5.7. Wheatstonesche Brücke — ["wI:tst@n]
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5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:tst@n] 503 5.7. Wheatstonesche Brücke — ["wI:tst@n] Ziel Bestimmung unbekannter ohmscher Widerstände, Kapazitäten und Induktivitäten durch Vergleich mit Bauteilen, deren Werte bekannt sind. Verständnis für die Spannungs- und Stromverhältnisse in einfachen Wechselstromkreisen. Hinweise zur Vorbereitung Die Antworten auf diese Fragen sollten Sie vor der Versuchdurchführung wissen. Sie sind die Grundlage für das Gespräch mit Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor vor dem Versuch. Informationen zu diesen Themen erhalten Sie in der unten angegebenen Literatur. • Wie funktioniert die wheatstonesche Brückenschaltung und wozu wird sie verwendet? • Wieso ist die Bestimmung von Widerständen mit der Brückenschaltung genauer als einfach nur mit Multimeter? • Wie lauten die kirchhoffschen Gesetze? • Wie unterscheiden sich Wirk-, Blind- und Scheinwiderstand? • Wovon hängt der Blindwiderstand eines Kondensator, bzw. einer Spule ab? • Erläutern Sie die Phasenbeziehung zwischen Strom und Spannung bei sinusförmigem Wechselstrom an Reihenschaltungen aus Wirkwiderstand R, Kondensator C und Spule L. • Wie können Wechselstromwiderstände anschaulich dargestellt werden? Zubehör • Drahtwiderstand der Länge l = 100 cm mit verschiebbarem Schleifkontakt und zwei Skalen zur Ablesung der Position x des Kontaktes relativ zum linken Drahtende x sowie des Teilungsverhältnisses r = l−x . • Stöpselrheostat als bekannter Widerstand 1 Ω − 1111 Ω • regelbarer Widerstand 0 Ω − 200 Ω • Bauteile mit bekannten Werten: – C1 = 4.66 μF – L3 = 8.6 mH • Bauteile mit unbekannten Werten: © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 504 5. Versuche zur Elektrizitätslehre – R1 , . . . , R5 – C2 , . . . , C7 – L1 , L2 , L4 • regelbares Gleichspannungsnetzgerät (Belastbarkeit entweder 15 V, 700 mA oder 30 V, 400 mA) • Sinusgeneratoren für die Frequenzen f = 100 Hz, 1 kHz und 10 kHz mit regelbarer Ausgangsamplitude 0 Vpp bis 10 Vpp (Das Zeichen Vpp bedeutet Volt von Spitze zu ” Spitze“ und ist von engl. peak to peak abgeleitet.) • Galvanometer mit Taster zum Umschalten auf eine höhere Empfindlichkeit • Kopfhörer als Messinstrument (Nullinstrument) für Wechselspannungen Grundlagen Der ohmsche Widerstand eines Drahtes Der ohmsche Widerstand R eines homogenen Drahtes nimmt mit steigender Länge l linear zu und mit steigender Querschnittsfläche A linear ab. Er lässt sich folgendermaßen berechnen: R = · l A (5.7.1) mit = spezifischer Widerstand, l = Länge des Drahtes, A = Querschnittsfläche des Drahtes. (5.7.2) Wechselstromwiderstände Für Gleichströme stellt ein Kondensator eine Unterbrechung mit unendlich hohem Widerstand dar, eine ideale Spule bedeutet einen Kurzschluss mit dem Widerstand null. Für sinusförmige1 Wechselströme hingegen hängt das Verhältnis aus Spannungsamplitude und Stromamplitude in ähnlicher Weise von der Kapazität C bzw. der Induktivität 1 Ist der zeitliche Verlauf der angelegten Wechselspannung nicht sinusförmig, so kann man sich diese aus sinusförmigen Anteilen unterschiedlicher Frequenz zusammengesetzt denken. Die jeweiligen Anteile lassen sich mathematisch durch die sog. Fouriertransformation bestimmen. Die Antwort“ des Kon” densators bzw. der Spule auf einen beliebigen Spannungsverlauf lässt sich dann entsprechend aus den Antworten“ auf die einzelnen sinusförmigen Komponenten zusammensetzen. Es genügt also, diese ” sinusförmigen Signale zu betrachten. Ist der