Erklärungen zur Gleitkommadarstellung

Erklärungen zur Gleitkommadarstellung
Auszüge aus “Rechnerentwurf” von R.Hoffmann zum Thema
Gleitkommadarstellung mit ergänzenden Kommentaren und
Beispielen von Patrik Schmittat
23. Juni 2008, Darmstadt
Inhaltsverzeichnis
0.1
0.2
Einführung in dieses Dokument . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleitkommazahlen und das IEEE754 Gleitkommaformat . . .
0.2.1 Einleitende Worte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.2 IEEE754-32-Bit-Gleitkommmaformat . . . . . . . . .
Zahlenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weitere Interpretationen der Darstellung . . . . . . .
Änderung des Standards IEEE754 . . . . . . . . . . .
0.2.3 IEEE754-64-Bit-Gleitkommmaformat . . . . . . . . .
0.2.4 Umrechenmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dezimal → Gleitkomma (an dem Beispiel von 42.375)
Methode 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Methode 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleitkomma → Dezimal (an dem Beispiel von 42.375)
Methode 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Methode 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Applets zur Konvertierung . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.5 Operationen mit Gleitkommazahlen . . . . . . . . . .
Addition/Subtraktion von Gleitkommazahlen . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Multiplikation von Gleitkommazahlen . . . . . . . . .
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
3
3
5
7
7
8
8
9
9
9
10
10
11
11
11
11
12
13
13
13
14
15
15
16
0.1 Einführung in dieses Dokument
Dieses kleine Handout soll eine weitere Erklärung zu dem Thema “Gleitkommadarstellung” sein. Es stellt den Inhalt nochmal in einem anderen Licht dar, als in der Vorlesung1
erstmals diskutiert. Die folgenden Kapitel sind Auszüge aus dem Buch “Rechnerentwurf”
von R. Hoffmann [Hof93] und wurden von Patrik Schmittat mit Beispielen versehen.
Für weitere Referenzen kann man folgende Quellen in betracht ziehen:
• die Homepage des IEEE Standards [IEE08b]
1
Technische Grundlagen der Informatik 2 - TGdI 2, SS08
2
• das Standardwerk von Patterson und Hennessy [PH98, s. S. 277 - 288]
Dies sind jedoch weiterführende Quellen und sollen als Horizonterweiterung dienen,
können somit auch über den, in der Vorlesung behandelten, Stoff hinaus gehen.
0.2 Gleitkommazahlen und das IEEE754 Gleitkommaformat
0.2.1 Einleitende Worte
Durch ein Codewort mit n Bits lassen sich 2n verschiedene Zahlen repräsentieren. Wenn
wir das Codewort z.B. als Vorzeichenzahl interpretieren, dann lassen sich die Werte von
−(2n−1 − 1) bis +(2n−1 − 1) in Abständen von 1 darstellen. Dabei haben wir uns ganze Zahlen vorgestellt, mit einem fiktiven Komma, das ganz rechts steht. Wenn wir das
Komma um m Stellen nach links verschieben, dann bedeutet dies eine Division durch
2m . Die Abstände zwischen den Zahlen betragen jetzt 2−m , wodurch sich näherungsweise rationale Zahlen darstellen lassen. Wird das Komma um m Stellen nach rechts
verschoben, dann lassen sich noch sehr große Zahlen darstellen, allerdings nur mit dem
Abstand 2m . Wir sprechen von einer Festkommazahl, wenn wir uns das Komma an einer
festen Stelle vorstellen. Verwenden wir zusätzliche Bits, die die Stellung des Kommas
angeben, dann sprechen wir von einer Gleitkommazahl (floating point number) oder einer halblogarithmischen Darstellung.
Der Vorteil der Gleitkommazahl gegenüber der Festkommazahl besteht nun darin, daß
ein wesentlich größerer Wertebereich mit der gleichen Anzahl von Bits dargestellt werden
kann, so dass bei arithmetischen Operationen nur selten die Bereichsgrenzen (Überlauf-,
Unterlaufbedingung) überschritten werden. Der Programmierer braucht somit den Programmablauf weniger zu analysieren bzw. zu kontrollieren als bei Festkommazahlen.
Außerdem ist die relative Darstellungsgenauigkeit in etwa konstant und unabhängig von
der Größe der Zahl. Nachteile der Gleitkommazahlen sind der wesentlich höhere Verarbeitungsaufwand bei arithmetischen Operationen und die möglichen Fehler, die durch
die Rundung auf die darstellbaren Werte bei der Durchführung arithmetischer Operationen entstehen.
