Fakultät für Naturwissenschaften

W4
1.
1.1
1.2
Wärmeleitfähigkeit
Aufgabenstellung
Bestimmen Sie aus der zeitlichen Änderung der Wassertemperatur des
Kalorimeters den Wärmeaustausch mit der Umgebung.
Stellen Sie die durch Wärmeleitung hervorgerufene Änderung der Wassertemperatur in Abhängigkeit von der Zeit dar. Ermitteln Sie daraus für 5
Temperaturintervalle den Wärmestrom durch den Probestab und berechnen
Sie unter Berücksichtigung des Wärmeaustausches mit der Umgebung die
zugehörige Wärmeleitfähigkeit
λ von Kupfer.
1.3
Führen Sie eine Größtfehlerberechnung zur Berechnung der Wärmeleitfähigkeit durch.
2.
Theoretische Grundlagen
Stichworte zur Vorbereitung:
Wärmetransport (Leitung, Strahlung, Konvektion), Wärmeübergang,
Temperaturgradient, Wärmeleitfähigkeit, allgemeine Wärmeleitungsgleichung,
Wärmekapazität,
Wärmereservoir,
Kalorimeter,
Temperaturmessung,
Thermoelement
Literatur:
W. Ilberg, M. Krötzsch
E. Grimsehl
W. Demtröder
Bergmann-Schäfer
Physikalisches Praktikum, 10. Auflage
Kap. W5,
Teubner Verlag 1994
Lehrbuch d. Physik, Bd.1
Kap. 11.1., 11.5., 12.12.,
Teubner Verlag 1991
Experimentalphysik I, Mechanik und Wärme
Kap. 11.1., 11.2.,
Springer Verlag 1994
Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd. 1
Kap. 92, 95-99,
W. de Gruyter 1970
1
Besteht zwischen verschiedenen Orten ein Temperaturgradient, so findet ein
Temperaturausgleich, d. h. ein Wärmetransport statt. Dieser kann durch Konvektion,
Wärmeleitung und Strahlung erfolgen.
Bei der Konvektion bewegt sich ein die Wärme tragender Stoff von einem Ort zum
anderen, d. h., es wird gleichzeitig Energie und Materie transportiert. In Flüssigkeiten
und Gasen erfolgt der Wärmetransport vorwiegend auf diese Weise. Bei der
Wärmestrahlung findet die Wärmeübertragung von einem Körper zu einem anderen
ohne Mitwirkung von Materie statt (z. B. Strahlung der Sonne). Bei der Wärmeleitung
erfolgt ebenfalls kein Transport von Materie, sondern nur Energietransport, der
jedoch an das Vorhandensein von Materie gebunden ist.
Erfolgt der Wärmetransport ausschließlich durch Wärmeleitung, dann gilt die
allgemeine Wärmeleitungsgleichung
λ ⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T ⎞
∂T
=
+
+
⎜
⎟ ,
∂ t ρ c ⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎠
wobei
(1)
ρ die Dichte, λ die Wärmeleitfähigkeit und c die spezifische Wärme des
betrachteten Stoffes sind. Die Lösung dieser Differentialgleichung ergibt unter der
Voraussetzung, dass
λ nicht selbst von der Temperatur abhängt, eine vom Ort und
der Zeit abhängige Temperaturverteilung T ( x, y , z , t ) . Wird diese Verteilung
experimentell ermittelt, so ist entsprechend Gl.(1) eine Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit möglich.
Zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit wird experimentell jedoch die Tatsache
(
genutzt, dass sich in vielen Fällen ein zeitlich konstantes Temperaturfeld T = 0
)
ausbildet. So stellt sich z. B. im stationären Zustand ein lineares Temperaturgefälle
entsprechend Gl.(2) ein, wenn ein Stab (Länge A , Querschnitt A ) zwischen zwei
Wärmereservoire der konstanten Temperaturen T1 und T2 gebracht wird (eine
seitliche Wärmeabgabe sei durch eine isolierende Umhüllung verhindert):
T ( x) =
T2 − T1
x + T1 .
