I. Mengen, Logik und Vollständige Induktion

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I. Mengen, Logik und Vollständige Induktion
1. Mengen
Was ist eine Menge? Georg Cantor (1845 - 1918): „Unter einer Menge verstehen wir jede
Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen.“ (in: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1895 und 1897) Math,
Annalen, S. 481):
Etwas geschichtlicher Hintergrund:
Georg Cantors Vater war ein erfolgreicher Makler und ermunterte seinen Sohn, sich im Studium Zeit zu
lassen: "Ich habe Dir, glaube ich, schon bis zum Überdruss wiederholt, dass wir die Mittel haben, um
Dein Studium so lange auszudehnen als wir wollen."
1901 veröffentlichte Bertrand RUSSELL (1870 – 1972) seine Antinomien (Menge aller
Mengen), was die Mengenlehre in eine Krise stürzte! Anstatt genau zu sagen, was eine
Menge ist, stellen wir dar, wie man Mengen beschreiben kann. Dafür gibt es verschieden
Möglichkeiten.
1.1 Beschreibung durch Aufzählung
Zum Beispiel ist {rot, gelb, blau} die Menge der Farben rot, gelb und blau, die Menge
{Susanne, Yvonne, Ute, Nicole} besteht aus den Elementen Susanne, Yvonne, Ute, Nicole. M = {0, 1, 2, 3, 4}.
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}.
ist die Menge der natürlichen Zahlen.
Z = {. . ., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . .}
ist die Menge der ganzen Zahlen.
Mit Q bezeichnen wir die Menge der rationalen Zahlen („Brüche“) und mit R die Menge
der reellen Zahlen.
Wenn m Element einer Menge M ist, so schreiben wir dafür m
ment von M ist, so schreiben wir m M.
Definition 1: Eine Menge M1 heißt eine Teilmenge von M2 (M1
wenn jedes Element von M1 ein Element von M2 ist.
M; wenn m kein Ele-
M2 oder M1
M2),
Zum Beispiel ist M1 = {rot, blau} eine Teilmenge von M2 = {rot, blau, gelb}. Wir können
auch alle Teilmengen von M2 = {rot, blau, gelb} zusammenstellen; diese sind
{}, {rot}, {blau}, {gelb},
{rot, blau}, {rot, gelb}, {blau, gelb},
{rot, blau, gelb};
Dabei ist {} die leere Menge (die manchmal auch mit
bezeichnet wird).
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1.2 Beschreibung durch Eigenschaften
Dabei sondert man aus einer schon vorhandenen Menge eine Teilmenge aus. Zum Beispiel
kann man sagen
G = {z Z z = 2∙k mit k Z}.
Dadurch wird die Menge der geraden ganzen Zahlen definiert.
Definition 2: Der Durchschnitt zweier Mengen M1 und M2 ist definiert als
M1 M2 = {m M1 m M2}.
Hier ist die Eigenschaft „m M2“ diejenige Eigenschaft, die eine Teilmenge aus M1
aussondert. Oder: M1 M2 ist die Menge aller Elemente, die in M1 und M2 liegen.
Definition 3: Die Vereinigung der Mengen M1 und M2 ist die Menge derjenigen Elemente, die in M1 oder M2 (oder in beiden!) enthalten sind.
Bemerkung: Seien M1
M und M2 M. Dann gilt:
M1 M2 = {m M m M1 oder m
M2}.
Nun beschreiben wir noch die Differenz von Mengen und das Komplement einer Menge in
einer anderen. Seien M1 und M2 zwei Mengen.
Definition 4: M1 und M2 Mengen mit M2 M1. Das Komplement von M2 in M1 ist
M1\M2 = {m M1 m M2}.
1.3 Das kartesische Produkt
Definition 5: M1 und M2 sind zwei Mengen, die beide nicht leer sind. Dann ist das kartesische Produkt M1 M2 die Menge aller geordneten Paaren (m1, m2) mit m1 M1
und m2 M2.