Eine Gleitkommazahl, die den Wert x darstellt, besteht aus der Mantisse mx und dem
Exponenten ex zur Basis b.
x = mx ∗ bex
Für die folgenden Betrachtungen wollen wir die praktisch immer eingehaltene Bedingung
annehmen, dass b mit der Basis der Darstellung der Mantisse übereinstimmt und dass
für ex nur ganze Zahlen zugelassen sind. Ohne zusätzliche Bedingungen würde für den
gleichen Wert x eine Reihe von Darstellungen (mx, ex) existieren. Die Darstellung wird
erst dann eindeutig, wenn der Wertebereich der Mantisse beschränkt wird. Wir definieren
eine normierte (normalisierte) Darstellung:
x = vx ∗ mxnorm ∗ bk ∗bex
{z
}
|
m
d
xnorm
3
(0.1)
Dabei stellt mxnorm die positive normalisierte Mantisse dar, vx das Vorzeichen (+1, −1)
und k eine ganzzahlige Konstante. Bei der Darstellung der normalisierten Mantisse durch
eine r-stellige b-näre Zahl eignet sich die Normalisierungsbedingung
1
1
≤ mxnorm ≤ 1 − r < 1
b
b
am Besten. Damit ist das Komma der normalisierten Mantisse vor der Ziffer mit dem
höchsten Wert vereinbart. Die kleinste normalisierte Mantisse wird dann durch .10...0
und die größte durch .(b−1)(b−1)...(b−1) dargestellt. Die normalisierte Mantisse ist also
daran zu erkennen, dass die erste Ziffer hinter dem Komma 6= 0 ist. Alle Darstellungen,
die mit 0 hinter dem Komma beginnen, sind verboten und damit redundant. Bei der
1
Basis b = 2 ist die Hälfte, bei b = 16 sind 16
aller möglichen Darstellungen redundant.
k
Die Konstante b bewertet die normalisierte Mantisse und definiert damit eine andere
Kommastellung für die Mantisse m
d
xnorm . Für die Realisierung von arithmetischen Operationen auf Gleitkommazahlen ist es am günstigsten, k = 0 zu wählen. Wenn k = r
gewählt wird, ist die Mantisse m
d
xnorm immer eine ganze Zahl. Wenn k = 1 gewählt wird
(IEEE754-32-Bit-Gleitkommmaformat, siehe Abschnitt 0.2.2), dann liegt sie zwischen
1 und 2. Für die Darstellung der Mantisse wird vorzugsweise die Vorzeichen-BetragDarstellung benutzt. Dabei ist das Vorzeichenbit vx = o2 für x ≥ 0 (vx = +1) oder vx =
l für x ≤ 0 (vx = −1). Diese Darstellung ist insbesondere für die Multiplikation und
Division von Vorteil.
Für den ganzzahligen Exponenten wird ein Wertebereich von exmin bis exmax definiert,
wobei meist exmax = −exmin definiert wird. Für k = 0 ergibt sich damit für x ein
Wertebereich von
1
bexmin −1 ≤ x ≤ bexmax ∗ (1 − r ).
b
Der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden x-Werten beträgt
∆x =
1
∗ bex .
br
Wenn die Stelle mit dem niedrigsten Wert der Mantisse nicht sicher ist, dann schwankt
der relative Fehler zwischen
br
1
1
≤ relativer Fehler ≤ r−1 .
−1
b
Die relative Darstellungsgenauigkeit von Gleitkommazahlen ist also in etwa konstant.
Bei der Durchführung von arithmetischen Operationen kann der zulässige Wertebereich
von x überschritten werden. Wird die obere Grenze überschritten, so spricht man von
Überlauf (Overflow bzw. Exponentenüberlauf), wird die untere Grenze unterschritten,
so spricht man von Unterlauf (Underflow bzw. Exponentenunterlauf).
Für die Darstellung des Exponenten eignet sich die 1-Komplement- oder 2-Komplementdarstellung, da sie die Addition und Subtraktion der Exponenten unterstützt, die bei
2
Im folgenden wird o für eine binäre 0 stehen und l für eine binäre 1, dies wird eingeführt, um die
Darstellung im Text unterscheiden zu können.
4
der Durchführung der Gleitkommaoperationen notwendig sind. Einen besonderen Vorteil
bietet die Darstellung des Exponenten als so genannte Charakteristik (biased exponent).
Sie ergibt sich aus der Abbildungsfunktion
EX[n] = ex + 2n−1 .
