Slides aus Vorlesung 24

Lineare Algebra I
- 24.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
heutiges Übungsblatt: Zusatzblatt — keine Abgabe!
Musterlösung wird am Montag hochgeladen.
Falls Sie noch Punkte brauchen: kontaktieren Sie Herrn Gauß!!!
Basis die Gestalt
MatA A (f ) =
✓
A B
0 C
◆
,
Eigenräume und Eigenwerte:
Eigenvektoren erzeugen
wobei A 2 Mat(k, k; K), B 2 Mat(k, n k; K) und C 2 Mat(n k,1-dim.
n k;invariante
K). Im folgenden
Unterräume
konzentrieren wir uns auf 1-dimensionale invariante Untervektorräume.
Definition 7.15. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und f 2 Hom(V, V ) ein
Endomorphismus von V .
(1) Für 2 K nennen wir den Untervektorraum
V (f ) := {v 2 V | f (v) =
v} = ker(f
{ew}
idV ) ✓ V
den zu gehörigen Eigenraum von f .
(2) 2 K nennen wir einen Eigenwert von f , falls V (f ) 6= {0}.
(3) Sei 2 K ein Eigenwert von f . Dann nennen wir dim(V (f )) 1 die Multiplizität
des Eigenwerts .
(4) Sei 2 K ein Eigenwert von f . Dann nennen wir die von 0 verschiedenen Elemente in
V (f ) die Eigenvektoren von f zum Eigenwert .
Den zu 2 K gehörigen Eigenraum einer quadratischen Matrix A 2 Mat(n, n; K) definiert man als den zu gehörigen Eigenraum des Endomorphismus A· : Mat(n, 1; K) !
Mat(n, 1; K):
V (A) := {v 2 Mat(n, 1; K) | A · v =
v} ✓ Mat(n, 1; K) .
Analog definiert man Eigenwerte, deren Multiplizitäten und Eigenvektoren von A.
Bemerkung 7.16. Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum, und f 2 Hom(V, V ). Wenn
ein Eigenwert
von f bekannt ist, so läßt sich der entsprechende Eigenraum V (f ) =
ker(f
idV ) leicht bestimmen, indem man ein lineares Gleichungssystem löst. Wähle dazu
irgendeine geordnete Basis A von V , und betrachte die Matrixdarstellung A = MatA A (f )
und Eigenwerte
von f . Der Eigenraum V (A) ist dann nichts anderes als7.2.
derEigenvektoren
Lösungsraum Lös(A
I , 0)
7 Eigenvektoren und Eigenwerte
87
Mit Hilfe von Eigenräumen läßt sich viel über die Gestalt von Homomorphismen, bzw.
Marizen aussagen... .
Mit Hilfe von Eigenräumen 7.4.
läßt Diagonalisierbarkeit
sich viel über die Gestalt von Homomorphismen, bzw.
Marizen aussagen... .
7.4
Diagonalisierbarkeit
Definition
7.21. Man nennt einen Endomorphismus f : V ! V eines K-Vektorraums V
7.4 Diagonalisierbarkeit
diagonalisierbar, wenn es eine Basis A von V bestehend aus Eigenvektoren von f gibt.
Definition
7.21.man
Maneine
nennt
einenA Endomorphismus
f : V ! V eines
K-Vektorraums
V
Analog nennt
Matrix
2 Mat(n, n; K) diagonalisierbar,
wenn
die Abbildung
diagonalisierbar,
es 1;eine
A von V bestehend
aus Eigenvektoren von f gibt.
A·
: Mat(n, 1; K) !wenn
Mat(n,
K) Basis
diagonalisierbar
ist.
Analog nennt man eine Matrix A 2 Mat(n, n; K) diagonalisierbar, wenn die Abbildung
Bemerkung
f : V1;!
diagonalisierbar,
A· : Mat(n, 1; 7.22.
K) ! Sei
Mat(n,
K)Vdiagonalisierbar
ist.und A = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V
bestehend aus Eigenvektoren vi zu Eigenwerten i . Dann ist die Matrixdarstellung bzgl. A
Bemerkung
7.22. Sei f : V ! V diagonalisierbar, und A = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V
die
Diagonalmatrix
0
1
bestehend aus Eigenvektoren vi zu Eigenwerten
.
Dann
ist
i
0 die Matrixdarstellung bzgl. A
1
B
C
die Diagonalmatrix
0
1
2
B
C
MatA A (f ) = B 1
0 C.
.
.
@
A
.
B
C
Basiswechsel-Matrix
2
B 0
C
n C .
MatA A (f ) = B
..
@
A
.
