Teilnahmebedingungen und Hinweise

Lösungsbeispiele aus dem
vergangenen Jahr
Die folgenden Lösungen von zwei Wettbewerbsaufgaben aus der ersten Runde des vergangenen Jahres zeigen, dass man mit den
Kenntnissen der Mittelstufe erfolgreich teilnehmen kann.
Diese 28 Zahlen kann man nun schnell der
Reihe nach durchprobieren und die oben genannten beiden Lösungen finden.
Aufgabe 3
Das Dreieck ABE ist gleichschenklig mit der
Basis AB .
Der Flächeninhalt des Dreiecks BCE ist also
ein Drittel des Flächeninhalts des Ausgangsdreiecks ABC, denn ABC ist aus drei Dreiecken zusammengesetzt, die kongruent zu
BCE sind.
Nach Aufgabenstellung gelten die in der folgenden Zeichnung eingetragenen Winkelweiten:
Aufgabe 1
Wird zu einer natürlichen Zahl ihre Quersumme addiert, so erhält man 2010. Bestimme
alle Zahlen, bei denen dies zutrifft.
Lösung:
Die Zahlen 1986 und 2004 sind die einzigen
natürlichen Zahlen, für die die Behauptung der
Aufgabe zutrifft.
Beweis:
Für eine Zahl n schreiben wir QS(n) für die
Quersumme von n.
Die gesuchten Zahlen n müssen nach Aufgabenstellung alle kleiner als 2010 sein.
Die größtmögliche Quersumme einer Zahl, die
kleiner als 2010 ist, ist 28: Die Zahlen unterhalb von 2000 haben die größte Quersumme,
wenn alle Ziffern der Zahl möglichst groß
sind. Dies ist für 1999 der Fall, wobei
QS(1999)=1+9+9+9=28. Die Zahlen zwischen
2000 und 2010 haben offensichtlich alle eine
kleinere Quersumme als 28.
Somit dürfen die gesuchten Zahlen alle höchstens um 28 unterhalb von 2010 liegen: Andernfalls könnte man durch Addition der
Quersumme, die ja höchstens 28 ist, nicht
2010 erreichen. Es kommen also nur die Zahlen zwischen 1981 und 2010 in Frage.
Bestimme den Anteil der Fläche des Dreiecks
ESC an der Fläche des Dreiecks ABC.
Da das Dreieck SBC zwei gleich große Winkel besitzt, ist es gleichwinklig und damit
Lösung:
Der Anteil der Fläche des Dreiecks ESC an
der Fläche von ABC beträgt ein Sechstel.
auch gleichseitig mit Basis BC . Das Dreieck
ESC ist sogar gleichseitig, denn alle Innenwinkel in diesem Dreieck haben die Weite
60°.
Insbesondere gilt SB € SC € ES .
Beweis:
Die Dreiecke ESC und SBC haben somit
Sei T der Mittelpunkt der Strecke AB . Da
das Dreieck ABE gleichschenklig ist, ist die
gleich lange Seiten ES bzw. SB . Die zu diesen Seiten zugehörige Höhe ist in beiden
Gerade ET Mittelsenkrechte im Dreieck
ABE. Die Dreiecke ATE und ETB sind daher
kongruent.
Dreiecken dieselbe Strecke, nämlich CH .
Somit haben die Dreiecke ESC und SBC den
gleichen Flächeninhalt.
Die Dreiecke ETB und BCE sind nach dem
Kongruenzsatz WWS ebenfalls kongruent:
Das Dreieck ESC hat folglich den halben Flächeninhalt wie das Dreieck BCE. Da BCE
wiederum ein Drittel des Flächeninhalts vom
Ausgangsdreieck ABC hat, beträgt also der
Anteil der Fläche des Dreiecks ESC an der
Fläche des Dreiecks ABC wie behauptet ein
Sechstel.
Sie haben die gemeinsame Seite EB , der
anliegende Winkel beträgt jeweils 30°, der
gegenüberliegende Winkel jeweils 90°.
Teilnahmebedingungen und Hinweise
* Teilnahmeberechtigt sind alle Schülerinnen
und Schüler aus Baden-Württemberg, die
eine Realschule oder ein Gymnasium bis
Klassenstufe 10 einschließlich besuchen.
