Logik für Linguisten Propositionale Inferenz Aussagenlogik Die

Logik für Linguisten
Logik für Linguisten
Propositionale Inferenz
Propositionale Inferenz
• Wie können wir unsere semantischen Repräsentationen
Logik für Linguisten
natürlichsprachlicher Ausdrücke dazu nutzen, Schlüsse zu ziehen?
• In diesem Abschnitt diskutieren wir das quantorenfreie Fragment
der PL 1, bzw. die Aussagenlogik, wie dieses Fragment normalerweise
genannt wird.
Stefan Müller
• Wir diskutieren das Tableaux-Verfahren.
Theoretische Linguistik/Computerlinguistik
Fachbereich 10
Universität Bremen
[email protected]
7. März 2006
c Stefan Müller 2006, CL, FB 10, Universität Bremen
Logik für Linguisten
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Propositionale Inferenz
Propositionale Inferenz
Die Tableaux-Methode
Aussagenlogik
Die Tableaux-Methode
• Inferenz erster Stufe ist eine komplexe Aufgabe,
• Syntaktisch, aber auf der Grundlage klarer semantischer Intuitionen.
weshalb wir uns der Lösung des Problems in kleinen Schritten nähren.
• Einen Tableaux-Beweis kann man unabhängig von menschlichem
Verständnis finden.
• Wir beginnen mit der Aussagenlogik, d. h. wir lernen etwas darüber,
wie man aus mit ¬, →, ∨ und ∧ verknüpften Formeln schließen kann.
• Methode kann an viele verschiedene Logiken angepaßt werden.
• Statt
• Tableaux-Systeme sind mehr als nur Theorem-Beweiser:
(dead(vincent)→happy(butch))∧(¬dead(vincent)→happy(mia))
Sie können auch als Werkzeuge für den Modellbau angesehen werden.
schreiben wir einfach
(p → q) ∧ (¬p → r ).
Wie die Symbole intern aussehen, ist in der Aussagenlogik nicht wichtig.
Wir nennen Symbole wie p, q und r Satzsymbole.
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Die Tableaux-Methode
Propositionale Inferenz
Beispiele
Die Tableaux-Methode
Beispiel 1
Die Grundidee
Beispiel 1: Beweis einer Disjunktion
Angenommen, wir haben einen Ausdruck und einen der beiden
Wahrheitswerte True bzw. False. Ist es möglich, ein Modell zu
finden, in dem der Ausdruck den gegebenen Wahrheitswert hat?
Der Ausdruck p ∨ ¬p ist gültig.
Wie würde eine systematische Suche nach einer Widerlegung aussehen?
Die Tableaux-Methode ist im wesentlichen ein syntaktisches Verfahren,
systematisch zu überprüfen, ob das möglich ist, oder nicht.
Aber das würde nicht für PL 1 funktionieren und wäre ohnehin nur für
nicht-komplexe Ausdrücke praktikabel.
Es gibt uns einen systematischen Gültigkeitstest.
Die gültigen Ausdrücke sind die,
die die Tableaux-Methode nicht widerlegen kann.
Stattdessen entwickeln wir Tableaux-Erweiterungsregeln.
Eine mögliche Antwort: Fülle die Wahrheitstabelle aus.
Das Tableaux-Verfahren ist also ein indirektes Verfahren:
Um φ zu beweisen, geben wir ¬φ ein und zeigen,
daß das zum Widerspruch führt.
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Die Tableaux-Methode
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Die Tableaux-Methode
Beispiele
Beispiele
Beispiel 1
Beispiel 1
Notationskonventionen
Tableauerweiterung mit der Disjunktionsregel
√
1 F (p ∨ ¬p)
2
Fp
1, F∨
3
F ¬p
1, F∨
F (p ∨ ¬p).
• Das ist unser erstes Tableau!
• Das ‘F ’-Präfix bedeutet, daß wir p ∨ ¬p widerlegen wollen.
• Unser zweites Tableau!
• Wenn man ein Tableau mit der Hand aufschreibt, ist es praktisch,
• Es verwendet eine Tableau-Erweiterungsregel,
Zusatzinformation aufzuschreiben, wie z. B. Zeilennummern:
die F∨ (widerlege Disjunktion) genannt wird,
um den Ausdruck in Zeile 1 in zwei Teile zu zerlegen.
