Hilbert`s Axiome

Hilbert's Axiome
Die Elemente der Geometrie
Es gibt drei verschiedene Systeme von Elementen, genannt:
Punkte, bezeichnet mit A; B; C; : : : ,
Geraden, bezeichnet mit a; b; c; : : : , und
Ebenen, bezeichnet mit ; ; ; : : : .
Die Punkte heien die Elemente der linearen Geometrie, die Punkte und Geraden
heien die Elemente der ebenen Geometrie, und die Punkte, Geraden und Ebenen
heien die Elemente der raumlichen Geometrie.
Es gibt verschiedene Relationen zwischen diesen Elementen. Diese Relationen werden
durch Worte wie liegen, zwischen, kongruent bezeichnet und anhand von Axiomen in
funf Gruppen unterteilt:
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1.1
Axiome der Verknüpfung
Gruppe I: Axiome der Ebenen
I 1. Zu zwei Punkten A, B gibt es stets eine Gerade a, die mit jedem der beiden
Punkte A, B zusammengehort.
I 2. Zu zwei Punkten A, B gibt es nicht mehr als eine Gerade, die mit jedem der
beiden Punkte A, B zusammengehort.
I 3. Auf einer Geraden gib es stets wenigstens zwei Punkte. Es gibt wenigstens drei
Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen
1.2
Gruppe I: R”aumliche Axiome
I 4. Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegenden Punkten A, B , C gibt
es stets eine Ebene , die mit jedem der drei Punkte A, B , C zusammengehort.
Zu jeder Ebene gibt es stets einen mit ihr zusammengehorigen Punkt.
I 5. Zu irgend drei nicht auf ein und derselben Geraden liegenden Punkten A, B ,
C gibt es nicht mehr als eine Ebene, die mit jedem der drei Punkte A, B , C
zusammengehort.
I 6. Wenn zwei Punkte A, B einer Geraden a in einer Ebene liegen, so liegt jeder
Punkt von a in der Ebene .
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I 7. Wenn zwei Ebenen , einen Punkt A gemein haben, so haben sie wenigstens
noch einen weiteren Punkt B gemein.
I 8. Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.
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Axiome der Anordnung
II 1. Wenn ein Punkt B zwischen einem Punkt A und einem Punkt C liegt, so sind A,
B , C drei verschiedene Punkte einer Geraden, und B liegt dann auch zwischen C
und A.
II 2. Zu zwei Punkten A und C gibt es stets wenigstens einen Punkt B auf der Geraden
AC , so dass C zwischen A und B liegt.
Erklarung: Wir betrachten auf einer Geraden a zwei (verschiedene) Punkte A und
B ; wir nennen das System der beiden Punkte A und B eine Strecke und bezeichnen
dieselbe mit AB oder mit BA. Die Punkte zwischen A and B heien Punkte der
Strecke AB oder auch innerhalb der Strecke AB gelegen; die Punkte A, B heien
Endpunkte der Strecke AB . Alle ubrigen Punkte der Geraden a heien auerhalb
der Strecke AB gelegen.
II 3. Unter irgend drei Punkten einer Geraden gibt es nicht mehr als einen, der zwischen
den beiden anderen liegt.
II 4 Es seien A, B , C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade
in der Ebene ABC , die keinen der Punkte A, B , C trit: wenn dann die Gerade a
durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie gewi auch durch einen Punkt
der Strecke AC oder durch einen Punkt der Strecke BC .
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Axiome der Kongruenz
III 1. Wenn A, B zwei Punkte auf einer Geraden a und ferner A0 ein Punkt auf derselben
oder einer anderen Geraden a0 ist, so kann man auf einer gegebenen Seite der
Geraden a0 von A0 stets einen Punkt B 0 nden, so dass die Strecke AB der Strecke
A0 B 0 kongruent oder gleich ist, in Zeichen:
AB = A0 B 0 :
III 2. Wenn eine Strecke A0 B 0 und eine Strecke A00 B 00 derselben Strecke AB kongruent
sind, so ist auch die Strecke A0 B 0 der Strecke A00 B 00 kongruent; oder kurz: wenn
zwei Strecken einer dritten kongruent sind, so sind sie untereinander kongruent.
III 3. Es seien AB und BC zwei Strecken ohne gemeinsame Punkte auf der Geraden a
und ferner A0 B 0 und B 0 C 0 zwei Strecken auf derselben oder einer anderen Geraden
a0 ebenfalls ohne gemeinsame Punkte; wenn dann
AB = A0 B 0 und BC = B0C 0
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ist, so ist auch stets
AC = A0 C 0 :
III 4. Es sei ein Winkel ](h; k) in einer Ebene und eine Gerade a0 in einer Ebene 0
sowie eine bestimmte Seite1 von a0 in 0 gegeben. Es bedeute h0 einen Halbstrahl
der Geraden a0 , der vom Punkte O0 ausgeht: dann gibt es in der Ebene 0 einen
und nur einen Halbstrahl k0 , so dass der Winkel ](h; k) kongruent oder gleich dem
Winkel ](h0 ; k0 ) ist und zugleich alle inneren Punkte2 des Winkels ](h0 ; k0 ) auf
der gegebenen Seite von a0 liegen, in Zeichen:
](h; k) = ](h0 ; k0 ):
Jeder Winkel ist sich selbst kongruent, d.h. es ist stets
](h; k) = ](h; k):
Erklarung. Es sei eine beliebige Ebene, und h, k seien irgend zwei verschiedene
von einem Punkte O ausgehende Halbstrahlen in , die verschiedenen Geraden
angehoren. Das System dieser beiden Halbstrahlen h, k nennen wir einen Winkel
und bezeichnen denselben mit ](h; k) oder mit ](k; h).
Hierbei heien die samtlichen auf ein und derselben Seite von O in der Geraden
a gelegenen Punkte ein von O ausgehender Halbstrahl.
III 5. Wenn fur zwei Dreiecke ABC und A0 B 0 C 0 die Kongruenzen
AB = A0 B 0 ; AC = A0 C 0 ; ]BAC = ] B 0 A0 C 0
gelten, so ist auch stets die Kongruenz
]ABC
= ]A0 B 0 C 0
erfullt.
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Axiom der Parallelen
IV [Euklidisches Axiom] Es sei a eine beliebige Gerade und A ein Punkt auerhalb
a: dann gibt es in der durch a und A bestimmten Ebene hochstens eine Gerade,
die durch A lauft und a nicht schneidet.
1 Der
Begri \Seite" folgt aus Hilbert's Satz 8, den wir in der Vorlesung behandeln werden. Satz 8
besagt, dass eine Gerade, die in einer Ebene liegt, die Ebene in zwei H"alften teilt.
2 Der Begri \innerer Punkt" leitet sich wieder aus Satz 8.
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Axiome der Stetigkeit
V 1. [Axiom des Messens oder Archimedisches Axiom] Sind AB und CD irgendwelche Strecken, so gibt es eine Anzahl n derart, dass das n-malige HintereinanderAbtragen der Strecke CD von A aus auf den durch B gehenden Halbstrahl uber
den Punkt B hinausfuhrt.
V 2. [Axiom der linearen Vollstandigkeit] Das System der Punkte einer Geraden mit
seinen Anordnungs- und Kongruenzbeziehungen ist keiner solchen Erweiterung
fahig, bei welcher die zwischen den vorigen Elementen bestehenden Beziehungen
sowie auch die aus den Axiomen I-III folgenden Grundeigenschaften der linearen
Anordnung und Kongruenz, und V 1 erhalten bleiben.
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