Formelsammlung - Lehrbuch Psychologie

Formelsammlung
Formelsammlung
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Theoretische Wahrscheinlichkeit
p(A) =
Anzahl günstiger Ereignisse
Anzahl möglicher Ereignisse
Empirische Wahrscheinlichkeit
p(A) =
f(A)
n
(Relative Häufigkeit)
f(A) = Häufigkeit des Ereignisses A
n
= Anzahl aller Ereignisse
Deskriptive Statistik
Skalenniveaus
Nominalskala
Rangskala (Ordinal-)
Intervallskala
Verhältnisskala
=;
= ; ; > ; <
= ; ; > ; < ; + ; 
= ; ; > ; < ; + ;  ; · ; /
Prozentwert und Prozentrang
Zulässige Transformationen:
- jede, die Gleichheit und
Unterschiedlichkeit erhält
- positive streng monotone
Transformationen
- positive lineare Transformationen der
Form y = a · x + b mit m > 0
- positive Ähnlichkeitstransformationen
der Form y = m · x mit m > 0
Prozentwert
%k =
fk
100%
n
fk
%k
n
Prozentrang
PR =
f kum (k)
100%
n
fkum(k) = Kumulierte Häufigkeit
%kum(k) = Kumulierter Prozentwert
Maße der zentralen Tendenz
Modalwert (Modus)
Median
= Häufigkeit in der Kategorie k
= Prozentwert in der Kategorie k
= Anzahl Beobachtungen
Wert, der am häufigsten besetzt ist
Wert, der eine Verteilung halbiert
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Varianzanalyse
n
xi
i
n
Arithmetisches Mittel
x
 xi
i 1
n
p
Gewogenes AM
x
nk  xk
= Anzahl der Vpn
= Messwert
= Index der Versuchspersonen
x = Mittelwert der Mittelwerte
p = Anzahl der Mittelwerte
nk = Anzahl der Vpn in Gruppe k
k 1
p
nk
k 1
Mittelwert nach einer linearen
Transformation y = a · x + b
y  ax b
Dispersionsmaße
y = transformierter Mittelwert
n
xi
i
n
 (x i  x) 2
Varianz
(als Populationsschätzer)
ˆ 2x 
Standardabweichung
(als Populationsschätzer)
ˆ x = ˆ 2x
Varianz nach einer linearen
Transformation y = a · x + b
ˆ 2y  a 2  ˆ 2x
i 1
n 1
̂ 2x = zu transformierende Varianz
z-Standardisierung (z-Wert)
zx 
= Anzahl der Vpn
= Messwert
= Messwertindex
μ = Populationsmittelwert
σ = Streuung
xi  

Inferenzstatistik
Standardfehler des Mittelwertes
n
ˆ x 
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ˆ 2x

n
 (x i  x) 2
i 1
n  (n  1)
̂ 2x = Varianz der Variable x
xi = Wert der Person i auf Variable x
x = Mittelwert der Variable x
n = Stichprobenumfang
Formelsammlung
Regression und Korrelation
Kovarianz
n
empirische Kovarianz
cov(x , y) 
maximale Kovarianz
 x i  x   y i  y 
i 1
n 1
cov max  ˆ x  ˆ y
xi = Wert der Person i auf Variable x
zi = Wert der Person i auf Variable y
x = Mittelwert der Variable x
y = Mittelwert der Variable y
n = Stichprobenumfang
Produkt-Moment-Korrelation
rxy =
cov(x, y)
ˆ x  ˆ y
Partialkorrelation
rxy z 
rxy  ryz  rxz
2
(1  ryz
)  (1  rxz2 )
rxy = Korrelation nullter Ordnung der
beiden interessierenden Merkmale
rxy|z = Partialkorrelation der beiden
interessierenden Merkmale
rxz; ryz = Korrelation von x und y mit der
Drittvariable z
Fisher Z -Transformation
Z
1 1 r 
ln 

