Aufgaben 21-23

Übungen zur Vorlesung Thermodynamik und
Elektrodynamik
Prof. Dr. Wolfgang Kinzel
WS 2015/2016
Aufgabe 21: Längenkontraktion und Zeitdilatation
Ein ruhender Beobachter mit der Raumzeit-Koordinate B µ = (ct, 0, 0, 0) wartet auf einen Zug,
welcher durch die Koordinaten ZAµ = (ct, xA − vA t, 0, 0) mit vA = 0.95 c und xA = 3 × 106 km
beschrieben wird. Der Zug habe in seinem Ruhesystem eine Länge von 50 m.
a) Nach welcher Zeit erreicht der Zug den Beobachter, und zwar einmal gemessen im Bezugssystem des Beobachters und zum anderen gemessen im Bezugssystem des Zuges?
b) Welche Länge hat der Zug im Bezugssystem des Beobachters ? Wie misst man die Länge
eines bewegten Objekts?˙
Aufgabe 22: Elektromagnetische Wellen im Vakuum (Staatsexamen Herbst 2015)
Die wichtigsten Eigenschaften elektromagnetischer Wellen im Vakuum sollen anhand der MaxwellGleichungen diskutiert werden.
~ und die
a) Geben Sie die Maxwell-Gleichungen im Vakuum für die elektrische Feldstärke E
~ an.
magnetische Induktion B
Lösen Sie nun die Maxwell-Gleichungen mit Hilfe des Exponentialansatzes
~ r, t) = E
~ ~ ei(~k~r−ωt) ,
E(~
k
~ r, t) = B
~ ~ ei(~k~r−ωt) ,
B(~
k
(1)
und beantworten Sie die folgenden Fragen anhand Ihrer Lösung:
b) Welche Eigenschaften der Maxwell-Gleichungen garantieren, dass man sie überhaupt mit
einem Exponentialansatz vom Typ (1) lösen kann?
c) Warum ist es legitim, einen komplexen Ansatz für die Felder zu verwenden?
d) Leiten Sie die Dispersionsrelation zwischen ω und ~k her.
~ B.
~
e) Charakterisieren Sie die relative Orientierung der Vektoren ~k, E,
f) In welche Richtung weist der Poynting-Vektor (Energiestrom)?
g) Wie viele unabhängige Polarisationszustände hat die elektromagnetische Welle im Vakuum?
~ ~ und B
~~ .
h) Bestimmen Sie das Verhältnis der Beträge von E
k
k
i) Wie lautet die allgemeine Lösung der Maxwell-Gleichungen im Vakuum?
Aufgabe 23: Magnetisch permeable Kugel (Staatsexamen Frühjahr 2011)
Betrachtet sei eine magnetisch permeable Kugel mit relativer Permeabilität µr und Radius R.
~ ∞ = H∞~ez gebracht.
Die Kugel wird nun in ein ursprünglich homogenes, magnetisches Feld H
Das Medium außerhalb der Kugel habe die magnetische Permeabilität des Vakuums.
a) Begründen Sie anhand der Maxwell-Gleichungen, dass man das magnetische Feld in beiden
~ = −∇Φ
~ M darstellen kann, wobei ΦM ein geeignetes skalares magnetiBereichen durch H
sches Potential ist. Zeigen Sie, dass das skalare Potential innerhalb und außerhalb der Kugel
die Laplace-Gleichung ∇2 ΦM = 0 erfüllt.
b) Aufgrund der Symmetrie ist es vorteilhaft, Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) mit dem Ursprung im
Zentrum der Kugel zu verwenden. Verwenden Sie den Ansatz
(
−Hi r cos ϑ
für r < R
ΦM =
−2
(−H∞ r + mr ) cos ϑ
für r > R
für das magnetische Potential, und berechnen Sie das durch die Koeffizienten H∞ , Hi und
~ r) in Kugelkoordinaten in den beiden Bereichen. Zeigen Sie,
m ausgedrückte Magnetfeld H(~
~ ∞ wird.
dass das magnetische Feld für große Abstände von der Kugel homogen und gleich H
Hinweis: In Kugelkoordinaten gilt
∂
~ = ~er ∂ + ~eϑ 1 ∂ + ~eϕ 1
.
∇
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
~ und die magnetische Inc) Welche Stetigkeitsbedingungen sind für das magnetische Feld H
~ an der Grenzfläche r = R zu fordern?
duktion B
d) Berechnen Sie die unbestimmten Koeffizienten Hi und m. Wie verhält sich das magnetische
Feld im Inneren der Kugel für µr → ∞? Welche Richtung hat das magnetische Feld auf der
äußeren Oberfläche der Kugel in diesem Grenzfall?
Besprechung am 02.12.2015
Web-Seite der Vorlesung:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/index.php?id=5227