(Diese Darstellung unterscheidet sich von der 2-Komplementdarstellung nur dadurch,
dass das Vorzeichenbit negiert ist; bei der Addition von zwei Charakteristiken muss das
Vorzeichenbit anschließend negiert werden). Der Vorteil dieser Darstellung ist, dass die
Größer/Kleiner-Relation von ex auch in der Darstellung EX erhalten bleibt und sich
somit Gleitkommazahlen leichter vergleichen lassen. Zu diesem Zweck bringt man EX im
linken Teil eines Maschinenwortes und die normalisierte Mantisse mxnorm im rechten Teil
unter. Dadurch lassen sich positive Werte auf einmal miteinander vergleichen. Möchte
man den Vergleich auch auf negative x-Werte ausdehnen, so fügt man für x > 0 linksseitig
ein l-Bit an; für x < 0 negiert man die Darstellung und fügt ein o-Bit an (Abb. 0.2.1).
x > 0:
x < 0:
x = 0:
l
o
l
EX
EX
o
mxnorm
mxnorm
beliebig
Abbildung 0.2.1: Günstige Gleitkommadarstellung
Bei der normalisierten Darstellung mit endlich vielen Stellen ist es nicht möglich, die
Null direkt zu kodieren. Die Null lässt sich z.B. durch ex = −∞, durch mxnorm = 0
oder durch ein zusätzliches Kennbit darstellen. Folgende Darstellungen der Null sind
gebräuchlich, wobei EX = 0 dem Wert −2n−1 = exmin − 1 entspricht:
1. EX = 0,
mxnorm beliebig
2. EX beliebig,
mxnorm = 0
3. EX = 0,
mxnorm = 0
Die erste Möglichkeit bietet den Vorteil, bei der Darstellung der normalisierten Mantissen
ein Bit einzusparen, da Vorzeichenbit und 1. Stelle hinter dem Komma immer ungleich
sind (1-Komplement) bzw. immer gleich bei der Darstellung nach Abb. 0.2.1. Manchmal
werden auch zwei Darstellungen benutzt, die erste wird dann als sehr kleiner, nicht
mehr darstellbarer Wert (unechte Null) betrachtet, die zweite oder dritte als “echte”
Null. Die Wahl der Basis wirkt sich bei gleicher Bitanzahl für EX und mx wie folgt aus:
Durch eine größere Basis wachsen der Darstellungsbereich, der Abstand zwischen zwei
aufeinander folgenden Werten und der maximale relative Fehler exponentiell. Dafür sinkt
die Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis nach einer arithmetischen Operation normalisieren
zu müssen.
0.2.2 IEEE754-32-Bit-Gleitkommmaformat
Darstellung
5
ex
128
EX
255 = llll llll
127
126
..
.
254 = llll lllo
253 = llll llol
0
-1
..
.
127 = olll llll
126 = olll lllo
-126
-127
1 = oooo oool
0 = oooo oooo
Interpretation
kein gültiger Exponent; zur Darstellung
von ∞ Kontrollcodes
gültige Exponenten
für normalisierte
Gleitkommazahlen
kein gültiger Exponent; zur Darstellung
von Null bzw. Kleiner Zahl
Abbildung 0.2.2: Gültige und ungültige Exponenten
Vx
1
EX
8
FX
23
Das Vorzeichenbit (Sign) ist
Vx =
(
l, für negative Zahlen
o, für positive Zahlen.
Die Charakteristik EX (biased exponent, bias = 127) ensteht durch Addition von 127 =
28−1 −1 auf den echten Exponenten ex (unbiased exponent, true exponent), siehe Tabelle
Abb. 0.2.2:
EX[8]
ex
= ex + 27 − 1 = ex + 127
= EX − 127
,für ex = −126, ..., +126
,für EX = 1, ..., 254
Die Mantisse M X = 1.F X wird auf Werte zwischen 1 und 2 normalisiert, genauer
1 ≤ M X ≤ 2 − 2−23 . Dargestellt werden nur die 23 Binärstellen hinter dem Komma
(fraction F X), da die Stelle vor dem Komma immer gleich 1 ist.
Bemerkung: Nach der obigen Notation (Gleichung 0.1, Seite 3) gilt
M XIEEE = m
d
xnorm = mxnorm ∗ 21 .
Der Wert der normalisierten Gleitkommazahl ergibt sich aus der Beziehung
x = (−1)Vx ∗ 2EX−127 ∗ (1.F X)
(
+2EX−127 ∗ (1.F X) für Vx = o
=
−2EX−127 ∗ (1.F X) für Vx = l
Betragsmäßig größter und kleinster normalisierter Wert:
xmax = 2127 ∗ (2 − 2−23 ) ≈ 3.4 ∗ 1038
xmin = 2−126 ∗ (1.0) ≈ 1.17 ∗ 10−38
6
Zahlenbeispiele
S = +23.75 → o looo ooll olll lloo oooo oooo oooo ooo
S = +1.484375 ∗ 24
= +1.484375 ∗ 2131−127
= (+, 131, 1.484375)
= (o, looo ooll, l.olll lloo oooo oooo oooo ooo)
= o looo ooll olll lloo oooo oooo oooo ooo
S = l olll lllo lloo oooo oooo oooo oooo ooo → −0.875
S = (l, olll lllo, l.lloo oooo oooo oooo oooo ooo)
= (−, 126, 1.75)
= −1.75 ∗ 2126−127
= −1.75 ∗ 2−1
= −0.875
Weitere Interpretationen der Darstellung
1. Die Null
Darstellung der positiven Null: (o, 0, 0)
Darstellung der negativen Null: (l, 0, 0)
2. Kleine Zahl (denormalized number)
Darstellung: (Vx , 0, 6= 0) Betrag: 0 < |x| < 2−126
Kleine Zahlen repräsentieren sehr kleine Werte, die kleiner als xmin und größer als
Null sind.