Eine Matrix A 2 Mat(n, n; K) ist diagonalisierbar
genau dann,
wenn es eine invertierbare
0
n
Matrix T 2 GLn (K) gibt, so dass T · A · T 1 nur diagonale Einträge hat. (T ist hier die
Eine Matrix A 2 Mat(n,
n; K)
ist diagonalisierbar
genau
dann,
wenn
eineEigenvektoren
invertierbare
Basiswechsel-Matrix,
die die
Standard-Basis
von Mat(n,
1; K)
in die
Basisesvon
Matrix
T 2 ührt.)
GLn (K) gibt, so dass T · A · T 1 nur diagonale Einträge hat. (T ist hier die
von
A· überf
Basiswechsel-Matrix, die die Standard-Basis von Mat(n, 1; K) in die Basis von Eigenvektoren
alleührt.)
Endomorphismen sind diagonalisierbar, wie z.B. die Jordan-Blöcke aus BeivonNicht
A· überf
spiel 7.20(2). Im folgenden wird untersucht, wann genau ein Endomorphismus diagonalisieralle ist
Endomorphismen
sindändnis
diagonalisierbar,
wie z.B.
die
Jordan-Blöcke
aus Beibar Nicht
ist. Dazu
ein
genaueres
Verst
von
Eigenwerten
und
Eigenvektoren
n
ötig.
Welche Endomorphismen/Matrizen sind diagonalisierbar?
spiel 7.20(2). Im folgenden wird untersucht, wann genau ein Endomorphismus diagonalisier- {prop:ewl
Proposition
f 2 Hom(V,
), und von
seienEigenwerten
v1 , . . . , vk 2 und
V Eigenvektoren
bar ist. Dazu 7.23.
ist einSei
genaueres
VerstVändnis
Eigenvektorenzunpaarweise
ötig.
{prop:ew
unterschiedlichen Eigenwerten 1 , . . . , k 2 K. Dann ist {v1 , . . . , vk } linear unabängig.
7.4. Diagonalisierbarkeit
Proposition 7.23. Sei f 2 Hom(V, V ), und seien v1 , . . . , vk 2 V Eigenvektoren
zu paarweise
( 1
v1 + diagonalisierbar,
... + ( k 1
k ) l1 sind
k ) lwie
k 1v
k 1 =
Nicht alle Endomorphismen
z.B.
die0 .Jordan-Blöcke aus Beispiel 7.20(2).
Imist
folgenden
wann
genau
eindaher
Endomorphismus
diagonalisierNach
Annahme
{v1 , . . . ,wird
vk 1 }untersucht,
linear unabh
ängig,
und
( i
0 für alle
k ) li =
und
daher
ändnis sind
von Eigenwerten
Eigenvektoren
nötig.
1bar
 iist.
< Dazu
k. Da ist
dieeini genaueres
paarweise Verst
verschieden
folgt li = 0, fund
ür alle
1  i < k, und
damit
(
) l v1 + . . . + ( k 1
k ) l k 1 vk 1 = 0 .
{prop:
wegen (7.2) auch lk = 0.1Alsokist1 auch
{v1 , . . . , vk } linear
unabhängig.
Proposition
7.23.
Sei, f. . 2
V ), und
seien
v1 , . .und
. , vk daher
2 V Eigenvektoren
zu paarweise
Nach
Annahme
ist {v
. , Hom(V,
vk 1 } linear
unabh
ängig,
( i
1
k ) li = 0 für alle
1 , . . . , k 2 K. Dann ist {v1 , . . . , vk } linear unabängig.
1unterschiedlichen
 i < k. Da die Eigenwerten
i paarweise verschieden sind folgt li = 0, für alle 1  i < k, und damit
Korollar
7.24.
Hat
ein
Endomorphismus
f. .:, vV }!linear
V eines
n-dimensionalen
Vektorraums
wegen
(7.2)
auch
l
=
0.
Also
ist
auch
{v
,
.
unabh
ängig.
k
1
k
Nehme Eigenwerte,
an, dass 1 , .so. . ist
, kf2diagonalisierbar.
K paarweise unterschiedliche Eigenwerte von f sind,
VBeweis.
n verschiedene
und v1 , . . . , vk dazugehörige Eigenvektoren. Wir beweisen die Aussage per vollständiger InBeweis.
Sei
V k.ein
K-Vektorraum,
fnehmen
:2 n-dimensionalen
Hom(V,
eindass
Endomorphisduktion nach
Fn-dimensionaler
ürein
k Endomorphismus
= 1 ist nichts
zuf zeigen.
Wir
nunV )an,
die AussaKorollar
7.24.