√
• Das -Symbol in Zeile 1 zeigt,
daß wir die entsprechende Regel auf Zeile 1 angewendet haben.
(Wir müssen niemals Regeln zweimal auf eine Zeile anwenden)
1 F (p ∨ ¬p)
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Die Tableaux-Methode
Die Tableaux-Methode
Beispiele
Beispiele
Beispiel 1
Beispiel 2
Tableauerweiterung mit der Negationsregel
Beispiel 2: Tableauerweiterung mit der Implikationsregel
Ist ¬(q ∧ r ) → (¬q ∨ ¬r ) gültig? Mal sehen . . .
√
1 F (p ∨ ¬p)
2
Fp
1, F∨
√
3
F ¬p
1, F∨ ,
4
Tp
3, F¬ .
1 F ¬(q ∧ r ) → (¬q ∨ ¬r )
Wir benutzen die Regel F→ , die uns sagt, wie wir Implikationen widerlegen.
√
1 F ¬(q ∧ r ) → (¬q ∨ ¬r )
2
T ¬(q ∧ r )
1, F→
3
F (¬q ∨ ¬r )
1, F→
• Wir haben die Expansionsregel F¬ (widerlege eine Negation) verwendet.
• Wir sind fertig! Das Tableau ist regelgesättigt,
d. h. wir können keine weiteren Regeln mehr anwenden.
• Das Tableau ist außerdem geschlossen,
da es einen Konflikt zwischen den Zeilen 2 und 4 gibt.
Für die Zeile 3 müssen wir eine Disjunktion widerlegen.
Wir benutzen F∨ . . .
Deshalb ist p ∨ ¬p gültig.
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Die Tableaux-Methode
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Die Tableaux-Methode
Beispiele
Beispiele
Beispiel 2
Beispiel 2
Tableauerweiterung mit der Disjunktionsregel
1 F ¬(q ∧ r ) → (¬q ∨ ¬r )
2
T ¬(q ∧ r )
3
F (¬q ∨ ¬r )
4
F ¬q
5
F ¬r
Tableauerweiterung mit der Negationsregel
√
1 F ¬(q ∧ r ) → (¬q ∨ ¬r )
2
T ¬(q ∧ r )
3
F (¬q ∨ ¬r )
4
F ¬q
5
F ¬r
6
Tq
7
Tr
8
F (q ∧ r )
1, F→
√
1, F→ ,
3, F∨
3, F∨
Wieso durften wir an Zeile 3 arbeiten?
Wir haben doch Zeile 2 noch nicht behandelt!
Kein Problem!
Wir können uns aussuchen, wo wir arbeiten.
(einer der Vorteile von Tableaux)
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√
1, F→
√
1, F→ ,
√
3, F∨ ,
√
3, F∨ ,
4, F¬
5, F¬
2, T¬
Jetzt müssen wir uns mit Zeile 8 auseinandersetzen.
Das wird interesant . . .
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Die Tableaux-Methode
Die Tableaux-Methode
Beispiele
Beispiele
Beispiel 2
Beispiel 3
Tableauerweiterung mit der Konjunktionsregel
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8, F∧
Was passiert, wenn der Ausdruck, mit dem wir arbeiten, nicht gültig ist?
√
F ¬(q ∧ r ) → (¬q ∧ ¬r )
T ¬(q ∧ r )
F (¬q ∧ ¬r )
F ¬q
F ¬r
Tq
Tr
F (q ∧ r )
Fq
Beispiel 3: Ein ungültiger Ausdruck
√
1, F→ ,
√
1, F→ ,
√
3, F∨ ,
√
3, F∨ ,
4, F¬
5, F¬
√
2, T¬ ,
10 Fr
Z. B. : (p ∧ q) → (r ∨ s)
1 F (p ∧ q) → (r ∨ s)
Wir müssen eine Implikation widerlegen,
also benutzen wir die Regel F→ . . .
8, F∧
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Die Tableaux-Methode
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Die Tableaux-Methode
Beispiele
Beispiele
Beispiel 3
Beispiel 3
Implikations- und Konjunktionsregel
1 F (p ∧ q) → (r ∨ s)
2
T (p ∧ q)
3
F (r ∨ q)
4
Tp
5
Tq
√
1, F→ ,
1, F→
2, T∧
2, T∧
Disjunktionsregel
1 F (p ∧ q) → (r ∨ s)
2
T (p ∧ q)
3
F (r ∨ s)
4
Tp
5
Tq
6
Fr
7
Fs
√
Zeile zwei verlangt, daß wir eine Konjunktion wahr machen.