Der Wert ergibt sich zu x = (−1)Vx ∗ 2EX−126 ∗ (0.F X).
3. Große Zahl, ∞
Darstellung: (Vx , 255, 0) Betrag: |x| > xmax
∞ kann sowohl ein positives als auch ein negatives Vorzeichen besitzen.
4. Ungültige Zahl (Not a Number, NAN)
Darstellung: (Vx , 255, 6= 0)
Ungültige Zahlen werden als Kontrollcodes interpretiert. Entweder entstehen bestimmte Kontrollcodes bei der Ausführung unzulässiger Operationen (z.B. 0 ∗ ∞)
oder sie werden dazu benutzt, Statuswerte durch eine Serie von Operationen zu
schleusen.
7
5. Überlauf (Overflow)
Überlauf kann bei der Addition, Multiplikation und Division auftreten, wenn nach
dem Runden ein Ergebnis |x| > xmax entsteht.
6. Unterlauf (Underflow)
Unterlauf kann bei der Addition, Multiplikation, Division und Reziprokwertbildung
1
x auftreten, wenn nach dem Runden ein Ergebnis 0 < |x| < xmin entsteht. Als
Ergebnis wird entweder eine “Kleine Zahl” erzeugt oder ±0.
7. Besondere Operationen
Besondere Operationen können für die Verarbeitung von ∞, kleinen Zahlen und
durch die Unterscheidung von positiver und negativer Null definiert werden.
8. Rundung bei einem nicht darstellbaren Rest R
Vier Rundungsarten stehen zur Auswahl:
• Rundung zur nächsten darstellbaren Zahl:
|x|, R → |x| + 1 für R ≥ 0.5 (M SB von R ist l)
→ |x|
für R ≤ 0.5 (M SB von R ist o)
• Rundung in Richtung +∞:
+|x|, R → +|x| + 1 für R 6= 0
−|x|, R → −|x|
• Rundung in Richtung −∞:
+|x|, R → +|x|
−|x|, R → −|x| − 1 für R 6= 0
• Rundung in Richtung 0:
|x|, R → |x|
Änderung des Standards IEEE754
Ebenso wollen wir hier an der Stelle auf die Veränderung des Standards hinweisen. Hierzu
kann man auf der Webseite des IEEE Standards [IEE08a] nachschauen, um weitere
Informationen zu erlangen.
0.2.3 IEEE754-64-Bit-Gleitkommmaformat
Das IEEE754-64-Bit-Gleitkommaformat (Double) entspricht dem IEEE754-32-Bit-Gleitkommaformat (Single) in seiner Aufbaustruktur. Für das Vorzeichenbit Vx wird 1 Bit,
für die Charakteristik werden 11 Bits und für die Mantisse werden 52 Bits benutzt. Die
Darstellung wird wie folgt interpretiert:
1. Falls EX = 1, ..., 2046, dann wird eine normalisierte Zahl mit dem Wert
x = (−1)Vx ∗ 2EX−1023 ∗ (1.F X) dargestellt.
2. Falls EX = 0 und F X = 0, dann ist x = (−1)Vx ∗ 0.
8
3. Falls EX = 0 und F X 6= 0, dann wird eine nicht normalisierte (kleine) Zahl mit
dem Wert x = (−1)Vx ∗ 2EX−1022 ∗ (0.F X) dargestellt.
4. Falls EX = 2047 und F X = 0, dann ist x = (−1)Vx ∗ ∞.
5. Falls EX = 2047 und F X 6= 0, dann wird NAN dargestellt.
Für noch höhere Ansprüche an die Rechengenauigkeit kann das IEEE754-Gleitkommaformat auf (1, ≥ 15, ≥ 63) Bits erweitert werden.
0.2.4 Umrechenmethoden
Es gibt prinzipiell mehrere Methoden zwischen Dezimal und Gleitkommadarstellung
abzubilden. Hier werden im folgenden nun ein paar vorgestellt (an dem Beispiel 42.375),
um eine kleine Übersicht zu erhalten.
Dezimal
42.375
Vx
o
EX
looo oloo
FX
olol ooll oooo oooo oooo ooo
Dezimal → Gleitkomma (an dem Beispiel von 42.375)
Da die Dezimalzahl positiv ist, wird Vx = o gewählt (dies trifft auf alle Methoden zu).
