Spule und induktivität

Spule und induktivität
Martin Schlup
4. März 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Induktivität
1.1 Selbstinduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Gegentinduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
2 Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen
2.1 Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Gegeninduktion . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Verhalten bei harmonischer Anregung . .
2.4 Schaltvorgänge . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
5
6
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3 Energiegehalt
7
4 Schaltungen mit Induktivitäten
4.1 Serieschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Verlustloser, induktiver Spannungsteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
1
1 Induktivität
Magnetische Felder sind eine Begleiterscheinung von Strom, egal ob Leitungs- oder Verschiebungsstrom. Sie sind aussserdem Energieträger, d. h. die Änderung der Stromstärke wird durch
eine Freisetzung oder Bindung von Energie begleitet.
Ein Magnetfeld führt in einer Leiterschleife zu einem magnetischen Fluss, unabhängig davon,
ob der verursachende Strom in der Schleife selbst oder ausserhalb dieser Schleife fliesst. Nach
dem Induktionsgesetz führt eine Änderung dieses Flusses zu einer Spannung im durchfluteten
Stromkreis. Da in der Praxis Spannung und Stromstärke und nicht der Fluss von Bedeutung
sind, wird die Induktivität als Verhältnisfaktor zwischen Fluss (Wirkung) und Stromstärke
(Ursache) eingeführt. Dabei wird zwischen Selbst- und Gegeninduktivität unterscheiden, je
nachdem, ob der verursachende Strom in der betrachteten Leiterschleife fliesst oder in einem
externen Leiter.
1 Induktivität
Untersucht man den Zusammenhang zwischen dem magnetischen Fluss Φ durch eine Leiterschleife und der erzeugenden Stromstärke I, so stellt man fest, dass im Allgemeinen1 Proportionalität zwischen diesen beiden Grössen herrscht. Dieses Verhältnis wird Induktivität
(Englisch: inductivity) genannt:
Φ
L=
(1)
I
Die Induktivität hat folgende Einheit: [L] = VsA−1 = H (Henry2 ).
Übliche Grössenordnungen:
Spulen für Transformatoren und Übertrager, Drosselspulen H und mehr
Spulen für elektronische Schaltungen, Schwingkreise
mH
Übersprechen von parallelen Leitungen
µH (micro ≡ 10−6 )
Anschlussleitungsstücke
nH (nano ≡ 10−9 )
Die Induktivität ist eine Eigenschaft der geometrischen Form der Schleife oder der gegenseitigen Anordnung der Schleife und des stromführenden Leiters. Insbesondere ferromagnetische
Materialien können sie ebenfalls beeinfussen, da diese das Magnetfeld bestimmen.
1.1 Selbstinduktivität
Gewickelte Leiterschleifen welche eine bestimmte Induktivität aufweisen sollen, bezeichnet man
als Spulen (Englisch: coil oder inductor ). Im Allgemeinen werden die Windungen dicht einoder mehrlagig gewickelt. Die Serieschaltung von mehreren Schleifen erhöht den Fluss um die
Windungszahl N . Man spricht dann von Verkettungsfluss Ψ = N Φ.
Ist der magnetische Fluss eine Folge des spuleneigenen Stroms, so spricht man von Eigenoder Selbstinduktivität. Die Selbstinduktivität einer Spule nimmt mit der Windungszahl
quadratisch zu und mit der Spulenlänge ab. Die Bezugsrichtung des magnetischen Flusses wird
in der Regel so gewählt, dass sie mit der Richtung der magnetischen Feldlinien bei positiver
erzeugender Stromstärke übereinstimmt. Somit ist die Induktivität eine positive Grösse.
Das Einfügen eines ferromagnetischen Kerns in die Wicklung erhöht die Induktivität auf
Kosten der Linearität: Bei ferromagnetischen Spulenkernen ist die Induktivität stark abhängig
1
2
d. h. in Abwesenheit von ferromagnetischen Materialien, wie z. B. Eisen
nach Joseph Henry (1797 - 1878)
2
1 Induktivität
von der Stromstärke. Da zur Realisierung von grösseren Induktivitätswerten ferromagnetische
Materialien unerlässlich sind, wird die Linearität in der Praxis durch Einfügen eines Luftspalt
im Magnetkreis mehr oder weniger wieder hergestellt.
Beispiel: Lineare Luftspule (ohne Herleitung)
Für eine gegenüber ihrem Durchmesser lange3 , einlagig gewickelte Spule ohne ferromagnetischen Kern gilt für die Selbstinduktivität:
L = µ0
N2 A
l
(2)
Legende:
N Anzahl der Windungen
A durch eine Windung aufgespannte Fläche in m2
l Spullenlänge in m
µ0 magnetische Feldkonstante, µ0 = 4π 10−7 Vs/Am ≈ 1.257 · 10−6 H/m
Ende Beispiel Luftspule
Beispiel: Selbstinduktivität einer Zweidrahtleitung (ohne Herleitung)
Zwei parallele Drähte der Länge l mit Abstand a und Drahtdurchmesser d besitzen folgenden
Induktivitätsbelag (Induktivität pro Längeneinheit in H/m):
µ0
a − d/2 1
L
0
ln
+
(3)
L = =
l
π
d/2
4
Ende Beispiel Zweidrahtleitung
1.2 Gegentinduktivität
Ein magnetisches Feld kann auch eine externe Ursache aufweisen, also durch eine „fremde“
Stromstärke zu einem Fluss in der Spule führen, dann spricht man von Fremd- oder Gegeninduktivität.
