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Ziel
Bestimmung unbekannter ohmscher Widerstände, Kapazitäten und Induktivitäten durch
Vergleich mit Bauteilen, deren Werte bekannt sind. Verständnis für die Spannungs- und
Stromverhältnisse in einfachen Wechselstromkreisen.
Hinweise zur Vorbereitung
Die Antworten auf diese Fragen sollten Sie vor der Versuchdurchführung wissen. Sie sind
die Grundlage für das Gespräch mit Ihrer Tutorin/Ihrem Tutor vor dem Versuch. Informationen zu diesen Themen erhalten Sie in der unten angegebenen Literatur.
• Wie funktioniert die wheatstonesche Brückenschaltung und wozu wird sie verwendet?
• Wieso ist die Bestimmung von Widerständen mit der Brückenschaltung genauer als
einfach nur mit Multimeter?
• Wie lauten die kirchhoffschen Gesetze?
• Wie unterscheiden sich Wirk-, Blind- und Scheinwiderstand?
• Wovon hängt der Blindwiderstand eines Kondensator, bzw. einer Spule ab?
• Erläutern Sie die Phasenbeziehung zwischen Strom und Spannung bei sinusförmigem
Wechselstrom an Reihenschaltungen aus Wirkwiderstand R, Kondensator C und
Spule L.
• Wie können Wechselstromwiderstände anschaulich dargestellt werden?
Zubehör
• Drahtwiderstand der Länge l = 100 cm mit verschiebbarem Schleifkontakt und zwei
Skalen zur Ablesung der Position x des Kontaktes relativ zum linken Drahtende
x
sowie des Teilungsverhältnisses r = l−x
.
• Stöpselrheostat als bekannter Widerstand 1 Ω − 1111 Ω
• regelbarer Widerstand 0 Ω − 200 Ω
• Bauteile mit bekannten Werten:
– C1 = 4.66 μF
– L3 = 8.6 mH
• Bauteile mit unbekannten Werten:
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
– R1 , . . . , R5
– C2 , . . . , C7
– L1 , L2 , L4
• regelbares Gleichspannungsnetzgerät (Belastbarkeit entweder 15 V, 700 mA oder
30 V, 400 mA)
• Sinusgeneratoren für die Frequenzen f = 100 Hz, 1 kHz und 10 kHz mit regelbarer
Ausgangsamplitude 0 Vpp bis 10 Vpp (Das Zeichen Vpp bedeutet Volt von Spitze zu
”
Spitze“ und ist von engl. peak to peak abgeleitet.)
• Galvanometer mit Taster zum Umschalten auf eine höhere Empfindlichkeit
• Kopfhörer als Messinstrument (Nullinstrument) für Wechselspannungen
Grundlagen
Der ohmsche Widerstand eines Drahtes
Der ohmsche Widerstand R eines homogenen Drahtes nimmt mit steigender Länge l
linear zu und mit steigender Querschnittsfläche A linear ab. Er lässt sich folgendermaßen
berechnen:
R = ·
l
A
(5.7.1)
mit
= spezifischer Widerstand,
l = Länge des Drahtes,
A = Querschnittsfläche des Drahtes.
(5.7.2)
Wechselstromwiderstände
Für Gleichströme stellt ein Kondensator eine Unterbrechung mit unendlich hohem Widerstand dar, eine ideale Spule bedeutet einen Kurzschluss mit dem Widerstand null.
Für sinusförmige1 Wechselströme hingegen hängt das Verhältnis aus Spannungsamplitude und Stromamplitude in ähnlicher Weise von der Kapazität C bzw. der Induktivität
1
Ist der zeitliche Verlauf der angelegten Wechselspannung nicht sinusförmig, so kann man sich diese aus
sinusförmigen Anteilen unterschiedlicher Frequenz zusammengesetzt denken. Die jeweiligen Anteile
lassen sich mathematisch durch die sog. Fouriertransformation bestimmen. Die Antwort“ des Kon”
densators bzw. der Spule auf einen beliebigen Spannungsverlauf lässt sich dann entsprechend aus den
Antworten“ auf die einzelnen sinusförmigen Komponenten zusammensetzen. Es genügt also, diese
”
sinusförmigen Signale zu betrachten.
