Datenstrukturen Exkurs: Beweisprinzip der vollständigen Induktion

Datenstrukturen
Exkurs:
Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Mariano Zelke
Sommersemester 2012
Grundidee der vollständigen Induktion
Für n ∈ N sei A(n) eine Aussage über die Zahl n
Ziel: Zeige, dass für jedes n ∈ N die Aussage A(n) wahr ist.
Dazu nutzen wir das Induktionsprinzip.
Mariano Zelke
Datenstrukturen Exkurs: Beweisprinzip der vollständigen Induktion
2/7
Induktionsprinzip
Wir zeigen, dass die Aussage A(n) für alle n ∈ N wahr ist, indem wir wie
folgt vorgehen:
1. Zuerst zeigen wir, dass die Aussage A(n) für die Zahl n = 0 gilt.
Dieser Schritt heißt Induktionsanfang.
2. Danach zeigen wir, dass für jede beliebige natürliche Zahl n ∈ N gilt:
Falls Aussage A(n) wahr ist, so ist auch die Aussage A(n + 1) wahr.
Dieser Schritt heißt Induktionsschritt.
Mariano Zelke
Datenstrukturen Exkurs: Beweisprinzip der vollständigen Induktion
3/7
Zwei nützliche Varianten des Induktionsprinzips
Um zu zeigen, dass eine Aussage A(n) für alle n ∈ N mit n ≥ n0 wahr ist
(wobei n0 eine geeignete natürliche Zahl ist), kann man nach einem der
beiden Schemata vorgehen:
Variante 1:
Variante 2:
Induktionsanfang: n = n0
Induktionsanfang: n = n0
Behauptung: Aussage A(n0 ) ist wahr.
Beweis: . . .
Behauptung: Aussage A(n0 ) ist wahr.
Beweis: . . .
Induktionsschritt: n → n + 1
Induktionsschritt: n → n + 1
Sei n ∈ N mit n ≥ n0 beliebig.
Sei n ∈ N mit n ≥ n0 beliebig.
Induktionsannahme:
Induktionsannahme:
Aussage A(n) ist wahr.
Die Aussagen A(n0 ), A(n0 + 1),
A(n0 + 2), . . . , A(n) sind wahr
Behauptung: Aussage A(n + 1) ist wahr.
Behauptung: Aussage A(n + 1) ist wahr.
Beweis: . . .
Beweis: . . .
Mariano Zelke
Datenstrukturen Exkurs: Beweisprinzip der vollständigen Induktion
4/7
Komprimierung von Induktionsbeweisen
Oft wird ein Beweis mittels vollständiger Induktion verdichtet
aufgeschrieben. Diese Schreibweise verlangt vom Leser die Kenntnis des
generellen Beweisprinzips.
Beispiel: Die Summe der ersten n Zahlen (kleiner Gauß)
n
X
n · (n + 1)
Für alle n ∈ N gilt:
i = 0 + 1 + 2 + ... + n =
2
i=0
Beweis: vollständige Induktion nach n
0
P
Induktionsanfang: n = 0 :
i =0=
i=0
Induktionsschritt: n → n + 1
n
P
Induktionsannahme:
i=
i=0
n+1
P
i=
i=0
=
Mariano Zelke
n
P
i + (n + 1) =
i=0
n·(n+1)+2(n+1)
2
=
0·(0+1)
2
X
n·(n+1)
2
n·(n+1)
2
+ (n + 1) wegen Ind.-Annahme
(n+1)·(n+2)
2
Datenstrukturen Exkurs: Beweisprinzip der vollständigen Induktion
t
u
5/7
Expansion und Vermutung
Die Rekursionsgleichung T (1) = 1, T (n) = 2 · T n2 + 2n − 1 ist zu
lösen. Sei n eine Potenz von 2, also n = 2` für ein ` ∈ N.
Wir expandieren die Rekursionsgleichung durch wiederholtes Einsetzen:
n
+ 2n − 1
T (n) = 2 · T
2 n 1. Expansion: T (n) = 22 · T
+ 2 · 2n − 1 − 2
2
2n + 3 · 2n − 20 − 21 − 22
2. Expansion: T (n) = 23 · T
3
2
n
3. Expansion: T (n) = 24 · T
+ 4 · 2n − 20 − 21 − 22 − 23
24
Wir vermuten für die k. Expansion:
T (n) = 2k+1 · T
k
n X
+
(k
+
1)
·
2n
−
2i
2k+1
i=0
Mariano Zelke
Datenstrukturen Exkurs: Beweisprinzip der vollständigen Induktion
6/7
Beweis der Vermutung
Zeige, dass für alle k ∈ N gilt: Die k. Expansion ist
k
n X
+
(k
+
1)
·
2n
−
2i
T (n) = 2k+1 · T
2k+1
i=0
Beweis: vollständige Induktion nach k
Induktionsanfang: k = 0: T (n) = 21 · T n2 + 1 · 2n − 20 X
0. Expansion ist die ursprüngliche Rekursionsgleichung
Induktionsschritt: k → k + 1
Induktionsannahme:
k
P
n
+ (k + 1) · 2n −
2i
k. Expansion: T (n) = 2k+1 · T 2k+1
i=0
Expandiere ein weiteres Mal zur (k +1)-ten Expansion:
k
P
n
n
T (n) = 2k+1 2 · T 2k+2
+ 2 2k+1
− 1 + (k + 1) · 2n −
2i
i=0
= 2k+2 · T
Mariano Zelke
n
2k+2
+ (k + 2) · 2n −
k+1
P
2i
t
u
i=0
Datenstrukturen Exkurs: Beweisprinzip der vollständigen Induktion
7/7