Beispiel: Ist M1 = {0, 1, 2} und M2 = {a, b}, so gilt
M1 M2 = {(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}.
Achtung: Bei den Paaren kommt es auf die Reihenfolge an (während es bei den Elementen
einer Menge nicht darauf ankommt!). Zum Beispiel ist das Paar (a, 0) kein Element der
obigen Menge M1 M2.
Man kann eine ganz ähnliche Prozedur auch für mehr als zwei Mengen machen. Seien dazu
M1, M2, . . ., Mn nichtleere Mengen, dann ist das kartesische Produkt dieser Mengen definiert durch:
M1 M2 . . . Mn = {(m1, m2, . . ., mn)
m1
M1 , m 2
M2, . . ., mn
Mn}.
Beispiel: Sei V die Menge der Vorspeisen, H die Menge der Hauptspeisen und N die
Menge der Nachspeisen einer Speisekarte. Dann ist V H N die Menge aller Menüs, also
die Menge aller möglichen Speisefolgen.
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Bemerkungen.
Die Bezeichnung „kartesisch“ geht auf den bedeutenden Mathematiker und Philosophen René Descartes (1596 - 1650) zurück. In der Mathematik wird sein Name
damit verbunden, dass er die Punkte der Ebene durch Paare von Zahlen dargestellt
hat.
Die Elemente von M1 M2 . . . Mn tragen vielfältige Namen. Manchmal nennt
man sie auch n-Tupel.
1.4 Mächtigkeit
Oft interessiert uns die Anzahl der Elemente einer Menge. Zum Beispiel hat die Menge
{rot, blau, gelb} genau drei Elemente.
Definition 6: Wenn M eine Menge ist, bezeichnen wir die Anzahl ihrer Elemente mit
M , und nennen diese Zahl die Mächtigkeit von M.
Zum Beispiel ist {0,1,2,3} = 4. Eine Menge wird endlich genannt, wenn ihre Mächtigkeit eine natürliche Zahl ist. Wenn eine Menge M unendlich viele Elemente hat, schreiben
wir M = . Zum Beispiel gilt N = und Z = .
Cantors Frage: Gibt es mehr natürliche Zahlen oder mehr ganze Zahlen. Wir zählen die
ganzen Zahlen
1 2 3 4 5 6 7 8 ...
…
0 1 -1 2 -2 3 -3 4 ...
Jeder natürlichen Zahl ist eine ganze Zahl zugeordnet!!
Auch die Bruchzahlen lassen sich zählen
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
......
N, Z und Q sind abzählbar unendlich.
Wenn man die Mächtigkeiten von Mengen kennt, kann man die Mächtigkeiten der daraus
abgeleiteten Mengen berechnen. Besonders wichtig sind die Summenformel und die Produktformel, aber am einfachsten ist die Formel für das Komplement. Deshalb beginnen wir
damit.
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Satz 1. Mächtigkeit des Komplements. Sei M1 eine endliche Menge, und sei M2 eine
Teilmenge von M1. Dann gilt:
M1\M2 = M1 – M2 .
Summenformel. Seien M1 und M2 endliche Mengen. Dann gilt
M1 M2 = M1 + M2 – M1 M 2 .
Produktformel. Seien M1, M2 nichtleere endliche Mengen. Dann gilt:
M1 M2 = M1
M2 .
Beispiel: Die Anzahl aller Paare (x, y), wobei x aus der Menge {0, 1, 2, . . ., 9} und y
aus der Menge {a, b, c, d, . . ., z} stammt, ist 10 26 = 260.
Beweis
… der Mächtigkeit des Komplements.
M2 M1 und M1 = n N, M2 = k
k = M1 – M2 Elemente. #
N, und es gilt k ≤ n. Dann hat M1\M2 = m –
… der Summenformel. Analog!
… der Produktformel. Die Menge M1 M2 besteht aus allen Paaren (m1, m2) mit m1
M1 und m2 M2. Für die erste Komponente (also für m1) haben wir genau M1
Möglichkeiten zu Auswahl. Für jede dieser Möglichkeiten können wir die zweite Komponente m2 in M2 ohne jede Einschränkung wählen. Dafür gibt es M2 Möglichkeiten.