zeitliche Verlauf der Spannung nicht sinusförmig, so wird allerdings der zeitliche Verlauf des Stroms eine andere Form aufweisen. Eine dreieckförmige“ Spannung führt z. B. zu einem recht” ” © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:tst@n] 505 L ab, wie beim Gleichstrom vom ohmschen Widerstand. Man spricht daher auch von Wechselstromwiderständen. Diese Widerstände werden allerdings nicht warm, wenn sie vom Strom durchflossen werden. Elektrische Energie wird also nicht in Wärme umgewandelt. Daher kommt die Bezeichnung Blind widerstände“ im Gegensatz zum ohmschen ” Wirk widerstand. In der Literatur sind die folgenden Formelzeichen und Begriffe üblich: • R: ohmscher Widerstand, Wirkwiderstand, Gleichstromwiderstand, Resistanz, • X: Blindwiderstand, Wechselstromwiderstand, Reaktanz, XL : induktiver Blindwiderstand einer Spule, Induktanz, (positiver Wert), XC : kapazitiver Blindwiderstand eines Kondensators, Kapazitanz, (manchmal als negativer Wert angegeben), • Z: Scheinwiderstand, Impedanz. Der Scheinwiderstand Z ist dabei der Gesamtwiderstand einer Schaltung aus mehreren – auch unterschiedlichen – Bauteilen. Wechselstromwiderstände hängen von der Kreisfrequenz ω des Wechselstroms ab und zwar gilt:2 XL = ωL , 1 , XC = ωC Z= R2 (5.7.4) (5.7.5) 1 + ωL − ωC 2 . (5.7.6) Anschauliche Erklärung des Wechselstromwiderstandes eines Kondensators Oft kommt es zu Unklarheiten und Missverständnissen über den Grund“, warum die ” Stromstärke im Wechselstromkreis von der Größe des Kondensators und der Frequenz abhängt.3 Dabei ist der Vorgang im Grunde einfach zu verstehen. Deshalb hier eine – nicht ganz wörtlich zu nehmende – Analogie. Wir vergleichen den Wechselstrom durch einen Kondensator mit dem Verkehrsaufkommen auf den Zufahrtsstraßen zur Fähre zwischen Konstanz und Meersburg. Die Parkplätze an beiden Fährhäfen eckförmigen“ Strom durch einen Kondensator, wie man sich leicht überlegen kann, denn für diesen Fall gilt ja: I(t) = dQ(t) d(C · U (t)) dU (t) = =C· dt dt dt . (5.7.3) 2 Da außerdem eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung auftritt, werden die Widerstände oft als komplexe Größen geschrieben. Eine ausführliche Darstellung hierzu finden Sie bei der Anleitung zum Versuch Schwingungssiebe“ in Abschnitt 5.9 ab der Seite 534. ” 3 Eine weit verbreitete obwohl falsche Vorstellung ist z. B., dass der Aufladevorgang des Kondensators irgendwie dafür verantwortlich wäre, weil der Kondensator immer erst Zeit braucht, um sich auf” zuladen“. Auch die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung wird manchmal irrtümlich genannt. © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 506 5. Versuche zur Elektrizitätslehre entsprechen den Kondensatorplatten. Sie speichern Fahrzeuge an Stelle der Elektronen (Ladung Q). Die Kapazität C entspricht dann der Größe der Parkplätze. Die Zahl der aufgenommenen Fahrzeuge (Ladung Q) ergibt sich daraus durch Multiplikation mit der Packungsdichte (Spannung U ). Zwischen den Kondensatorplatten soll sich ein Isolator befinden, d. h. wir nehmen an, dass die Fähre ausnahmsweise nicht in Betrieb ist, so dass kein Transport über den Bodensee möglich ist. Wollen nun ausschließlich Fahrzeuge von Meersburg nach Konstanz (Gleichspannung), so wird sich zunächst der Parkplatz in Meersburg füllen ( aufladen“) und dann wird der Vorgang zum Stillstand kommen. Das Verkehrs” aufkommen (Strom I) ist dann Null. Schickt man aber die Fahrzeuge auf dem Weg um den See herum immer abwechselnd nach Konstanz und Meersburg (Wechselspannung), so werden die Anwohner an den