A → B
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2. Elemente der Logik Deduktion A Voraussetzung Prämisse, Annahme Brückenkurs Mathematik −→ B −→ Behauptung Conclusio, Schlußfolgerung Folie 2.46 2. Elemente der Logik Beweisprinzipien - Angabe eines Gegenbeispiels - direkter Beweis - Beweis durch Kontraposition - Widerspruchsbeweis - Äquivalenzbeweis Beweis durch Fallunterscheidung Beweis atomarer Aussagen Beweis von Aussagen mit Quantoren - kombinatorischer Beweis - Beweis durch vollständige Induktion Brückenkurs Mathematik Folie 2.47 2. Elemente der Logik Lemma 1 Wenn a durch 6 teilbar ist, dann ist a auch durch 3 teilbar. Beweis (ausführlich) A: a ist durch 6 teilbar. A1: a = 6 · k für eine ganze Zahl k. (Def. der Teilbarkeit durch 6) A2: a = (2 · 3) · k für eine ganze Zahl k. (6 = 2 · 3) A3: a = (3 · 2) · k für eine ganze Zahl k. (Kommutativität von ·) A4: a = 3 · (2 · k) für eine ganze Zahl k. (Assoziativität von ·) A5: a = 3 · k 0 für eine ganze Zahl k 0. (Ersetzung von 2 · k durch k 0) B: a ist durch 3 teilbar. (Def. der Teilbarkeit durch 3) Die fünf Implikationen A → A1, A1 → A2, A2 → A3, A3 → A4, A4 → A5 , A5 → B sind jeweils wahre Aussagen und damit auch A → B Brückenkurs Mathematik Folie 2.48 2. Elemente der Logik Indirekte Beweise Zu A→B sind äquivalent: ¬B → ¬A A ∧ ¬B → B A ∧ ¬B → ¬A Brückenkurs Mathematik (1) (2) (3) Folie 2.49 2. Elemente der Logik Beweis durch Kontraposition Lemma 2 Wenn a2 eine ungerade Zahl ist, dann ist a ungerade. ¬B → ¬A lautet: Wenn a gerade ist, dann ist a2 gerade. Beweis (ausführlich) ¬B: a ist gerade. A1: a = 2 · k für eine ganze Zahl k. (Definition einer geraden Zahl) A2: a · a = (2 · k) · a für eine ganze Zahl k. (Multiplikation mit a) A3: a2 = 2 · (k · a) für eine ganze Zahl k. (Assoziativität von ·) A4: a2 = 2 · k 0 für eine ganze Zahl k 0. (Ersetzung von k · a durch k 0) ¬A: a2 ist gerade. (Definition einer geraden Zahl) Brückenkurs Mathematik Folie 2.50 2. Elemente der Logik Beweis durch Widerspruch A → B ist logisch äquivalent zu (A ∧ ¬B) → f . Lemma 3 Wenn a und b gerade natürliche Zahlen sind, dann ist auch a · b gerade. Wir zeigen: Die Aussage a und b sind gerade natürliche Zahlen, und a · b ist ” ungerade.“ ist falsch. Beweis (ausführlich) A ∧ ¬B: a und b sind gerade, und a · b ist ungerade. A1: a ist gerade, und b = 2 · k für eine ganze Zahl k, und a · b ist ungerade. (Definition einer geraden Zahl) A2: a ist gerade, und a · b = a · (2 · k) für eine ganze Zahl k, und a · b ist ungerade. (Multiplikation von a und b) A3: a ist gerade, und a · b = (a · 2) · k für eine ganze Zahl k, und a · b ist ungerade. (Assoziativität von ·) A4: a ist gerade, und a · b = (2 · a) · k für eine ganze Zahl k, und a · b ist ungerade. (Kommutativität von ·) A5: a ist gerade, und a · b = 2 · (a · k) für eine ganze Zahl k, und a · b ist ungerade. (Assoziativität von ·) A6: a ist gerade, und a · b = 2 · k 0 für eine ganze Zahl k 0, und a · b ist ungerade. ( Ersetzung von a·k durch k 0) A7: a ist gerade, und a · b ist gerade, und a · b ist ungerade. (Definition einer geraden Zahl) Widerspruch! Brückenkurs Mathematik Folie 2.51 2. Elemente der Logik Äquivalenzbeweis Lemma 4 a