2 1 r 
r
e 2Z  1
e 2Z  1
Punktbiseriale Korrelation
rpb 
y1  y 0
n 0  n1

ˆ y
N2
Z
ln
r
e
= Z-transformierte Korrelation
= natürlicher Logarithmus
= Korrelationskoeffizient
≈ 2,7183 (Eulersche Zahl)
y
x
= intervallskalierte Variable
= dichotome Variable (x = 0; x =1)
= Mittelwert von y bei x = 0
y0
y 1 = Mittelwert von y bei x = 1
σ̂ y = Streuung der y-Variable
n0 = Anzahl Beobachtungen bei x = 0
n1 = Anzahl Beobachtungen bei x = 1
N = n0 + n1
Rangkorrelation
n
rs  1 
6   d i2
i 1
n  ( n 2  1)
di = Differenz der laufenden Nr. der
Untersuchungseinheit i auf einem
Rangplatz
n = Anzahl der Rangplätze
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Varianzanalyse
Lineare Regression
Vorhersage von y durch x
ŷ i = b yx x i + a yx
Vorhersage von x durch y
x̂ i = b xy y i + a xy
Regressionsgewicht
(Steigung der Gerade)
bzw.
Höhenlage:
(Schnittpunkt mit y bei x = 0)
b yx =
cov(x, y)
ˆ 2x
b xy =
cov(x, y)
ˆ 2y
ŷ i
b
a
= vorhergesagte Werte
= Regressionsgewicht
= additive Konstante
cov(x,y) = Kovarianz von x und y
= Streuung der Variable x
̂ x
= Streuung der Variable y
̂ y
a yx  y  b yx  x
bzw.
a xy  x  b xy  y
t-Test für Korrelationen
t-Wert
t df 
r N2
r
n
df
1 r2
= Korrelationskoeffizient
= Anzahl der Versuchspersonen
=N-2
Effektstärken
rxy 
cov emp
cov max
cov(x, y)

ˆ x  ˆ y
Konventionen nach Cohen (1988):
kleiner Effekt:
r = 0,1
mittlerer Effekt:
r = 0,3
großer Effekt:
r = 0,5
t-Test für unabhängige Stichproben
t-Wert
Empirischer t-Wert unter H0
Standardfehler der
Mittelwertsdifferenz
t df
x  x2
 1
 x1  x2
ˆ x1  x 2 
ˆ 12
n1

ˆ 22
x1
= Mittelwert der 1. Gruppe
x2
= Mittelwert der 2. Gruppe
df
= n1 + n2  2
̂12
= geschätzte Populationsvarianz
der 1. Gruppe
= geschätzte Populationsvarianz
der 2. Gruppe
n2
̂ 22
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Formelsammlung
Theoretische Effektstärkenmaße
d
1   2
x
 
2
2 
2 
μ1, μ2 = Mittelwerte der Populationen,
aus denen die Mittelwerte
gezogen werden
x
= Streuung der Population
innerhalb einer Bedingung
2
 sys
 2x
2
 sy
s
2
 Gesamt

2
 sy
s
2
2
 sy
s  x
2
1  2
2 
2
1  2
ˆ 2x1  ˆ 2x 2
Konventionen nach Cohen (1988):
kleiner Effekt:
Ω2 = 0,01
mittlerer Effekt:
Ω2 = 0,06
großer Effekt:
Ω2 = 0,14
x 1 , x 2 = Mittelwerte der Gruppen
̂ x = geschätzte Populationsstreuung
̂ 2x = geschätzte Varianz der Gruppe 1
2
̂ 2x 2 = geschätzte Varianz der Gruppe 2
²
  2  2
1  ²
Empirische Effektstärkenmaße
(Schätzungen für die Population)
d
x1  x 2

ˆ x
f2 
Konventionen nach Cohen (1988):
kleiner Effekt:
d = 0,2
mittlerer Effekt:
d = 0,5
großer Effekt:
d = 0,8
x1  x 2
t 2 1
N
1
t = empirischer t-Wert
N = n1 + n2
2
ˆ2 f
  
1+ f 2
2
ˆ2 
f 
1 - 2
d  2f  2
Empirische Effektstärkenmaße
(auf Stichprobenebene)
f S2

 
2
QSsys
QSx
²
1  ²
t2

df
QSsys
QSGesamt
f2
 S 2
1  fS
fS2 = Effekt auf Stichprobenebene
η2 = Eta-Quadrat, Effekt auf Stichprobenebene
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Varianzanalyse

