B, C, K, L

VL 4.11.08
Beispiele:
E = { A, B, C, D} z.B. Menge aller Studenten der Uni Erfurt, die auch aus Erfurt
stammen
A = { B, C, K, L} Menge der Studenten, die mit dem Auto zur Uni kommen
S = { A, D, E, F} Menge der Studenten, die Mit der Straßenbahn zur Uni
kommen
E ∩ A = { B, C} Studenten aus Erfurt, die mit dem Auto kommen
E ∩ S = { A, D} Studenten aus Erfurt, die mit der Straßenbahn kommen
E ∪ A = { A, B, C, D, K, L} Studenten die aus Erfurt sind oder mit dem Auto
kommen
E \ S = { B, C} Studenten aus Erfurt, die nicht mit der Straßenbahn kommen
_
E = Menge aller Studenten der Uni Erfurt, die nicht aus Erfurt stammen (wenn
die Grundmenge die Menge aller Studenten der Uni ist)
Produktmenge:
Die Produktmenge A x B der Mengen A und B ist die Menge der geordneten Paare
(a, b), deren erstes Element in A und deren zweites Element in B enthalten sind.
A x B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
Bsp: A = {a, b, c}
B = {1, 2}
A x B = {(a, 1); (a, 2); (b, 1); (b, 2); (c, 1); (c, 2)}
Potenzmenge:
Die Potenzmenge ℘(M ) ist die Menge aller Teilmengen von M.
℘(M ) = {N| N ⊆ M}
Bsp: M = {1, 2}
℘(M ) = { ∅ ,{1},{2},{1, 2}}
Die Elemente der Potenzmenge sind jetzt selbst Mengen.
Wenn man bei der Mengenbildung zu sorglos vorgeht ergeben sich Schwierigkeiten;
z.B. die
Russelsche Antinomie (Bertrand Russel 1872- 1970):
Definition: Sei M die Menge aller Mengen die sich nicht selbst als Element enthalten.
Ist M selbst Element von M oder nicht?
1. Fall M ∈ M, dann darf M aber nicht in M sein, laut Definition von M.
2. Fall M ∉ M, dann muss M aber in M sein nach Definition.
D.h. es ergibt sich in jedem Fall ein Widerspruch
Mächtigkeit von Mengen
Gleichmächtigkeit
Def1: Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine eineindeutige
Abbildung von A auf B gibt. Man schreibt A ~ B (A ist gleichmächtig B).
|A| = Mächtigkeit von A.
Bei endlichen Mengen gibt die Mächtigkeit die Anzahl der Elemente an.
Bsp: M = {1, 2, 3}
A = {♣,♥,•}
B = {a, b, c, d, e, f, g}
|M| = 3
|A| = 3
|B| = 7
A~M
Def2: Eine Menge M heißt endlich, wenn es keine echte Teilmenge N von M gibt, die
gleichmächtig zu M ist.
⇒ M heißt unendlich, wenn es eine echte Teilmenge N gibt mit N ~M.
Bsp1: M = IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
N = 2⋅ IN = {0, 2, 4, 6, 8, 10, …};
N ⊂ M echt, da z.B. 1 ∈ M aber 1 ∉ N
ϕ(x) = 2⋅x ist eine eineindeutige Abbildung von M auf N,
also M ~ N
⇒ IN ist unendlich
Bsp2: Q+ gebrochene Zahlen = nichtnegative rationale Zahlen
M = Q+
N = IN
N ⊂ M echt, da jede nat. Zahl auch eine rationale Zahl ist und es
1
rationale Zahlen gibt, die nicht natürlich sind, z.B. .
2
ϕ : 1. Cantorsches Diagonalverfahren
(Georg Cantor 1845-1918)
1
1
2
1
3
1
.
.
.
1
2
2
2
3
2
1
3
2
3
3
3
1
L
4
2
L
4
3
L
4
Eine mögliche Zählweise:
1.-> 2.
5.-> 6.
11. -> ...
