1. Thema - Universität Würzburg

Time-Reversal Symmetry
Spinless and spinful particles, Kramers’ theorem
Manuel Schlund
Hauptseminar Theoretische Physik, Universität Würzburg
29.11.2013
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Inhaltsverzeichnis
Zeitumkehr - Grundlagen
Zeitumkehr - Quantenmechanik
Darstellung durch Operatoren
Wichtige Relationen
Mathematische Grundlagen
Teilchen ohne Spin
Teilchen mit halbzahligem Spin
Grundlagen
Mathematische Beschreibung des Spins
Kramers Theorem
Quellenverzeichnis
2 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Zeitumkehr - Grundlagen
• Die Transformation der Zeitumkehrung kehrt den Zeitpfeil um.
• Zeitumkehrsymmetrie (TR-Symmetry) = Invarianz unter
Zeitumkehrtransformation (z.B. Klassische Mechanik: Bewegungsgleichungen bleiben gleich).
• Physikalische Systeme verhalten sich z.T. sehr unterschiedlich,
je nachdem ob sie zeitumkehrsymmetrisch sind oder nicht.
3 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
• Transformation T : t −→ −t
• Ort ist invariant: ~rrev (t) = ~r (−t)
T
=⇒ ~r −→ ~r
• Geschwindigkeit als zeitliche Ableitung:
d
rrev (t)
dt ~
=
d
r (−t)
dt ~
= −~r˙ (−t)
T
=⇒ ~v −→ −~v
2
2
d
d
• Beschleunigung: dt
rrev (t) = dt
r (−t) = ~¨r (−t)
2~
2~
T
=⇒ ~a −→ ~a
4 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
=⇒ Die klassische Mechanik ohne geschwindigkeitsabhängige
Kräfte (z.B. Reibung) ist zeitinvariant, d.h. wenn ~r (t) eine Lösung
der Bewegungsgleichungen darstellt, ist ~rrev (t) ebenfalls Lösung.
Hamiltion-Formalismus:
~p ∼ ~v :
T
=⇒ ~p −→ −~p
z.B. H(q, p) =
p2
2m
+ V (q)
T
=⇒ H −→ H
5 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Keine Zeitinvarianz bei:
• Allen Prozessen mit Reibung
• Wärmeleitungsgleichung:
∂
u(~r , t) = D∇2 u(~r , t)
∂t
• Anwesenheit von Magnetfeldern (geladenes Teilchen im
~ ) =⇒ Hall-Effekt
Magnetfeld: FL = q · (~v × B)
6 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Zeitumkehr - Quantenmechanik
Schrödingergleichung (Ortsdarstellung), H zeitunabhängig:
∂
~2 2
i~ ψ(~r , t) = −
∇ + V (~r ) ψ(~r , t)
∂t
2m
t −→ −t und ψ komplex konjugieren:
∂ ∗
~2 2
i~ ψ (~r , −t) = −
∇ + V (~r ) ψ ∗ (~r , −t)
∂t
2m
=⇒ ψ ∗ (~r , −t) genügt der selben Gleichung wie ψ(~r , t), d.h.
es ist ebenfalls Lösung der Schrödingergleichung.
=⇒ Verknüpfung von komplexer Konjugation und Zeitumkehrung?
7 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Darstellung durch Operatoren
Wichtige Relationen
Definition: Zeitumkehroperator T̂
T̂ : t −→ −t
Wichtige Grundannahme:
[Ĥ, T̂ ] = 0
=⇒
Zeitumkehrsymmetrie
Daraus folgt sofort: Ist |ψi Eigenzustand des Hamilton-Operators,
so ist dies T̂ |ψi ebenfalls.
8 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Ortsoperator:
T̂ x̂ T̂ −1 = x̂
Impulsoperator:
T̂ p̂ T̂ −1 = −p̂
9 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Daraus folgen sofort folgenden Kommutatoren bzw.
Antikommutatoren:
[T̂ , x̂] = 0
[T̂ , p̂]+ = 0
T̂ x̂ = x̂ T̂
T̂ p̂ = −p̂ T̂
Und damit:
T̂ [x̂, p̂]T̂ −1 = −[x̂, p̂] ,
mit [x̂, p̂] = i~ :
T̂ i T̂ −1 = −i
=⇒ T̂ ist proportional zum Operator der komplexen Konjugation
K̂.
10 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Mathematische Grundlagen
Offensichtlich ist für c ∈ C: T̂ c 6= c T̂ ; damit ist T̂ kein linearer
Operator.
Wigner-Theorem: Jede Symmetrie-Transformation muss entweder
unitär (lineaer Operator) oder antiunitär antilinearer Operator
sein (Erhaltung des Skalarprodukts: |hT̂ φ|T̂ ψi| = |hφ|ψi| ).
=⇒ T̂ ist antilinear und antiunitär.
11 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Linearer Operator
L̂ [a|ψi + b|φi] = a L̂|ψi + b L̂|φi
Adjungierter Operator: hφ|L̂† |ψi = hL̂φ|ψi
l
Antilinearer Operator
 [a|ψi + b|φi] = a∗ Â|ψi + b ∗ Â|φi