Ist der zeitliche Verlauf der Spannung nicht sinusförmig, so wird allerdings der zeitliche Verlauf
des Stroms eine andere Form aufweisen. Eine dreieckförmige“ Spannung führt z. B. zu einem recht”
”
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L ab, wie beim Gleichstrom vom ohmschen Widerstand. Man spricht daher auch von
Wechselstromwiderständen. Diese Widerstände werden allerdings nicht warm, wenn sie
vom Strom durchflossen werden. Elektrische Energie wird also nicht in Wärme umgewandelt. Daher kommt die Bezeichnung Blind widerstände“ im Gegensatz zum ohmschen
”
Wirk widerstand.
In der Literatur sind die folgenden Formelzeichen und Begriffe üblich:
• R: ohmscher Widerstand, Wirkwiderstand, Gleichstromwiderstand, Resistanz,
• X: Blindwiderstand, Wechselstromwiderstand, Reaktanz,
XL : induktiver Blindwiderstand einer Spule, Induktanz, (positiver Wert),
XC : kapazitiver Blindwiderstand eines Kondensators, Kapazitanz, (manchmal als
negativer Wert angegeben),
• Z: Scheinwiderstand, Impedanz.
Der Scheinwiderstand Z ist dabei der Gesamtwiderstand einer Schaltung aus mehreren
– auch unterschiedlichen – Bauteilen.
Wechselstromwiderstände hängen von der Kreisfrequenz ω des Wechselstroms ab und zwar
gilt:2
XL = ωL ,
1
,
XC =
ωC
Z=
R2
(5.7.4)
(5.7.5)
1
+ ωL −
ωC
2
.
(5.7.6)
Anschauliche Erklärung des Wechselstromwiderstandes eines Kondensators
Oft kommt es zu Unklarheiten und Missverständnissen über den Grund“, warum die
”
Stromstärke im Wechselstromkreis von der Größe des Kondensators und der Frequenz
abhängt.3 Dabei ist der Vorgang im Grunde einfach zu verstehen.
Deshalb hier eine – nicht ganz wörtlich zu nehmende – Analogie. Wir vergleichen den
Wechselstrom durch einen Kondensator mit dem Verkehrsaufkommen auf den Zufahrtsstraßen zur Fähre zwischen Konstanz und Meersburg. Die Parkplätze an beiden Fährhäfen
eckförmigen“ Strom durch einen Kondensator, wie man sich leicht überlegen kann, denn für diesen
Fall gilt ja:
I(t) =
dQ(t)
d(C · U (t))
dU (t)
=
=C·
dt
dt
dt
.
(5.7.3)
2
Da außerdem eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung auftritt, werden die Widerstände
oft als komplexe Größen geschrieben. Eine ausführliche Darstellung hierzu finden Sie bei der Anleitung
zum Versuch Schwingungssiebe“ in Abschnitt 5.9 ab der Seite 534.
”
3
Eine weit verbreitete obwohl falsche Vorstellung ist z. B., dass der Aufladevorgang des Kondensators
irgendwie dafür verantwortlich wäre, weil der Kondensator immer erst Zeit braucht, um sich auf”
zuladen“. Auch die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung wird manchmal irrtümlich
genannt.