Zufahrtsstraßen durchaus ein Verkehrsaufkommen registrieren. Die Höhe des mittleren Verkehrsaufkommens ( Fahrzeuge pro Zeit“ entsprechend der ” mittleren Stromstärke I = Ladung pro Zeit“) ist dabei einerseits proportional zur Zahl ” der beteiligten Fahrzeuge (und daher zur Größe der Parkplätze und zur Packungsdichte), andererseits auch zur Häufigkeit des Hin- und Herfahrens (Frequenz f ). Hier noch einmal tabellarisch zusammengefasst die einander entsprechenden Größen: Verkehrsmodell Stromkreis mit Kondensator Größe der Parkplätze Kapazität C Zahl der Fahrzeuge Ladung Q Packungsdichte Spannung U Häufigkeit des Hin- und Herfahrens Frequenz f = Verkehrsaufkommen Strom I ω 2π Mit dieser Erläuterung sollten die Gleichungen I ∝ C ·U ·f = =⇒ U 1 f ·C U 1 ∝ I f ·C (5.7.7) (5.7.8) unmittelbar einleuchten. Bis auf den Faktor 2π haben wir so tatsächlich bereits den Ausdruck 2πf1· C für den kapazitiven Blindwiderstand aus Gleichung (5.7.5) hergeleitet. Um den noch fehlenden Proportionalitätsfaktor zu berechnen, muss man den Betrag einer Sinusfunktion zeitlich mitteln. Dies trägt aber zum prinzipiellen Verständnis nicht wesentlich bei. Die kirchhoffschen Gesetze Fast alle elektrischen Schaltungen enthalten Verzweigungen. Die einzelnen Bauelemente und Verbindungen bilden sog. Maschen“.4 Eine wichtige Aufgabe ist nun, in einem ” solchen Stromkreis Spannungen und Ströme zu berechnen. Gustav Kirchhoff hat dazu für den Fall stationärer Strom- und Spannungsverhältnisse zwei Gesetze formuliert, durch deren Anwendung diese Aufgabe eindeutig lösbar ist: 4 Darunter versteht man die kleinsten ringfömig geschlossenen Strompfade in der Schaltung. © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:tst@n] 507 ' • 1. kirchhoffsches Gesetz ( Knotenregel“): ” In einem Verzweigungspunkt ( Knoten“) ist die Summe der zufließenden Ströme ” gleich der Summe der abfließenden Ströme.5 $ • 2. kirchhoffsches Gesetz ( Maschenregel“): ” Die Summe der Spannungen über den Widerständen einer Masche ist gleich der Gesamtspannung der Spannungsquellen in dieser Masche.6 & % Bei einer Parallelschaltung von Widerständen nach Abbildung 5.7.1 gelten demnach die folgenden Gesetze“: ” 1. Der Strom in den Zuleitungen ist gleich der Summe der Ströme in den einzelnen Zweigen. 2. Die Ströme in den einzelnen Zweigen verhalten sich umgekehrt zueinander wie die Widerstände der Zweige.7 In Formeln also I = I1 + I2 R2 I1 = . I2 R1 , (5.7.11) (5.7.12) Strom-/Spannungsfehlerschaltung bei der Bestimmung von Widerständen Man kann den Wert R eines ohmschen Widerstandes prinzipiell nach dem ohmschen Gesetz U = R·I (5.7.13) 5 Dieses Gesetz ist eigentlich nur eine andere Formulierung für den Erhaltungssatz der Ladung. Alle zufließenden Ladungen müssen wieder abfließen, denn wenn sie sich am Knoten ansammeln würden, hätte dies eine Änderung der Spannungsverhältnisse zur Folge, was wir ja gerade ausgeschlossen haben. 6 Es gibt verschiedene gleichwertige Formulierungen dieses Gesetzes“. Statt Summe der Spannun” ” gen über den Widerständen“ liest man oft Summe der Spannungsabfälle über den Widerständen“. ” Manchmal spricht man von der Summe der durch die Spannungsquellen eingeprägten Spannungen“. ” Auch die explizite Erwähnung der inneren Widerstände der Spannungsquellen kommt gelegentlich vor, obwohl es für das Ergebnis egal ist, ob ein Widerstand in der Spannungsquelle oder außerhalb von ihr liegt. Die physikalische Aussage ändert sich dadurch natürlich nicht. 