ist gerade genau dann, wenn a2 gerade ist. Beweis (→) Sei a gerade. Aus Lemma 3 folgt, dass a2 ebenfalls gerade ist. (←) Beweis durch Kontraposition Sei a ungerade. Dann ist a = 2 · k + 1 für eine ganze Zahl k. Also ist a2 = (2·k)·(2·k)+2·(2·k)+1 = 2·(k ·2·k +2·k)+1 d.h. a2 ist ungerade Brückenkurs Mathematik Folie 2.52 2. Elemente der Logik Beweis durch Fallunterscheidung Lemma 5 a2 geteilt durch 4 lässt entweder den Rest 1 oder den Rest 0. Beweis Fall 1: a ist gerade Dann ist a = 2 · k für eine ganze Zahl k. =⇒ a2 = 4 · k 2 Also ist a2 ohne Rest durch 4 teilbar. Fall 2: a ist ungerade Dann ist a = 2 · k + 1 für eine ganze Zahl k. =⇒ a2 = (2 · k) · (2 · k) + 2 · (2 · k) + 1 = 4 · (k 2 + k) + 1 Also bleibt Rest 1 beim Teilen von a2 durch 4. Lemma 6 Mindestens eine der ganzen Zahlen a, a + 2 und a + 4 ist durch 3 teilbar. Beweis als Übungsaufgabe Brückenkurs Mathematik Folie 2.53 2. Elemente der Logik Beweis atomarer Aussagen die Aussage A ist logisch äquivalent zu w −→ A Brückenkurs Mathematik Folie 2.54 2. Elemente der Logik Beweis von Aussagen mit Quantoren ∀x : (A(x) −→ B(x)) beweist man folgendermaßen: wähle a beliebig aus dem Individuenbereich beweise die Implikation A(a) → B(a) da a beliebig gewählt werden kann, folgt ∀x : (A(x) → B(x)) Lemma 7 Für jede natürliche Zahl t und für jede natürliche Zahl n gilt: Wenn t ≥ 2 und t ein Teiler von n ist, dann ist t kein Teiler von n + 1. Beweis Widerspruchsbeweis t, n seien beliebig gewählte natürliche Zahlen mit: t ≥ 2 und t ein Teiler von n, t ein Teiler von n + 1 =⇒ n = t · k und n + 1 = t · k 0 für zwei ganze Zahlen k und k 0 =⇒ 1 = t · k 0 − t · k = t · (k 0 − k). =⇒ 1/t = k 0 − k. Da k 0 − k ganze Zahl, gilt t = 1. Widerspruch zu t ≥ 2 ! Brückenkurs Mathematik Folie 2.55 2. Elemente der Logik Beweis von Aussagen mit Quantoren ∃x : (A(x) −→ B(x)) beweist man folgendermaßen: wähle a geeignet aus dem Individuenbereich beweise die Implikation A(a) → B(a) damit ist die Existenz eines a mit der Eigenschaft A(a) → B(a) und die Gültigkeit der Aussage ∃x : (A(x) → B(x)) bewiesen Satz 2.5 Es gibt unendlich viele Primzahlen ist logisch äquivalent zu Satz 2.5a Für jede natürliche Zahl n gibt es eine natürliche Zahl p, die größer als n und eine Primzahl ist. formalisiert: ∀n∃p : (n < p) ∧ p ist Primzahl Brückenkurs Mathematik Folie 2.56 2. Elemente der Logik Beweis wählen für n eine beliebige natürliche Zahl a zu beweisen ist ∃p : (a < p) ∧ p ist Primzahl gesucht ist natürliche Zahl b mit (a < b) ∧ b ist Primzahl nehmen alle Primzahlen p1, p2, . . . ,pk , die kleiner oder gleich a sind b = p1 · p2 · . . . · pk + 1 2 Fälle: - b Primzahl, dann fertig - b keine Primzahl, dann hat b einen Teiler l, der eine Primzahl ist nach Lemma 7 ist l kein Teiler von b − 1 und wegen b − 1 = p1 · p2 · . . . · pk von allen Primzahlen p1, p2, . . . ,pk verschieden damit haben wir gezeigt: (a < l) ∧ l ist Primzahl Brückenkurs Mathematik Folie 2.57 2. Elemente der Logik Kombinatorischer Beweis Dirichlets Taubenschlagprinzip Halten sich k + 1 Tauben in k Taubenschlägen auf, so gibt es mindestens einen Taubenschlag, in dem sich wenigstens zwei Tauben befinden Brückenkurs Mathematik Folie 2.58