* Für den Wettbewerb werden die Lösungen
von höchstens vier der sechs Aufgaben gewertet. Bis einschließlich Klassenstufe 9
können diese vier Aufgaben beliebig ausgewählt werden. Teilnehmerinnen und Teilnehmer der Klassenstufe 10 dürfen aus den
Aufgaben 2 bis 6 auswählen.
* Für eine schnellere Erfassung der Daten,
erbitten wir die zusätzliche Eingabe der
Daten in ein Online-Formular auf unserer
homepage. Unter allen Teilnehmern mit
Online-Anmeldung verlosen wir einen
Büchergutschein im Wert von 30 Euro.
* In der ersten Runde ist Gruppenarbeit zugelassen. Eine Gruppe kann aus bis zu drei
Mitgliedern bestehen. Besucht mindestens
ein Gruppenmitglied die Klassenstufe 10, so
werden nur Lösungen zu den Aufgaben 2 bis
6 gewertet.
* Bei jeder Aufgabe sind vier Punkte erreichbar. Jeder Einzelteilnehmer mit mindestens
acht Punkten erhält eine Urkunde und einen
Buchpreis. Die Mitglieder einer Gruppe erhalten eine Urkunde. Für einen ersten Preis
sind mindestens 14 Punkte erforderlich, für
einen zweiten Preis mindestens 11 Punkte.
* Einzelteilnehmer und Gruppenmitglieder, die
einen ersten oder zweiten Preis erhielten,
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können sich durch die Teilnahme an der
zweiten Runde für ein mehrtägiges mathematisches Seminar qualifizieren. In der zweiten Runde ist keine Gruppenarbeit mehr
zugelassen. Zu diesen Seminaren werden
bis zu 60 Jugendliche eingeladen. Es entscheidet das Ergebnis der zweiten Runde.
Die in der ersten Runde erfolgreichsten „Juniorstarter“ der Klassen 5 – 7 werden zu einem eintägigen mathematischen Seminar
eingeladen.
Für die Lösung jeder Aufgabe ist ein gesondertes Blatt DIN A4 zu verwenden, das jeweils mit dem Namen zu versehen ist.
Jede Einsendung muss auf der ersten Seite
mit der unterschriebenen Erklärung versehen sein, dass alle Aufgaben selbstständig
bzw. nur in Zusammenarbeit mit den Gruppenmitgliedern gelöst wurden. Die Selbstständigkeit bleibt gewahrt, wenn zu Fragen
der Dokumentation um Hilfe nachgesucht
wird oder Begriffe in der Aufgabenstellung
erfragt werden. Nachfragen sind auch unter
[email protected]
möglich.
Ein Verstoß gegen diese Teilnahmebedingungen – dazu zählt etwa auch die
missbräuchliche Nutzung von Internetforen – wird mit Disqualifikation geahndet.
Zu einer vollständig richtigen Lösung gehört
insbesondere, dass alle wesentlichen Zwischenschritte aufgeführt und begründet sind.
Die bloße Angabe eines Zahlwertes oder
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von Beispielen genügt nicht als Lösung. Bei
der Verwendung von mathematischen Sätzen, die aus dem Unterricht oder aus dem
Schulbuch nicht bekannt sind, ist eine präzise, vollständige Formulierung und eine genaue Quellenangabe, jedoch kein Nachweis
erforderlich.
Die Korrekturentscheidung ist endgültig und
unterliegt nicht dem Rechtsweg.
Nach Abschluss der Korrektur erhalten alle
Teilnehmer Nachricht über das Ergebnis und
Lösungsbeispiele zu allen Aufgaben.
Eine Rücksendung der korrigierten Arbeiten
ist aus organisatorischen Gründen nicht
möglich. Es empfiehlt sich deshalb, eine Kopie anzufertigen, um die eigenen Lösungen
mit den Lösungsbeispielen vergleichen zu
können.
Die ausreichend frankierten Zuschriften (Umschlag DIN A4) sind zu richten an:
Herrn
Hanspeter Eichhorn
Verschaffeltstraße 27
68723 Schwetzingen
Einsendeschluss ist der 11.11.2010
(Datum des Poststempels).
* Übungsmaterial:
Die Aufgaben und Lösungen aller bisherigen
Wettbewerbe sind auf einer CD erschienen
und können über www.landeswettbewerbmathematik.de angefordert werden.