Technische Dynamik

 Spezialfälle
1. F hängt nicht explizit von y ab, F  F  x, y 
Technische Dynamik
Verfasst mit tatkräftiger Unterstützung von Tim Good.
Rechenregeln
f  f f
f 

,
,...,

x  x1 x2
xn 
x
 f1
 x
 1
 f 2
f 
 x1
x 


 f m
 x
 1
x
f1
x2
f1 
xn 






f m 
xn 
 Vektorraum
und f :
n
n

n
und f :
d  F 
 
0
dx  y 

m
2.
Jacobi-Matrix
 VarP so, dass    ,x0   y0 ,    ,x1  bel
 Fy  x, y  x    0
 Stationaritätsbedingungen:
DG der Form a2  x   y  a1  x   y  a0  x   y  f  x 
Ges:
zugehöriges Variationsproblem
   a  a  a
 a   a
 assoziativ
Sei V Vektorraum über und D  V . Eine
Abbildung J : D  , die jedem Vektor v  D eine
reelle Zahl J  v  zuordnet, heisst Funktional auf D.
p  x  y  p  x 
J :V  , J  f  : f   
Bestimmtes Integral
J :V  , J  f  :  f  x  dx
y  p  x 
a1  x 
p  x   p  x 
Damit
 p  x  y   h  x   q  x  y   0
a2  x 
d
Fy'
dx
a2  x 
y  p  x
:q  x 
Löse
 p  x  e
a2  x 
:h x 
a1
 a 2 dx
**
selbstadj. Form
Fy
Schritt 2: Finde Lagrange Funktion F  x, y, y  ,
a
 F  x, y, y  
b
a
J :V  , J  f  :  1  f   x  dx
2
b
Variationsrechnung (VarR)
Finde y  x  mit y  x0   y0 , y  x1   y1 so, dass
J  y   F  x, y  x  , y '  x   dx
x1
extremal oder stationär wird. Dabei heisst
F  x, y  x  , y '  x   Lagrange'sche Fkt.
Was man kennt, wird nicht variiert. Was
unbekannt ist, variiert man, um sich das
Beste aussuchen zu können.
Eulergleichungen der VarR
Variation = Einführen
   , x   y  x  mit RB
von bel. Kurvenscharen
   , x0   y0     , x0   0
(Vergleichskurven)
   , x1   y1     , x1   0
J  y   h   ,   h '   0 ,   0
 Natürliche RB
Ges: y  x  mit y  x0   y0 und y  x1  frei, so dass
x1
J  y    F  x, y, y  dx  stationär
x0

y  n   x  dx  stationär
unter den 2n RB: y  x0   y0
y  x0   y01
y  x1   y1 y  x1   y11
y  n 1  x0   y0n 1
y  n 1  x1   y1n 1
Gewöhnliche DG 2n-ter Ordung (  Eulergleichung)
d
d2
d3
Fy  Fy  2 Fy  3 Fy 
dx
dx
dx
dn
  1
F  n  0
dx n y
n
Variation mit Fkt.en mehrer Variablen
Gesucht: w  x, y, z  so, dass
für gegebenes w  x, y,z   w0  x, y,z  auf G
Vergleichskurven    , x, y, z  so, dass
   ,x, y,z   w0  x, y,z  für  x, y,z   G
J  w   h   ,  h'  0 ,  0 fordern



Fw  Fwx  Fwy  Fwz  0
x
y
z
Eulergleichungen für
mehrer Variablen
Variation mit mehreren Funktionen
T
Gesucht: q  t  =  q1  t  qn  t   so, dass
t1


J  q    L t,q,q dt  stationär mit q  t0   q0 , q  t1   q1
t0
 Transversalitätsbedingungen
Ges: y  x  mit y  x0   y0 und y  b   f  b  mit geg. f  x 
Bilde h    und setze h'  0   0; partielle Integration...
    ,x0   yo
 b    
   ,b      f  b    
   ,b    
f   b      b     ,b    
Virtuelle Verschiebungen sind Differenzen zwischen gedachter
(  virtuell) beliebig benachbarter Lagen q * und tatsächlicher
Lage q bei festgehaltener Zeit t .
Virtuelle Verschiebungen  q von q q  t   qˆ   , t  