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
entsprechen den Kondensatorplatten. Sie speichern Fahrzeuge an Stelle der Elektronen
(Ladung Q). Die Kapazität C entspricht dann der Größe der Parkplätze. Die Zahl der
aufgenommenen Fahrzeuge (Ladung Q) ergibt sich daraus durch Multiplikation mit der
Packungsdichte (Spannung U ). Zwischen den Kondensatorplatten soll sich ein Isolator befinden, d. h. wir nehmen an, dass die Fähre ausnahmsweise nicht in Betrieb ist, so dass kein
Transport über den Bodensee möglich ist. Wollen nun ausschließlich Fahrzeuge von Meersburg nach Konstanz (Gleichspannung), so wird sich zunächst der Parkplatz in Meersburg
füllen ( aufladen“) und dann wird der Vorgang zum Stillstand kommen. Das Verkehrs”
aufkommen (Strom I) ist dann Null. Schickt man aber die Fahrzeuge auf dem Weg um
den See herum immer abwechselnd nach Konstanz und Meersburg (Wechselspannung), so
werden die Anwohner an den Zufahrtsstraßen durchaus ein Verkehrsaufkommen registrieren. Die Höhe des mittleren Verkehrsaufkommens ( Fahrzeuge pro Zeit“ entsprechend der
”
mittleren Stromstärke I = Ladung pro Zeit“) ist dabei einerseits proportional zur Zahl
”
der beteiligten Fahrzeuge (und daher zur Größe der Parkplätze und zur Packungsdichte),
andererseits auch zur Häufigkeit des Hin- und Herfahrens (Frequenz f ). Hier noch einmal
tabellarisch zusammengefasst die einander entsprechenden Größen:
Verkehrsmodell
Stromkreis mit Kondensator
Größe der Parkplätze
Kapazität C
Zahl der Fahrzeuge
Ladung Q
Packungsdichte
Spannung U
Häufigkeit des Hin- und Herfahrens Frequenz f =
Verkehrsaufkommen
Strom I
ω
2π
Mit dieser Erläuterung sollten die Gleichungen
I ∝ C ·U ·f =
=⇒
U
1
f ·C
U
1
∝
I
f ·C
(5.7.7)
(5.7.8)
unmittelbar einleuchten. Bis auf den Faktor 2π haben wir so tatsächlich bereits den Ausdruck 2πf1· C für den kapazitiven Blindwiderstand aus Gleichung (5.7.5) hergeleitet.
Um den noch fehlenden Proportionalitätsfaktor zu berechnen, muss man den Betrag einer Sinusfunktion zeitlich mitteln. Dies trägt aber zum prinzipiellen Verständnis nicht
wesentlich bei.
Die kirchhoffschen Gesetze
Fast alle elektrischen Schaltungen enthalten Verzweigungen. Die einzelnen Bauelemente und Verbindungen bilden sog. Maschen“.4 Eine wichtige Aufgabe ist nun, in einem
”
solchen Stromkreis Spannungen und Ströme zu berechnen.
Gustav Kirchhoff hat dazu für den Fall stationärer Strom- und Spannungsverhältnisse
zwei Gesetze formuliert, durch deren Anwendung diese Aufgabe eindeutig lösbar ist:
4
Darunter versteht man die kleinsten ringfömig geschlossenen Strompfade in der Schaltung.
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'
• 1. kirchhoffsches Gesetz ( Knotenregel“):
”
In einem Verzweigungspunkt ( Knoten“) ist die Summe der zufließenden Ströme
”
gleich der Summe der abfließenden Ströme.5
$
• 2. kirchhoffsches Gesetz ( Maschenregel“):
”
Die Summe der Spannungen über den Widerständen einer Masche ist gleich der
Gesamtspannung der Spannungsquellen in dieser Masche.6
&
%
Bei einer Parallelschaltung von Widerständen nach Abbildung 5.7.1 gelten demnach die
folgenden Gesetze“:
”
1. Der Strom in den Zuleitungen ist gleich der Summe der Ströme in den einzelnen
Zweigen.
2. Die Ströme in den einzelnen Zweigen verhalten sich umgekehrt zueinander wie die
Widerstände der Zweige.7
In Formeln also
I = I1 + I2
R2
I1
=
.
I2
R1
,
(5.7.11)
(5.7.12)
Strom-/Spannungsfehlerschaltung bei der Bestimmung von Widerständen
Man kann den Wert R eines ohmschen Widerstandes prinzipiell nach dem ohmschen
Gesetz
U = R·I
(5.7.13)
5
Dieses Gesetz ist eigentlich nur eine andere Formulierung für den Erhaltungssatz der Ladung. Alle
zufließenden Ladungen müssen wieder abfließen, denn wenn sie sich am Knoten ansammeln würden,
hätte dies eine Änderung der Spannungsverhältnisse zur Folge, was wir ja gerade ausgeschlossen haben.
6
Es gibt verschiedene gleichwertige Formulierungen dieses Gesetzes“. Statt Summe der Spannun”
”
gen über den Widerständen“ liest man oft Summe der Spannungsabfälle über den Widerständen“.
”
Manchmal spricht man von der Summe der durch die Spannungsquellen eingeprägten Spannungen“.
”
Auch die explizite Erwähnung der inneren Widerstände der Spannungsquellen kommt gelegentlich
vor, obwohl es für das Ergebnis egal ist, ob ein Widerstand in der Spannungsquelle oder außerhalb
von ihr liegt. Die physikalische Aussage ändert sich dadurch natürlich nicht.