Teststärkebestimmung
(a posteriori)
 = Nonzentralitätsparameter
  2  N

² = theoretischer Effekt
2
N
1  2

Stichprobenumfangsplanung
(a priori)
N
 ;1
2

 ;1
 2

 1  2





= Nonzentralitätsparameter
(ermittelt bei gegebenem  und 
aus den TPF-Tabellen)
N = Anzahl Versuchspersonen
t-Test für abhängige Stichproben
t-Wert
N
t df 
Empirischer t-Wert unter H0
xd
ˆ x d
xd 
 di
i 1
N
N
Standardfehler des Mittelwerts
der Differenzen
ˆ x d 
ˆ d
ˆ d 
N
df
N
xi1
xi2
di
 (d i  x d ) 2
i 1
N 1
=N1
= Anzahl Versuchspersonen
= Wert der Person i in Bed. 1
= Wert der Person i in Bed. 2
= xi1  xi2
(Differenzwert)
Empirische Effektstärkenmaße
dZ 
xd
ˆ d
f S2( abhängig ) 
2p 
Teststärkebestimmung
(auf Basis der Konventionen für
unabhängige Stichproben)
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
QSsy s
QS x
QSsys
QSsys  QSx
xd
= Mittelwert der Differenzen
̂d
= Streuung der Differenzen

t2
df
fS2 = Effekt auf Stichprobenebene

f S2
1  f S2
ηp2 = partielles Eta-Quadrat, Effekt auf
Stichprobenebene
2
2
2
  2unabhängig  N 

N
1 r
1  r 1  2
r
= Korrelation zwischen den
Messwertreihen
Formelsammlung
Teststärkebestimmung
(für empirische Effekte)

 = Nonzentralitätsparameter
  f S2( abhängig )  N
Stichprobenumfangsplanung
(anhand der Konventionen für
unabhängige Stichproben)
N
Stichprobenumfangsplanung
(bei vorhandener Effektgröße aus
Literatur oder anderen Studien)
N

 ;1
 2unabhängig
(1  r )

2
r
 ;1
= Korrelation zwischen den
Messwertreihen
f2abhängig = aus der Literatur oder
eigenen Studien abgeleitete
anzunehmende Effektstärke
2
f abhängig
Varianzanalyse ohne Messwiederholung
Einfaktorielle Varianzanalyse
(ohne Messwiederholung)
Quadratsummen
QS zwischen  n   A i  G 
p
i 1
QSinnerhalb   x mi  A i 
p
n
i 1 m 1
Freiheitsgrade
p
n
2
2
Ai
= Anzahl Faktorstufen
= Anzahl Vpn pro Faktorstufe
= Mittelwert aus Faktorstufe i
G
= Gesamtmittelwert
df zwischen  p  1
df innerhalb  p  (n  1)
Stichprobenkennwerte
Empirischer F-Wert
ˆ 2zwischen 
QS zwischen
df zwischen
2
ˆ innerhalb

QSinnerhalb
df innerhalb
Fdf Zähler ,df Nenner  
ˆ 2zwischen
2
ˆ innerhalb
dfZähler = dfzwischen
dfNenner = dfinnerhalb
Seite 7
Varianzanalyse
Zweifaktorielle Varianzanalyse
(ohne Messwiederholung)
Quadratsummen
QS A
  n  q  A i  G 
QS B
  n  p  B j  G 
p
p
q
n
2
i 1
q
2
j1
p

q
QS AxB   n  AB ij  A i  B j  G
i 1 j1
p
q
n

QS Re s   x mij  AB ij
i 1 j1 m 1
Freiheitsgrade
Stichprobenkennwerte
dfA = p  1
dfB = q  1
dfAB = (p  1) · (q  1)
dfRes = p · q · (n  1)
ˆ 2A 
QS A
df A
ˆ 2B 
QS B
df B
ˆ 2AxB 
QS AxB
df AxB
ˆ 2Re s 
QS Re s
df Re s
Empirische F-Werte
Seite 8

2
Haupteffekt A
FdfA ,dfRe s 
ˆ 2A
ˆ 2Re s
Haupteffekt B
FdfB ,dfRe s 
ˆ 2B
ˆ 2Re s
Wechselwirkung AB
FdfAxB ,dfRe s 
ˆ 2AxB
ˆ 2Re s

2
Ai
= Anzahl Faktorstufen Faktor A
= Anzahl Faktorstufen Faktor B
= Anzahl Vpn in der Zelle ABij
= Mittelwert der Faktorstufe Ai
Bi
= Mittelwert der Faktorstufe Bj
ABij = Zellmittelwert
G
= Gesamtmittelwert
Formelsammlung
Empirische Effektstärkenmaße
f2 
Umrechnung f 2   2
Umrechnung  2  f 2
Teststärkebestimmung
(a posteriori)
Definition und Umrechnung der
Effektstärkenmaße

dfZähler = Freiheitsgrade des Zählers
des F-Bruchs
dfNenner = Freiheitsgrade des Nenners
des F-Bruchs
N
= p ·q · n = Stichprobengröße
N
f2
2 
1 f 2
2
f2 
1  2