Hat
: V ! und
V eines
Vektorraums
mus
mit(kn verschiedenen
Eigenwerten.
Seien
jeweils
Eigenvektoren
diesen
genfür
1) Eigenvektoren
gilt,
also vv11,, .. .. ..,,vvnk 21 Vlinear
unabh
ängig sind. zu
Seien
nun
V
verschiedene
Eigenwerte,
so
istdass
f diagonalisierbar.
Eigenwerten.
l1 , . . . , lk 2 KNach
mit Proposition 7.23 ist {v1 , . . . , vn } also linear unabhängig, und damit eine
Basis von Sei
V . V ein n-dimensionalerl1K-Vektorraum,
Beweis.
v1 + . . . + lk vk und
= 0 .f :2 Hom(V, V ) ein Endomorphis(7.2) {eq:la
mus mit n verschiedenen Eigenwerten. Seien v1 , . . . , vn 2 V jeweils Eigenvektoren zu diesen
Dann gilt
Eigenwerten.
Nach Proposition 7.23 ist {v1 , . . . , vn } also linear unabhängig, und damit eine
Satz 7.25.
Basis
von V .Sei V endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f 2 Hom(V, V ). Dann sind die
0 = f (l1 äquivalent:
v1 + . . . + lk vk ) = f (l1 v1 ) + . . . + f (lk vk ) = l1 1 v1 + . . . , lk k vk
folgenden Aussagen
(1) f ist diagonalisierbar.
) l k k vk = l 1 1 v1 . . . l k 1 k 1 vk 1
(2) Das
Polynom f (t)
zerfällt in Linearfaktoren
undVf).
ürDann
die MultipliSatz
7.25.charakteristische
Sei V endlich-dimensionaler
K-Vektorraum
und f 2 Hom(V,
sind die
Auf der
anderen
folgt
aus (7.2)
zitäten
µxi ( Seite
aller
seiner
Nullstellen xi gilt µxi ( f ) = dim(Vxi (f )).
folgenden
Aussagen
f )äquivalent:
(1) f ist diagonalisierbar.
Beweis.
Ist f diagonalisierbar,
so1zerf
gibt
es
Eigenn ) von
v1 +
. . .eine
lkBasis
k l k vk =
k (l
1 vk (v
1 )1,, . . . , v
(2) Das (1))(2):
charakteristische
Polynom
ällt
in+ Linearfaktoren
und
für Vdieaus
Multiplif (t)
vektoren.
Seien
verschiedenen Eigenwerte von f . Dann gilt nach Beispiel 7.20(1)
zitäten
µxix(i die
f ) aller seiner Nullstellen xi gilt µxi ( f ) = dim(Vxi (f )).
Y
dim(Vxi (f ))
(t gibt
xi )es
. (v1 , . . . , vn ) von V aus EigenBeweis. (1))(2): Ist f diagonalisierbar,
so
eine Basis
f (t) =
i
vektoren. Seien xi die verschiedenen Eigenwerte
von fDas
. Dann
gilt nach
Beispiel 7.20(1)…
läßt sich
noch umformulieren
Y
Daraus folgt (2).
(t xi )dim(Vxi (f )) .
f (t) =
(2))(1): Gelte nun (2). Seien x1 , . . . , xk die verschiedenen Nullstellen von f , bzw. die veri
schiedenen Eigenwerte von f . Seien di := dim(Vxi (f )) die Multiplizitäten der Eigenräume.
7.4. Diagonalisierbarkeit
(i)
(i)
Daraus folgt (2).
(i)
Basen, und damit linear unabhängig sind, erhält man weiter lj = 0 für alle 1  i  k und
man mit Hilfe von direkten Summen noch etwas anders formulieren.
1  jDas
 dkann
i . Damit ist B linear unabhängig.
Direkte Summe von Untervektorräumen:
Definition 7.26.
DasSei
kann
man
mit Hilfe von
direkten Summen
noch
etwas
anders
formulieren.
(1)
V ein
Vektorraum
mit Untervektorr
äumen
U
,
.
.
.
,
U
✓
V
.
Dann
ist V die direkte
1
k
Lr
Summe
der Ui , V = U1 · · · Uk =
Definition
7.26.
i=1 Ui , wenn jedes v 2 V eine eindeutige
Darstellung
(1) Sei
V ein Vektorraum mit Untervektorräumen
U1 , . . . , Uk ✓ V . Dann ist V die direkte
L
mit
vi 2 jedes
Ui
Summe der Ui , V = U1 v =
· · ·v1 +U.k. .=+ vk ,ri=1 U
v 2 V eine eindeutige
i , wenn
Darstellung
besitzt.