7 Da in der Masche keine Spannungsquellen vorhanden sind, müssen die Spannungen über den einzigen beiden Bauelementen gleich sein. Durchläuft man die gesamte Masche einmal im Kreis herum, so wird die Spannung an einem Widerstand positiv und die am anderen Widerstand negativ gezählt, weil man einmal in Stromrichtung läuft, das andere Mal entgegen der Stromrichtung. Dadurch erhält man die Gesamtspannung null in der Masche, wie es dem 2. kirchhoffschen Gesetz entspricht. Es gilt also: U 1 = R1 · I 1 = R2 · I 2 = U 2 I1 R2 =⇒ = . I2 R1 (5.7.9) (5.7.10) © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 508 5. Versuche zur Elektrizitätslehre Abbildung 5.7.1.: Parallelschaltung von Widerständen. aus dem Verhältnis von Spannung U und Strom I bestimmen. Bei der praktischen Messung ergibt sich allerdings doch eine gewisse Schwierigkeit, weil die normalerweise verwendeten Messinstrumente nicht ohne Einfluss auf die Spannungen und Ströme im Stromkreis sind. Ein übliches Multimeter hat einen sog. Innenwiderstand Ri , d. h. sobald eine Spannung angelegt wird, fließt ein dazu proportionaler Strom durch das Messgerät. Zwar ist dieser Innenwiderstand für Spannungsmessgeräte relativ hoch und für Strommessgeräte relativ niedrig, aber eben doch in beiden Fällen nicht vernachlässigbar. Man hat nun im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, Strom und Spannung gleichzeitig zu messen, die in den Abbildungen 5.7.2 und 5.7.3 dargestellt sind. Im ersten Fall wird die Spannung am Widerstand korrekt gemessen, allerdings zeigt das Strommessgerät nicht nur den Strom durch den Widerstand an, sondern die Summe aus den Strömen durch den Widerstand und durch das Spannungsmessgerät. Man nennt diese Schaltung daher Stromfehlerschaltung“ und erhält systematisch zu niedrige Werte für R. Im zweiten Fall ” wird der Strom korrekt gemessen, dafür ist die Spannung etwas zu hoch, nämlich um die Spannung, die am Strommessgerät anliegt ( abfällt“). Diese Schaltung heißt daher ” Spannungsfehlerschaltung“. Sie liefert systematisch zu hohe Werte für R. ” Je nachdem, welchen Wert der zu messende Widerstand im Verhältnis zu den Innenwiderständen hat, liefert die eine oder andere Schaltung ein genaueres Ergebnis. Ganz vermeiden lässt sich der Fehler allerdings nur dann, wenn der Strom durch die Messgeräte völlig verschwindet. Dies kann tatsächlich mit Hilfe der als wheatstonesche Brücken” schaltung“ bekannten Anordung (siehe Abbildung 5.7.4) erreicht werden. Die Brückenschaltung Die Abbildungen 5.7.4, 5.7.5 und 5.7.6 zeigen die wheatstoneschen Brückenschaltungen zur Bestimmung von ohmschen Widerständen, Kapazitäten und Induktivitäten. Die Messung erfolgt so, dass bei angeschlossener Spannungsquelle die Stellung des Schleifkontaktes so lange verändert wird, bis die Spannungsdifferenz zwischen den Punkten C und D verschwindet, ein zwischen diese Punkte geschaltetes Messinstrument also keinen Ausschlag mehr zeigt.8 Als Spannungsquelle kann für ohmsche Widerstände ein Gleich8 Eine Skala ist hierfür gar nicht notwendig. © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:tst@n] 509 Abbildung 5.7.2.: Stromfehlerschaltung bei der Bestimmung von Widerständen. Abbildung 5.7.3.: Spannungsfehlerschaltung bei der Bestimmung von Widerständen. spannungsnetzgerät (bzw. eine Batterie) verwendet werden, für Kapazitäten und Induktivitäten kommt nur eine Wechselspannungsquelle in Frage. Als Messinstrument dient entweder ein Zeigerinstrument (hier mit Taster zum Umschalten auf eine höhere Empfindlichkeit) oder (natürlich nur bei Wechselspannung passender Frequenz im Hörbereich des menschlichen Ohres) auch ein Kopfhörer. Ist diese Position gefunden, so gilt