  2  N
2
 sy
2
s
 2p  2

 sy s   2x 1   2
2 
Stichprobenumfangsplanung
(a priori)

df Zähler  Femp  1
2
 sys
 2x

2
1  2
= Nonzentralitätsparameter
Konventionen nach Cohen (1988):
kleiner Effekt:
Ω2 = 0,01
mittlerer Effekt
Ω2 = 0,06
großer Effekt
Ω2 = 0,14

N
= Nonzentralitätsparameter
(ermittelt bei gegebenem , ,
und dfZähler aus TPF-Tabellen)
Bei gleicher Vpn-Anzahl in Zellen
(unabhängige Stichproben):
N=p·n
λ (dfZähler ;1β;α)
Φ
2
Tukey HSD-Test
HSD  q krit (  ,r ,dfRe s ) 
einfaktorielle ANOVA
zweifaktorielle ANOVA
Haupteffekt A
Haupteffekt B
Wechselwirkung
nHSD = n
nHSD = q · n
nHSD = p · n
nHSD = n
ˆ 2Re s
n HSD
HSD = kritische Differenz eines
Paarvergleichs
qkrit = krit. Wert aus der q-Tabelle

= kumuliertes Signifikanzniveau
für alle Paarvergleiche
r
= Anzahl der Mittelwerte
nHSD = Anzahl der Vpn, aus denen die
verglichenen Mittelwerte
gebildet werden
n
= Anzahl der Vpn pro Zelle
p
= Stufenanzahl Faktor A
q
= Stufenanzahl Faktor B
Seite 9
Varianzanalyse
Varianzanalyse mit Messwiederholung
Einfaktorielle Varianzanalyse
p
(mit Messwiederholung)
- systematische Varianz
ˆ 2A 
QSA

df A
n   (A i  G )
i 1
p 1
p
- Residualvarianz
ˆ 2AVpn 
QSAVpn
df AVpn

N
[x im  (A i  Pm  G )]2
Empirische Effektstärkenmaße
(auf Stichprobenebene)
2p 
mit
mit
= Mittelwert der Person m
G
= Gesamtmittelwert
= Anzahl Faktorstufen Faktor A
= Anzahl Vpn in einer
Faktorstufe
p
n
dfA = p – 1
dfRes = (n – 1) · (p – 1)
ηp²: partielles Eta-Quadrat, Effekt auf der
Stichprobenebene
F  df A
df AVpn
fS2
1  fS2
p
 Φ 2unabhängig  N
1 r
Ω 2unabhängig
Φ 2unabhängig 
1  Ω 2unabhängig
N
Pm
QSA

QSAVpn
λ df;α 
Stichprobenumfangsplanung
auf Basis der Konventionen für
unabhängige Stichproben
Seite 10
ˆ 2A
ˆ 2A

ˆ 2Re s ˆ 2AVpn
QSA
QSA  QSAVpn
f S2(abhängig ) 
Teststärkeanalyse
- a priori auf Basis der
Konventionen für unabhängige
Stichproben
= Mittelwert der Faktorstufe Ai
(p  1)  (n  1)
FA ( df A ,df Re s ) 
f S2( abhängig )
Ai
i 1 m 1
F-Bruch
2p 
2
 df ;;1
 2unabhängig
 2unabhängig 

(1  r )
p
 2unabhängig
1   2unabhängig
p
= Anzahl Stufen des Faktors A
= mittlere Korrelation zwischen
den Messzeitpunkten
Konventionen für Effekt bei
unabhängigen Stichproben:
kleiner Effekt:
Ω² = 0,01
mittlerer Effekt:
Ω² = 0,06
großer Effekt:
Ω² = 0,14
p
= Anzahl Stufen des Faktors A
= mittlere Korrelation zwischen
r
den Messzeitpunkten
r
Formelsammlung
Post Hoc Tests
HSD  q krit ( ; p; df Nenner ) 
Zweifaktorielle Varianzanalyse
(mit MW auf einem Faktor)
- Faktor A ohne MW
HSD = kritische Differenz eines
Paarvergleichs
qkrit = krit. Wert aus der q-Tabelle

