36 Eigenwerte und Eigenvektoren

36 Eigenwerte und Eigenvektoren
36
161
Eigenwerte und Eigenvektoren
Viele Probleme in Naturwissenschaften und Technik, insbesondere Schwingungsprobleme, führen auf das Problem der Bestimmung von Eigenwerten.
36.1 Definition. Es seien E ein Vektorraum über K und T ∈ L(E) ein linearer
Operator auf E . Für eine Zahl λ ∈ K heißt
E(T ; λ) := N(λI − T ) = {x ∈ E | T x = λx}
(1)
Eigenraum von T in λ . Die Zahl λ ∈ K heißt Eigenwert von T , falls E(T ; λ) 6= {0}
gilt. In diesem Fall heißen die Elemente von E(T ; λ)\{0} Eigenvektoren von T zum
Eigenwert λ ∈ K . Die Menge aller Eigenwerte von T heißt Spektrum σ(T ) von
T . Weiter heißt
γ(T ; λ) := dim E(T ; λ)
(2)
geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ ∈ σ(T ) .
36.2 Bemerkungen. a) Ein Vektor 0 6= v ∈ E ist also genau dann Eigenvektor
von T ∈ L(E) zum Eigenwert λ ∈ K , wenn T v = λv gilt.
b) Für eine quadratische Matrix A ∈ Kn×n lassen sich die soeben definierten Begriffe
genauso oder durch Anwendung auf L(A) ∈ L(Kn ) erklären.
c) Ähnliche Matrizen besitzen die gleichen Eigenwerte. Ist in der Tat B = S −1 AS
und Av = λv für v 6= 0 , so folgt BS −1 v = λS −1 v und S −1 v 6= 0 .
36.3 Beispiele. a) Für A =
2 0
0 3
!
gilt Ae1 = 2e1 und Ae2 = 3e2 .
b) Allgemeiner gilt für eine Diagonalmatrix
D =







λ1 0 . . . 0
0 λ2 · · · 0
.. . . . .
.
.
. ..
.
0 · · · 0 λn







:= diag(λ1 , . . . , λn )
offenbar Dej = λj ej ; die Einheitsvektoren ej sind also Eigenvektoren zu den Eigenwerten λj .
d
c) Es sei λ ∈ K Eigenwert des Operators dx
auf Rm [x] . Aus P ′ = λP folgt
P (k) = λk P für alle k ∈ N , also λm+1 = 0 und somit λ = 0 . Es gilt also
d
d
d
σ( dx
) = {0} ; nach 20.5 hat man E( dx
; 0) = R0 [x] und γ( dx
; 0) = 1 .
36.4 Satz. Es seien E ein Vektorraum mit dim E = n < ∞ und T ∈ L(E) . Eine
Zahl λ ∈ K ist genau dann Eigenwert von T , wenn det(λI − T ) = 0 ist.
Beweis. Nach Definition 36.1 ist λ ∈ K genau dann ein Eigenwert von T , wenn
λI − T nicht injektiv ist. Die Behauptung folgt somit aus Satz 35.13.
162
V. Lineare Algebra
36.5 Charakteristisches Polynom. a) Es ist χT (λ) := det(λI − T ) ∈ Kn [λ] ein
Polynom vom Grad n in λ , wie man induktiv anhand einer Matrix-Darstellung von
T sieht. χT heißt charakteristisches Polynom von T .
b) Es gilt also σ(T ) = {λ ∈ K | χT (λ) = 0} . Somit hat T höchstens n Eigenwerte.
c) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra 8.3 hat T mindestens einen Eigenwert in
C . Nach Satz 8.5 zerfällt χT über C in Linearfaktoren, d. h. es gilt
χT (λ) =
r
Q
(λ − λj )αj
j=1
für σ(T ) = {λ1 , . . . , λr } und
r
P
j=1
αj = n .
(3)
Die Nullstellenordnung α(T ; λj ) = αj von χT in λj ∈ σ(T ) heißt algebraische
Vielfachheit dieses Eigenwerts.
!
!
1 1
λ − 1 −1
36.6 Beispiel. Für A =
ist λI − A =
und somit
0 2
0
λ−2
χA (λ) = det(λI − A) = (λ − 1)(λ − 2) . Folglich gilt σ(A) = {1, 2} . !Wir bestim0 −1
men zugehörige Eigenvektoren: Für λ1 = 1 ist ist I − A =
und somit
0 −1
!
1 −1
und (1, 1)⊤ ein Eigenvektor zum
(I − A)e1 = 0 . Weiter ist 2I − A =
0 0
Eigenwert 2 .
!
0 1
36.7 Beispiel. a) Für A =
ist χA (λ) = det λI − A = λ2 + 1 . Somit
−1 0
besitzt A keine reellen Eigenwerte. Wegen
A
cos ϕ
sin ϕ
!
=
sin ϕ
− cos ϕ
!
cos(ϕ − π2 )
sin(ϕ − π2 )
=
!
,
ϕ ∈ R,
beschreibt A die Drehung der Ebene R2 um den Winkel − π2 und besitzt daher
offenbar keine reellen Eigenvektoren.
Die komplexen Eigenwerte sind λ1 = i und λ2 = −i
! . Wir bestimmen zugehörige
i −1
und (1, i)⊤ ein Eigenvektor.
Eigenvektoren: Für λ1 = i ist i · I − A =
1 i
!
−i −1
und (1, −i)⊤ ein Eigenvektor.
Für λ2 = −i ist −i · I − A =
1 −i