nach den kirchhoffschen Gesetzen für ohmsche Widerstände: Rx x = R l−x =⇒ Rx = R · x l−x (5.7.14) , (5.7.15) © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 510 5. Versuche zur Elektrizitätslehre Abbildung 5.7.4.: Wheatstonesche Brückenschaltung zur Bestimmung ohmscher Widerstände. Abbildung 5.7.5.: Wheatstonesche Brückenschaltung zur Bestimmung von Kapazitäten (bzw. kapazitiven Blindwiderständen). Der als Nullinstrument dienende Kopfhörer ist durch das Schaltsymbol für einen Lautsprecher dargestellt. für kapazitätive Widerstände bzw. Kapazitäten: 1 ωCx 1 ωC =⇒ x l−x l−x Cx = C · x = (5.7.16) (5.7.17) © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:tst@n] 511 Abbildung 5.7.6.: Wheatstonesche Brückenschaltung zur Bestimmung von Induktivitäten (bzw. induktiven Blindwiderständen). Die realen Spulen sind aus Draht gewickelt und weisen daher neben der reinen Induktivität L unvermeidlicherweise auch einen ohmschen Widerstand R auf. Sie werden hier durch ihr Ersatzschaltbild dargestellt, also durch eine Hintereinanderschaltung aus L und R. Der zusätzliche regelbare Widerstand Rv kann je nach Bedarf entweder in den linken oder in den rechten Zweig geschaltet werden und dient dazu, das Verhältnis L/R und damit die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung in beiden Zweigen gleich zu machen. Ohne diesen Widerstand wäre zwar auch ein Minimum der Lautstärke im Kopfhörer zu erzielen, allerdings wäre das Minimum u. U. deutlich von null verschieden und weniger genau einstellbar. und für induktive Widerstände bzw. Induktivitäten: =⇒ x ωLx = ωL l−x x Lx = L · l−x (5.7.18) . (5.7.19) Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom Bei der Bestimmung von Induktivitäten ist es vielleicht nicht unbedingt sofort klar, wie für beide Spulen die Spannungs- und Stromverhältnisse sind. Wichtig ist, dass tan α = ωL R auf den gleichen Wert gebracht wird. Die Spannung ist dann in jeder LR-Kombination in Phase mit der Spannung am ohmschen Widerstand. Das kann man sich am Zeigerdiagramm klarmachen.9 Dieses Ziel ist nur durch Einfügen eines zusätzlichen ohmschen 9 Auch die Ströme in den beiden oberen Zweigen sind dann untereinander in Phase, wobei sie phasenverschoben verlaufen zu den Strömen in den unteren Zweigen, in denen nur der Widerstandsdraht © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 512 5. Versuche zur Elektrizitätslehre Widerstandes zu erreichen, denn ohmsche Widerstände kann man nicht wie Blindwiderstände kompensieren, sie sind stets positiv. Bei Messungen an Kondensatoren tritt dieses Problem nicht in Erscheinung, weil die ohmschen Widerstände gegenüber den kapazitiven Widerständen vernachlässigt werden können (relativ kleine C, relativ kleine ω). Versuchsdurchführung 1. Bestimmen Sie für jeweils mindestens drei verschiedene ohmsche Widerstände Rn , Kapazitäten Cn und Induktivitäten Ln jeweils die Stellung x des Schleifkontaktes, in der die Spannungsdifferenz zwischen den Punkten C und D verschwindet. Wiederholen Sie jede Messung insgesamt fünf Mal, um eine statistische Aussage über die Zuverlässigkeit der Messwerte machen zu können. Hinweise: • Versuchen Sie bei den Messungen mit den ohmschen Widerständen den bekannten Widerstand jeweils so zu wählen, dass die Endposition des Schleifkontaktes etwa in der Mitte des Schleifdrahtes liegt, weil so der Messfehler minimiert wird (siehe Aufgabenteil). • Vergessen Sie nicht den regelbaren ohmschen Phasenausgleichswiderstand bei den Messungen mit den Spulen. Auswertung 1. Bestimmen Sie aus Ihren Messdaten die Werte aller untersuchten unbekannten ohmschen Widerstände Rn , Kapazitäten Cn und Induktivitäten Ln . Fragen und Aufgaben 1. Messbereichserweiterung“: ” Sie haben ein Spannungsmessgerät ( Voltmeter“), das bei einer Spannung von 1 V ” Vollausschlag anzeigt und einen Innenwiderstand von Ri = 100 kΩ besitzt.10 Weiterhin steht Ihnen ein Sortiment verschiedenster ohmscher Widerstände zur Verfügung. Wie können Sie damit den Messbereich so erweitern, dass eine Spannung von 100 V gerade Vollausschlag ergibt? 