Adjungierter Operator: hφ|† |ψi = hÂφ|ψi∗
12 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Unitärer Operator
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Antiunitärer Operator
U † U = UU † = 1̂
U † U = UU † = 1̂
bzw. U −1 = U †
bzw. U −1 = U †
hUφ|Uψi = hφ|ψi
Quellen
hUφ|Uψi = hφ|ψi∗
13 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Damit lässt sich der Zeitumkehroperator T̂ als Produkt eines
beliebigen unitären Operators Û mit dem Operator der komplexen
Konjugation K̂ ausdrücken:
T̂ = Û K̂
Interessant ist nun das Quadrat des Zeitumkehroperators:
T̂ 2 = Û K̂Û K̂ = Û Û ∗ = Û(Û T )−1 =: φ̂
φ̂: Diagonal-Matrix mit Phasen (Betragsquadrate müssen invariant
unter T̂ bleiben).
14 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Daraus folgt sofort:
φ̂T =φ̂
Û = φ̂Û T −−−−→ Û T = Û φ̂
=⇒ Û = φ̂Û φ̂
Dies ist nur der Fall für φ̂ = ±1.
=⇒ T̂ 2 = ±1
15 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Teilchen ohne Spin
Der Zustand eine Teilchens ohne Spin kann komplett durch skalare
Größen ausgedrückt werden:
ψ↑
|ψi = ψ , nicht |ψi =
ψ↓
Daraus folgt sofort:
Û = 1̂
bzw.
T̂ = K̂
Und damit:
T̂ 2 = +1
Teilchen ohne Spin
16 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Teilchen mit halbzahligem Spin
Grundlagen
ˆ
Nun werden Teilchen mit internem Drehimpuls ~S betrachtet.
Folglich ändert diese unter T̂ ebenfalls sein Vorzeichen:
ˆ
ˆ
T̂ ~S T̂ −1 = −~S
Daraus folgt, dass der Spin seine Richtung umkehren muss.
Gesucht ist nun ein Operator Û, der die gewünschte Wirkung hat.
Eine elegante mathematische Beschreibung liefert die
SU(2)-Gruppe, die von den drei Pauli-Matrizen σ̂i erzeugt wird.
17 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Einschub: Mathematische Beschreibung des Spins
Die Spinoperatoren Ŝi für ein Spin- 21 -Teilchen können durch die
Pauli-Matrizen dargestellt werden:
Ŝi =
0 1
σ̂1 =
1 0
~
σ̂i
2
0 −i
σ̂2 =
i 0
1 0
σ̂3 =
0 −1
Dabei ist es Konvention, die z-Achse als Bezug zu verwenden.
Daher werden die Zustände Spin-Up | ↑i (Eigenwert +1) und
Spin-Down | ↓i (Eigenwert −1) durch die Eigenzustände von
σ̂z = σ̂3 repräsentiert.
18 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
1
| ↑i →
:
0
0
| ↓i →
:
1
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
1
1
1 0
= +1
0 −1
0
0
0
0
1 0
= −1
0 −1
1
1
Des Weiteren gelten für die unitären und hermiteschen
Pauli-Matrizen folgenden wichtigen Relationen:
[σ̂i , σ̂j ] = 2iijk σ̂k
und
σ̂i σ̂j = δij 1̂ + iijk σ̂k
(Summenkonvention!)
19 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Weitere wichtige Beziehung für beliebige ω
~ ∈ R3 (|~
ω | = ω):
ˆ!
ω ˆ ω ω
~ · ~S
ω
~ · ~σ
exp −i
= 1̂ cos
sin
−i
~
2
ω
2
Beweis:
ˆ )2 = ωi σ̂i ωj σ̂j = ωi ωj δij 1̂ + iijk σ̂k
(~
ω · ~σ
Aufgrund der Antisymmetrie des Levi-Civita-Symbols ijk
gegenüber der Vertauschung i ↔ j verschwindet dieser Term nach
Summation über alle i und j.
=⇒
ˆ )2 = ωi ωj δij 1̂ = ω 2
(~
ω · ~σ
20 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Funktionen von Operatoren sind über Potenzreihen definiert:
!
∞
ˆ!
X
ˆ
ω
~ · ~S
ω
~ · ~σ
(−i)n
ˆ )n
exp −i
= exp −i
=
(~
ω · ~σ
~
2
2n n!
n=0
Aufteilen in gerade und ungerade Terme liefert:
∞
∞
X
X
(−i)(−1)n
(−1)n
2n
ˆ
ˆ )2n+1
(~
ω
·
~
σ
)
+
(~
ω · ~σ
=
22n (2n)!
22n+1 (2n + 1)!
n=0
n=0
ˆ )2 = ω 2 liefert:
Einsetzen von (~
ω · ~σ
= 1̂
∞
∞
X
ˆ) X
(−1)n ω 2n (~
(−1)n ω 2n+1
ω · ~σ
−i
(2n)! 2
ω
(2n + 1)! 2
{z
}
{z
}
|n=0
|n=0
cos( ω2 )
sin( ω2 )
21 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
ˆ
ω
~ ·~
S
Die Bedeutung des Operators d̂(~
ω ) := exp −i ~
ist nun
folgender:
Angewandt auf einen beliebigen Spinzustand |si wird dieser um
den Winkel ω um die ω
~ -Achse gedreht (Ohne Beweis).
Zeitumkehr: Spin rotiert um π um die y -Achse (Konvention)
 