7
Da in der Masche keine Spannungsquellen vorhanden sind, müssen die Spannungen über den einzigen
beiden Bauelementen gleich sein. Durchläuft man die gesamte Masche einmal im Kreis herum, so wird
die Spannung an einem Widerstand positiv und die am anderen Widerstand negativ gezählt, weil man
einmal in Stromrichtung läuft, das andere Mal entgegen der Stromrichtung. Dadurch erhält man die
Gesamtspannung null in der Masche, wie es dem 2. kirchhoffschen Gesetz entspricht. Es gilt also:
U 1 = R1 · I 1 = R2 · I 2 = U 2
I1
R2
=⇒
=
.
I2
R1
(5.7.9)
(5.7.10)
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
Abbildung 5.7.1.: Parallelschaltung von Widerständen.
aus dem Verhältnis von Spannung U und Strom I bestimmen. Bei der praktischen Messung
ergibt sich allerdings doch eine gewisse Schwierigkeit, weil die normalerweise verwendeten
Messinstrumente nicht ohne Einfluss auf die Spannungen und Ströme im Stromkreis sind.
Ein übliches Multimeter hat einen sog. Innenwiderstand Ri , d. h. sobald eine Spannung
angelegt wird, fließt ein dazu proportionaler Strom durch das Messgerät. Zwar ist dieser
Innenwiderstand für Spannungsmessgeräte relativ hoch und für Strommessgeräte relativ
niedrig, aber eben doch in beiden Fällen nicht vernachlässigbar.
Man hat nun im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, Strom und Spannung gleichzeitig zu
messen, die in den Abbildungen 5.7.2 und 5.7.3 dargestellt sind. Im ersten Fall wird die
Spannung am Widerstand korrekt gemessen, allerdings zeigt das Strommessgerät nicht
nur den Strom durch den Widerstand an, sondern die Summe aus den Strömen durch
den Widerstand und durch das Spannungsmessgerät. Man nennt diese Schaltung daher
Stromfehlerschaltung“ und erhält systematisch zu niedrige Werte für R. Im zweiten Fall
”
wird der Strom korrekt gemessen, dafür ist die Spannung etwas zu hoch, nämlich um
die Spannung, die am Strommessgerät anliegt ( abfällt“). Diese Schaltung heißt daher
”
Spannungsfehlerschaltung“. Sie liefert systematisch zu hohe Werte für R.
”
Je nachdem, welchen Wert der zu messende Widerstand im Verhältnis zu den Innenwiderständen hat, liefert die eine oder andere Schaltung ein genaueres Ergebnis. Ganz
vermeiden lässt sich der Fehler allerdings nur dann, wenn der Strom durch die Messgeräte
völlig verschwindet. Dies kann tatsächlich mit Hilfe der als wheatstonesche Brücken”
schaltung“ bekannten Anordung (siehe Abbildung 5.7.4) erreicht werden.
Die Brückenschaltung
Die Abbildungen 5.7.4, 5.7.5 und 5.7.6 zeigen die wheatstoneschen Brückenschaltungen
zur Bestimmung von ohmschen Widerständen, Kapazitäten und Induktivitäten.
Die Messung erfolgt so, dass bei angeschlossener Spannungsquelle die Stellung des Schleifkontaktes so lange verändert wird, bis die Spannungsdifferenz zwischen den Punkten C
und D verschwindet, ein zwischen diese Punkte geschaltetes Messinstrument also keinen
Ausschlag mehr zeigt.8 Als Spannungsquelle kann für ohmsche Widerstände ein Gleich8
Eine Skala ist hierfür gar nicht notwendig.
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Abbildung 5.7.2.: Stromfehlerschaltung bei der Bestimmung von Widerständen.
Abbildung 5.7.3.: Spannungsfehlerschaltung bei der Bestimmung von Widerständen.
spannungsnetzgerät (bzw. eine Batterie) verwendet werden, für Kapazitäten und Induktivitäten kommt nur eine Wechselspannungsquelle in Frage. Als Messinstrument dient
entweder ein Zeigerinstrument (hier mit Taster zum Umschalten auf eine höhere Empfindlichkeit) oder (natürlich nur bei Wechselspannung passender Frequenz im Hörbereich
des menschlichen Ohres) auch ein Kopfhörer.