Um ein Paar (m1, m2) zu wählen gibt es insgesamt also genau M1 ∙ M2 Möglichkeiten. #
Allgemeine Produktformel. Seien M1, M2, . . ., Mn endliche nichtleere Mengen. Dann ist
M 1 M2 . . . Mn = M1 M1 . . . M1 .
Beispiel. Bei Geldausgabeautomaten besteht die Geheimzahl aus vier Dezimalstellen, von
denen die erste nicht 0 sein darf. Wie viele solche PINs gibt es? Antwort: 9 10 10 10 =
9000.
Cantors Fragen: Den natürlichen, geraden und rationale Zahlen ordnete Cantor die gleiche
„Mächtigkeit“ zu und nannte sie „Aleph-Null“: N = o . ( ist der erste Buchstabe des
hebräischen Alphabets). Eine solche Menge nennen wir abzählbar unendlich. Cantor rechnete mit Unendlich!
o + 100 =
o,
o +
o =
o,
Gibt es ein „größeres Unendlich“ als
o
?
1872 stellt Cantor in einem Brief an Dedekind die Frage: Gibt es mehr natürliche oder mehr reelle Zahlen?: "Man nehme den Inbegriff aller positiven ganzzahligen Individuen n und bezeichne ihn mit (n);
ferner denke man sich etwa den Inbegriff aller positiven reellen Zahlgrößen x und bezeichne ihn mit (x);
so ist die Frage einfach die, ob sich (n) dem (x) so zuordnen lasse, daß zu jedem Individuum des einen
Inbegriffs ein und nur eines des anderen gehört? Auf den ersten Anblick sagt man sich, nein, es ist nicht
möglich, den (n) besteht aus discreten Theilen, (x) aber bildet ein Continuum; nur ist mit diesem Einwande nichts gewonnen und so sehr ich mich auch zu der Ansicht neige, daß (n) und (x) keine eindeutige Zuordnung gestatten, kann ich doch den Grund nicht finden und um den ist mir zu thun, vielleicht ist
er ein sehr einfacher." (hier: Inbegriff = Menge!)
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1873 findet Cantor den Beweis, dass eine eineindeutige Zuordnung nicht möglich ist.
Beweis:
Annahme: Es gibt eine eineindeutige Abbildung f: N --> ]0,1[
dann gilt
n
f(n)
1
0,a11a12a13a14 . . .
2
0,a21a22a23a24 . . .
3
0,a31a32a33a34 . . .
Dann kommt die Zahl 0,b1b2b3.... mit bi
abzählbar.
aii nicht in obiger Reihenfolge vor! Die Zahlen ]0,1[ sind nicht
Bemerkung: Cantor findet für die Potenzmenge 2 o > o ! Also gibt es verschiedene Stufen von Unendlich o < 1 < 2 ... Die Cantorsche „Kontinuumshypothese“ stellt dann die
Frage nach der Mächtigkeit der reellen Zahlen! (Die Antwort ist interessant ... aber schwierig!).
2. Logik
2.1 Aussagen
In der Mathematik machen wir Aussagen über mathematische Sachverhalte; diese Aussagen sind entweder richtig oder falsch. Was eine Aussage „ist“, ist nicht so einfach zu definieren. Wir begnügen uns mit der Festlegung: Eine Aussage ist ein Satz, der entweder
falsch oder wahr ist.
Aussagen in unserem Sinne sind zum Beispiel die folgenden:
 Am Nordpol herrschen mehr als 50° Celsius.
 Alle Mathematikstudenten sind intelligent.
 Es gibt unendlich viele Primzahlen.
 2+2 = 5.
 Kräht der Hahn wohl auf dem Mist, ändert sich’s Wetter oder ‘s bleibt wie’s ist.
Keine Aussagen in unserem Sinne sind zum Beispiel
 Vielleicht mache ich heute meine Hausaufgaben
 Guten Morgen!