= kumuliertes Signifikanzniveau
für alle Paarvergleiche
p
= Anzahl der Mittelwerte
n
= Anzahl der Vpn pro Zelle
ˆ 2Re s
n
p
ˆ 2A ( nicht mw ) 
QSA ( nicht mw )
df A ( nicht mw )

 n  q  (A i  G ) 2
i 1
p 1
q
- Faktor B mit MW
ˆ 2B( mw ) 
QSB( mw )
df B( mw )

q
ˆ 2AB( mw )

- Wechselwirkung A x B
QS AB( mw )
df AB( mw )
j1
q 1
p
 n  [ABij  (A i  B j  G)]2

j1 i 1
(p  1)  (q  1)
p
ˆ 2Pr üf ( A )

- Prüfvarianz des Faktors A
ˆ 2Vpn in S
QSVpn in S

df Vpn in S
p
- Prüfvarianz des Faktors B und
der Wechselwirkung A×B
F-Brüche
- Faktor A ohne MW
 n  p  (Bj  G)2
ˆ 2B Vp n 
QSB Vp n
df B Vp n
FA (dfA ;df
Vpn in S

)
q

n
 q  (APim  A i ) 2
i 1 m 1
p  (n  1)
n
 [x ijm  (ABij  APim  Ai )]2
i 1 j1 m 1
p  (q  1)  (n  1)

ˆ 2A ( nicht mw )
ˆ 2Pr üf ( A )
ˆ 2B( mw )
- Faktor B mit MW
FB( dfB ;dfBVpn ) 
- Wechselwirkung A×B
FAB( dfAB ;dfBVpn ) 
ˆ 2Pr üf ( B)

ˆ 2A
ˆ 2Vpn in S
ˆ 2B
ˆ 2BVpn
ˆ 2AB( mw )
ˆ 2Pr üf ( B)


ˆ 2AB( mw )
ˆ 2BVpn
dfA = p – 1
dfVpn in S = p · (n – 1)
dfB = q – 1
dfB×Vpn = p · (q – 1) · (n – 1)
dfA×B(mw) = (p – 1) · (q – 1)
dfB×Vpn = p · (q – 1) · (n – 1)
Seite 11
Varianzanalyse
Empirische Effektstärkenmaße
(auf Stichprobenebene)
- Faktor A ohne MW
- Faktor B mit MW
2p ( A ) 
2p( B) 
QSA
QSA  QSVpn in
QSB
QSB  QSBVpn
QSAB
QSAB  QSBVpn
- Wechselwirkung A×B
2p( AB) 
Berechnung aus F-Werten
f S2( abhängig ) 
2p 
S
F  df Effekt
df Pr üf
fS2
1  fS2
Teststärkeanalyse
- Für Faktor A ohne MW
 A ( nicht mw );df ; 
- Für Faktor B mit MW und die
Wechselwirkung A×B
Stichprobenumfangsplanung
- für Faktor A ohne MW
- für Faktor B und WW siehe
einfaktorielle VA mit MW
 B( mw );df ;   AB( mw );df ; 
q
  2unabhängig  N
1  (q  1)  r
N  p  n A ( nicht mw ) 
q
  2unabhängig  N
1 r
 df ;;1
 2unabhängig

1  (q  1)  r
q
Zweifaktorielle Varianzanalyse
(mit MW auf beiden Faktoren)
F-Brüche
- HE Faktor A mit p Stufen
FA ( df A ,df Pr üf ( A ) ) 
- HE Faktor B mit q Stufen
FB( df B ,df Pr üf ( B ) ) 
- WW A×B
Seite 12
ˆ 2A

ˆ 2Pr üf ( A )
ˆ 2B
ˆ 2Pr üf ( B)
FAxB( df AB ,df Pr üf ( AB ) ) 