Ist diese Position gefunden, so gilt nach den kirchhoffschen Gesetzen
für ohmsche Widerstände:
Rx
x
=
R
l−x
=⇒
Rx = R ·
x
l−x
(5.7.14)
,
(5.7.15)
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
Abbildung 5.7.4.: Wheatstonesche Brückenschaltung zur Bestimmung ohmscher Widerstände.
Abbildung 5.7.5.: Wheatstonesche Brückenschaltung zur Bestimmung von Kapazitäten
(bzw. kapazitiven Blindwiderständen). Der als Nullinstrument dienende Kopfhörer ist durch das Schaltsymbol für einen Lautsprecher dargestellt.
für kapazitätive Widerstände bzw. Kapazitäten:
1
ωCx
1
ωC
=⇒
x
l−x
l−x
Cx = C ·
x
=
(5.7.16)
(5.7.17)
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Abbildung 5.7.6.: Wheatstonesche Brückenschaltung zur Bestimmung von Induktivitäten (bzw. induktiven Blindwiderständen). Die realen Spulen sind
aus Draht gewickelt und weisen daher neben der reinen Induktivität
L unvermeidlicherweise auch einen ohmschen Widerstand R auf. Sie
werden hier durch ihr Ersatzschaltbild dargestellt, also durch eine Hintereinanderschaltung aus L und R.
Der zusätzliche regelbare Widerstand Rv kann je nach Bedarf entweder
in den linken oder in den rechten Zweig geschaltet werden und dient
dazu, das Verhältnis L/R und damit die Phasenverschiebung zwischen
Strom und Spannung in beiden Zweigen gleich zu machen. Ohne diesen
Widerstand wäre zwar auch ein Minimum der Lautstärke im Kopfhörer
zu erzielen, allerdings wäre das Minimum u. U. deutlich von null verschieden und weniger genau einstellbar.
und für induktive Widerstände bzw. Induktivitäten:
=⇒
x
ωLx
=
ωL
l−x
x
Lx = L ·
l−x
(5.7.18)
.
(5.7.19)
Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom
Bei der Bestimmung von Induktivitäten ist es vielleicht nicht unbedingt sofort klar, wie
für beide Spulen
die Spannungs- und Stromverhältnisse sind. Wichtig ist, dass tan α = ωL
R
auf den gleichen Wert gebracht wird. Die Spannung ist dann in jeder LR-Kombination
in Phase mit der Spannung am ohmschen Widerstand. Das kann man sich am Zeigerdiagramm klarmachen.9 Dieses Ziel ist nur durch Einfügen eines zusätzlichen ohmschen
9
Auch die Ströme in den beiden oberen Zweigen sind dann untereinander in Phase, wobei sie phasenverschoben verlaufen zu den Strömen in den unteren Zweigen, in denen nur der Widerstandsdraht
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
Widerstandes zu erreichen, denn ohmsche Widerstände kann man nicht wie Blindwiderstände kompensieren, sie sind stets positiv. Bei Messungen an Kondensatoren tritt
dieses Problem nicht in Erscheinung, weil die ohmschen Widerstände gegenüber den kapazitiven Widerständen vernachlässigt werden können (relativ kleine C, relativ kleine
ω).
Versuchsdurchführung
1. Bestimmen Sie für jeweils mindestens drei verschiedene ohmsche Widerstände Rn ,
Kapazitäten Cn und Induktivitäten Ln jeweils die Stellung x des Schleifkontaktes,
in der die Spannungsdifferenz zwischen den Punkten C und D verschwindet.
Wiederholen Sie jede Messung insgesamt fünf Mal, um eine statistische Aussage
über die Zuverlässigkeit der Messwerte machen zu können.
Hinweise:
• Versuchen Sie bei den Messungen mit den ohmschen Widerständen den bekannten Widerstand jeweils so zu wählen, dass die Endposition des Schleifkontaktes etwa in der Mitte des Schleifdrahtes liegt, weil so der Messfehler
minimiert wird (siehe Aufgabenteil).
• Vergessen Sie nicht den regelbaren ohmschen Phasenausgleichswiderstand bei
den Messungen mit den Spulen.