 5+3

Fraglich(??):
 Der Satz des Thales ist ein schöner Satz
 Würzburg ist eine Großstadt
 Marylin war eine intelligente Frau
 George Clooney ist ein guter Schauspieler
Wir bezeichnen oft Aussagen mit Großbuchstaben, wie A, B, C . . . Nun erklären wir, wie
man aus zwei Aussagen A und B eine dritte machen kann.
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2.2 Verknüpfung von Aussagen
Definition 7: und ( ) sowie oder ( ) verknüpfen zwei Aussagen. Der Wahrheitswert der
verknüpften Aussage wird durch die folgende Tabelle definiert. Ferner wird die Negation
( ) einer Aussage definiert.
A
W
W
F
F
B
w
f
w
f
A
f
f
w
w
A B
w
f
f
f
A B
w
w
w
F
Beispiele für „und“:
 Jens liest Zeitung und Hilde spielt Gameboy.
 Vorsicht in der deutschen Sprache: „Ich gehe ins Kino und in die Disco“ bedeutet
„Ich gehe ins Kino und ich gehe in die Disco“.
 Ich will spielen und gewinnen.
Beispiele für „oder“:
 Kraftfahrer, die zu schnell fahren oder überholen, verhalten sich verkehrswidrig
 Der Bus hält, wenn jemand aussteigen oder einsteigen will
 HOHLSPIEGEL v. 11. April 94: Harzer Volksstimme: Neue Regelung an Ampeln.
Erst nachdem der Kraftfahrer sein Fahrzeug zum Stehen gebracht hat, darf er weiterfahren, egal, ob Fußgänger die Fahrbahn überqueren oder nicht".
2.3 De Morgansche Gesetze.
Satz 4. Seien A und B Aussagen. Dann gilt
(a)
(A b) = A
B.
(b) (A b) = A
B.
Beweis. (a) Wir zeigen diese Behauptung dadurch, dass wir zeigen, dass für jede Belegung
der Wahrheitswerte von A und B die beiden Seiten (A B) und A
B
stets den gleichen Wahrheitswert haben.
Wahrheitstafel für
A
w
w
f
f
(A
B) und
B
w
f
w
f
A
B
(A
B)
f
w
w
W
(b) Diese Aussage beweisen wir ganz analog!
2.4 "Wenn - dann" - Der Junktor ' '
Definition 8: Wahrheitstafel für A
B
A
f
f
w
w
B
f
w
f
w
#
A
B
f
w
w
w
7
A
W
W
F
F
B
w
f
w
f
A
B
w
f
w
w
Die beiden letzten Festlegungen sind nicht so einfach einzusehen. Wir erläutern das an einem Beispiel.
Beispiel:
Britta sagt: "Jens ich sage Dir, wenn Du Bier auf Wein trinkst, dann hast Du morgen
Kopfschmerzen"
A: Jens trinkt Bier auf Wein
B: Jens hat Kopfschmerzen:
Britta sagt: A B
' A B' ist widerlegt (falsch), wenn 'A
B ' wahr ist.
'A B' ist wahr , wenn 'A
B ) wahr (Siehe
B ' ist falsch, also ist (A
2.6).
Damit ist also A B wahr.
"Entweder Du trinkst kein Bier oder Du hast Kopfschmerzen"!
A
w
w
f
f
Satz 2.
'A
B
w
f
w
f
A
A B
w
f
w
w
B
w
f
w
w
B' ist gleichbedeutend mit A B
'A B'
A B
Beispiel:
"Wenn ich komme, dann bin ich pünktlich"! oder "Ich komme gar nicht oder ich bin
pünktlich."
2.5 “Genau dann, wenn” - A
Definition 9: A
B
B wird definiert durch die Wahrheitstafel:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A
B
w
f
f
w
Das bedeutet: A
B ist genau dann eine wahre Aussage, wenn A und B beide wahr
oder beide falsch sind.
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Beispiele:
 x+5 = 7
x=2
 x<4
x < 6 ist falsch
 x=2
x2 = 4 ist wahr
 x=2
x2 = 4 ist falsch!