0
( : Teil der Defintition;
ˆ   , t   t
dq
t

q


t
0
d : Operator)
ˆ


q
,
t



,
t


qˆ   , t  , t




Induzierte virtuelle
Verschiebungen und



 
 q ;  
q 
Geschwindigkeiten
q
q
t
 q  dq


Virtuelle Arbeit – Einführung
 Physikalische
Arbeit
dW  F T dr ,
s2
W   dW  s 
s1
 Virtuelle Arbeit W  F T r , keine Integration
dW und W wird gebildet mit
 Axiom
dr und r am Kraftangriffspunkt
δW invariant unter Koordinatenwechsel.
G
  0 ,t   q  t  und    ,t0   q0 ,    ,t1   q1
und noch unbek. b so, dass J  y   stationär
Variationsschar
J  w    F  x, y,z,w,wx ,wy ,wz  dV  stationär
d
Betrachte zuerst die , für die    0 , x1   0  Fy 
Fy  0
dx
F
Betrachte jetzt alle anderen  
 x1 , y  x1  , y  x1    0
y
d
F d  F 
F  F  x, y, y  :
 
  0 1. Löse zuerst Fy  dx  Fy'   0
y dx  y 
F  b, y  b  , y   b  
d
 gewöhnliche DG 2. Ordnung
2. Fy   Fy   0 , Fy  b, y  b  , y   b   
0
dx
f   b   y  b 
 Lösungen der DG heissen Extremalen
 Notwendige Bedingung für Variationsproblem
 Notwendige Bed. für Minimum, hinreichend für stationär.
Eulergleichungen

   ,x, y,z   0,  x, y,z   G
1
1
p  x  y 2  q  x  y 2  h  x  y
2
2
Randbedingungen
x0
Grundregel:
a2  x 
: p x 
f  x
d
versuche
Fy  Fy  0
dx
Stellenfunktional
Bogenlänge
* 
Schritt 1: Stelle selbstadjungierte Form von *  her:
 wenn eine Skalarmultiplikation V  a  αa  V mit α  R
erklärt ist, so dass:
 distributiv
 a  b  a  b
x1
J  y    F x, y  x  , y   x 
x0
Geg:
a0  x 
 i  Fy 
Variation mit höheren Ableitungen
Gesucht ist y  x  so, dass
Gleichung nach y  x     y  x   auflösen und integrieren
a1  x 
q t 
qˆ   , t  , qˆ  0 , t   q  t 
Lagen zur Zeit t
Virtuelle Verschiebungen (VV)
d
f y
dx
 ii  Fy  x1 , y  x1  , y  x1    H   y  x1  
VarPe und gewöhnliche DGs
a b  ba
a  b  c  a  b  c
a0 0a
a   a   a  a  0
 Einselement
 Inverses Element
Problemstellung
x0
F hängt nicht von y ab, F  F  x, y 
Fy  Fyy  y  Fyy  y  0  F  Fy  y   konst
Eine Menge V heisst VR über R,
 kommutativ
 assoziativ
Definition:
J  y    F  x, y, y  dx  H  y  x1    stationär
 Fy  x, y  x    konst
F hängt nicht explizit von x ab, F  F  y, y  
3.
Lagrange’sche Mechanik
x1
Ist bereits implizite Darstellung der Extremalen
 wenn für beliebige a,b,c  V gilt:
 Funktional
 Modifizierte RB
Ges:
y  x  mit y  x0   y0 und y  x1  frei, so dass
Vergleichskurven    ,t  so, dass
   ,t0   0    ,t1   0
Eulergleichung für mehrere
Funktionen
L d  L  T
  0
q dt  q 
Sonderfall 3:
L hängt nicht von t ab
 L 
L    q   H 0  konst
 q 
Das Prinzip der virtuellen Arbeit (PvA)


Virtuelle Arbeit für System S
W   T dm  dF
 Trägheitskräfte und
S
andere Kräfte)
mit
dF
 x   dF a  x   dF i  x 
 δ Bestandteil der Def.
PvA erfordert äussere und innere Kräfte!!!
Innere Kräfte haben keine
F i  dF i  0
Resultierende nach aussen
S

M 0i    dF i  0
S
 Das Prinzip der virtuellen Arbeit
Ist W  0  , so gilt Impuls- und Drallsatz für S und für jedes
seiner Subsysteme. Damit ist S im dynamischen Gleichgewicht.
Die Zentralgleichung
Kinetische Energie des
Systems
T
1 T
 dm
2 S
Variation der kinetischen
1ˆ
ˆ 
   Tt dmt   Tˆ    T
Energie
 2
S