. . .Untervektorraum.
+ vk , mit vi 2Dann
Ui ist ein Untervektorraum
(2) Sei V ein Vektorraum undvU=✓v1V+ein
W ✓ V ein zu U komplementärer Untervektorraum, falls V = U W .
besitzt.
(2) Sei V7.27.
ein Vektorraum
und
U ✓ V ein Untervektorraum. Dann ist ein Untervektorraum
Beispiel
Falls B = {v
1 , . . . , vn } eine Basis eines Vektorraums V ist, und B1 , . . . , Bk ✓
W ✓ V Teilmengen,
ein zu U komplement
ärer Untervektorraum, falls V = U W .
B disjunkte
so gilt
Beispiel 7.27. Falls B = {v1 , . . .V, v=
eine )Basis
eines
Vektorraums
V ist, und B1 , . . . , Bk ✓
n }L(B
·
·
·
L(B
)
.
1
k
B disjunkte Teilmengen, so gilt
Bemerkung 7.28. Seien U1 , . . . , Uk Untervektorräume eines Vektorraums V . Dann sind die
V = L(B1 ) · · · L(Bk ) .
folgenden Aussagen
äquivalent:
Lk
(1) V = 7.28.
i=1 Ui Seien U1 , . . . , Uk Untervektorräume
⇣P eines⌘Vektorraums V . Dann sind die
Bemerkung
Pk
(2) V =Aussagen
U und für alle 1  i  k gilt Ui \
folgenden
j6=i Uj = {0}
Lki=1 i äquivalent:
(1) V = i=1 Ui
Pk
⇣P
⌘
P
Beweis. “(1))(2)”
Aus (1) folgt sofort, dass V von den Ui erzeugt wird, d.h. V = i=1 Ui .
(2) V = ki=1 Ui und für alle 1  i  k gilt Ui \
j6=i Uj = {0}
Falls nun oBdA 0 6= v 2 U1 \ (U2 + . . . + Uk ), so gibt es ui 2 Ui mit
Pk
Beweis. “(1))(2)” Aus (1) folgt sofort,
u1 = v dass
= u2V+ von
. . . +den
uk ,Ui erzeugt wird, d.h. V = i=1 Ui .
Falls nun oBdA 0 6= v 2 U1 \ (U2 + . . . + Uk ), so gibt es ui 2 Ui mit
also ist die Darstellung von v als Summe aus Vektoren aus den Ui nicht eindeutig, im Wiu1 = v = u2 + . . . + u k ,
derspruch zu (1).
“(2))(1)” Nehme an, (1) gilt nicht. Dann gibt es einen Vektor v 2 V ui , u0i 2 Ui mit uj 6= u0j
also ist die Darstellung von v als Summe aus Vektoren aus den Ui nicht
im Wi7.4.eindeutig,
Diagonalisierbarkeit
für mindestens ein 1  j  k, mit
Uj 3 (uj
uj ) =
(ui
ui ) ,
i6=j
P
also Uj \ ( i6=j Ui ) 6= {0}, im Widerspruch zu (2).
Damit erhält man eine zusätzliche Formulierung für das Kriterium der Diagonalisierbarkeit,
vgl. Satz 7.25:
Satz 7.29. Sei V endlich-dimensionaler K-Vektorraum und f 2 Hom(V, V ). Dann ist f
diagonlisierbar, genau dann wenn V die direkte Summe der Eigenräume von f ist:
V =
r
M
V i (f ) ,
wobei
1, . . . ,
r
die Eigenwerte von f sind.
i=1
Beweis. Das folgt sofort aus dem Umstand, dass Basen von direkten Summanden zusammen Basen der Summe bilden.
In der Tat kann man anhand des charakteristischen Polynoms noch mehr über die Struktur von Endomorphismen sagen. Das wird Thema in der Linearen Algebra II sein.
8
Euklidische Vektorräume
Anhang A
⇤
oBdA
8
9
@
Notationen und Symbole
Ende eines Beweises
ohne Beschränkung der Allgemeinheit
für alle
es gibt
es gibt kein
7.4. Diagonalisierbarkeit
n Eigenräume lassen sich leicht berechnen:
✓
✓
◆◆
✓
◆
sin(') ±i 1
±i
±i'
' (A) = ker e
I2 A = ker
=C
.
1
±i
1
2
Beispiel 7.20.(4)
0
7 1
A=@ 1 1
4 1
0
t
7
1
5
1 A 2 Mat(3, 3; R),
2
faktorisiert in Linearfaktoren,
d.h. Eigenwerte 1,2,3
Eigenvektoren:
1
1
5
t 1
1 A
det @ 1
Da die Eigenwerte alle verschieden sind,
4
1 t+2
0 sind die Eigenvektoren linear unabhängig.