Methode 1: Berechnung von ex und vorbereiten der Mantissenkonvertierung.
Normalisieren der Dezimalzahl, wobei ex die Anzahl der Shiftoperationen ist.
Normalisierte Dezimalzahl = Dezimalzahl ∗ 2ex
42.375
21.1875
10.59375
5.296875
2.6484375
/2
→
/2
→
/2
→
/2
→
/2
→
21.1875
1
10.59375
2
5.296875
3
2.6484375
4
1.32421875 =: z
5 = ex
ex = 5 ⇒ EX = ex + 127 = 132 : looo oloo
Nun wird die Mantisse berechnet durch wiederholtes multiplizieren von z mit zwei, jedoch
wird, jedes mal wenn eine Eins vor dem Komma steht, diese durch eine Null ersetzt und
an die entsprechende Stelle in der Mantisse eine Eins eintragen, ansonsten eine Null. Das
Verfahren terminiert, wenn z = 0 ist.
Vorbereitung : 1.32421875 → 0.32421875
9
0.32421874
→
∗2
0.6484375
0
0.6484375
∗2
→
1.296875
1
0.296875
∗2
→
0.59375
0
0.59375
∗2
→
1.1875
1
0.1875
∗2
→
0.375
0
0.375
∗2
→
0.75
0
0.75
∗2
→
1.5
1
0.5
∗2
1.0
1
→
F X = olol ooll oooo oooo oooo ooo
Nun zu Gleitkommaformat zusammen schreiben
o looo oloo olol ooll oooo oooo oooo ooo.
Methode 2: Umwandlung der Dezimalzahl in eine duale Festkommazahl ohne Vorzeichen.
/2
42 → 21 Rest 0
/2
21 → 10 Rest 1
/2
10 → 5 Rest 0
/2
5 → 2 Rest 1
/2
2 → 1 Rest 0
/2
1 → 0 Rest 1 = lololo
0.375
→
∗2
0.75
0
0.75
∗2
→
1.5
1
0.5
∗2
1.0
1 = 0.oll
→
42.375 = lololo.oll Normalisieren der Festkommazahl wobei ex = “Anzahl der Verschiebungen des Kommas ist”.
lololo.oll → l.ololooll ⇒ ex = 5 ⇒ EX = ex + 127 = 132 : looo oloo
Nun zu Gleitkommaformat zusammen schreiben
o looo oloo olol ooll oooo oooo oooo ooo.
Gleitkomma → Dezimal (an dem Beispiel von 42.375)
Die Dezimalzahl muss positiv sein, da Vx = o ist (wäre Vx = l erhielten wir eine negative
Zahl).
Berechnung von ex:
Nun muss man EX von der Zwei-Komplementdarstellung in eine natürliche Zahl umwandeln. Hierfür werden die herkömmlichen Verfahren zur Umwandlung verwendet, wie
10
z.B. die Summationsmethode.
EX = 1 ∗ 27 + 1 ∗ 22
= 128 + 4
= 132
⇒ ex = EX − 127 = 132 − 127 = 5
Methode 1: Nun wird die Mantisse aus F X berechnet, durch aufsummieren der einzelnen Zweierpotenzen. Man muss jedoch die 1.x bei der Mantisse beachten!
M X = 1.0 +
n
X
F X[k] ∗ 2−(k+1) wobei F X[0] das niederwertigste Bit darstellt.
k=0
M X = 1.0 + (1 ∗ 2−2 + 1 ∗ 2−4 + 1 ∗ 2−7 + 1 ∗ 2−8 )
= 1.0 + 0.32421875
= 1.32421875
Dezimalzahl ist nun durch M X ∗ 2ex gegeben.
Dezimalzahl = M X ∗ 2ex = 1.32421875 ∗ 25 = 42.375
Methode 2: Shiften der Mantisse (in Binärdarstellung), um die von ex angebenen
Menge, daher wenn ex = 5 ist wird um um 5 Stellen nach links geshiftet, falls ex negativ
ist wird nach rechts geshiftet. Jedoch darf man bei dieser Methode die implizite 1. vor
der Mantisse nicht vergessen!
ex=5
l.olol ooll oooo oooo oooo ooo −→ l olol o.oll oooo oooo oooo ooo
Nun haben wir eine Festkommadarstellung erhalten und können diese nun direkt in die
Dezimalzahl umwandeln.