 ˆ ˆ

 1ˆ
ˆ 
ˆ
W     T t dm      Tt dmt     T dF
2
S
S
t
S

Lagrange’sche
Zentralgleichung


W    T dm   T   T dF
S
S


f q , q , t ,
Minimalkoordinaten und Lagrange II
Freiheitsgrade f  Beweglichkeit auf f Richtungen beschränkt
Ein minimaler Satz von f Koordinaten q  t   f , mit dem die
Lagen aller Punkte  im System eindeutig beschrieben werden
können, heisst Minimalkoordinaten von S.
Lagen aller Punkte
   q ,t


Die durch  q induzierte virt. Verschiebungen  vert heissen
die mit den Bindungen vertäglichen virt. Verschiebungen.
Mit Bindungen verträgliche


verträglich 
q
J
virtuelle Verschiebung
q
q
Notwendige Bedingung für W  0  vert
das dynamische GGW von S
T
Verallgemeinerter Impuls


T


 q 
Verallgemeinerte Kraft
Anwendung auf Mehrkörpersysteme
 Repetition Mechanik 3
Kennzeichnungen:
Koordinatentransformation
(von B nach D)
Drehgeschwindigkeit des
Koordinatensystems
(D gegenüber B)
Addition von Drehgeschw.
(bezüglich gleicher Basis!!)
Geschwindigkeit am
Starrkörper
D
c  ADB B c
Notwendige Bedingung für
dynamisches Gleichgewicht
T
C
BD C B1 C 12 C 2 D
B
  B JK
d  T   T 

 
  f
dt  q   q 
Definition: passive Kräfte
erbringen keine virt. Arbeit
für beliebige verträgliche
virtuelle Verschiebungen
  
q T  f P  q T    dF  0
q 
S
 q
Definition: Potentialkraft
V ist ein Potential
 V 
f P 

 q 
T
T
Alle anderen aktiven Kräfte heissen Nichtpotentialkräfte fNP
 Lagrange II
T
T
33
T
1  vP   mE
T     T
2     mrPS

v  B vP  B  B rPQ
Translationsanteil

B
  B rPS

1
 C T C  P C 
2
Koppelterm
Rotationsanteil
Wähle P = Fixpunkt, wenn der SK einen solchen besitzt.
Wähle P = Schwerpunkt, wenn jeder Punkt des SKs bewegt.
 Potential
Schwerepotential eines SKs
0 
V  mrOST g ,
g  
 g 
T
.
d  T   T   V 

 
 
  f NP
dt  q   q   q 
Potential einer linearen Feder
1
2
V  c  x  xE 
2
1
2
V  c rOB  rOA
2

Prinzip der stationären Wirkung
2

Prinzip von Hamilton
 Nichtpotentialkräfte
Für ein System ohne
L t , q , q  T t , q , q  V  t , q  für Kräfte
Nichtpotentialkräfte gelte:
f NP  B J QT B F
Aus den Eulergleichungen für L ergibt sich Lagrange II. Somit für freie Momente
f NP  B J RT B F
kann man LII auch also Variationsproblem formulieren:
T
T
 Prinzip der stationären Wirkung (Hamilton)
B J R und B J R heissen Jacobi-Matrizen der Translation in Q






J  q    T t , q , q  V  t , q  dt  stat .
t
t0
Definition:
zyklische Koordinate qk
Verallgemeinerte
Impulserhaltung in qkRichtung
T V

 f NP ,k  0
qk qk
T
 k 
 konst
qk
Konservative Systeme
Ein System heisst konservativ, wenn:
 Keine Nichtpotential-Kräfte angreifen und
 T, V nicht explizit von der Zeit t abhängen (Sonderfall c)
Satz: für konservative
T  V  H 0  konst
Systeme gilt
Energieerhaltung
und der Rotation. (Dynamik von Mehrkörpersystemen)
 Lagrange-Dynamik
1. Bilde
T  T , V  V , f   f
i
j
i
NP
NP
l
j
i
2. Berechne dann für jede Koordinate
d  T  T V

 f NPk  0  ak q, q, q, t ,


dx  qk  qk qk
(nichtlineare DG 2. Ordnung)


