Anhang: Funktionen

Kardinalzahlen, Mächtigkeit
Anhang: Funktionen
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Klaus Schindler
athemat ik
t
ehrs ab
Universität des Saarlandes
Fakultät 1
ML
http://www.mathe.wiwi.uni-sb.de
Advanced Quantitative Methods for Economists
WS 2014/2015
Klaus Schindler
Kapitel 4
Kardinalzahlen, Mächtigkeit
Satz A.1
a) Eine Menge E heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl n
und eine bijektive Abbildung f : {1, 2, . . . , n} → E gibt.
n heißt die Anzahl der Elemente von E .
b) Zwei endliche Mengen M und N haben genau dann die gleiche
Zahl von Elementen, wenn es eine bijektive Abbildung
f : M → N gibt.
Klaus Schindler
Kapitel 4
Kardinalzahlen, Mächtigkeit
Definition A.2
Zwei Mengen M und N haben die gleiche Kardinalzahl
(Mächtigkeit, Kardinalität) bzw. sind gleich mächtig,
wenn es eine bijektive Abbildung von M nach N gibt.
Man schreibt Card(M) = Card(N) oder |M| = |N|.
Klaus Schindler
Kapitel 4
Kardinalzahlen, Mächtigkeit
Bemerkung A.3
i) M ∼ N :⇐⇒ |M| = |N| definiert eine Äquivalenzrelation.
Card(M) ist definiert als Äquivalenzklasse [M] bezüglich ∼.
Endliche Kardinalzahlen bezeichnen wir mit natürlichen Zahlen
0, 1, 2, . . . , n, n+1, . . . ,
wobei n angibt, wie viele Elemente die Menge enthält. Die
unendlichen Kardinalzahlen werden mit
ℵ0 , ℵ1 , ℵ2 , . . .
N
notiert, wobei ℵ0 = | |.
ii) Menge M ist genau dann unendlich, wenn es eine bijektive
Abbildung von M auf eine echte Teilmenge M 0 ( M gibt.
M ist genau dann endlich, wenn M nicht unendlich ist.
Klaus Schindler
Kapitel 4
Kardinalzahlen, Mächtigkeit
Definition A.4
Eine Menge M heißt abzählbar oder abzählbar unendlich,
wenn ihre Mächtigkeit gleich ℵ0 ist, d.h. wenn es eine
bijektive Abbildung f : → M gibt.
N
Eine nicht endliche und nicht abzählbare Menge heißt
überabzählbar oder überabzählbar unendlich.
Klaus Schindler
Kapitel 4