Aufgabe 43 Für die Potenzreihen c(x) = ∑ (−1)n x2n (2n)! und s(x

Aufgabe 43
Für die Potenzreihen
c(x) =
∞
X
x2n
(2n)!
(−1)n
n=0
und
s(x) =
∞
X
(−1)n
n=0
x2n+1
(2n + 1)!
bestimme man den Konvergenzbereich und zeige die Gültigkeit von
s(x + y) = s(x) c(y) + s(y) c(x)
für alle x, y ∈ R.
Lösung
Konvergenz der Reihe s(x): Für x 6= 0 ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender
Summanden
2n+3
2
2
x
(2n
+
1)!
x
=
< x .
·
(2n + 3)!
x2n+1 (2n + 2)(2n + 3) 4n2
Für n > |x| ist dieser Quotient < 1/4 =: q, wo deutlich q < 1. Damit konvergiert die
Reihe s(x) für alle x ∈ R absolut. (Für x = 0 ist die Konvergenz natürlich trivial.)
Konvergenz der Reihe c(x): Hier ist der betreffende Quotient
2n+2
x
(2n)! x2
x2
(2n + 2)! · x2n = (2n + 1)(2n + 2) < 4n2 ,
und von hier an geht der Konvergenzbeweis genauso weiter wie oben. Also konvergiert
auch die Reihe c(x) für alle reellen Zahlen x.
Beweis von s(x + y) = s(x) c(y) + s(y) c(x):
Für alle reellen Zahlen x, y gilt
!
!
∞
∞
2k+1
2l
X
X
k x
l y
s(x) c(y) =
(−1)
·
(−1)
(2k + 1)!
(2l)!
k=0
=
∞
X
n=0
=
∞
X
l=0
n
X
x2µ+1
y 2n−2µ
(−1)n
·
(2µ + 1)! (2n − 2µ)!
µ=0
2n
X
(−1)n
n=0
=
∞
X
(Cauchy-Produkt)
k=0
k gerade
y 2n−k
xk+1
·
(k + 1)! (2n − k)!
2n+1
X
(−1)n
n=0
k=1
k ungerade
xk
y 2n−k+1
·
k! (2n − k + 1)!
(Indexverschiebung)
und
s(y) c(x) =
=
∞
X
k=0
∞
X
n=0
=
∞
X
n=0
y 2k+1
(−1)k
(2k + 1)!
!
·
∞
X
l=0
x2l
(−1)l
(2l)!
n
X
x2µ
y 2n−2µ+1
(−1)n
·
(2µ)! (2n − 2µ + 1)!
µ=0
n
(−1)
2n
X
xk
y 2n−k+1
·
.
k! (2n − k + 1)!
k=0
k gerade
1
!
(Cauchy-Produkt)
Unter Verwendung des Binomischen Satzes erhält man
∞
X
(x + y)2n+1
(2n + 1)!
n=0
∞
2n+1 X
(−1)n X 2n + 1 k 2n−k+1
x y
=
(2n + 1)!
k
s(x + y) =
=
n=0
∞
X
(−1)n
k=0
(−1)n
n=0
=
∞
X
n=0
2n+1
X
k=0
xk
y 2n−k+1
·
k! (2n − k + 1)!

2n
X
xk
y 2n−k+1
n
·
+
(−1) 
k! (2n − k + 1)!
k=0
k gerade
=
∞
X
n=0
(−1)n
2n+1
X
k=1
k ungerade
2n+1
X
k=1
k ungerade

xk
k!
·
y 2n−k+1
(2n − k + 1)!


∞
2n
X
X
xk
y 2n−k+1
xk
y 2n−k+1
·
+
(−1)n
·
k! (2n − k + 1)!
k! (2n − k + 1)!
k=0
n=0
k gerade
= s(x) c(y) + s(y) c(x) .
2