Struktur der Bewegungsgleichungen
Aus Lagrange II
erhält man f DGen. M  q , t   q  g q , q , t  f q , q , t ,   0




 h  q ,q ,t , 


M  MT 


g q, q, t 
ff
f
q  t   q0 t   q t  q t   q0 t   q t 
q  t   q0  t   q  t    t    0  t     t 



0  a  a0 
a
a
a
a



 O  2
q 0 q 0 q 0  0
0  M  q  B  q  Cq  b  t 
Einschränkung der Bewegungsfreiheit
 bilateral:
zweiseitig
 rheonom:
zeitabhängig
 skleronom:
zeitunabhängig
 holonom:
 auf Lageebene: geometrisch
Definition:
Geometrische Einschränkung der
Bindung
Bewegungsfreiheit, realisiert von
Bindungskräften
ideale Bindung  Bindungskräfte erbringen keine virtuelle
Arbeit unter allen verträglichen VVen
 Bindungskräfte  Zwangskräfte
 Zwangskräfte sind passiv
 treten in den BGen nicht auf
 Prinzip von d’Alembert/Lagrange
Klassifizierung
aktive
eingeprägte Kr. Zwangskr. passive
von Kräften
Begriffe
B Q
mrPS   vP 
 
P    
1
T  mAvPT A vP  mB vPT
2
Aufspalten von q
a q , q , q ,t ,   M  q ,t   q  h q , q ,t ,   0
Eulerableitung
T
Linearisierung von Lösungen
 Taylorentwicklung  MDGKN-System
T
BD  ABD ABD

B vP  B v A  B rAP   JB  B rAP
SK-Formel:
 Kinetische Energie
Stationäre Lösungen/Bewegungen q  0, q  konst
0
0
Gleichgewichtslagen
q0  q0  0, q0  konst
q0 : Lösung; q : Störung
B
T
 T 
f  

 q 
generalisierte Kräfte
τ: Vektor der Stellgrössen (in RT: u)
Lösungen nichtlinearer BGl.
J  intertial
K  körperfest
B  beliebig
KB : V  3 , B c  KB  c 
Koordinatenabbildung

Massenmatrix des Systems:
symmetrisch und positiv definit
gyroskopische Beschleunigungen
(Coriolis-Kräfte, Christoffel-Symbole)
Es ist hinreichend, die äusseren eingeprägten Kräfte zu
berücksichtigen.
Beispiele idealer Bindungen
Stange
Koordinaten x und y
Kräfte G und H
y  x  c  y  x
WZ  Gx  H y   G  H  x  0 x
damit Bdg. ideal  H  G
Motor (rückwirkungsfrei) y  x  e  t   y  x  Zeit festhalten!
Koordinaten x und y
WZ  Gx  H y   G  H  x  0 x
Kräfte G und H
damit Bdg. ideal  H  G
Da zeitfeste Betrachtung  Motor als Stange ansehen!
Motor leistet keinen Beitrag an die virtuelle Arbeit.
  ax  c    ax
Schraube (reibungsfrei)
Koordinaten x und φ
Kraft G und Moment M
WZ  Gx  M    G  aM  x  0 x
Übersetzung 2:1
Koordinaten x und y
Kräfte G und H
WZ  Gx  H y   G  2 H  x  0 x
1
damit Bdg. ideal  M   G
a
y  2 x  y  2  x  Zeit festhalten!
1
damit Bdg. ideal  H   G
2
Ideales Sperren von Freiheitsgraden
Gegeben: Bewegungsgleichungen in Minimalkoordinaten z


M  z ,t  z  h z , z ,t  0
 
Gesucht: Bewegungsgleichungen in neuen Minimalkoordinaten q


M  q ,t  q  h q , q ,t  0
wenn in    Freiheitsgrade über zusätzliche ideale
Lagebindungen gesperrt werden
Vorgehen:
i 
Drücke alte Koord. über neue Koord. aus:
z  z  q ,t  , z  Q  q ,t  q    q ,t 
zvert  Q  q , t   q , z  Q  q , t   q    q , q , t 
 ii  Berücksichtige in    die durch die zusätzlichen Bindungen
entstandenen Zwangskräfte f z  die gleich wieder herausfallen 
M  z ,t  z  h  z , z ,t   f z  0
 iii  Transformiere virtuelle Arbeit