 Ein Fahrzeug ist ein Golf, also ist das Fahrzeug ein PKW (wahr).
 Ein Fahrzeug ist ein PKW, also ist das Fahrzeug ein Golf (falsch).
 Eine Zahl ist eine Primzahl
Die Zahl hat genau zwei Teiler
Die Zahl ist nur
durch sich selbst und 1 teilbar
 Ein V ist ein Parallelogramm, wenn die Seiten parallel sind
Die gegenüberliegenden Winkel des Vierecks sind gleich groß
Das Viereck ist punktsymmetrisch.
Sprechweisen für A
B
A genau dann, wenn B
Aus A folgt B und umgekehrt
A ist notwendig und hinreichend für B
A ist äquivalent (gleichbedeutend) mit B
Bemerkung: Was ist ein mathematischer Satz? Eine formale Art, dies zu sehen, ist folgende: Ein mathematischer Satz ist eine zusammengesetzte Aussage, die immer wahr ist. Damit meinen wir, dass sie unabhängig von der Verteilung der Wahrheitswerte der Einzelaussagen wahr ist.
Betrachten wir dazu ein einfaches Beispiel. Wir wollen uns überzeugen, dass die Aussage
(A B)
A gilt. „Gelten“ bedeutet, dass sie stets wahr ist, unabhängig davon, ob die
Aussagen A und B wahr oder falsch sind. Dazu könnte man „inhaltlich“ überlegen; wir
wollen aber den Kalkül der Wahrheitstafeln anwenden. Dies geschieht so:
Wahrheitstafel für (A
B)
A
w
w
f
f
A
B
w
f
w
f
A
B
(A
w
f
f
f
B)
w
w
w
w
A
Das bedeutet: Die Aussage (A B) A gilt stets; sie ist also ein mathematischer Satz.
Die wichtigsten mathematischen Sätze in diesem Zusammenhang sind die de Morganschen
Regeln, die sich mit der Negation von oder-Aussagen und und-Aussagen beschäftigen.
2.6 Die Kontraposition
Mit Hilfe von Satz 2 erhält man:
Satz 3. (Kontraposition)
(A B)
A
B
B
A
B
A
Will man eine Wenn-dann-Aussage beweisen, so kann man auch die Kontraposition beweisen.
9
Beispiele:
 n N: n ist Zehnerzahl
 n2 gerade
n gerade
 Satz des Thales!
n ist durch 5 teilbar.
2.7 All- und Existenzaussagen
Typisch für die Mathematik sind Allaussagen und Existenzaussagen, die mit Hilfe von
Quantoren beschrieben werden. Eine Aussageform A(x) wird durch Einsetzen von x zu
einer Aussage.
Beispiel:
 Alle Primzahlen > 2 sind ungerade.
 Jede Verkettung von Spiegelungen ist eine Kongruenzabbildung.
 Jede differenzierbare Funktion ist stetig.
 ...
Definition 10: Ist bei einer Aussageform A(x) die Erfüllungsmenge gleich der Grundmenge G, so heißt A(x) allgemeingültig.
Beispiele:
 Für alle r R gilt: r2 0.
 Für alle Dreiecke gilt: Die Winkelsumme ist 180°
 Sei M = {1, 3, 5, 7}. Dann gilt: Für alle m M ist m eine ungerade Zahl.
 Allgemeingültige Aussageformen mit zwei Variablen: (a, b) R 2 : (a+b)2 = a2 + 2ab
+ b2
Definition 11: Den Allaussagen stehen die Existenzaussagen gegenüber. In diesen wird
behauptet, dass es mindestens ein Element der betreffenden Menge gibt, das eine gewisse
Eigenschaft hat.
Beispiele:
 Es gibt eine gerade Primzahl.
 Es existiert eine stetige Funktion, die nicht differenzierbar ist.
 Sei M = {1, 4, 9, 16}. Dann gilt:
m M : m ist gerade.
