolator ist k 2 fast rein reell, d. h. σ ωε.
Sowohl k als auch α und β haben die Dimension einer inversen Länge. Daher betrachtet
man oft ihre Kehrwerte und kann so als praktische Vergleichslängen für eine wesentliche Variation der Felder folgende Grössen verwenden: Im Falle kleiner Leitfähigkeit die
Wellenllänge des Mediums
2π
2π
λ=
≈
(7.6)
√
σωε
β
ω µε
und im Falle hoher Leitfähigkeit die Eindringtiefe oder Skintiefe, welche ein Mass für die
Dämpfung ist:
s
2
1
≈
(7.7)
δ=
α σωε ωµσ
Die Grössen α und β können auch exakt berechnet werden, nämlich über:
r
α=ω
Weiter gilt:
|k| =
√
+1−1
(7.8)
vs
u µε u
σ 2
t
+1+1
(7.9)
ωε
2
r
β=ω
vs
u µε u
σ 2
t
ωε
2
1
σ
arg k = − arctan
2
ωε
q
ωµ 4 (ωε)2 + σ 2
(7.10)
8 Energie im Elektromagnetischen Feld
8.1 Poynting’sches Energiekonzept
In den Maxwell-Gleichungen kommen keine Energieterme und auch keine Kräfte vor, d. h.
es gibt keine Verbindung zu anderen Gebieten der Physik. Um dennoch die physikalisch
universelle Grösse der Energie in einen Zusammenhang mit der Maxwell’schen reinen
Feldtheorie zu bringen, schlug Poynting ein Energiekonzept vor, welches die Energie als
Energiedichtefeld w(~r, t) definiert.
20
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Zusammenfassung
Jedes Volumen V enthält zu jedem Zeitpunkt eine bestimmte elektromagnetische Energiemenge Welmag . Dann wird das Energiedichtefeld zu:
w(~r, t) = lim
V →0
Welmag
V
(~r in V )
(8.1)
8.1.1 Energiedichte
Die elektrische Energiedichte ist definiert als:
1
1~ ~
we = D n E = D
·E
2
2
(8.2)
Und die magnetische Energiedichte ist definiert als:
1~ ~
wm = B
·H
2
(8.3)
Die gesamte elektromagnetische Feldenergiedichte w erhält man durch Addition der
elektrischen und der magnetischen Feldenergiedichte:
1~ ~ 1~ ~
w = we + wm = D
·E+ B·H
2
2
(8.4)
8.2 Energieflussdichte
Wenn der Energieerhaltungssatz gilt, muss jede Energieänderung im Volumen V entweder einer Umwandlung von elektromagnetischer Energie in eine andere Form sein oder
es existiert ein Energiefluss durch die Oberflächt ∂V von V .
8.2.1 Poynting-Vektor
~ beschrieben. Der Betrag von S
~ die
Der Energiefluss wird durch die Energieflussdichte S
Energiemenge bezeichnet, welche pro Zeit und pro Fläche an einer bestimmten Stelle
~ ist die Fliessrichtung.
fliesst. Die Richtung von S
~
Der Vektor S wird auch Poynting-Vektor genannt und lässt sich aus den Feldgrössen
wie folgt berechnen:
~=E
~ ×H
~
S
(8.5)
Dann kann der Energieerhaltungssatz geschrieben werden als:
d
dt
ZZZ
V
w dV = −
ZZZ
V
p dV −
I
~
~ · dF
S
bzw.
∂w
~
= −p − div S
∂t
(8.6)
∂V
Hier bezeichnet p die Leistung, mit welcher elektromagnetische Energie in eine andere
Form umgewandelt wird, p ist positiv, wenn die lektromagnetische Energie abnimmt.
21
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Zusammenfassung
8.2.2 Leistung
Jedes Integral des Poynting-Vektors über eine geschlossene Flächte hat die Bedeutung
einer Leistung, welche real und messbar ist. Es gilt:
P =−
I
~
~ · dF
S
(8.7)
∂V
P wird positiv, wenn das Volumen V elektromagnetische Leistung aufnimmt.
8.3 Poynting-Theorem
Das Poynting-Theorem besgt, dass der Energiefluss duch die Oberfläche ∂V in das beliebige Volumen V hinein gleich der zeitlichen Änderung des elektromagnetischen Energieinhalts in V plus der dort in andere Energieformen (Wärme, Chemie, Materialstrukturänderungen) umgesetzten Leistung ist. Formal:
−
I
~ =
~ · dF
S
ZZZ ∂w
+ pj + pelek + pmag dV
∂t
(8.8)
V
∂V
In linearem Material, das durch die drei Konstanten ε, µ und σ beschrieben wird, gilt
dann:
!
