26. Gleichstrom

Elektrizitätslehre – Gleichstrom
26.
Gleichstrom
26.1.
Stromstärke
−
Während der Zeit dt fließe durch den Querschnitt eines Leiters die Ladung dQ ⇒ es
herrscht die Stromstärke
I=
Maßeinheit:
dQ
dt
[ I] = A =
(1)
As C
=
s
s
SI
Die Maßeinheit Ampere entspricht also dimensionsmäßig Ladung pro Zeit.
−
Wenn man bedenkt, dass Ströme fließende Ladungen sind und Ladungen erhalten
bleiben, ergibt sich regelrecht trivial die KIRCHHOFFsche Knotenregel:
An jedem Knoten einer Schaltung muss ebensoviel Ladung zu- wie abfließen.
Die Summe aller Ströme ist Null.
∑ Ii = 0
(2)
i
−
!
Wir wissen, dass die elektrostatische Potentialdifferenz unabhängig vom Weg ist
(vgl. <25.3.>). Dies gilt auch in einer elektrischen Schaltung
U AB ( Weg I) = U AB ( Weg II)
(3)
⇒ damit folgt sofort
U AB ( Weg I) − U AB ( Weg II) = 0
(4)
Dies ist die Summe der Spannungsabfälle längs einer geschlossenen Masche!
Gl. (4) ist eine Form der KIRCHHOFFschen Maschenregel:
Die Summe aller Spannungsabfälle längs einer geschlossenen Masche („um eine Masche vollständig herum“) ist Null. Dies gilt auch, wenn Spannungsquellen
in der Masche enthalten sind!
∑ Ui = 0
i
!
(5)
12
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
−
Strom hat eine magnetische Wirkung, d.h., um einen
stromdurchflossenen Leiter herum existiert ein Magnetfeld.1
!
Und es gilt: Magnete ziehen sich an oder stoßen sich ab.
⇒ Stromdurchflossene Leiter üben anziehende oder abstoßende Kräfte aufeinander aus.
Prinzipdarstellung:
b)
a)
Über diese Kraft ist das Ampere definiert: Wenn bei Anordnung a) mit einem
Drahtabstand von 1 m eine Kraft von 2 10-7 N pro 1 m Drahtlänge herrscht,
entspricht dies der Stromstärke von 1 A.
!
26.2.
−
OHMsches Gesetz und einfache Stromkreise
Bei vielen wichtigen Leitern (Metalle, Elektrolytlösungen) wird Proportionalität
zwischen Strom und angelegter Spannung beobachtet:
!
I~U
Der Proportionalitätsfaktor ist der sogenannte Leitwert, sein Kehrwert heißt Widerstand R.
Leitwert
I =
1
U
⋅U =
R
R
U = I⋅R
(6a)
(6b)
Dies ist das OHMsche Gesetz.
Betrachtungsweisen:
Bei gegebenem R ruft U (entspricht Uq in nachfolgender Abbildung) den
Strom I hervor.
Bei Einspeisung eines bestimmten Stromes I („Aufprägung“) in den Widerstand R fällt an diesem die Spannung U (entspricht UR der nachfolgenden
Abbildung) ab.
1
Diese Tatsache wird ab <29.> weiter vertieft!
13
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
aus den KIRCHHOFFschen Gesetzen folgt
U q + UR = 0
Uq = UR
−
Der Widerstand eines homogenen Materials berechnet sich nach
l
A
ρ ... spezifischer Widerstand
(materialabhängig)
A ... Querschnittsfläche
R = ρ⋅
−
−
(7)
[U] V
= ≡ Ω ... Ohm
[ I] A
Maßeinheit:
[R ] =
Maßeinheit:
[ρ] = [R ] ⋅
[ A]
m2
= Ω⋅
[ l]
m
SI
ρ in Ω m (bei 18 °C)
1,6 10-8


1,7 10-8
 sehr gute Leiter
2,7 10-8

-8

9,8 10
5,0 1016
sehr guter Isolator
Material
Ag
Cu
Al
Fe
a-SiO2
Beispiele:
1
Kombination von Widerständen
a)
Reihenschaltung
(Spannungen addieren sich)
U = ∑ Ui
i
mit Gl. (6b) folgt
U
= ∑ I ⋅ R i = I ⋅ ∑ R i = I ⋅ R ges
i
⇒
i
R ges = ∑ R i
i
1
(8)
Oft wird auch die Einheit Ω cm verwendet!
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Elektrizitätslehre – Gleichstrom
b) Parallelschaltung
(Ströme addieren sich)
I = ∑ Ii
i
mit Gl. (6a) folgt
=∑
I
i
⇒
1
R ges
U
1
U
= U⋅∑
=
Ri
R ges
i Ri
=∑
i
1
Ri
Also: Rges ist kleiner als der kleinste Ri. Hier addieren sich die Leitwerte
−
(9)
1
.
R
Konsequenzen beim Messen:
a)
Strommessung
In einen gegebenen Stromkreis wird nachträglich ein Amperemeter eingebaut.
⇒
R := R + R Amp
aus dem OHMschen Gesetz folgt sofort
I=
U
U
=
R R + R Amp
Also: Strommesser müssen möglichst niederohmig sein.
!
b) Spannungsmessung
Spannungsquellen gehen normalerweise „in die Knie“, d.h., sobald
man ihr einen Strom entnimmt,
sinkt ihre Klemmenspannung etwas unter den Wert U0, der sogenannten Leerlaufspannung.
Vorstellung: Spannungsquelle hat in sich einen sogenannten Innenwiderstand, an dem auch Spannung abfällt, sobald Strom fließt.
Aus den KIRCHHOFFschen Regeln erhält man
U + I ⋅ R i = U0
bzw.
U = U0 − I ⋅ R i
U ... Klemmenspannung
15
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
Mit dieser Reduzierung kann man leben, wenn sie konstant ist. Aber jetzt
wollen wir die Spannung messen!
Wegen der Parallelschaltung des Voltmeters mit RV ergibt sich mit Gl. (9)
⇒
1
1 