/
/
/
/
/
/
/
/
3. (-)
7. (-)
| /
/
/
| /
/
/
4.
8. (-)
/
/
/
/
9. (-)
|
/
| /
10.
So werden alle rationalen Zahlen durchnummeriert
d.h. ϕ ist eine eineindeutige Abbildung von IN auf Q+, also ist M ~ N
⇒ Q+ ist unendlich
Vergleich von Mächtigkeiten
Def1: |A| < |B|, wenn es eine echte Teilmenge B’ von B gibt, so dass A
gleichmächtig zu B’ und A nicht gleichmächtig zu B ist.
Bsp: A = {1, 2, 3} und
B = {a, b, c, d}; dann gibt es B’ ⊂ B, mit B’ = {a, b, c} und
A ~ B’ und A ist nicht gleichmächtig zu B, da keine eineindeutige Abbildung
von A auf B existiert (bei jeder „eineindeutigen“ Abbildung von A auf B würde
ein Element von B übrigbleiben.)
also ist |A| < |B|
(oder |A| = 3; |B| = 4 und 3 < 4
|B’| = 3)
Def2: Eine Menge heißt abzählbar (unendlich), wenn sie gleichmächtig zur Menge
der natürlichen Zahlen IN ist.
|IN| = ℵ0
Aleph Null = Mächtigkeit der abzählbar unendlichen Mengen
Mächtigkeit der natürlichen Zahlen
(ℵ0 ist die kleinste transfinite Kardinalzahl, ein „Symbol für Unendlich“; es
ergeben sich seltsame Rechenregeln
z.B. ℵ0 + 1 = ℵ0
Hiberts Hotel 1;
David Hilbert 1862-1943
oder ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 Hilberts Hotel 2
die nächste transfinite Kardinalzahl ist ℵ1)
Cantorscher Teilmengensatz:
Zu jeder Menge M gibt es eine Menge mit größerer Mächtigkeit, die
Potenzmenge ℘(M).
Bew: Für endliche Mengen |M| = n ⇒ |℘(M)| = 2n
leicht mit vollständiger Induktion
Für unendliche Mengen von Cantor bewiesen
|IN| = ℵ0
|℘(IN)| = 2ℵ0
Satz: Die Menge der reellen Zahlen IR ist überabzählbar unendlich, (d.h. es gibt
„mehr“ reelle als natürliche Zahlen).
Bew: Cantorsches Diagonalverfahren 2
es wird gezeigt, dass es bereits im Intervall von 0 bis 1 überabzählbar
unendlich viele reelle Zahlen gibt
man schreibt eine Liste aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 auf:
1.
0, a11 a12 a13 a14 a15…
wobei die aij die Ziffern 0 bis 9 sein können,
2.
0, a21 a22 a23 a24 a25…
aber nicht alle 9 oder 0 sein sollen
3.
0, a31 a32 a33 a34 a45…
4.
.
.
.
Diese Liste könnte man durchnummerieren und hätte damit eine eineindeutige
Abbildung ϕ .
Allerdings konnte Cantor zeigen, dass diese Liste nie vollständig ist, man kann
immer eine Zahl konstruieren, die in der Liste nicht auftaucht,
z.B:
b = 0, b1 b2 b3 b4 … , mit bi ≠ aii
b ≠ 1. Zahl, da sie an der Stelle b1 ≠ a11 , laut Bedingung bi ≠ aii
b ≠ 2. Zahl, da sie an der Stelle b2 ≠ a22
b ≠ 3. Zahl, da sie an der Stelle b3 ≠ a33
…
D.h. es gibt keine eineindeutige Abbildung von IR auf IN (also „mehr“ reelle
Zahlen als natürliche).
|IN| < |IR|
Die Kontinuumshypothese besagt:
Es gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der
natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt.
D.h. anders formuliert: Ist |IR| = ℵ1 ?
Sie ist mit den derzeitigen Möglichkeiten der Mengenlehre nicht beweisbar und
nicht widerlegbar.