Schließlich behandeln wir noch die Verneinung von All- und Existenzaussagen.
2.8 Negation von All und Existenzaussagen.
Satz 5: Die Negation einer Allaussage ist eine Existenzaussage. Genauer gilt:
( x G: A(x) )
x G : A(x)
Satz 6: Die Negation einer Existenzaussage ist eine Allaussage. genauer gilt:
( x G : A(x) )
x G: A(x)
Beispiele:
 Die Negation von „Alle Schwäne sind weiß“ ist „Es gibt einen nichtweißen
Schwan.“
 Die Negation von „Es gibt einen dummen Studenten“ ist „Alle Studenten sind intelligent.“
10

Die Negation von „Jede gerade Zahl ist Summe von zwei Primzahlen“ ist „Es gibt
eine gerade Zahl, die nicht Summe von zwei Primzahlen ist.
3. Vollständige Induktion
Beispiel: Summe der ungeraden Zahlen:
U(n) = 1 + 3 + 5 + ….. + (2n-1) = n2
Anfang: U(1) = 1 = 12
Annahme: Es gelte für n = no: U(no) = no2 !
Wir beweisen: Wenn U(no) gilt, dann auch U(no+1). Also U(no)
U(no+1)
Beweis: U(no +1) = U(no) + (2no +1) = no 2 + 2no +1 = (no +1)2
Damit gilt U(1), und damit U(2) und damit U(3) und ….
Das Prinzip der vollständigen Induktion.
Sei A(n) eine Aussageform, die von einer natürlichen Zahl n abhängt. Wenn wir wissen, dass folgendes gilt:
(1) Induktionsanfang: Es gilt A(nA), d. h. A(n) für n = nA (meist ist nA = 1);
(2) Induktionsbasis: Die Aussage A(n) gilt für ein bestimmtes – fest gedachtes – n =
no N;
(3) Induktionsschritt: Wir zeigen: Wenn die Aussage A(no) gilt, dann auch für
n = no + 1;
dann gilt die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n
nA.
Beispiel: Die Gaußsche Formel
Die Aufgabe besteht darin, die ersten n Zahlen aufzuaddieren. Es geht also darum, die
Summe
1 + 2 + 3 + ... + (n–1) + n
zu berechnen.
Vorüberlegung:
I: S(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n–1) + n
II: S(n) = n + (n-1) + ... + 3 + 2 + 1
I + II: 2S(n) = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1)
2 S(n) = n (n+1)
S(n) =
n(n 1)
2
.
Hinweis: Die Zahlen S(1), S(2), S(3), … heißen Dreieckszahlen! Warum?
11
Satz 7. Für jede natürliche Zahl n
1 gilt:
1+2+... + n =
n(n 1)
2
.
Beweis.
Induktionsanfang: n = 1. Die linke Seite besteht in diesem Fall nur aus einem Summanden
und ist also gleich 1. Die rechte Seite ist 1 2/2 = 1. Also gilt die Gleichung.
Induktionsbasis: Sei n eine natürliche Zahl
Also gilt A(no).
1, und sei die Aussage richtig für n = no.
Induktionsschritt: Wir zeigen nun, dass dann auch A(no+1) gilt.
A(no +1) = 1+2+3+... +( no –1) + no + (no +1)
= 1+2+3+... +( no –1) + no + (no +1)
= [1+2+3+... +( no –1) + no] + (no +1)
=
=
n o (n o 1)
+ (no +1)
2
n o (n o 1)+2(n o + 1) (n o
2
2)(n o 1)
.
2
Insgesamt haben wir genau die Gleichung bewiesen, die der Aussage A(n o+1) entspricht.
Die Induktionsvoraussetzung wurde beim zweiten Gleichheitszeichen verwendet.
#
Beispiele:
n 2 ( n 1) 2
Es gilt 1 + 2 + 3 + … + n =
.
4
Für jedes n erhält man bei dem Ausdruck p(n) = n2 – n + 41 eine Primzahl! Stimmt
das?
Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n – 2) 180o.
3
3
3
3