R :=  +
 R RV 
−1
Dies bedeutet nur dann keine Änderung, wenn RV >> R ist!
Also: Spannungsmesser müssen möglichst hochohmig sein.
−
!
Wir betrachten den Spannungsabfall über einem homogenen Material: Dieses
kann als Reihenschaltung sehr vieler kleiner Widerstände aufgefasst werden.
Wegen der Homogenität des Materials herrscht im Innern eine konstante
Feldstärke.
Somit liefern Gl. (25-14) bzw. (25-18)
einen linearen Spannungsabfall.
26.3.
−
Leitungsmechanismus1
In Metallen ist ein Teil der Elektronen nicht an die Atomkerne gebunden, sondern im gesamten Metallkörper frei beweglich (ca. 1 e-/Atom).
!
⇒ Versuch von TOLMAN
freie Elektronen werden nach
außen getrieben (Zentrifugalkraft
im rotierenden Bezugssystem)
Aufbau eines E -Feldes, das dem
entgegenwirkt
⇒ Gleichgewichtszustand, in dem
Elektronen außen angereichert
sind.
Der Versuch liefert das Verhältnis e/m, wegen des Wechselspiels zwischen
elektrischer Kraft (~ Ladung e) und Trägheitskraft (~ m).
⇒ Leitung in Metallen wird durch Bewegung der Elektronen bewerkstelligt.
1
!
Wir beschränken uns hier auf die wichtigsten Leiter, die Metalle!
16
Elektrizitätslehre – Gleichstrom
−
Oft ist es günstiger, die Stromdichte j (Strom/Querschnittsfläche) zu nehmen.
(Gegebenenfalls kann man integrieren und erhält wieder den Strom I.)
j=
dI
dA
j = n ⋅v⋅e1
n ... Ladungsträgerdichte (Dichte der frei beweglichen e-) pro Volumen,
v ... mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger,
e ... Ladung pro Ladungsträger
−
(10)
Wir betrachten den Stromfluss durch
einen Körper (A, l):
I=
U
R
(6a)
mit Gl. (7) erhält man
A
ρ⋅l
U 1
I
= ⋅
j=
l ρ
A
E
=
j
ρ
I = U⋅
⇒
:A
U
= E =E
l
(11)
Gleichsetzung von Gl. (10) und (11) mit n, e, ρ als gegebenen Konstanten liefert
⇒
−
v~E
Der Proportionalitätsfaktor heißt Beweglichkeit der Ladungsträger, µ.
v = µ⋅E
(12)
Bei gegebenem µ (d.h. gegebenem Material) ergibt sich für bestimmte Feldstärken E jeweils eine bestimmte Driftgeschwindigkeit v.
Dies erscheint zunächst ungewöhnlich, da eine konstante Feldstärke E, d.h. konstante Kraft, eine konstante Beschleunigung, und damit eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit v ~ t bewirken müsste!
Erklärung:
1
Die Ladungsträger unterliegen einer Reibungskraft, wodurch die
Geschwindigkeit v in eine Sättigung übergeht (analog zum Kugelfall-Viskosimeter).
Überprüfung der Dimension: [ j] =
Teilchen m
C
C
Strom
⋅ ⋅
=
→
, q.e.d..
3
2
s
Teilchen
Fläche
m
m ⋅s
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Elektrizitätslehre – Gleichstrom
−
Eine Abschätzung für ein reales Metall (Cu) mit 1 e-/Atom, gegebenem µ und
"normaler" Feldstärke E liefert
v = 0,04 mm s-1 .
Also: Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Metall ist relativ niedrig.
Jedoch: Das E -Feld breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus und damit auch
die Signale (vgl. „schlagartiges Anrucken einer Marschkolonne“)
−
Einflüsse auf µ:
26.4.
−
∗
∗
Temperatur (Widerstandsthermometer, Supraleitung)
Druck (Dehnungsmessstreifen)
Energie und Leistung elektrischer Ströme
Wir verschieben eine Ladung zwischen zwei Orten mit dem Potentialunterschied
U (also einer Spannung U zwischen diesen Orten). Dabei wird Energie frei, und
zwar (vgl. Gl. (25-15))
W = Q⋅U
(13)
−
Im Vakuum würde diese Energie zur Beschleunigung der Ladung benutzt. (So
funktionieren Teilchenbeschleuniger oder Elektronenmikroskope!)
−
Beim Stromfluss in Leitern ist aber v = µ E, also bei gegebenen Bedingungen
konstant. Grund: Reibungskraft (vgl. <26.3.>)
⇒ Die Energie, die die Ladungen freisetzen, wenn sie „den Potentialberg hinuntergleiten“, wird über Reibung in Wärmeenergie umgewandelt.
−
!
!
Die in Wärme umgewandelte Leistung P ergibt sich mit Hilfe von Gl. (13)
P = W = U⋅Q
mit Gl. (1) folgt:
P = U⋅I
(14)
Also: Strom durch einen Leiter
setzte Leistung.
−
Spannungsabfall über ihn = im Leiter umge-
Bei OHMschen Leitern kann man schreiben
P = U ⋅ I = I2 ⋅ R
(mit Gl. (6b))
(15)
(mit Gl. (6a))
(16)
bzw.
P = U⋅I =
U2
R
18