Auswertung
1. Bestimmen Sie aus Ihren Messdaten die Werte aller untersuchten unbekannten
ohmschen Widerstände Rn , Kapazitäten Cn und Induktivitäten Ln .
Fragen und Aufgaben
1. Messbereichserweiterung“:
”
Sie haben ein Spannungsmessgerät ( Voltmeter“), das bei einer Spannung von 1 V
”
Vollausschlag anzeigt und einen Innenwiderstand von Ri = 100 kΩ besitzt.10 Weiterhin steht Ihnen ein Sortiment verschiedenster ohmscher Widerstände zur Verfügung.
Wie können Sie damit den Messbereich so erweitern, dass eine Spannung von 100 V
gerade Vollausschlag ergibt?
2. Leiten Sie mit Hilfe der kirchhoffschen Gesetze her, dass
a) bei einer Reihenschaltung ( Hintereinanderschaltung“) von Widerständen der
”
Gesamtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände ist, und dass
liegt. Der Kopfhörer bleibt bei richtiger Stellung des Schleifkontaktes still, denn er sieht“ ja keine
”
Spannungsdifferenz zwischen seinen Anschlüssen.
10
Man kann sich ein reales Voltmeter vorstellen als Parallelschaltung aus einem idealen Spannungsmessgerät (mit unendlich hohem Widerstand) und einem ohmschen Innenwiderstand“ Ri .
”
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b) bei einer Parallelschaltung von Widerständen der Kehrwert des Gesamtwiderstandes gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände ist.
3. Stellen Sie die Wechselstromwiderstände in der komplexen Ebene dar und diskutieren Sie die Bedeutung des Phasenausgleichswiderstandes“ Rv in der komplexen
”
Widerstandsebene.
4. für alle Studiengänge außer Physik: Betrachten Sie einen Wechselstromkreis
mit einer idealen Induktivität L und einem dazu in Reihe geschalteten ohmschen
Widerstand R (das ergibt insgesamt das Ersatzschaltbild für eine reale Spule). Dann
gilt
U (t) = L ·
dI(t)
+ R · I(t)
dt
(5.7.20)
und für die sinusförmige Spannung
U (t) = U0 · sin(ωt)
(5.7.21)
ergibt sich ein dazu um ϕ phasenverschobener Strom
I(t) = I0 · sin(ωt − ϕ) .
(5.7.22)
Setzt man die Gleichungen (5.7.21) und (5.7.22) in Gleichung (5.7.20) ein, so erhält
man
U0 · sin(ωt) = L ω I0 · cos(ωt − ϕ) + R I0 · sin(ωt − ϕ) .
(5.7.23)
Zeigen Sie durch Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme (siehe Abschnitt E.2.2 auf Seite 781 oder einschlägige Formelsammlungen wie z. B. [BS85])
und anschließendes Sortieren der Glieder mit den Faktoren sin ωt bzw. cos ωt, dass
folgende Beziehungen gelten müssen:
tan ϕ =
U0
=
I0
ωL
R
,
R2 + (ωL)2
(5.7.24)
.
(5.7.25)
Hinweis: Sie bekommen als Zwischenergebnis eine Gleichung der Form
(. . .) · sin ωt + (. . .) · cos ωt = 0 .
(5.7.26)
Damit diese Gleichung für alle Zeiten t erfüllt sein kann, müssen beide Klammern
vor sin ωt und cos ωt gleich Null sein.
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
5. für Physiker(innen): Stellen Sie eine Differentialgleichung für Spannung und
Strom an einer Hintereinanderschaltung von Induktivität L, Kapazität C und
ohmschem Widerstand R auf. Zeigen Sie, dass der komplexe Ansatz
U (t) = U0 · eiωt
,
(5.7.27)
I(t) = I0 · ei(ωt−ϕ)
(5.7.28)
eine Lösung darstellt und dass gilt:
tan ϕ =
1
ωL − ωC
R
U0
=Z=
I0
R2
,
2
1
+ ωL −
ωC
(5.7.29)
.
(5.7.30)
Wie erhält man aus den komplexen Größen die wirklichen“ Werte für Spannung
”
und Strom?