Wir benutzen die Expansionsregel T∧ .
√
√
1, F→ ,
√
1, F→ ,
2, T∧
2, T∧
3, F∨
3, F∨
Nun zu Zeile 3. Die relevante Regel ist F∨ .
Wir sind fertig – aber das Tablau ist nicht geschlossen, es ist offen.
Somit ist der Ausdruck nicht gültig.
Wir können ein (aussagenlogisches) Modell aus dem Tablau auslesen.
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Propositionale Inferenz
Propositionale Inferenz
Die Tableaux-Methode
Die Tableaux-Methode
Expansionsregeln für Negation
Expansionsregeln für binäre Verknüpfungen
Expansionsregeln für Negation
T ¬φ
Fφ
Expansionsregeln für binäre Verknüpfungen
F ¬φ
Tφ
• Man lese diese Regeln von oben nach unten.
Der markierte Ausdruck über der horizontalen Linie ist
die Eingabe für die Regel, und der Ausdruck darunter ist die Ausgabe.
T (φ ∧ ψ)
Tφ
Tψ
F (φ ∧ ψ)
Fφ Fψ
F (φ ∨ ψ)
Fφ
Fψ
T (φ ∨ ψ)
Tφ Tψ
F (φ → ψ)
Tφ
Fψ
T (φ → ψ)
Fφ Tψ
• Wir nennen solche Regeln unäre Regeln,
da sie nur einen Ausdruck als Ausgabe liefern.
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Propositionale Inferenz
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Propositionale Inferenz
Die Tableaux-Methode
Die Tableaux-Methode
Aussagentableaux
Aussagentableaux
Aussagentableaux
Aussagentableaux
• Ein (Aussagen-)Tableaux ist ein Baum, dessen Knoten markierte
• Wenn es keine expandierbaren Knoten mehr gibt, halte an!
aussagenlogische Ausdrücke sind.
Ein Zweig eines Tableaux ist ein Zweig eines solchen Baumes.
Das Tableau ist regelgesättigt.
• Wenn das Tableau unexpandierte Knoten enthält,
wähle einen und wende die entsprechenden Expansionsregeln an,
d. h. erweitere das Tableaux durch das Hinzufügen neuer Knoten,
so wie es die Regel vorschreibt.
• Wir beginnen mit einem Anfangstableaux.
Das kann irgendein Tableaux mit genau einem Zweig sein.
• Tableaux-Expansion funktioniert wie folgt:
Gegeben ein Tableaux: Versuche einen Knoten zu finden, der
• kein markierter atomarer Ausdruck ist und
• auf den noch keine Expansionsregel angewendet wurde.
Solche Knoten werden unexpandierte Knoten genannt.
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Propositionale Inferenz
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Die Tableaux-Methode
Die Tableaux-Methode
Aussagentableaux
Aussagentableaux
Anmerkung
Geschlossene und offene Tableaux
Ein markierter Ausdruck kann zu mehreren Zweigen gehören.
Wenn wir eine Expansion vornehmen,
müssen wir alle Zweige, an denen die Eingabeformel verfügbar ist,
erweitern.
• Ein Zweig eines Tableaux ist geschlossen,
wenn er sowohl T φ als auch F φ enthält, wobei φ ein Ausdruck ist.
• Ein Zweig, der nicht geschlossen ist, wird offen genannt.
• Ein Tableau ist geschlossen,
wenn alle Zweige, die es enthält, geschlossen sind.
Es ist offen, wenn mindestens ein Zweig offen ist.
•
T (φ ∨ ψ)
•
•
•
Tφ
•
Tψ
Tφ
Tψ
Wenn wir T (φ ∨ ψ) erweitern,
müssen T φ und T ψ an allen Verzeigungen eingesetzt werden.
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Propositionale Inferenz
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Logik für Linguisten
Die Tableaux-Methode
Inferenz für PL 1
Aussagentableaux
Die Hauptdefinition
Inferenz für PL 1
Ein Ausdruck φ ist Tableaux-beweisbar (oder einfacher beweisbar) gdw.
es möglich ist, das initiale Tableaux, das nur aus dem Knoten F φ besteht,
in ein geschlossenes Tableaux zu expandieren.
• Jetzt diskutieren wir Inferenz für PL 1.