ZZZ
I
~
~
∂E
∂H
~
~
~
~
~
~
εE ·
− S · dF =
+ µH ·
+ σ E · E dV
(8.9)
∂t
∂t
V
∂V
8.3.1 Komplexes Poynting-Theorem
Betrachtet man den stationären Zustand, genügt es, die beiden zeitunabhängigen Vektoren
~ r) × H
~ r) × H(~
~ r) := 1 E(~
~ ∗ (~r)
~ ∼ (~r) := 1 E(~
~ r)
S(~
S
(8.10)
2
2
~ r, t) anzugeben. Beachte die Zeigerschreibweise
anzugeben um den Poynting-Vektor S(~
in obigen Gleichungen.
Meistens interessiert nur der zeitliche Mittelwert des Poynting-Vektors. Dann genügt
~ anzugeben. Es gilt dann:
es sogar, nur den sogenannten komplexen Poynting-Vektor S
~0 (~r) = < S(~
~ r)
S
(8.11)
Zum komplexen Poynting-Vektor existiert auch ein komplexes Poynting-Theorem:
−
~ =1
~ · dF
S
2
ZZZ ~ =1
~ · dF
S
2
ZZZ I
−
∂V
∗
∗
~ ·E
~
+ σ∗E
∗
dV
(8.12)
V
∂V
I
~ ·H
~ − ε∗ E
~ ·E
~
jω µH
∼
~ ·H
~ + εE
~ ·E
~ + σE
~ ·E
~ dV
jω µH
V
22
(8.13)
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Zusammenfassung
Beachte, dass bis hier die Materialparameter auch komplex sein können.
Setzt man die Materialparameter als reell voraus, ergibt sich für den zeitliche Mittelwert der in das Volumen V hineinfliessenden Leistung P0 :
P0 = −
I
~ =−
~0 · dF
S
∂V
I
~ =
~ · dF
<(S)
1
2
ZZZ
∗
~ ·E
~ dV
σE
(8.14)
V
∂V
Beachte, dass die elektrische und magnetische Energieänderungen im Zeitmittel rausfallen – die Menge der elektromagnetischen Energie kann sich im stationären Zustand im
Zeitmimttel nicht verändern.
9 Berechnung der Zweipolparameter
9.1 Die Zustandsgrössen U, I und P
9.1.1 Spannung U und Maschenregel
Definition der Spannung:
ZB
~
~ · dl
E
U :=
(9.1)
A
Die skalare grösse Spannung des Netzwerkmodells ist im feldtheoretischen Modell mit
zwei Punkten A und B sowie einem Verbindungsweg Γ verkoppelt.
Maschenregel:
Uind +
n
X
Ui = 0
(9.2)
i=1
Im statischen Fall verschwindet Uind .
9.1.2 Strom I und Kontenregel
Verallgemeinerte Stromdefinition:
ZZ
I :=
~
∂D
J~ +
∂t
!
~
· dF
(9.3)
F
~
In praktischen Fällen kann der Anteil mit der Verschiebungsstromdichte ∂∂tD oft vernachlässigt werden.
Mit der zweiten Maxwell-Gleichung kann dies auch als Umlaufintegral längs der Berandung ∂F der Fläche F geschrieben werden:
I
I :=
~
~ · dl
H
∂F
23
(9.4)
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Zusammenfassung
Die skalare Grösse Strom des Netzwerkmodells ist im feldtheoretischen Modell mit einer
orientierten Fläche F bzw. deren obenfalls orientierten Berandung ∂F gekoppelt. Die
Orientierung von F bildet mit dem Umlaufsinn von ∂F eine Rechtsschraube.
Knotenregel:
n
X
Ii = 0
(9.5)
i=1
9.1.3 Leistung P
Einem Element, in welchem Leistung umgesetzt wird, entspricht in der Feldtheorie entweder
• eine (nicht unbedingt geschlossene Fläche), durch welche die Leistung tritt, oder
• ein Volumen, in dm die Leistung umgesetzt wird.
Mindestens im quasistatischen Fall lässt sich die bekannte Formel
P =U ·I
(9.6)
aus den Feldgleichungen herleiten.
9.2 Kenngrössen der elementaren Zweipole C, L und R
9.2.1 Kapazität C
Die Kapazität kann mit folgenden Formeln berechnet werden:
1
U2
ZZZ
1
C= 2
U
ZZZ
C=
~ ·E
~ dV
D
(9.7)
φ% dV
(9.8)
~ =Q
~ · dF
D
U
(9.9)
V∞
GQ
1
C=
U
I
∂Elek1
Dabei ist φ das Potential, % die Raumladungsdichte und GQ das Quellgebiet, also die
Oberflächen ∂Elek1 und ∂Elek2 der beiden Elektroden sind. In der letzten Formel tritt
wieder die altebekannte Berechnungsvariante der Kapazität auf.