1

0
1 (t 1)(t 7) 5 + (t 7)
Zeilentransf.
A
t 1
1
det @ 1
Z 12 (7 t) Z 31 (4)
0
1 + 4(t 1)
t 2
✓
◆

1 (t 1)(t 7) 5 + (t 7)
Entwicklung
det
1 + 4(t 1)
t 2
nach der 1. Zeile
(1 + (t 1)(t 7))(t 2) + (t 2)(4t 5)
(t 1)(t 2)(t 3) .
die drei Eigenwerte 1, 2, 3. Die entsprechenden Eigenräume kann man leicht
Exemplarisch wird hier der Eigenraum zum Eigenwert 1 berechnet:
0
1
6
1 5
0
1 A
A)
=
ker(I3 A) = ker @ 1
4
1 3
0
1
0
1
1
0
1
1 0
1
Das
charakteristische
Z 21Polynom
(6) Z 31 (4) sagt noch mehr über die Gestalt von Endomorphismen aus!
Z 12
1 5 A
1
1 A
=
ker @ 6
=
ker @ 0
4
1 3
0
1
1
0
1
0
1
Lineare Algebra II
1 0
1
1
Z 32 ( 1)
1
1 A = R@ 1 A .
=
ker @ 0
0 0
0
1
7.3. Das charakteristische Polynom
tur von Endomorphismen sagen. Das wird Thema in der Vorlesung Linearen Algebra II
sein.
8
Euklidische Vektorräume
8.1. Bilinearformen
Thema diesen Kapitels sind Vektorräume mit einer zusätzlichen Struktur, einer Bilinearform.
Zunächst werden Bilinearformen eingeführt, und dann R-Vektorräume mit Skalarprodukten
untersucht, sogenannte Euklidische Vektorräume.
Vektorräume mit zusätzlicher Struktur …
8.1
Bilinearformen
Definition 8.1. Sei V ein K-Vektorraum. Eine Bilinearform auf V ist eine 2-Multilinearform
: V ⇥ V ! K, vgl. Definition 6.1.
Beispiel 8.2. Das Standard-Skalarprodukt h·, ·i auf Mat(n, 1; K) definiert durch
hx, yi := xt · y =
n
X
i=1
{defi:
{bsp:s
xi yi , für x, y 2 Mat(n, 1; K)
ist eine Bilinearform.
Für alle B 2 Mat(n, n; K) ist auch die Abbildung Mat(n, 1; K) ⇥ Mat(n, 1; K) ! K,
(x, y) 7! hx, B · yi = xt · B · y
eine Bilinearform auf Mat(n, 1; K).
Bilinearformen auf endlich-dimensionalen Vektorräumen kann man nach Wahl einer Basis
mit Hilfe von Matrizen darstellen:
8.1. Bilinearformen
92
8.1 Bilinearformen
Matrixdarstellung von Bilinearformen
Proposition 8.3. Sei V endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit geordneter Basis A =
(v1 , . . . , vn ), und
: V ⇥ V ! K eine Bilinearform. Dann bestimmt die Matrix B 2
Mat(n, n; K) mit den Einträgen
bij = (vi , vj )
eindeutig. Wir nennen sie die Matrixdarstellung von
{prop
bzgl. A und schreiben
B =: MatA ( ) .
Die Matrixdarstellung hat die folgenden Eigenschaften:
(1) Die Abbildung MatA : 7! MatA ( ) ist ein Isomorphismus von Vektorräumen.
(2) Sei ıA : Mat(n, 1; K) ! V der Isomorphismus, der die Standard-Basis von Mat(n, 1; K)
auf die Basis A abbildet (vgl. Satz 5.21), dann gilt
(ıA (x), ıA (y)) = xt · MatA ( ) · y ,
für alle x, y 2 Mat(n, 1; K) .
(3) Sei A0 eine andere Basis von V , dann gilt
MatA0 ( ) = T t · MatA ( ) · T ,
wobei T = MatA0 A (idV ) 2 GLn (K) die entsprechende Basiswechsel-Matrix ist.
Beweis. Dass die Matrix B die Bilinearform eindeutig bestimmt folgt aus der Multilinearität von . Umgekehrt wird auf diese Weise durch jede Matrix B 2 Mat(n, n; K) eine
Bilinearform definiert. Die Abbildung 7! MatA ( ) ist also bijektiv. Dass sie ein Vektorraumhomomorphismus ist, ist klar. Damit folgt (1).
8.1. Bilinearformen