Das Sinoid in verschiedenen Schreibweisen

1
Das Sinoid in verschiedenen Schreibweisen
f (t)
A
t
f (t) = A sin ( t + )
(1)
enthalt fur jedes zwei Parameter,
A und v .
Formt man um
f (t) = A (cos t sin + sin t cos )
und setzt
b = A sin a = A cos so ergibt sich
f (t) = a cos t + b sin t
Aus den a und b lassen sich
q
A = + a + b
= arctan tg ab
2
2
(2)
2
zuruckrechnen. Die a , b werden nun als Komponenten eines Vektors in der
Gauschen Zahlenebene benutzt.
Dadurch wird jedes Sinoid anschaulich mit Amplituden und Phasenlage abgebildet.
Die Wahl der komplexen Zahlenebene bringt fur die Schreibweise Vorteile mit sich:
Die Eulersche Identitat
ejt = cos t + j sin t; j = ,1
2
fuhrt dazu, da das Sinoid als
f (t) = A ej
erfat wird und man mit
(
t+ )
f (t) = A ej ejt = ejt
(3)
als ein reines Produkt beschreiben kann. Dabei umfat das komplexe die Amplitudenund Phaseninformation des Sinoids und die Exponentialfunktion enthalt die
Frequenzinformation. ist eine komplexe Zahl, deren Betrag die Amplitude und deren
Argument den Phasenwinkel des Sinoids ausmachen. Dies bringt viel
Rechenerleichterung, da z.B. die Addition von Sinoiden gleicher Frequenz auf die
Addition von komplexen Zahlen, also Vektorenaddition, zuruckgefuhrt ist.
jy
A
x
3
Spektralzerlegung: U bersicht
f (t) =
1
X
n=0
n sin(n!t + n )
Amplitude: n Frequenz: n ! Phasenlage: n
Setzt man
an = n cos n
bn = n sin n;
so lat sich f (t) als Sinus- und Kosinus-Reihe
f (t) = a2 +
0
q
1
X
n=1
an cos(n!) +
1
X
n=1
bn sin(n!)
mit Amplitude: n = an + bn
2
2
und Phasenlage: n = arc tang abn schreiben.
n
Diese Groen stehen zueinander wie Betrag und Argument einer komplexen Zahl
z = an cos n! + j bn sin n!; j = ,1:
2
Komplexe Zahlen
Auf der Menge R R := f(x; y) : x; y 2 Rg sei eine Addition und eine Multiplikation
erklart durch
(x ; y ) + (x ; y ) := (x + x ; y + y )
(x ; y ) (x ; y ) := (x x , y y ; x y + y x ):
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
1 2
2
1 2
1
2
Bezuglich dieser Operationen besitzt R R die Eigenschaften eines Korpers
(Umgekehrt sind die angegebenen Denitionen die einzige Moglichkeit, R R zu einem
Korper zu machen).
Definition:
( R R; +; ) heit der Korper der komplexen Zahlen.
4
Bemerkung: I.a. identiziert man die Zahlen x 2 R und (x; 0) 2 C .
Wegen
(x ; 0) + (x ; 0) = (x + x ; 0)
(x ; 0) (x ; 0) = (x x ; 0)
1
1
2
1
2
1
2
2
lat sich R als ein Unterkorper von C oder C als Korpererweiterung von R auassen.
Definition:
j := (0; 1) 2 C heit imaginare Einheit.
Bemerkung:
1) j = j j = (0; 1) (0; 1) = (,1; 0) = ,1.
2
2) Fur jedes (x; y) 2 C gilt
(x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x; 0) + (0; 1)(y; 0) = x + j y
(Umgekehrt erhalt man aus dieser Darstellung wieder die obige Denition der
Multiplikation in C )
Definition:
Sei z := x + j y 2 C .
1) Re (z) := x
(Realteil)
2) Im (z) := y
(Imaginarteil)
3) z := x , j y
(konjugiert komplexe Zahlen)
p
p
4) jzj := x + y = zz
2
2
(Absolutbetrag)
Geometrische Darstellung komplexer Zahlen
Da C und R als Mengen gleich sind, lassen sich die komplexen Zahlen mit Hilfe eines
Cartesischen Koordinatensystems als Punkte der Ebene veranschaulichen.
2
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jIR
z = x+j y
A
y
IR
x
Die Addition zweier komplexer Zahlen wird dabei zur gewohnlichen Vektoraddition.
Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht der Vektorlange. z entsteht aus z durch
Spiegelung an der reellen Achse, usw.
Die komplexe Exponentialfunktion
Fur x 2 R lat sich
ex =
als Taylorsche Reihe entwickeln.
1
X
k=0
xk
k!
Analog hierzu wird fur z 2 C die komplexe Exponentialfunktion deniert als
ez =
1
X
k=0
zk
k!
(Konvergenz der Reihe beweist man wie im Reellen).
Damit gilt:
ej y =
1
X
k=0
(j y)k =
k!
1
X
k=0
2
2 +1
=0
1
k
X
=
(,1)k (2yk)! + j (,1)k (2yk + 1)!
k
k
= cos y + j sin y;
(Eulersche Identitat).