2. Leiten Sie mit Hilfe der kirchhoffschen Gesetze her, dass a) bei einer Reihenschaltung ( Hintereinanderschaltung“) von Widerständen der ” Gesamtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände ist, und dass liegt. Der Kopfhörer bleibt bei richtiger Stellung des Schleifkontaktes still, denn er sieht“ ja keine ” Spannungsdifferenz zwischen seinen Anschlüssen. 10 Man kann sich ein reales Voltmeter vorstellen als Parallelschaltung aus einem idealen Spannungsmessgerät (mit unendlich hohem Widerstand) und einem ohmschen Innenwiderstand“ Ri . ” © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:tst@n] 513 b) bei einer Parallelschaltung von Widerständen der Kehrwert des Gesamtwiderstandes gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände ist. 3. Stellen Sie die Wechselstromwiderstände in der komplexen Ebene dar und diskutieren Sie die Bedeutung des Phasenausgleichswiderstandes“ Rv in der komplexen ” Widerstandsebene. 4. für alle Studiengänge außer Physik: Betrachten Sie einen Wechselstromkreis mit einer idealen Induktivität L und einem dazu in Reihe geschalteten ohmschen Widerstand R (das ergibt insgesamt das Ersatzschaltbild für eine reale Spule). Dann gilt U (t) = L · dI(t) + R · I(t) dt (5.7.20) und für die sinusförmige Spannung U (t) = U0 · sin(ωt) (5.7.21) ergibt sich ein dazu um ϕ phasenverschobener Strom I(t) = I0 · sin(ωt − ϕ) . (5.7.22) Setzt man die Gleichungen (5.7.21) und (5.7.22) in Gleichung (5.7.20) ein, so erhält man U0 · sin(ωt) = L ω I0 · cos(ωt − ϕ) + R I0 · sin(ωt − ϕ) . (5.7.23) Zeigen Sie durch Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme (siehe Abschnitt E.2.2 auf Seite 781 oder einschlägige Formelsammlungen wie z. B. [BS85]) und anschließendes Sortieren der Glieder mit den Faktoren sin ωt bzw. cos ωt, dass folgende Beziehungen gelten müssen: tan ϕ = U0 = I0 ωL R , R2 + (ωL)2 (5.7.24) . (5.7.25) Hinweis: Sie bekommen als Zwischenergebnis eine Gleichung der Form (. . .) · sin ωt + (. . .) · cos ωt = 0 . (5.7.26) Damit diese Gleichung für alle Zeiten t erfüllt sein kann, müssen beide Klammern vor sin ωt und cos ωt gleich Null sein. © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 514 5. Versuche zur Elektrizitätslehre 5. für Physiker(innen): Stellen Sie eine Differentialgleichung für Spannung und Strom an einer Hintereinanderschaltung von Induktivität L, Kapazität C und ohmschem Widerstand R auf. Zeigen Sie, dass der komplexe Ansatz U (t) = U0 · eiωt , (5.7.27) I(t) = I0 · ei(ωt−ϕ) (5.7.28) eine Lösung darstellt und dass gilt: tan ϕ = 1 ωL − ωC R U0 =Z= I0 R2 , 2 1 + ωL − ωC (5.7.29) . (5.7.30) Wie erhält man aus den komplexen Größen die wirklichen“ Werte für Spannung ” und Strom? 6. für Physiker(innen): Beweisen Sie, dass der Messfehler minimal wird, wenn der Schleifkontakt nach dem Nullabgleich gerade in der Mitte des Drahtes liegt 7. für Physiker(innen): Warum wird die Messung der Induktivität ungenauer, wenn man den zusätzlichen Widerstand Rv nicht je nach Bedarf immer nur in einen der beiden Zweige schaltet, sondern ihn als Potentiometer betreibt (alle drei Anschlüsse werden gleichzeitig benutzt, wobei die äußeren Anschlüsse an die Spulen gelegt werden, während der Schleifkontakt des regelbaren Widerstandes am Kopfhörer angeschlossen wird)? 