V orkommaanteil = 1 ∗ 25 + 1 ∗ 23 + 1 ∗ 2 ∗ 1 = 42
N achkommaanteil = 1 ∗ 2−2 + 1 ∗ 2−3 = 0.375
Dezimalzahl = V ork.anteil + N achk.anteil = 42.375
Applets zur Konvertierung
0.2.5 Operationen mit Gleitkommazahlen
Um nochmal alle Umwandlungen selbst überprüfen zu können, hier nochmal ein paar
Links zu Java-Applets für die Gleitkommazahl-Konvertierung
• Der IEEE 754 Umrechner von Harald Schmidt [Sch08]:
http://www.h-schmidt.net/FloatApplet/IEEE754de.html
11
• IEEE-754 Floating-Point Conversion von Quanfei Wen und Kevin J. Brewer [WB08]:
http://babbage.cs.qc.edu/IEEE-754/Decimal.html
• IEEE 754 Floating-Point Formats von Ron Mak [Mak08]:
http://www.apropos-logic.com/nc/FPFormats.html
Addition/Subtraktion von Gleitkommazahlen
Im Gegensatz zur Addition von Festkommazahlen ist die Addition von Gleitkommazahlen wesentlich komplizierter, weil die Exponenten und Mantissen getrennt behandelt
werden müssen. Gesucht ist die normalisierte Mantisse ms und der Exponent es der
Summe
s = x + y = ms ∗ bes = mx ∗ bex + my ∗ bey .
Bevor die Addition der Mantissen vorgenommen werden kann, muss der kleinere Exponent an den größeren angepasst werden. Dazu muss die Mantisse, die zu dem kleineren
Exponenten gehört, um so viele Stellen nach rechts geschoben werden, wie die Differenz
der Exponenten beträgt.
(
(mx + my ∗ b−(ex−ey) ) ∗ bex , ey ≤ ex
ms ∗ bes =
(my + mx ∗ b−(ey−ex) ) ∗ bey , ex ≤ ey
Im Anschluss an die Mantissen-Addition wird die Summe meist normalisiert. Besitzt die
(positive) Mantisse ms k führende Nullen, so wird die Operation
ms
es
:=
:=
ms ∗ bk
es − k
“Linksschift um k Stellen” und
“Exponent erniedrigen”
durchgeführt. Beim Linksschift der Mantisse werden von rechts Nullen nachgezogen.
Die Mantissen-Addition kann auch mit höherer Genauigkeit durchgeführt werden, so
dass die Stellen, die beim Anpassen der Exponenten nach rechts geschiftet werden,
nicht verloren gehen. Diese Stellen können dann beim Normalisieren/Runden nach der
Mantissen-Addition wieder verwendet werden. Die Vermeidung bzw. Minimierung von
Rundungsfehlern ist bei numerischen Berechnungen von großer Bedeutung. Die Subtraktion annähernd gleich großer Zahlen sollte möglichst vermieden werden (durch Umformulierung des Programms, z.B. x1 − x2 + x3 − x4 = (x1 + x3) − (x2 + x4), weil dabei
führende Stellen ausgelöscht und beim anschließenden Normalisieren vorher nicht vorhandene Nullen nachgezogen werden.
Das Erniedrigen der Exponenten beim Normalisieren kann das Unterschreiten des zulässigen Exponentenbereichs es ∈ {esmin : esmax } zur Folge haben. Das Ergebnis ist
dann so klein geworden, dass es nicht mehr darstellbar, aber noch nicht = 0 ist. Das
Ergebnis wird entweder als unechte Null (kleiner Wert) weitergeführt oder gleich der
echten Null gesetzt. Die echte Null entsteht nur dann, wenn x = −y ist, weil dann
die Summenmantisse = 0 wird. Die Null wird häufig durch (exmin − 1) und mx = 0
(IEEE754-32-Bit-Gleitkommmaformat, siehe Abschnitt 0.2.2) kodiert.
Bei der Mantissen-Addition kann ein Mantissenüberlauf entstehen, d.h. |ms| ≥ 1. Es
12
wird also eigentlich eine Stelle mehr zur Darstellung benötigt. Durch einen Schift nach
rechts mit Nachziehen der entstandenen Übertragsstelle wird die Mantisse normalisiert.
Der Exponent muss dabei um 1 erhöht werden. Das gelingt aber nur, wenn der Exponent
noch nicht seinen Maximalwert erreicht hat, anderenfalls muss die Exponentenüberlaufbedingung gesetzt werden.
Beispiele Wir wollen hier noch ein paar Beispiele zu der Addition betrachten, die ein
paar Grenzfälle darstellen sollen.
Beispiel 1 3.5 + 5.375
X = o looo oooo lloo oooo oooo oooo oooo ooo : 3.5
Y = o looo oool olol looo oooo oooo oooo ooo : 5.375
Zuerst passt man beide Exponenten aneinander an, dafür muss man den kleineren Exponenten an den Grösseren angleichen. Da ex = 1 und ey = 2 ist, verändert man die
Gleitkommazahl X. Diese ist dann, nach der Veränderung:
X 0 = “o looo oool lllo oooo oooo oooo oooo ooo”.