1
X
=0
d.h. ej y = cos y + j sin y
1 (j y ) k
(j y) k + X
(2k)! k (2k + 1)!
k
2 +1
2
=0
6
Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten
Schreibt man (x; y) 2 R R in Polarkoordinaten
8
<
:
x = A cos ' mit
y = A sin '
8
>
>
>
<
'=>
>
>
:
falls
x 6= 0
A = x + y und
falls x = 0; y > 0
,
falls x = 0; y < 0;
so gilt x + j y = A(cos ' + j sin ') = A ej ', d.h. jede komplexe Zahl z = x + j y lat
sich darstellen in der Form z = A ej ' mit eindeutig bestimmten A 0 und ' 2 (,; ).
arg z := ' heit das Argument von z.
q
2
2
arctg
y
x
2
2
(imaginäre Achse)
"Gaußsche Zahlenebene"
z = x+j y
y
R
x
R
Bem.: (Geometrische Deutung der Multiplikation komplexer Zahlen)
Seien z ; z 2 C . Es gilt z = jz j ej
1
2
1
1
z
arg 1
; z = jz j ej
2
2
z
arg 2
.
Daraus folgt:
z z = jz jjz j ej z1 ej z2
= jz jjz j (cos arg z + j sin arg z )
(cos arg z + j sin arg z )
= jz jjz j [(cos arg z )(cos arg z ) ,
,(sin arg z )(sin arg z ) +
1 2
1
2
1
2
arg
arg
1
1
2
1
2
2
1
1
2
2
7
+j (cos arg z )(sin arg z ) +
+j (sin arg z )(cos arg z )]
= jz jjz j [cos (arg z + arg z ) + j
sin (arg z + arg z )]
= jz jjz j ej z1 z2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
(arg
2
2
+arg
)
Bei der Multiplikation komplexer Zahlen multiplizieren sich folglich die Betrage und
addieren sich die Argumente.
Unter schwachen Annahmen lat sich eine Funktion f (t) als Sinus- und Kosinus-Reihe
darstellen.
1
X
f (t) = n sin(n!t + n)
n=0
bzw. wegen
sin(n!t + n) = sin(n) cos(n!t) + cos(n) sin(n!t)
f (t) = a2 +
0
1
X
n=1
(an cos n!t + bn sin n!t):
Die Koezienten lassen sich als Fourier-Integrale darstellen:
an = T2
ZT
bn = T2
ZT
0
0
f (t) cos n!t dt;
f (t) sin n!t dt:
Dabei ist die Frequenz
! = 2T :
q
Der Term an + bn gibt fur jede Frequenz n! die Amplitude des Signals f (t), der
Term r = arctan(bn=an ) dessen Phasenlage an.
2
2
Unter Berucksichtigung der Eulerschen Identitat
8
ej! = cos ! + j sin !
ergibt sich in komplexer Schreibweise die Fourier-Transformation
Z1
,j!t dt
f
(
t
)
e
,1
F (!) =
und die Rucktransformation
Z1
f (t) = 21
j!t d!:
F
(
!
)
e
,1
Tabelle 1. Elementare Eigenschaften der Fourier Transformationen
Eigenschaft
Linearitat
Translation
im
Zeitbereich
FrequenzTranslation
f (t)
c a(t) + d b(t)
f (t , t )
F (! )
c A(!) + d B (!)
e,j!t0 F (!)
f (t)ej!0t
F (! , ! )
Mastabsanderung
f (at)
Dierentiation
Modulation
Faltung
0
dn
dtn [
0
jaj F
1
f (t)]
!
a
[j!]nF (!)
f (t) cos ! t
a(t) b(t)
0
1
2
F (! , ! ) + F (! + ! )
A(!)B (!)
0
1
2
0
Beispiel 1
Diese Analyse lat sich auch dann anwenden, wenn der Proze nicht ohne weiteres
erkennbar aus periodischen Summanden zusammengesetzt ist.
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Tabelle 2. Paare von Fourier Transformationen
f (t)
F (!)
,
j!a
u(t , a) , u(t , b); a < b e j!,e,j!b
u(t + a) , u(t , a); a > 0
2a a!a!
e,btu(t); b > 0
b j!
b
,
b
j
t
j
e ;b > 0
b2 ! 2
e,bj !j ; b > 0
b2 t2
b
1
2(!)
(t)
1
sin
1
+
2
+
1
+
p1 e,t2 =2
e,!2 =
2
2
Die Korrelationsfunktion eines motorischen Verlaufsprotokolls sei als
R( ) = e,Zj j ; > 0 beschreibbar:
1
(!) = 21 ,1 e,j j e,j! d
Z1
Z1
= 21 e, e,j! d + e, ej! d
0
0
Z1
= 21 [e, j! + e, ,j! ] d
, j! , ,j! = 21 ,(e + j!) + ,(e , j!)
1 + ,1 = 1 , j! + + j!
= 21 ,
+ j! , j! 2
+!
( +
)
(
)
(
)
0
( +
)
2
2
Demnach ist das Leistungsdichtespektrum dieses motorischen Verlaufs
(!) = 21 2+ ! :
Die Fourierrucktransformation (zur Kontrolle) ergibt wieder
Z1 1
2 ej!t d! = e,j j :
,1 2 + Diese Spektralfunktion wird mit zunehmenden "breiter". Sie geht im Grenzfall in die
eines "Rauschens" uber. Die Korrelationsfunktion wird immer "schlanker".
2
2
2
2