0

=⇒ ω
~ = π
0
Damit ist:
π Ŝy
d̂ = exp −i
~
!
= 1̂ cos
π 2
− i σ̂y sin
π 2
= −i σ̂y
22 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Beispiel: d̂ dreht die Richtung von | ↑i = 10 um:
1
0
0 −i
d̂| ↑i = −i σ̂y | ↑i = −i
= −i
= | ↓i
i 0
0
i
Abbildung : Drehung des Spins
23 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Erinnerung:
T̂ = Û K̂
Nun kann der gesuchte Operator Û sofort angegeben werden:
Dieser muss neben der komplexen Konjugation noch den Spin
umdrehen, daher:
!
π Ŝy
Û = exp −i
~
=⇒
π Ŝy
T̂ = exp −i
~
!
K̂ = −i σ̂y K̂
24 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Beweis der gewünschten Eigenschaft:
Für das Quadrat des Zeitumkehroperators gilt:
T̂ 2 = −i σ̂y K̂(−i)σ̂y K̂ = −i σ̂y i σ̂y∗ |{z}
K̂K̂ = σ̂y σ̂y∗ = −σ̂y σ̂y = −1̂
=1̂
=⇒
=⇒
T̂ 2 = −1
T̂ −1 = −T̂
Bei einer Rotation um 2π bzw. doppelten Anwendung von T̂ erhält
man für ein Teilchen mit halbzahligem Spin einen Faktor −1; der
Spinzustand geht also nicht wieder in den Ausgangszustand
zurück!
25 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Also:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
T̂ ~S T̂ −1 = T̂ ~S(−T̂ ) = (−i σ̂y K̂) ~S (i σ̂y K̂) = −i σ̂y ~S ∗ (−i)σ̂y∗ K̂K̂