A
2
(2)
Metallstab
T1 < T2
T1
T2
Querschnitt A
Wärmeisolation
T
T2
T1
A
0
x
Abb. 1 : Metallstab zwischen zwei Wärmereservoiren
Wird die pro Zeiteinheit ( dt ) von der höheren ( T2 ) zur niederen Temperatur ( T1 )
durch die Querschnittfläche ( A ) geflossene Wärmemenge ( dQ ) experimentell
bestimmt, so kann mit Hilfe des Fourier’schen Ansatzes
dQ
A
= λ ΔT
Q =
A
dt
(3)
die Wärmeleitfähigkeit des Stabes berechnet werden. Will man die von der
Temperatur abhängige Wärmeleitfähigkeit
λ (T ) exakt bestimmen, müsste einer-
seits der Temperaturgradient Δ T = T2 − T1 infinitesimal klein und anderseits die
Temperaturen T2 und T1 zeitlich konstant sein. Beide Voraussetzungen sind aber
bei diesem Versuch nicht erfüllt. Um realitätsnahe Messzeiten zu erreichen wird bei
diesem Experiment ein Temperaturgefälle von ca. 70 K bis 90 K aufrecht gehalten.
Außerdem kann aus Gründen des experimentellen Aufbaus die Temperatur T1 des
3
unteren Wärmereservoirs nicht exakt konstant gehalten werden, d. h. Δ T wird auf
Grund der ständig zugeführten Wärme immer kleiner. Deshalb kann aus den
Rechnungen nur eine mittlere Wärmeleitfähigkeit für das Intervall Δ T ermittelt
werden. Besondere Verhältnisse liegen für den Wärmeübergang an solchen Stellen
vor, wo zwei verschiedene Stoffe mit unterschiedlicher Temperatur
aneinander stoßen. Die in der Zeit
( dt )
durch eine Trennfläche
( A)
(Ta , Ti )
fließende
Wärmemenge ( dQ ) wird durch die Beziehung
dQ = α A (Ta − Ti ) dt
beschrieben, wobei
(4)
α die Wärmeübergangszahl [α ] = W m-2 K-1 ist.
Sie hängt nicht nur von den beiden Medien ab, sondern auch von der speziellen Art
der Grenzfläche (Rauhigkeit, Fremdeinschlüsse) oder vom Bewegungszustand an
der Grenzfläche, wenn eines der beiden Medien ein Gas oder eine Flüssigkeit ist.
Beim Übergang zu einer Eisenplatte treten z. B. folgende Wärmeübergangszahlen
auf:
bei ruhender Luft oder freier Konvektion
bei langsam strömendem, siedendem Wasser
bei Wasserdampf, der an der Wand kondensiert
[α ] = 5,8 W m-2 K-1
[α ] = 5800 W m-2 K-1
[α ] = 11600 W m-2 K-1
Technische Bedeutung z. B. Wärmetauscher hat der Wärmeübergang vor allem
zwischen strömenden Medien, die durch eine feste Wand (z. B. metallische
Rohrwand) getrennt sind (Abb. 2). Im stationären Zustand ist der Wärmestrom Q
gleich groß, so dass die einzelnen Temperaturdifferenzen durch folgende
Gleichungen beschrieben werden:
Durch Addition der Gln.(5) und in Analogie zu Gl.(4) wird per Definition
Ta − T1 =
Q
α1 A
A Q
T1 − T1 =
λA
T2 − Tb =
Q
α2 A
die so genannte Wärmedurchgangszahl k Gl.(6) eingeführt
4
(5)
1 1 A 1
= + +
k α1 λ α 2
(6)
α1 und α 2 sind dabei die beiderseitigen Wärmeübergangszahlen, A Dicke und λ
die Wärmeleitfähigkeit des Wandmaterials.
Medium 1 Medium 2 Medium 3
T
Ta
α2
λ
T1
T2
α1
Tb
x
Abb. 2 : Temperaturverlauf beim Wärmedurchgang (schematisch)
5
3.
Versuchsaufbau
Abb. 3 zeigt schematisch den Versuchsaufbau. Der obere Geräteteil, der das
siedende Wasser aufnimmt, sowie das Kalorimeter stellen Wärmereservoire dar.
Thermoelement 1
Tauchsieder
Wasser
Isolation
Metallstab
Thermoelement 2
Wasser
Magnetrührer
Kalorimeter
Abb. 3 : Versuchsaufbau (schematisch)
4.