8. für Physiker(innen): Welche Bedeutung hat die spezielle Kreisfrequenz ω0 = √ 1 L·C (5.7.31) offenbar in Gleichung (5.7.30)? Ergänzende Informationen Historisches Im Jahr 1833 erkannte Sir Charles Wheatstone die Bedeutung der von Samuel Hunter Christie entwickelten und heute als wheatstonesche Brückenschaltung bekannten Schaltung zur Messung elektrischer Widerstände. Wie in vielen anderen Fällen ist also auch hier der Zusammenhang zwischen dem Namen einer Erfindung“ und dem Entdecker zweifelhaft. ” © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:tst@n] 515 Anwendung Die wheatstonesche Brückenschaltung wird in teilweise abgewandelter Form in der Praxis sehr häufig eingesetzt, wobei vor allem das Prinzip des Vergleichs von Verhältnissen immer wiederkehrt. Die zu vergleichenden Größen (Temperaturen, Drücke, Gaskonzentrationen, . . . ) werden dabei auf geeignete Weise in elektrische Spannungen übersetzt und dann mit Hilfe der Brückenschaltung verglichen. Verwendung von Kondensatoren und Spulen Nachdem im Praktikum öfter die Frage aufkommt, wozu man denn Spulen und Kondensatoren überhaupt brauchen kann, hier ein paar Beispiele: • In modernen Fahrradrücklichtern mit Standlichtfunktion wird meist ein Kondensator mit recht hoher Kapazität (typisch 1 F) eingesetzt, um die Energie für die Leuchtdioden zu speichern. Einige Vorteile im Vergleich zu einem Akkumulator sind: – schnelle Lademöglichkeit, da nicht durch chemische Prozesse begrenzt, – sehr häufiges Laden/Entladen möglich ohne Altern“ des Bauteils, ” – sehr schnelles Entladen, wenn man das Licht abschalten will, um nicht unnötig Langfinger auf ein abgestelltes Rad aufmerksam zu machen. Leider ist die Energiedichte nicht so groß wie bei einem Akkumulator, da nur“ ” elektrische und nicht chemische Energie gespeichert wird. • Das gleiche Prinzip wird in den elektronischen Fotoblitzgeräten verwendet. Für den Blitz muss innerhalb einer sehr kurzen Zeit eine große Energie zur Verfügung gestellt werden. Das bedeutet eine höhere Leistung, als sie einer Batterie entnommen werden kann.11 Man löst das Problem dadurch, dass man die Energie langsam“ bei hoher ” Spannung in einen Kondensator hineinbefördert und dann schnell abruft, indem man den Kondensator einfach über die Blitzröhre entlädt. • Lautsprecherweiche in HiFi-Boxen: Spulen und Kondensatoren sortieren“ auf” grund ihres frequenzabhängigen (Blind-)Widerstandes die verschieden hohen Frequenzen (Töne) zu den entsprechenden Einzellautsprechern eines Systems mit z. B. Hochtöner, Mitteltöner und Basslautsprecher/Subwoofer. • Filterschaltungen, die z. B. in Telekommunikationsgeräten (Handy, Radio, TV) die verschiedene Frequenzkomponenten ( Kanäle“) auftrennen, bestehen im Wesentli” chen aus Spulen und Kondensatoren. • Schaltungen zur Erzeugung von elektrischen Schwingungen, z. B. in einer Quartzuhr. In diesem Fall besteht der Kondensator aus einem auf zwei gegenüberliegenden 11 Die maximal entnehmbare Leistung ist durch den Innenwiderstand der Batterie begrenzt. © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 516 5. Versuche zur Elektrizitätslehre Seiten mit Elektroden versehenen Quartzkristall. Der Quartz bildet somit das Dielektrikum eines Plattenkondensators. Durch seine speziellen physikalischen Eigenschaften verknüpft er seine sehr präzise mechanische Resonanzschwingung mit einer elektrischen Schwingung, die von der