Es lässt sich zeigen, dass die Kapazität dann nicht von der Spannung abhängt, wenn
der Raum mit linearem Material gefüllt ist.
24
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Zusammenfassung
9.2.2 Induktiviät L
Die Induktivität kann mit folgenden Formeln berechnet werden:
1
I2
ZZZ
L=
L=
1
I2
ZZZ
~ ·H
~ dV
B
(9.10)
~ dV
J~ · A
(9.11)
V∞
GQ
(9.12)
~ das Vektorpotential und J~ die Stromdichte, welche beide nur im Quellgebiet
Dabei ist A
GQ nicht verschwinden, wodurch der Integrationsbereich verkleinert wird.
Fliesst der Strom nur in dünnen Drähten vereinfacht sich die Angelegenheit zu
L=
1
I
I
~ =1
~ · dl
A
I
D
ZZ
~ =Φ
~ · dF
B
I
(9.13)
FD
wobei D die Drahtschleife und FD die von D berandete Fläche bezeichnet.
Es lässt sich zeigen, dass die Induktivität L dann nicht vom Strom abhängt, wenn das
zugehörige Feldvolumen V nur lineare Material enthält.
9.2.3 Widerstand R
Hier interessiert der Zusammenhang zwischen Stromdichte und elektrischem Feld:
R=
1
I2
ZZZ
~ dV
J~ · E
(9.14)
V
In einfachen Fällen, wenn sowohl Strom als auch Spannung auf plausible Art eindeutig
definiert werden können, sollte das elementare Gesezt R = U/I vorgezogen werden, weil
dann nur die Linienintegrale (9.1) und (9.3) auszuwerten sind.
Beim Widerstand kommt am klarsten zum Ausdruck, dass diesem Zweipol ein gewisses
Feldvolumen entspricht.
9.2.4 Linearität
Im allgemeinen Fall sind die obigen drei Zweipolkenngrössen offensichtlich von U bzw.
von I abhängig, denn diese beiden Grössen erscheinen in den Bestimmungsgleichungen
– die Elemente verhalten sich also nichtlinear.
Es lässt sich aber zeigen, dass die Kenngrössen der elementaren Zweipole R, L und
C immer dann konstant sind, d. h. die Elemente lineares Verhalten zeigen, wenn das
Material innerhalb des zugehörigen Volumens V linear ist.
25
Index
Leistung, 22, 24
Leistungsdichte, 6
Arbeit, 2
Biot-Savart
Gesetz von, 8
Magnetisierung, 6
Maschenregel, 23
Materialgleichungen, 14
Maxwell-Gleichunge
Integralform, 12
Maxwell-Gleichungen, 11
Differentialform, 12
Entkopplung, 16
in Worten, 12
Lösungen, 18
Coulomb
Gesetz von, 1
Dämpfungskonstante, 20
Dielektrisches Verschiebungsfeld, 4
Dipoldichte
magnetische, 6
Durchflutungsgesetz, 8
Ebene Welle, 17
Elektrisches Feld, 1
Elektromotorische Kraft (EMK), 9
Energiedichte, 21
Energieerhaltung, 21
Energieflussdichte, 21
Ohm’sches Gesetz, 5, 14
Permittivität, 4
Phasenkonstante, 20
Phasor, 19
Polarisation, 3
Potential, 18
elektrostatisches, 2
Poynting-Theorem, 22
Poynting-Vektor, 21
Fluss
magnetischer, 9
Flussdichte
magnetische, 7
Fortfplanzungskonstante, 20
Raumladungsdichte, 3
Gauss
Satz von, 1
Gegeninduktivität, 11
Grenzbedingungen, 15
Skintiefe, 20
Spannung, 3, 23
magnetische, 9
Stationärer Zustand, 19
Strom, 23
Stromdichte, 5
Suszeptibilität
elektrische, 4
magnetische, 7
Induktion, 10
magnetische, 7
Induktivität, 10, 25
isotropes Material, 4, 14
Kapazität, 3, 24
Knotenregel, 23
Vergleichslängen, 20
Verschiebungsstrom, 12
Laplace-Operator, 16
26
Felder und Komponenten I
Jonas Huber
Wellengleichung
homogene, 16
Wellenimpedanz, 18
Wellenlänge, 20
Wellenvektor, 17
Widerstand, 6, 25
magnetischer, 9
Zeiger, 19
27
Zusammenfassung