ˆ
T̂ ~S T̂ −1

σ̂x
~
ˆ
ˆ
= −σ̂y ~S ∗ σ̂y∗ = σ̂y ~S ∗ σ̂y = σ̂y −σ̂y  σ̂y
2
σ̂z
Mit der Relation σ̂i σ̂j = δij 1̂ + iijk σ̂k gilt:
σ̂y σ̂x σ̂y = −i σ̂z σ̂y = −i(−i)σ̂x = −σ̂x
−σ̂y σ̂y σ̂y = −σ̂y
σ̂y σ̂z σ̂y = +i σ̂x σ̂y = +i(+i)σ̂z = −σ̂z
26 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Damit folgt:

ˆ
T̂ ~S T̂ −1
=⇒

σ̂x
~
= − σ̂y 
2
σ̂z
ˆ
ˆ
T̂ ~S T̂ −1 = −~S
für
T̂ = −i σ̂y K̂
27 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Kramers Theorem
Sei |ψi Eigenzustand für ein Teilchen zu Ĥ mit der Energie E .
Des Weiteren soll [T̂ , Ĥ] = 0 gelten.
Ziel:
Beweise Orthogonalität der Zustände |ψi und T̂ |ψi = Û K̂|ψi:
X
X
∗
hψ|mihm|Û K̂|nihn|ψi =
ψm
Umn K̂ψn
hψ|T̂ ψi =
|{z}
|{z}
m,n
m,n
=K̂ψm
=ψn∗
Da wegen T̂ 2 = −1 (↔ Teilchen ohne Spin!): Û = −Û T folgt,
gilt:
Umn = −Unm
28 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Also:
hψ|T̂ ψi =
X
−ψn∗ Unm K̂ψm = −hψ|T̂ ψi
m,n
=⇒
hψ|T̂ ψi = 0
Die beiden Zustände sind also linear unabhängig. Da T̂ |ψi aber
ebenfalls Eigenzustand des Hamiltonians zum Eigenwert E
(beliebig) war, kann folgende Aussage getroffen werden:
Für ein Spin- 12 -Teilchen ist jeder Energieeigenwert mindestens doppelt entartet!
29 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Mehrteilchen-System:
Betrachte die Streuwahrscheinlichkeit des Zustands |ψi in seinen
Partner T̂ |ψi: hT̂ ψ|Ĥ|ψi (Matrixelement).
Abbildung : Streuung am Potential
30 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
hT̂ ψ|Ĥ|ψi =
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
X
X
hÛ K̂ψ|mihm|Ĥ|nihn|ψi =
hm|Û K̂|ψi∗ Hmn ψn =
m,n
=
X
X
m,n,p
m,n
hm|Û|pi∗ hp|K̂|ψi∗ Hmn ψn =
m,n,p
=
Quellen
(U † )pm ψp (T̂ ĤT̂ −1 )mn ψn =
X
(Ump K̂ψp )∗ Hmn ψn =
m,n,p
X
∗
∗
ψp (U † )pm (−Umr Hrq
Uqn
)ψn
m,n,p,q,r
(Da T̂ ĤT̂ −1 = −Û K̂ĤÛ K̂)
31 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
X
Operatoren
Kein Spin
∗
∗
ψp (U † )pm (−Umr Hrq
Uqn
)ψn = −
m,n,p,q,r
Halbzahliger Spin
X
Quellen
∗
∗
ψp δpr Hrq
Uqn
ψn =
n,p,q,r
=−
X
∗
∗
ψp Hpq
Uqn
ψn = −
n,p,q
X
∗
∗
(Uqn
K̂ ψn∗ ) Hpq
ψp
n,p,q
Ĥ ist hermitesch, also ist Ĥ∗ = ĤT :
=−
X
(Uqn K̂ ψn )∗ Hqp ψp = −hT̂ ψ|Ĥ|ψi
n,p,q
Damit folgt:
hT̂ ψ|Ĥ|ψi = −hT̂ ψ|Ĥ|ψi = 0
32 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Dieses Ergebnis belegt die lineare Unabhängigkeit von |ψi und
T̂ |ψi:
Beide Zustände sind Eigenzustände des Hamilton-Operators, dieser
ist als in der gewählten Basis diagonal.
=⇒ Nur Matrixelemente, die von zwei linear unabhängigen Zuständen
erzeugt werden, sind = 0.
hn|Ĥ|mi = Em δnm