1 2 3
λ−1


−2


36.8 Beispiel. a) Für A =  4 3 −2  gilt χA (λ) = (λ − 5) −4
λ−3
0 0 5
(λ − 5)(λ2 − 4λ − 5) = (λ + 1)(λ − 5)2 .


=
−2 −2 −3


⊤

b) Für λ1 = −1 hat man −I − A =  −4 −4 2 
 , und (1, −1, 0) ist ein
0
0 −6
Eigenvektor.
36 Eigenwerte und Eigenvektoren

163

4 −2 −3



c) Für λ2 = 5 hat die Matrix 5I − A =  −4 2
2 
 den Rang 2 ; trotz
0
0
0
α(A; 5) = 2 gibt es also nur einen linear unabhängigen Eigenvektor, nämlich (1, 2, 0)⊤ .
36.9 Definition. Es sei E ein Vektorraum mit dim E = n < ∞ . Ein linearer
Operator T ∈ L(E) heißt diagonalisierbar, wenn E eine Basis aus Eigenvektoren
von T besitzt.
36.10 Beispiele und Bemerkungen. a) Ist V = {v1 , . . . , vn } eine Basis von E
mit T vj = λj vj für j = 1, . . . , n , so ist MV (T ) = diag(λ1 , . . . , λn ) eine Diagonalmatrix. Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie zu einer
Diagonalmatrix ähnlich ist.
d
aus Beispiel 36.4 und die Matrix aus Beispiel 36.8 sind nicht
b) Der Operator dx
diagonalisierbar. Die Matrix aus Beispiel 36.7 ist über C diagonalisierbar, die aus
Beispiel 36.6 auch über R .
c) Eine Matrix A ∈ Kn×n sei diagonalisierbar mit S −1 AS = D = diag(λ1 , . . . , λn ) .
Dann gilt ASej = SDej = λj Sej , d. h. wir können als Spalten von S linear unabhängige Eigenvektoren von A wählen.
!
1 1
aus Beispiel 36.6 ist wählen wir S =
d) Für die Matrix A =
0 2
!
1 −1
−1
sowie S −1 AS = diag(1, 2) .
und erhalten S =
0 1
1 1
0 1
!
36.11 Satz. Es seien E ein Vektorraum und T ∈ L(E) . Eigenvektoren {v1 , . . . , vr }
zu verschiedenen Eigenwerten {λ1 , . . . , λr } sind linear unabhängig.
Beweis. Andernfalls hat man vk =
αj ∈ K . Aus
0 = (λk I − T )vk =
P
j6=k
P
j6=k
αj vj für ein 1 ≤ k ≤ r und geeignete
αj (λk − λj ) vj
folgt dann αj = 0 für j 6= k , also der Widerspruch vk = 0 .
36.12 Folgerung. Es sei E ein Vektorraum mit dim E = n < ∞ . Ein Operator
T ∈ L(E) mit n verschiedenen Eigenwerten ist diagonalisierbar.
36.13 Satz. Es seien E ein Vektorraum mit dim E = n < ∞ und T ∈ L(E) .
a) Dann gilt
γ(T ; µ) ≤ α(T ; µ)
für alle µ ∈ σ(T ) .
(4)
b) Es ist T genau dann diagonalisierbar, wenn γ(T ; µ) = α(T ; µ) für alle Eigenwerte
µ ∈ σ(T ) gilt.
164
V. Lineare Algebra
Beweis. a) Wir wählen eine Basis {v1 , . . . , vr } von E(T ; µ) und ergänzen diese
!
µEr ∗
durch {vr+1 , . . . , vn } zu einer Basis von E . Dann hat A := MV (T ) =
0 ∗
r
Block-Stufenform, und χT (λ) = det(λI − A) enthält den Faktor (λ − µ) .
b) ⇒ “ ist klar, da die Aussage für Diagonalmatrizen offenbar richtig ist.
”
r
Q
(λ − λj )αj wie in (3). Für Basen Vj = {vj,1, . . . , vj,αj }
⇐ “: Es sei χT (λ) =
”
j=1
von E(T ; λj ) sind dann die Vektoren in V := V1 ∪ . . . ∪ Vr linear unabhängig: Aus
αj
r P
P
j=1 k=1
βj,k vj,k = 0 folgt
αj
P
βj,k vj,k = 0 für alle j aus Satz 36.11 und dann βj,k = 0
k=1
für alle j und k . Da V genau n Vektoren enthält, ist V eine Basis von E .
Ein Eigenwert µ ∈ σ(T ) heißt halbeinfach, wenn γ(T ; µ) = α(T ; µ) gilt. Somit ist
T genau dann diagonalisierbar, wenn alle Eigenwerte halbeinfach sind.