0  z T M  z  h  f z
0  q Q
T
T

 verträglichen z
 M Q  q     h  z  q ,t  , z  q , q ,t  ,t  , z

 0  QT MQ q  QT h  QT M 
M
T
vert
 f z 0

h
Vorgehen gilt auch, wenn keine Freiheitsgrade gesperrt werden
(Koordinatetransformation)
Bsp.: Bestimmung von Lagerreaktionen
SKIZZE
 r   rA  a rB   rA  l
0   W  FA rA  F r  FB rB
  rA  FA  F  FB     aFA  lFB 
 rA  0,   0  FA  ..., FB  ...
Wähle für Näherung un  x  Ansatz wie bei Ritz


U  U n : un  x   q T  v  x   p  x 
Approximation kontinuierl. Schwinger
Statik des längselastischen Stabes
Problem:
Einseitig eingespannter Stab
mit geg. RB u(0)=a und geg.
Endlast F
Freischneiden:
und zugehöriges virtuelles Verschiebungsfeld


u  x 
V  V n : un  n
 q  q T v  x  
q


l
l
0
0
  EAv  x  v T  x  dx  q  F  v  l    EAv  x  p   x  dx
K q  b
N  x  A   x
Gleichungssystem für q  wie bei Ritz 
Methode der gewichteten Residuen
Wähle für Näherung un  x  Ansatz wie bei Ritz
 EA    x   EA  u   x 

F
 Lösung durch Integration: u  x  
xa
EA
und zugehöriges virtuelles Verschiebungsfeld
u  x 


V  V n : un  n
 q  q T v  x  
q


Behandlung mit virtueller Arbeit
„Minimalkoordinaten“


V  u  x  u  0   0
U  u  x  u  0  a
Virtuelle Arbeit  starke variationelle Formulierung  :

U  U n : un  x   q T  v  x   p  x 
Problem: Finde u  x  so, dass EA  u   x   0 , u  x  0   a , EA  u   l   F
l
l
0
0
  EAv  x  v T  x  dx  q  F  v  l    EAv  x  p   x  dx
K q  b
Gleichungssystem für q  wie bei Ritz 
Zusammenfassung
Problem I: Für U ,V finde u  x   U so, dass
- Ansätze vi  x  müssen linear unabhängig sein bei allen Methoden


  u  x  EA  u   x  dx  u  l   F  N  l    0 u  x   V



0
 EAu l  

  gewichtete Residuen 
- Matrizen der Form  v  x  v  x  dx heissen Ortsintegralmatrizen
l
T
Biegeschwingungen von Balken
Partielle Differentialgleichungen und Einspannfälle
Part. Integration der virt. Arbeit  schwache variationelle Formulierung  :
Problem II: Für U ,V finde u  x   U so, dass
l
 u  x  EA  u  x  dx  u l  F  0
u  x   V
0
  Galerkin-Methoden 
Element Freischneiden:
Herleitung des Variationsproblems  falls möglich  :

Problem III: Für U finde die stationären Punkte u  x   U
das Variationsproblem
   A  x  dx
EI
Partielle DGl. für
wtt  x , t   
wxxxx  x , t  ; A ,   konst
A
Euler-Bernoulli-Balken
Lösung mit Separationsansatz: w  x , t   v  x   q  t 
  Ritz-Verfahren 
Ritz Verfahren
Wähle als Ansatz für un  x  n-parametrige Schar
n


U  U : un  x    qi vi  x   p  x   q T  v  x   p  x  
i 1


mit: vi  x  gewählte Ansatzfunktion mit vi  0   0
n
p  x  gewählte Ansatzfunktion mit p  0   0
qi
Q  x ,t   M x  x ,t 
dm
l
1
J  u    EA  u 2  x  dx  u  l  F  0
20
 wx  x , t 
M  x , t    E  I  x  wxx  x , t 
 v  x   A cos x   B sin x   C cosh x   D sinh x 
q  t   E sin  t   F cos  t 
Einspannfälle:
Typ
lineare Führung
zu bestimmende Koeffizienten
l
l
  EAv  x  v T  x  dx  q  F  v  l    EAv  x  p  x  dx
0
feste Einspannung
0
K q  b
Galerkin-Verfahren
Gleichungssystem für q
freies Ende
kinematische RB
w  0 ,t   0

w  0 ,t   0
wx  0 , t   0


kinetische RB

M  0 ,t   0


M  0 ,t   0
Q  0 ,t   0