Man muss jedoch beachten, dass diese Schreibweise nicht ganz gültig ist, da es sich
hierbei nicht um eine normalisierte Mantisse handelt, somit dürfte man nicht das Gleitkommaformat benutzen. Weiterhin ist zu beachten, dass bei dem Vorgang die implizite
1 vor dem Komma mitgeshiftet wird (das ist eine der häufigsten Fehlerquellen).
Nach der Anpassung der Exponenten, kann man nun die Mantissen mit der gewöhnlichen
Addition verrechnen.
o . lllo oooo oooo oooo oooo ooo
+l . olol looo oooo oooo oooo ooo
= lo . ooll looo oooo oooo oooo ooo
Wie man sieht ist in diesem Falle die resultierende Mantisse nicht normalisiert, daher
ist eine Normalisierung notwendig. Die Mantisse wird nun nach rechts geshiftet und der
Exponent der Summe um eins erhöht.
lo.ooll looo oooo oooo oooo ooo → l.oool lloo oooo oooo oooo ooo
vs = o, es = looo oolo, ms = oool lloo oooo oooo oooo ooo
S = o looo oolo oool lloo oooo oooo oooo ooo : 8.875
Beispiel 2 −0.375 + 8.5
X = l olll llol looo oooo oooo oooo oooo ooo : −0.375
Y = o looo oolo oool oooo oooo oooo oooo ooo : 8.5
Hier hat man es indirekt mit einer Subtraktion zu tun, dafür ist ein wenig mehr Arbeit
erforderlich. Man muss zuerst die beiden Exponenten vergleichen, denn der grössere
Exponent wird das resultierende Vorzeichen bestimmen, daher vs = |ex| > |ey|?vx : vy.
Passt man beide Exponenten aneinander an, achtet man auf das entstehende Vorzeichen.
13
Da ex = −2 und ey = 3 ist, verändert man die Gleitkommazahl X. Diese ist dann, nach
der Veränderung:
X 0 = “l looo oolo oooo lloo oooo oooo oooo oooo ooo”.
Nach der Anpassung der Exponenten, kann man nun die Mantissen mit der gewöhnlichen
Subtraktion verrechnen, hierbei wird immer die betragsmässig kleinere Gleitkommazahl
von der größeren abgezogen.
l . oool oooo oooo oooo oooo ooo //das Y
−o . oooo lloo oooo oooo oooo ooo //das X 0
= l . oooo oloo oooo oooo oooo ooo
In diesem Fall ist die resultierende Mantisse normalisiert, daher ist keine Normalisierung
notwendig.
vs = o, es = looo oolo, ms = oooo oloo oooo oooo oooo ooo
S = o looo oolo oooo oloo oooo oooo oooo ooo : 8.125
Multiplikation von Gleitkommazahlen
Die Multiplikation von Gleitkommazahlen ist im Vergleich zur Addition von Gleitkommazahlen einfach. Die Mantissen der beiden Operanden werden miteineinander multipliziert und die Exponenten zur Basis b werden unabhängig davon addiert.
p = x ∗ y = mp ∗ bep = (mx ∗ bex ) ∗ (my ∗ bey ) = (mx ∗ my) ∗ bex+ey
Geht man für mx und my von normalisierten Mantissen
Produkt-Mantisse zwischen den Grenzen
1
b
≤ m < 1 aus, dann liegt die
b−2 ≤ |mp| < 1.
Das bedeutet, dass das Produkt nicht notwendigerweise normalisiert ist. Wenn die höchstwertige Ziffer der Mantisse gleich Null ist, dann muss die Mantisse um eine Stelle nach
links geschoben werden, und der Exponent muss um Eins erniedrigt werden.
Wird der Wertbereich des Exponenten nach oben oder unten überschritten, dann wird
die Überlaufanzeige (Overflow) oder die Unterlaufanzeige (Underflow) gesetzt.
Es folgt eine allgemeine, algorithmische Beschreibung für normalisierte Gleitkommazahlen, in der die Darstellungsform noch nicht festgelegt ist. Anweisungen, die in eckigen
Klammern eingeschlossen und durch ein Komma getrennt sind, können parallel ausgeführt werden:
i f ( ( x = 0) | | ( y = 0))
p := 0 ;
else {
mp := mx ∗ my ;
i f ( 1 / b <= |mp| < 1 ) ” n o r m a l i s i e r t ”
ep := ex + ey ;
14
e l s e ”bˆ( −2) <= |mp| < 1/b N o r m a l i s i e r e n ” {
ep := ex + ey − 1 ;
mp := mp ∗ b ;
}
i f ( ep > epmax )
” E x p o n e n t e n ü b e r l a u f ”
i f ( ep < epmin )
” E x p o n e n t e n u n t e r l a u f , e v t l . p := 0”
}.
