Antworten zu typischen Prüfungsfragen von Prof. Bessenrodt

Stand: 17.02.98
gern gestellte Prüfungsfragen & Definitionen
• Klassische Mechanik (mit & ohne Gravitation, aber: v << c; Wirkungen >> h)
• Statik:
Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte.
Sie beschäftigt sich mit Kräften an starren Körpern und den Bedingungen, unter denen
diese im Gleichgewicht bleiben. Sie dient insbesondere zur Berechnung von Kräften,
die in Fachwerken, auf Lagern und Balken (Baustatik) auftreten.
‚ Kinematik:
Lehre von der Bewegung der Körper.
Die Kinematik stellt die mathematischen und physikalischen Begriffe zusammen, um die
Bewegung eine Massenpunktes zu beschreiben, ohne zunächst nach Ursachen für diese
Bewegung zu fragen. Dabei spielen die Größen Ort, Weg, Zeit, Geschwindigkeit und
Beschleunigung die zentrale Rolle.
ƒ Dynamik:
Lehre von den der Bewegung zugrundeliegenden Kräften.
Ziel ist es nicht mehr nur zu beschreiben, sondern Verfahren zu entwickeln, mit denen
man bei bekannter Ursache die Bewegung des Massenpunktes berechnen kann. Dazu
werden zentral die Begriffe Masse und Kraft verwendet. (Newtonsche Gesetze)
Newtonsche Axiome:
1. Newton neu:
Es gibt Koordinatensysteme, in denen ein kräftefreier
Körper im Zustand der Ruhe oder der gradlinig
gleichförmigen Bewegung verharrt (Inertialsysteme)
1. Newton “Urfassung”: Jeder Körper verharrt im Zustand derRuhe oder der glf.
glm. Bew., wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezw.
wird seinen Zustand zu ändern.
•
•
2. Newton:
F = p (Impulssatz) bzw. M = L (Drehimpulssatz)
3. Newton:
F12 = −F21 (actio = reactio)
Was benötigt man um •, ‚ & ƒ jeweils betreiben zu können ?
Welche Geometrie liegt der klassischen Mechanik zugrunde ?
Sie kannen die Gleichung F = m*a . Wie habe ich sie in meiner Vorlesung eingeführt?
• Massenpunkt: Idealisierung eines unendlich kleinen Körpers mit einer endlichen Masse
3 Freiheitsgrade (drei Raumrichtungen)
Gegensatz: starrer Körper
Wann kann man einen Körper als Massenpunkt betrachten?
• lokale & globale Freiheitsgrade (Was ist das / Unterschied?)
• starrer Körper: Körper mit Ausdehnung ⇒ hat Trägheitsmoment ⇒ 6 Freiheitsgrade
• Gleichgewicht:
Ein Körper befindet sich im dynamischen Gleichgewicht, wenn die Summe der wirkenden
Kräfte Fres und der ihnen entgegengesetzten Trägheitskräfte Ft verschwindet.
(d’Alambertsches Prinzip)
1
Translation: ∑ Fi
=0
i
Rotation: ∑ Mi = ∑ r i × Fi = 0 (Die Summe aller Drehmomente verschwindet)
i
i
Statik:
Nur wirkende Kräfte
Dynamik: Auch Trägheitskräfte
• Mechanische Systeme:
System
NEU
d’Álambert
Lagrange I
Beachtung von Zwangskräften
Lagrange II
generalisierte Koordinaten;
implizite
Zwangskraftbeachtung
generalisierte Impulse
mögl. viele zyklische Koord.
Hamilton
Hamilton-Jacobi
Charakteristisches
Besonderes
Vektorgleichungen
Brerechnung von
Zwangskräften
implizite
...Transformation
Zwangskraftbeachtung
Skalargleichungen
invariant
gegenüber
Zur Lagrange-Funktion: L = T−V: L kann ganz allg. eine das System charakterisierende Größe sein,
die das Extremalprinzip(? ausführen) erfüllt.
Legendre-Trafo von L auf H, Voraussetzung:
•
Auflösbarkeit von p =
dazu ist erforderlich:
∂L(q , q , t )
•
∂q
∂2L
•
•
∂ q k ∂ qi
•
•
nach q = q (q , p, t )
≠0
∀ k,i
+ Lagrange II: Wie ist dort potentielle & kinetische Energie in generalisierten Koordinaten ?
vgl (15) : Taylor (?????)
+ Symetrien beim Hamilton-Formalismus?