ˆ 2AB
ˆ 2Pr üf ( AB)
ˆ 2A
ˆ 2AVpn
ˆ 2B
ˆ 2BVpn

ˆ 2AB
ˆ 2ABVpn
dfA = p – 1
dfA×Vpn = (p – 1) · (n – 1)
dfB = q – 1
dfB×Vpn = (q – 1) · (n – 1)
dfA×B = (p – 1) · (q – 1)
dfA×B×Vpn = (p – 1) · (q – 1) · (n – 1)
Formelsammlung
Empirische Effektstärkenmaße
(auf Stichprobenebene)
- Faktor A ohne MW
2p( A) 
QSA
QSA  QSPr üf ( A)
- Faktor B mit MW
2p( B) 
QSB
QSB  QSPr üf ( B)
- Wechselwirkung A×B
2p( AB) 
- Berechnung aus F-Werten
fS2(abhängig ) 
2p 
Teststärkeanalyse
- auf Basis der Konventionen für
unabhängige Stichproben
F  df Effekt
df Pr üf
fS2
1  fS2
pq 2
  unabhängig  n
1 r
 2unabhängig
2
 unabhängig 
1   2unabhängig
 df ; 
mit
Stichprobenumfangsplanung
- analog zur einfaktoriellen
VA mit MW auf einem Faktor
- getrennt vorzunehmen für
Faktor A, Faktor B und WW
QSAB
QSAB  QSPr üf ( AB)
N
mit
 df ;;1
 2unabhängig
 2unabhängig 

(1  r )
p
 2unabhängig
1   2unabhängig
Nichtparametrische Verfahren: U-Test
U-Test
N  (N + 1)
2
Prüfung der Korrektheit der
Rangzuweisung
T1 + T2 =
Rangplatzüberschreitungen von
Gruppe 1 gegenüber Gruppe 2
U  n1  n 2 
n1  (n1  1)
 T1
2
Rangplatzunterschreitungen von
Gruppe 1 gegenüber Gruppe 2
U  n 1  n 2 
n 2  (n 2  1)
 T2
2
Kontrolle
U  n1  n 2  U
N = n1 + n2
T1 = Rangplatzsumme Gruppe 1
T2 = Rangplatzsumme Gruppe 2
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Varianzanalyse
Bei n1 oder n2 > 20
z
U  U
U
U 
Streuung bei unverbundenen
Rängen
korrigierte Streuung bei
verbundenen Rängen
Stichprobenumfangsplanung
Berechnung über t-Test
n1  n 2
2
n 1  n 2  (n 1  n 2  1)
12
U 
n1  n 2

N  ( N  1)
 U corr 
 N 3  N k t 3i  t i

 12  
12
i 1





μU
σU
n1
n2
= erwarteter mittlerer U-Wert
= Streuung der U-Werte
= Anzahl Vpn in Gruppe 1
= Anzahl Vpn in Gruppe 2
N
ti
= n1 + n2
= Anzahl der Personen, die sich
Rangplatz i teilen
= Anzahl der verbundenen Ränge
k

2
N ( t Test ) 
Nichtparametrische Verfahren: Chi²-Test
Eindimensionaler chi²-Test
k
2  
i 1
(f bi - f ei ) 2
f ei
Zweidimensionaler chi²-Test
allgemein
k
l
  
2
i 1 j1
erwartete Häufigkeit
f eij 
(f bij  f eij ) 2
f eij
Zeilensumm e i  Spaltensum me j
k
fbi
fei
df
= Anzahl Kategorien
= beobachtete Häufigkeit in Kat. i
= erwartete Häufigkeit in Kat. i
=k1
k
l
fbij
feij
df
= Anzahl Kategorien i
= Anzahl Kategorien j
= beobachtete Zellhäufigkeit
= erwartete Zellhäufigkeit
= (k  1) · (l  1)
N
Vierfelder-chi²-Test
(zwei dichotome Merkmale)
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2 
N  (a  d  b  c) 2
(a  c)  ( b  d )  (a  b )  (c  d )
a
b
c
d
Formelsammlung
Empirische Effektstärkenmaße
ŵ 2 
- Vierfelder Test auch
2
N
N

= Phi - Koeffizient
(gleichbedeutend mit Korrelation
zweier dichotomer Variablen)
2
ŵ   
N
2
2
Annahme einer Effektstärke
a priori
- eindimensional
w2  
- zweidimensional
w 2  
k
i 1
k
(p bi - p ei ) 2
p ei
i
i 1 j1
= Anzahl Beobachtungen
(p bij - p eij ) 2
p eij
k
pbi
pei
= Anzahl der Kategorien
= rel. Häufigkeit unter der H1
= rel. Häufigkeit unter der H0
k
l
pbij
peij
= Anzahl der Kategorien i
= Anzahl der Kategorien j
= rel. Häufigkeit unter der H1
= rel. Häufigkeit unter der H0
Konventionen
kleiner Effekt:
mittlerer Effekt
großer Effekt:
= 0,01
= 0,09
= 0,25

Teststärkebestimmung
  w2  N
Stichprobenumfangsplanung
w²
w²
w²
N
 = Nonzentralitätsparameter

w2
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