Wenn mx und my n-stellig sind, sollte die Multiplikation mindestens auf n+1 Stellen genau ausgeführt werden, damit beim Normalisieren eine gültige Ziffer nachgezogen werden
kann. Als Darstellungsform für die Mantisse eignet sich am besten die Vorzeichen-BetragDarstellung oder Einskomplementdarstellung. Von der Benutzung der Zweikomplementdarstellung für die Mantisse ist abzuraten, da Sonderbehandlungen bei der Multiplikation und dem Normalisieren für die betragsmäßig größte negative Mantisse erforderlich
werden.
Beispiele Wir wollen hier noch ein paar Beispiele zu der Multiplikation betrachten, die
ein paar Grenzfälle darstellen sollen.
Beispiel 1 2.5 ∗ 1.25
X = o looo oooo oloo oooo oooo oooo oooo ooo : 2.5
Y = o olll llll oloo oooo oooo oooo oooo ooo : 1.25
Zuerst multipliziert man beide Mantissen miteinander, dafür verwendet man einen der
vorgestellten Algorithmen aus der Vorlesung, die auf normalen Binärzahlen arbeiten, wie
z.B. das serien-parallele Multiplikationswerk3 .
l . oloo oooo oooo oooo oooo ooo
∗l . oloo oooo oooo oooo oooo ooo
= l . lool oooo oooo oooo oooo ooo
Nun addiert man beide Exponenten.
looo oooo
3
+
olll llll
=
llll llll
−
olll llll da 127 doppelt ist
=
looo oooo
Dieser Algorithmus wird in der Vorlesung behandelt und kann auf einem weiteren Zusatzmaterial
nachgelesen werden
15
Wie man sieht ist in diesem Falle die resultierende Mantisse normalisiert, daher ist keine
Normalisierung notwendig.
vs = o, es = looo oooo, ms = lool oooo oooo oooo oooo ooo
S = o looo oooo lool oooo oooo oooo oooo ooo : 3.125
Beispiel 2 1.875 ∗ −29.5
X = o olll llll lllo oooo oooo oooo oooo ooo : 1.875
Y = l looo ooll llol looo oooo oooo oooo ooo : −29.5
Da beide Vorzeichen ungleich sind, folgt daraus dass vs = l sein muss.
Zuerst multipliziert man beide Mantissen miteinander, dafür verwendet man einen der
vorgestellten Algorithmen aus der Vorlesung, die auf normalen Binaerzahlen arbeiten,
wie z.B. das serien-parallele Multiplikationswerk.
l . lllo oooo oooo oooo oooo ooo
∗l . llol looo oooo oooo oooo ooo
= ll . olll olol oooo oooo oooo ooo
Nun addiert man beide Exponenten.
olll llll
+
looo ooll
=
oooo oolo
−
olll llll da 127 doppelt ist
=
looo ooll
Wie man sieht ist in diesem Falle die resultierende Mantisse nicht normalisiert, daher
ist eine Normalisierung notwendig. Die Mantisse wird nun nach rechts geshiftet und der
Exponent der Summe um eins erhöht.
ll.olll olol oooo oooo oooo ooo → l.loll lolo looo oooo oooo ooo
vs = l, es = looo oloo, ms = loll lolo looo oooo oooo ooo
S = l looo oloo loll lolo looo oooo oooo ooo : −55.3125
16
Literaturverzeichnis
[Hof93]
Hoffmann, Rolf:
Rechnerentwurf: Rechenwerke, Mikroprogrammierung,
RISC. 3. Auflage. München : Oldenbourg, 1993. – ISBN 3–486–22174–4
[IEE08a] IEEE 754 Revision Work.
http://grouper.ieee.org/groups/754/revision.html.
23. Juni 2008
Letzter Besuch:
[IEE08b] IEEE 754: Standard for Binary Floating-Point Arithmetic.
http://grouper.ieee.org/groups/754. Letzter Besuch: 23. Juni 2008
[Mak08] Mak, Ron. IEEE 754 Floating-Point Formats.
http://www.apropos-logic.com/nc/FPFormats.html.
such: 23. Juni 2008
2006. Letzter Be-
[PH98]
Patterson, David A. ; Hennessy, John L.: Computer Organization and
Design: The Hardware/Software Interface. Second Edition. San Francisco,
CA, USA : Morgan Kaufmann, 1998. – ISBN 1–55860–428–6
[Sch08]
Schmidt, Harald. IEEE 754 Umrechner.
http://www.h-schmidt.net/FloatApplet/IEEE754de.html.
such: 23. Juni 2008
[WB08]
Letzter Be-
Wen, Quanfei ; Brewer, Kevin J. IEEE-754 Floating-Point Conversion.
http://babbage.cs.qc.edu/IEEE-754/Decimal.html. 1998. Letzter Besuch: 23. Juni 2008
17