6. für Physiker(innen): Beweisen Sie, dass der Messfehler minimal wird, wenn der
Schleifkontakt nach dem Nullabgleich gerade in der Mitte des Drahtes liegt
7. für Physiker(innen): Warum wird die Messung der Induktivität ungenauer, wenn
man den zusätzlichen Widerstand Rv nicht je nach Bedarf immer nur in einen der
beiden Zweige schaltet, sondern ihn als Potentiometer betreibt (alle drei Anschlüsse
werden gleichzeitig benutzt, wobei die äußeren Anschlüsse an die Spulen gelegt werden, während der Schleifkontakt des regelbaren Widerstandes am Kopfhörer angeschlossen wird)?
8. für Physiker(innen): Welche Bedeutung hat die spezielle Kreisfrequenz
ω0 = √
1
L·C
(5.7.31)
offenbar in Gleichung (5.7.30)?
Ergänzende Informationen
Historisches
Im Jahr 1833 erkannte Sir Charles Wheatstone die Bedeutung der von Samuel
Hunter Christie entwickelten und heute als wheatstonesche Brückenschaltung bekannten Schaltung zur Messung elektrischer Widerstände.
Wie in vielen anderen Fällen ist also auch hier der Zusammenhang zwischen dem Namen
einer Erfindung“ und dem Entdecker zweifelhaft.
”
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Anwendung
Die wheatstonesche Brückenschaltung wird in teilweise abgewandelter Form in der Praxis sehr häufig eingesetzt, wobei vor allem das Prinzip des Vergleichs von Verhältnissen
immer wiederkehrt. Die zu vergleichenden Größen (Temperaturen, Drücke, Gaskonzentrationen, . . . ) werden dabei auf geeignete Weise in elektrische Spannungen übersetzt und
dann mit Hilfe der Brückenschaltung verglichen.
Verwendung von Kondensatoren und Spulen
Nachdem im Praktikum öfter die Frage aufkommt, wozu man denn Spulen und Kondensatoren überhaupt brauchen kann, hier ein paar Beispiele:
• In modernen Fahrradrücklichtern mit Standlichtfunktion wird meist ein Kondensator mit recht hoher Kapazität (typisch 1 F) eingesetzt, um die Energie für die
Leuchtdioden zu speichern. Einige Vorteile im Vergleich zu einem Akkumulator
sind:
– schnelle Lademöglichkeit, da nicht durch chemische Prozesse begrenzt,
– sehr häufiges Laden/Entladen möglich ohne Altern“ des Bauteils,
”
– sehr schnelles Entladen, wenn man das Licht abschalten will, um nicht unnötig
Langfinger auf ein abgestelltes Rad aufmerksam zu machen.
Leider ist die Energiedichte nicht so groß wie bei einem Akkumulator, da nur“
”
elektrische und nicht chemische Energie gespeichert wird.
• Das gleiche Prinzip wird in den elektronischen Fotoblitzgeräten verwendet. Für den
Blitz muss innerhalb einer sehr kurzen Zeit eine große Energie zur Verfügung gestellt
werden. Das bedeutet eine höhere Leistung, als sie einer Batterie entnommen werden
kann.11 Man löst das Problem dadurch, dass man die Energie langsam“ bei hoher
”
Spannung in einen Kondensator hineinbefördert und dann schnell abruft, indem
man den Kondensator einfach über die Blitzröhre entlädt.
• Lautsprecherweiche in HiFi-Boxen: Spulen und Kondensatoren sortieren“ auf”
grund ihres frequenzabhängigen (Blind-)Widerstandes die verschieden hohen Frequenzen (Töne) zu den entsprechenden Einzellautsprechern eines Systems mit z. B.
Hochtöner, Mitteltöner und Basslautsprecher/Subwoofer.
• Filterschaltungen, die z. B. in Telekommunikationsgeräten (Handy, Radio, TV) die
verschiedene Frequenzkomponenten ( Kanäle“) auftrennen, bestehen im Wesentli”
chen aus Spulen und Kondensatoren.
• Schaltungen zur Erzeugung von elektrischen Schwingungen, z. B. in einer Quartzuhr. In diesem Fall besteht der Kondensator aus einem auf zwei gegenüberliegenden
11
Die maximal entnehmbare Leistung ist durch den Innenwiderstand der Batterie begrenzt.
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5. Versuche zur Elektrizitätslehre
Seiten mit Elektroden versehenen Quartzkristall. Der Quartz bildet somit das Dielektrikum eines Plattenkondensators. Durch seine speziellen physikalischen Eigenschaften verknüpft er seine sehr präzise mechanische Resonanzschwingung mit einer
elektrischen Schwingung, die von der nachfolgenden Schaltung ausgewertet wird.