nachfolgenden Schaltung ausgewertet wird. • Entstörkondensatoren“ schließen unerwünschte hochfrequente Signale kurz, die ” z. B. beim Öffnen eines Schalters entstehen, und verhindern so die Abstrahlung als elektromagnetische Wellen, die sonst andere Geräte (Radio, Telefon) stören könnten. • Drosselspulen begrenzen in vielen Schaltungen mit Leuchtstoffröhren den Strom durch die Röhre, ohne selbst allzu viel Wärme zu entwickeln, da sie einen größeren Blindwiderstand ωL als Wirkwiderstand R haben. • Entstördrosseln“ sind Spulen, die unerwünschte hochfrequente Signale unter” drücken sollen. Eine einfache Abwandlung findet man an vielen Computermonitorkabeln. Es handelt sich dabei um einen Ferritkern, der um das Anschlusskabel herumgelegt ist. Er wirkt als einfache Spule mit einer Windung, nämlich dem durch ihn hindurchführenden Kabel. Leistungsfaktor bei Wechselstrom Die in Gleichung (5.7.29) angegebene Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung im Wechselstromkreis ist in der Technik von großer Bedeutung und wird dort meist als Phasenwinkel“ bezeichnet. Zum Beispiel enthalten Elektromotoren als wesentliches ” Bauelement Spulen, die als Elektromagnete wirken. Dies führt dazu, dass Strom und Spannung nicht mehr in Phase sind. Durch das ständige Auf- und Abbauen der Magnetfelder pendeln größere Energiebeträge zwischen dem Elektrizitätswerk und dem Motor hin und her. Der Strom durch die Zuleitungen ist dann größer als es eigentlich zur Übertragung der Wirkleistung (Nutzleistung) nötig wäre. Es gilt: PW = Ueff · Ieff · cos ϕ , PB = Ueff · Ieff · sin ϕ (5.7.32) (5.7.33) mit PW = Wirkleistung, PB = Blindleistung, cos ϕ = Leistungsfaktor, ϕ = Phasenverschiebung, Ueff = Effektivwert der Wechselspannung, Ieff = Effektivwert des Wechselstroms. Der Wert für cos ϕ wird auf dem Typenschild großer Motoren üblicherweise angegeben. Ein typischer Wert ist cos ϕ ≈ 0.8. Der erhöhte Strom erzeugt natürlich in den Zuleitungen (auch den Hochspannungsfernleitungen) ohmsche Verluste, weil er diese aufheizt. © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr 5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:tst@n] 517 Dieser Effekt ist unerwünscht, denn er reduziert die Effizienz der Verteilung elektrischer Energie bzw. erzwingt dickere Leitungen. In jedem Fall verteuert sich die Nutzung. Daher wird insbesondere bei großen Motoren dafür gesorgt, dass durch geeignete Schaltungselemente der zum Aufbau der Magnetfelder benötigte Blindstrom“ direkt beim Motor ” erzeugt“ wird. Die einfachste Lösung hierfür ist das Parallelschalten eines Kondensa” tors geeigneter Kapazität (bei Drehstrommotoren je ein Kondensator für jede Phase). Die Spule im Elektromotor bildet mit dem Kondensator einen Schwingkreis (siehe auch Anleitung zum Versuch Elektrischer Schwingkreis“ in Abschnitt 5.8 auf Seite 519) und die ” Energie pendelt dann ständig ziwschen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule im Motor hin und her, ohne die Zuleitungen zu belasten. Man bezeichnet derartige Schaltungen oft als Phasenschieber“. ” Literaturhinweise Standardlehrbücher, z. B. [Gob74]. Literaturverzeichnis [BS85] Bronstein, I. N. und K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main, 22. Auflage, 1985. [Gob74] Gobrecht, Heinrich: Bergmann-Schaefer – Lehrbuch der Experimentalphysik, Band I: Mechanik, Akustik, Wärme. Walter de Gruyter, Berlin, 9. Auflage, 1974. © Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 244 , Date: 2013-04-26 09:37:19 +0200 (Fr, 26. Apr 2013) Gesamtversion: kompiliert am 10. Februar 2017 um 13:14 Uhr