Versuchsdurchführung
4.1
Da das Kalorimeter während der späteren Messzeit Wärme mit der
Umgebung austauscht, muss in einem Vorversuch der dadurch verursachte
Wärmestrom
Δ Qu / Δ t = ( cW m + W ) Δ T / Δ t
6
4.2
ermittelt werden. Dazu wird Wasser (ohne Eis) mit einer Temperatur
kleiner 5 °C (hergestellt durch ein Eis-Wasser-Gemisch) in das Kalorimeter
gegeben und die zeitliche Änderung (15 min) der Wassertemperatur im
Kalorimeter aufgenommen.
Um vergleichbare Messbedingungen zu realisieren, muss bereits in
diesen Versuchsteil ein intensives Rühren des Wassers mit dem
Magnetrührer erfolgen.
Ermitteln Sie die Masse des verwendeten Wassers durch Differenzmessung
der Masse des Kalorimeters mit und ohne Wasser.
In dem Metallstab wird durch zwei Wärmereservoire, oben kochendes Wasser
(Tauchsieder)
und
unten
Eiswasser,
zunächst
ein
konstantes
Temperaturgefälle hergestellt. Im oberen Wärmereservoir muss sich
möglichst viel Wasser befinden, um den Tauchsieder sicher zu benetzen.
„Achtung“
•
Vor dem Einschalten des Tauchsieders den Wasserstand im
Messinggefäß kontrollieren
•
Nach Beendigung des Experiments Tauchsieder ausschalten
Die erstmalige Erwärmung des Wassers erfolgt mit Hilfe eines bereitstehenden Kochwasserbereiters. Aus diesem wird die benötigte Menge
Wasser in das obere Reservoir gegossen. Erwärmen Sie dieses Wasser mit
dem Tauchsieder weiter bis es kocht (U~220 V). Reduzieren Sie dann die
Spannung auf ca.150 V, so dass das Wasser nur noch leicht weiter kocht.
Schließen Sie das Gefäß mit dem Messingdeckel ab und stecken Sie das
Thermoelement (Messstelle T1 ) in die Öffnung, so dass die Temperatur im
Kupferstab gemessen wird. Stellen Sie in einem separaten Gefäß ca.300 ml
Eiswasser her. Füllen Sie damit das Kalorimeter bis ca. 3 cm unter den
Rand. Um einen gleichmäßigen Wärmeübergang zwischen Kupferstab
und
Wasser zu gewährleisten, ist während der gesamten Messzeit ein intensives
Rühren erforderlich. Stellen Sie den Magnetrührer so ein, dass sich der
Magnet im Wasser stabil dreht. Geben Sie noch 2 bis 3 kleine Eisstücke in
das Kalorimeter und positionieren Sie es so auf dem Stativtisch, dass der
Kupferstab durch die vorgesehene Öffnung abgesenkt werden kann. Das
Thermoelement (Messstelle T2 ) wird durch die dafür vorgesehene Bohrung
im Deckel des Kalorimeters gesteckt. Nehmen Sie die zeitliche Änderung der
Temperaturen an den Messstellen T1 und T2 über eine Zeit von 15 Minuten
auf.
7
Die verwendete Wassermenge ist wiederum aus einer Differenzmessung
zu bestimmen.
Ermitteln Sie die für den Wärmetransport wirksame Stablänge, in einem Voroder Nachversuch durch Eintauchen des Stabes in das Kalorimeter
ohne Abdeckung.
Bestimmen Sie den Querschnitt des Probestabes.
5.
Kontrollfragen
5.1
Warum stellt Eiswasser ein Wärmereservoir dar, Wasser derselben
Temperatur ohne Eis jedoch nicht?
5.2
Leiten Sie das Temperaturprofil T ( x ) (Gl.2) her.
5.3
Zeigen Sie die Gültigkeit von Gl.(5) und erläutern Sie Beispiele für die
technische Nutzung eines Wärmetauschers.
5.4
Welche Analogie besteht zwischen Wärmeleitung und Diffusion?
5.5
Was versteht man unter dem SEEBECK-Effekt (Thermoelement)?
8