• Entstörkondensatoren“ schließen unerwünschte hochfrequente Signale kurz, die
”
z. B. beim Öffnen eines Schalters entstehen, und verhindern so die Abstrahlung als
elektromagnetische Wellen, die sonst andere Geräte (Radio, Telefon) stören könnten.
• Drosselspulen begrenzen in vielen Schaltungen mit Leuchtstoffröhren den Strom
durch die Röhre, ohne selbst allzu viel Wärme zu entwickeln, da sie einen größeren
Blindwiderstand ωL als Wirkwiderstand R haben.
• Entstördrosseln“ sind Spulen, die unerwünschte hochfrequente Signale unter”
drücken sollen. Eine einfache Abwandlung findet man an vielen Computermonitorkabeln. Es handelt sich dabei um einen Ferritkern, der um das Anschlusskabel
herumgelegt ist. Er wirkt als einfache Spule mit einer Windung, nämlich dem durch
ihn hindurchführenden Kabel.
Leistungsfaktor bei Wechselstrom
Die in Gleichung (5.7.29) angegebene Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom und Spannung im Wechselstromkreis ist in der Technik von großer Bedeutung und wird dort meist
als Phasenwinkel“ bezeichnet. Zum Beispiel enthalten Elektromotoren als wesentliches
”
Bauelement Spulen, die als Elektromagnete wirken. Dies führt dazu, dass Strom und Spannung nicht mehr in Phase sind. Durch das ständige Auf- und Abbauen der Magnetfelder
pendeln größere Energiebeträge zwischen dem Elektrizitätswerk und dem Motor hin und
her. Der Strom durch die Zuleitungen ist dann größer als es eigentlich zur Übertragung
der Wirkleistung (Nutzleistung) nötig wäre. Es gilt:
PW = Ueff · Ieff · cos ϕ ,
PB = Ueff · Ieff · sin ϕ
(5.7.32)
(5.7.33)
mit
PW = Wirkleistung,
PB = Blindleistung,
cos ϕ = Leistungsfaktor,
ϕ = Phasenverschiebung,
Ueff = Effektivwert der Wechselspannung,
Ieff = Effektivwert des Wechselstroms.
Der Wert für cos ϕ wird auf dem Typenschild großer Motoren üblicherweise angegeben.
Ein typischer Wert ist cos ϕ ≈ 0.8. Der erhöhte Strom erzeugt natürlich in den Zuleitungen (auch den Hochspannungsfernleitungen) ohmsche Verluste, weil er diese aufheizt.
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5.7 Wheatstonesche Brücke — ["wI:[email protected]]
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Dieser Effekt ist unerwünscht, denn er reduziert die Effizienz der Verteilung elektrischer
Energie bzw. erzwingt dickere Leitungen. In jedem Fall verteuert sich die Nutzung. Daher
wird insbesondere bei großen Motoren dafür gesorgt, dass durch geeignete Schaltungselemente der zum Aufbau der Magnetfelder benötigte Blindstrom“ direkt beim Motor
”
erzeugt“ wird. Die einfachste Lösung hierfür ist das Parallelschalten eines Kondensa”
tors geeigneter Kapazität (bei Drehstrommotoren je ein Kondensator für jede Phase). Die
Spule im Elektromotor bildet mit dem Kondensator einen Schwingkreis (siehe auch Anleitung zum Versuch Elektrischer Schwingkreis“ in Abschnitt 5.8 auf Seite 519) und die
”
Energie pendelt dann ständig ziwschen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem
magnetischen Feld der Spule im Motor hin und her, ohne die Zuleitungen zu belasten.
Man bezeichnet derartige Schaltungen oft als Phasenschieber“.
”
Literaturhinweise
Standardlehrbücher, z. B. [Gob74].
Literaturverzeichnis
[BS85]
Bronstein, I. N. und K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik.
Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main, 22. Auflage, 1985.
[Gob74] Gobrecht, Heinrich: Bergmann-Schaefer – Lehrbuch der Experimentalphysik,
Band I: Mechanik, Akustik, Wärme. Walter de Gruyter, Berlin, 9. Auflage, 1974.
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