+ d’Alambert →Lagrange I: Trick in der Vorlesung, um jeden Term einzeln gleich Null setzen zu
können? Wie und warum sind die Einzelterme =0 bzw. die Variablen unabhängig ?
Genauer: Was folgt aus der Unabhängikeit der δr (Beweis) ?
+ Mit welchen zwei Verfahren kann man die Zwangsbedingungen einarbeiten? (general. Koord. &
Lagrange I / d’Almbert ????)
+ Kleine Schwingungen im Kristallgitter mit Lagrange II lösbar, (WIE?, kleine Geschw.…??)
+ Herleitung Lagrange II AUS Hamilton Prinzip (nicht kanonisch)
+ Was für Eigenschaften hat die benutzte Variation beim Hamiltonschen Prinzip(kanon.) ?
+ Herleitung Hamilton-Funktion für ein freies Teilchen!
+ Lagrange Multiplikatoren ≡(?) λ-Vorfaktoren in Lagrange I ???
+ Was sind anholonome Zwangsbedingungen: Warum sind sie nicht integrierbar ???????
+ mathematische Unterscheidung zwischen holonom & anholonom ???
• adiabatische Invariante: (z.B. beim mathem. Pendel; siehe (19)Rückseite)
• kanonische Invariante: → Def Poisson, kanon. Bewegungsgleichungen
• generalisierte Impulse: [p] muß nicht kg*m/1 sein, da [q] auch nicht unbedingt Meter ist

•
 ?
? 
•

Gilt immer? :  p ⋅ q  = Energie =  p ⋅ q 




Einen generalisierten Impuls mit Zusatzterm, der duch die Physik begründet ist, gibt es bei: bewegte
Ladung im B-Feld (Lorenz.Kraft?: F L = q ⋅ v × B )
2
• konservatives System:
energieerhaltendes System, in dem sich die Energie unter der Zeiteinwirkung nicht ändert.
Charakteristisch ist die Existenz einer Energiefunktion, die jedem Punkt im Phasenraum einen
Energiewert zuordnet. Das System bewegt sich dann auf den Äquipotentialflächen dieser Funktion.
Beispiel: Mechanik ohne Widerstände; elektrische Systeme ohne ohmsche Widerstände
Kriterien für Konservativität: äquivalent sind:
•
∫ F dr = 0 für bel geschlossenden Weg
‚ Wegunabhängigkeit
ƒ ∇×F = 0
„ Energieerhaltung
Äquivalenz • ⇔ ƒ zeigen können mit Satz von Stokes. Zeige(?)
Voraussetzung für Potentialkräfte: Wegunabhängigkeit = Rotationsfreiheit des Potentials
Stokes
∫ Bdr =
∂F
∫ rot B df
F
••
•
• Fälle des harmonischen Oszillators: x + 2 γ x + ω 20 x = 0
Fall
Unterfall
Unterfall
(Bessenrodt- (LiteraturBezeichnung) Bezeichnung)
Ergebnis
Dämfung
frei
gedämpft
unterkritisch
Schwingfall
γ < ω0
kritisch
aperiodischer Granzfall
γ = ω0
überkritisch
Kriechfall
γ > ω0
• Invarianzen/Symetrien ⇒ Erhaltungsgrößen (Noether-Theorem):
Invarianz
Kürzel
Erhaltungsgröße
Raumverschiebungsinvarianz
Drehinvarianz
Zeitverschienunginvarianz
spezielle Gallileiinvarianz
RVI
DI
ZVI
sGI
Impuls
Drehimpuls
Energie
G : Schwerpunktintegral
•
•
•
•
Einschränkungen in Bez. auf
Erhaltungssätze (?)
Unterschied Bezugskörper - Koordinatensystem( i.a. senkrechte Achsen)
Koordinatensystem: rechts-links-System ?
Polarkoordinaten: Was sind Polarkoordinaten ?
Kreisel: rotierender starrer Körper, bei dem bei seiner Drehung ein Punkt raumfest bleibt.
unsymetrischer Kreisel:
A≠B≠C
symetrsicher Kreisel
A = B ≠ C oder A = C ≠ B oder B = C ≠ A
Kugelkreisel / vollsymetr. Kreisel: A = B = C
• Hauptträgheitsachsen:
• Trägheitstensor:
Definition:
Eigenschaften: symetrisch, reell
Bestimmung der Eigenvektoren des Trägheitstensors: (?)