E1

−→ 

..


.
E...
33 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Die Wellenfunktion eines Mehrteilchen-Zustands mit N Teilchen
kann nun wie folgt geschrieben werden:
|ψi = |ψ1 i|ψ2 i...|ψN i
Wird nun mit diesem Zustand die Berechnung der
Streuwahrscheinlichkeit wiederholt, ergibt sich für jedes der
Teilchen ein Faktor (−1). Damit erhält man für N Teilchen den
Faktor:
(−1)N
Dieser lässt also eine verschwindende Streuwahrscheinlichkeit nur
für ungerade N zu (vergleiche Argument vorher)!
(Für gerade N erhält man lediglich die Trivialbedingung
hT̂ ψ|Ĥ|ψi = hT̂ ψ|Ĥ|ψi )
34 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Kramers Theorem:
In einem System, das aus einer ungeraden Anzahl von
Teilchen mit halbzahligem Spin besteht, ist jeder Energiezustand mindestens doppelt entartet.
35 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Weitere Beleg:
Allgemein erhält man für T̂ = Û K̂ (antiunitär):
X
X
hT̂ φ|T̂ ψi =
hÛ K̂φ|mihm|Û|niK̂hn|ψi =
hm|Û K̂|φi∗ Umn ψn∗
m,n
=
X
m,n
hm|Û|pi∗ K̂hp|φi∗ Umn ψn∗ =
m,n,p
X
(U ∗ )mp φp Umn ψn∗ =
m,n,p
=
X
(U −1 )pm Umn ψn∗ φp = hψ|φi
|
{z
}
m,n,p
=δpn
=⇒
hT̂ φ|T̂ ψi = hψ|φi
36 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Wähle |ψi = T̂ |φi:
hT̂ φ|T̂ 2 φi = hT̂ φ|φi
=⇒
• Kein Spin:
T̂ 2 = +1
=⇒
hT̂ φ|φi = hT̂ φ|φi
kein Kramer − Theorem
• Halbzahliger Spin:
T̂ 2 = −1
=⇒
hT̂ φ|φi = −hT̂ φ|φi = 0
Kramer − Theorem
37 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Quellenverzeichnis I
B. Andrei Bernevig and Taylor L. Hughes.
Topological Insulators and Topological Superconductors.
Princeton University Press, Kassel, 2013.
S. 33-37.
Ulrich Eckern.
Skript zur Vorlesung ’Theoretische Physik II:
Quantenmechanik’ - Universität Augsburg.
Mitschrift des Autors dieser Präsentation, 2013.
Albert Messiah.
Quantenmechanik, Band 2.
Walter De Gruyter Incorporated, Berlin, New York, 2nd
edition, 1985.
38 / 39
Grundlagen
Quantenmechanik
Operatoren
Kein Spin
Halbzahliger Spin
Quellen
Quellenverzeichnis II
Jan Petersen and Oliver Loesdau.
Raumspiegelung und Zeitumkehr.
Vortrag zum Seminar ”Teilchen, Symmetrien und
Quantentheorie”, 2004.
URL: http://wwwthep.physik.unimainz.de/~scheck/quanten/Vortrag5.pdf.
[1] [2] [3] [4]
39 / 39