Sensor Charakteristika

Sensor Messcharakteristik
Allgemeines
M. Schlup
14. Oktober 2015
1 Typisches Verhalten – Beschreibung
Bei Sensoren wird eine physikalische Grösse, die Messgrösse x, in eine elektrische Grösse, die
Ergebnisgrösse y, umgewandelt. Letztere ist im allgemeinen eine Spannung, kann aber auch eine
Stromstärke oder ein digitales Signal sein. Diese Umwandlung kann durch eine y-x-Kennlinie
dargestellt werden. Man unterscheidet zwischen dem Sollverlauf der Kennlinie ysoll = fsoll (x)
und dem tatsächlichen Istverlauf yist = fist (x), da in Wirklichkeit Sensoren, so wie alle Messgeräte, keine ideale Messaufnehmer sind. Dadurch kann die Messabweichung des Sensors ∆y wie
folgt definiert werden:
absolute Messabweichung: ∆y = ysoll − yist
∆y
ysoll − yist
relative Messabweichung: δy =
=
yist
yist
Mit dieser Konvention bedeutet ein positiver Wert für die Messabweichung, dass der Istwert
zu klein ist. Theoretisch kann durch eine Kalibrierung der Sensorkennlinie die Abweichung
reduziert aber nicht zum Verschwinden gebracht werden.
2 Abweichungen des idealen Verhaltens
Messabweichungen einer als linear angenommenen Kennlinie können typischerweise folgende
Gestalt annehmen:
Nullpunktabweichung (offset)
Dies entspricht der Nullpunktabweichung eines Messgeräts: die Messabweichung ist unabhängig von der Messgrösse x konstant: ∆yof f (x) = kof f . Diese Abweichung kann positiv
oder negativ sein.
1
2 Abweichungen des idealen Verhaltens
Empfindlichkeit (sensitivity)
Dies entspricht der Empfindlichkeitsabweichung eines Messgeräts: die Messabweichung
ist proportional zur Messgrösse: ∆ysens (x) = ksens · x. Die Abweichung hat entweder das
selbe Vorzeichen wie x oder umgekehrt.
Linearität (linearity)
Diese Abweichung schwankt in Funktion der Messgrösse, ihr Betrag aber bleibt begrenzt:
|∆ylin (x)| < klin . Die Abweichung kann je nach Wert von x positiv oder negativ sein.
Reproduzierbarkeit (reproducibility)
Wird die Kennlinie mehrmals aufgenommen, so ist es möglich, dass die Ergebnisse nicht
exakt übereinstimmen. Diese Schwankungen liegen innerhalb der Grenzen der Linearitätsabweichung. So ist es im Allgemeinen nicht möglich Linearitätsfehler rechnerisch vollkommen zu kompensieren.
Abbildung 1: Messabweichungen bei Sensor-Kennlinien
2
3 Linearisierung
3 Linearisierung
Eine nichtlineare Kennlinie y = f (x) kann in einem zweckmässig festgelegten Definitionsbereich
X wie folgt durch eine lineare Funktion approximiert werden:
y ≈ a0 + a1 x
mit x ⊂ X
(1)
Beispiel: Standardisierte, linearisierte Temperaturabhängigkeit eines Widerstands
Der tatsächliche Verlauf eines Widerstands R in Funktion der Temperatur θ ist im Allgemeinen nichtlinear: R = f (θ). In einem beschränkten Temperaturintervall, wird üblicherweise der
Zusammenhang linearisiert in folgender Normalform dargestellt:
R ≈ R0 1 + α0 (θ − θ0 )
Der Vergleich mit Gleichung (1) ergibt mit x = θ und y = R:
a0 = R0 (1 − α0 θ0 )
a1 = R0 α0
(Steigung)
Ende Beispiel
In einem begrenzten Bereich um einen Arbeitspunkt (x0 , y0 ) herum, können nichtlineare
Kennlinien durch Ableitungsbildung linearisiert werden:
y0 = f (x0 )
dy y − y0 ≈
(x − x0 )
dx x=x0
dy y ≈ y0 +
(x − x0 )
dx x=x0
Beispiel: Linearisierung der quadratischen Temperaturabhängigkeit eines Widerstands um θ1
R = R0 1 + α0 θ + β0 θ2
Für den Arbeitspunkt (θ1 , R1 ) ergibt sich:
R1 = R0 1 + α0 θ1 + β0 θ12
dR =
R
(α
+
2β
θ)
= R0 (α0 + 2β0 θ1 )
0
0
0
dθ θ=θ1
θ=θ1
dR R − R1 =
(θ − θ1 ) = R0 (α0 + 2β0 θ1 )(θ − θ1 )
dθ θ=θ1
R = R1 − R0 (α0 + 2β0 θ1 ) θ1 + R0 (α0 + 2β0 θ1 ) θ
R = R0 1 + α0 θ1 + β0 θ12 − R0 (α0 θ1 + 2β0 θ12 ) + R0 (α0 + 2β0 θ1 ) θ
R = R0 1 − β0 θ12 + (α0 + 2β0 θ1 ) θ
Ende Beispiel
3