• Hauptachsentransformation: (Skript S. 60)
3
• geführte Bewegung:
• Beschleunigungsgesetz: Wodurch ist ein Beschleunigungsgesetz ausgezeichnet? Wie sieht dabei z(t)
aus?
• Warum ist das Superpositionsprinzip nicht trivial ?
• Kepler:
Zweiteilchen-Problem im Gravitationspotential ⇒ Kepler-Gesetzte:
1. Kepler: Alle Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
2. Kepler: Ein von der Sonne zu einem Planeten gezogener Lichtstrahl überstreicht in gleichen Zeiten
gleiche Flächen.
3. Kepler: Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier Planeten verhalten sich wie die dritten
Potenzen der großen Halbachsen a1 und a2 iherer Bahnen:
T12 a 13
T2
=
⇒
= const.
T22 a 32
a3
Man beachte, daß 1 & 2 Aussagen über einen Planeten und die Sonne machen, wogegen 3 eine
Aussage über verschiedene Planeten macht!
Warum gilt der Flächensatz bei konservativen Systemen.
Wie sehen die Bahnen in einem Inertialsystem aus ? (4)Erklärung?
• Zentralkraft:
F : Zentralkraft ⇒ M=0 ⇒ L=const.
Von einer Zentralkraft im engeren Sinne verlangt man: F = F(r), d.h. unabhängig von v & t.
⇔ Flächensatz
•
1 2 •
L
r ϕ=
= A = const.
2
2µ
µ : reduzierte Masse
(gilt das “⇔“ NUR bei im engeren Sinne ?????????????????)
Ein Zentralkraftfeld hat immer ein Potential
Coulombpotential:
VC =
q 1q 2
4πε 0 r
mv 2
= m ω × (ω × r ) = m ⋅ ω 2 ⋅ r
r
1 •2
L2
⇒ Hamilton-Fkt für konservatives skleronomes System: H = T + VZP = m q +
2
2 mq 2
Zentrifugalpotential:
VZP =
L2
2 mr 2
→
F ZP =
• träge Masse mT: gibt an, welchen Widerstand ein Körper einer Bewegungsänderung entgegensetzt
schwere Masse mS: drückt aus, wie stark ein Körper von einem anderen aufgrund der
Gravitationskraft angezogen wird
mT = mS : Experimentell überprüfte Tatsache und Ausgangspunkt für die allgem. Relativitätstheorie!
(Einsteins Äquivalezprinzip)
“Herleitung”: freier Fall:
m T ⋅ a = F = G = mS ⋅ g ⇒ a =
mS
⋅g
mT
• quasistatisch: Wann ist ein System quasistatisch.
• Raketen-Gleichung: Herleitung
•
• Darstellungsräume:
Raum
Dimension
Achsen
Konfigurationraum
Ereignisraum
Phasenraum
Zustandsraum
S
S+1
2S
2S+1
q1, q2, …qS
q1, q2, …qS, t
q1, q2, …qS; p1, p2, …pS
q1, q2, …qS; p1, p2, …pS, t
zugehörig
4
Lagrange-Formalismus
Hamilton-Formalismus
• Wichtige Funktionen:
Hamilton-Funktion für den harmonsichen Oszillator: H =
p2 1
+ mω 20 q 2
2m 2
woher 2. Term (?)
••
Schwingungs-Gleichung(Harm. Oszillator): x + ω 20 x = 0
••
mathematisches Pendel: ϕ +
ω0 =
k
m
g
sin ϕ = 0
l
• Beispiele:
holonom: fi(r1, …, rN, t) = 0
; i ≤ 3N
⇒ eleminieren von überflüssigen Koordinaten möglich (soviele, wie NB)
anholonom: fi(r1, …, rN, t) ≠ 0 Anzahl der Koordinaten verringert sich NICHT
skleronom: zeitunabhängige Nebenbedingung
rheonom: explizit zeitabhängige Nebenbedingung
Freiheitsgrade: Anzahl der Zahlenwerte, die notwendig sind um den (Bewegungs-)Zustand eines
Körpers zu bestimmen.
• Sonstiges:
•
δq =
d
δq
dt
∂r i
∂r
δq k =: i δq
∂q
k =1 ∂ q k
δ (q ⋅ p) = p δq + q δp
f
δr i = ∑
dr i =
f : Freiheitsgrade
∂r i
∂r
dq + i dt
∂q
∂t
Fges = Fkonservativ + Fdissipativ
5