• Wir zeigen zuerst, wie wir unser aussagenlogisches Tableau-System für
Sprachen erster Stufe erweitern können.
Wenn φ beweisbar ist, schreibt man ⊢ φ.
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Logik für Linguisten
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Inferenz für PL 1
Inferenz für PL 1
Die Hauptsache
PL1-Tableaux
Es ist einfach, unser propositionales Tableaux-System zu einem
(korrekten und vollständigen) Tableaux-System für PL 1 zu
erweitern.
• Es ist sehr viel schwerer, das so zu tun, daß man eine effiziente
Computerimplementation bekommt.
Grundidee: Tableaux-Regeln elemenieren Quantoren und wandeln so
PL1-Formeln in propositionale Formeln um. Hier sind die ersten beiden
universellen Regeln, die wir brauchen:
•
T ∀xφ
T φ(τ )
F ∃xφ
F φ(τ )
Dabei steht φ(t) für das Ergebnis der Ersetzung der Variable,
die durch den Quantor gebunden wird, durch den geschlossenen Term t.
Aus T ∀xkiller(x) können wir T killer(jules), T killer(butch),
usw. schließen.
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Logik für Linguisten
Inferenz für PL 1
Inferenz für PL 1
Ein Beispiel
Was für Tableaux-Regeln braucht man für Formeln der Form T ∃xφ oder
F ∀xφ? Das ist eine knifflige Angelegenheit.
Wir zeigen die Gültigkeit von ∀x(die(x) → die(mia) ∧ die(zed))
1
2
3
4
5
• Angenommen, das Tableau enthält die Formel T ∃xkiller(x).
√
F (∀xd(x) → d(m) ∧ d(z))
T ∀xd(x)
F (d(m) ∧ d(z))
T d(m)
T d(z)
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1, F→
√
1, F→ ,
2, T∀
2, T∀
• Es ist nicht angemessen aufgrund dieser Information zu schließen, daß
T killer(jules) oder T killer(butch) oder sogar
T killer(closed-term) für jeden geschlossenen Term der Sprache,
mit der wir arbeiten gilt.
• Wir werden deshalb einen neuen Bezeichner (Parameter genannt)
einführen und den Quantor eliminieren, indem wir diesen einsetzen
(d. h., wir arbeiten mit einer mächtigeren Sprache).
6
F d(m) 3, F∧
7 F d(z)
3, F∧
Man beachte, daß wir T∀ auf Zeile 2 zwei Mal angewendet haben.
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Inferenz für PL 1
Inferenz für PL 1
Die existentiellen Regeln
Ein Beispiel
Hier sind F∀ und T∃ :
Wir zeigen, daß ∃x∀yshoots(x,y) → ∀y∃xshoots(x,y) gültig ist.
(Dieses Beispiel zeigt die Anwendung von allen vier Quantorenregeln)
F ∀xφ
F φ(c)
T ∃xφ
T φ(c)
Hierbei steht φ(c) für das Ergebnis der Substitution eines Parameters c,
den wir bisher nicht im Tableau-Beweis benutzt haben, für die neu
eleminierte Variable in der Matrix.
• Es ist wichtig, daß wir neue Parameter benutzen.
• Anmerkung: Die universellen Regeln müssen ebenfalls in der Lage sein,
Parameter zu verwenden! Das heißt, daß die universellen Regeln
unendlich viele Möglichkeiten zulassen.
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√
1,
1,
2,
3,
4,
5,
F→
F→
T∃
F∀
T∀
F∃
Man beachte die Interaktion der existentiellen und universellen Regeln.
Univerelle Regeln können auf Parameter zugreifen.
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Logik für Linguisten
Literatur
Blackburn, Patrick und Bos, Johan. 2005. Representation and
Inference for Natural Language. A First Course in
Computational Semantics. Stanford: CSLI Publications.
1 F (∃x∀yshoots(x,y) → ∀y∃xshoots(x,y))
2
T ∃x∀yshoots(x,y)
3
F ∀y∃xshoots(x,y)
4
T ∀yshoots(c1 , y )
5
F ∃xshoots(x, c2 )
6
T shoots(c1 , c2 )
7
F shoots(c1 , c2 )
von Kutschera, Franz und Breitkopf, Alfred. 2000. Einführung
in die moderne Logik. Alber Studienbuch,
Freiburg/München: Verlag Karl Alber, 7. Auflage.
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