Ψ12
L12 =
(4)
I2
Der erste Index bezieht sich auf den Ort, wo der Fluss betrachtet wird (Ort der Wirkung), der
zweite auf den Ort wo der Strom fliesst (Ort der Ursache). Werden die Orte der Ursache und
der Wirkung vertauscht, so gilt die selbe Gleichung mit vertauschten Indizes. Gelegentlich wird
anstelle von L12 auch das Symbol M für die Gegeninduktivität benutzt (mutual inductivity).
Im Gegensatz zur Selbstinduktivität, welche bei einem „Verbraucherbezugspfeilsystem“ immer ein positives Vorzeichen aufweist, ist die Gegeninduktivität vorzeichenbehaftet, je nachdem
wie die Bezugsrichtungen der Ströme in den beiden Kreisen festgelegt werden: Falls diese bei
positiver Stromstärke zu einem Fluss führt, welcher den Fluss der Selbstinduktivität verstärkt,
so ist L12 positiv, andernfalls negativ.
Allgemein gilt bei zwei magnetisch gekoppelten Spulen und linearen Verhältnissen, folgende
Gleichung (ohne Herleitung):
L21 = L12 = M
3
Für kürzere Spulen muss noch ein Korrekturfaktor berücksichtigt werden.
3
(5)
2 Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen
Ferner gilt unter den selben Bedingungen auch
|L12 | = |M | ≤
p
L1 L2
(6)
Wobei das Gleichheitszeichen nur im Idealfall einer vollständigen magnetischen Kopplung zwischen den beiden Stromkreisen gilt, was in der Praxis nur näherungsweise vorkommen kann.
2 Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen
2.1 Selbstinduktion
Die ideale Spule besitzt ausschliesslich die Eigenschaft der Induktivität welche den Proportionalitätsfaktor zwischen dem Verkettungsfluss ψ(t) und der Stromstärke i(t) nach der Definitionsgleichung (1) beschreibt. Das Verhältnis ist also zu jedem Zeitpunkt dasselbe:
L=
ψ(t)
i(t)
Mit dem Induktionsgesetz 4 erhält man folgende grundlegende (differentielle) Beziehung zwischen Stromstärke und Spannung, sofern die Induktivität unabhängig von der Stromstärke ist:
u(t) =
dψ(t)
d (L i(t))
di(t)
=
=L
dt
dt
dt
u(t) = L
di(t)
dt
(7)
Bemerkungen:
• Die obige Abbildung zwischen u(t) und i(t) ist linear, da die Bildung der Ableitung
eine lineare Operation ist. Diese Eigenschaft ist unabhängig vom zeitlichen Verlauf der
Stromstärke i(t)!
Die Spannung ist proportional zur (momentanen) Stromstärkenänderung.
• Kausaler Zusammenhang: Eine zeitliche Änderung des magnetischen Feldes und damit
des entsprechenden Flusses bedingt eine Spannung zusammen mit einer Stromstärkenänderung. Dies bedingt aber einen Energie Zu- oder Abfluss. Da dies nicht verzugsfrei
geschehen kann, ist auch ein unstetiger Stromverlauf, bzw. ein Sprung im zeitlichen Verlauf der Stromstärke i(t) physikalisch nicht möglich.
Der Strom in einer (idealen) Spule kann nicht springen.
• Hängt die Induktviität von der Stromstärke ab, so gilt (Kettenregel):
dψ
dψ di
d (Li) di
dL
di
u=
=
=
=
i+L
dt
di dt
di dt
di
dt
4
Die Änderungsrate des Flusses erzeugt eine Spannung.
4
2 Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen
2.2 Gegeninduktion
Magnetisch gekoppelte Leiteranordnungen lassen sich schematisch wie in der Abb. 1 darstellen. Die Bezugsrichtungen sind für beide Seiten als „Verbraucherfpeilsystem“ gewählt. Ob die
Gegeninduktivität positiv oder negativ ist, hängt von der Art der magnetischen Kopplung ab:
Mit- oder Gegenkopplung. Dies wird falls nötig mit Kopplungspunkten angegeben.
Abbildung 1: Ersatzschema zweier magnetisch gekoppelten induktiven Elementen
Die magnetische Kopplung ist hier aus dem Schema nicht ersichtlich, da die Kopplungspunkte fehlen.
Die Strom- Spannungsbeziehungen lauten wie folgt:
di1
di2
+ L12
dt
dt
di2
di1
+ L2
u2 (t) = L12
dt
dt
u1 (t) = L1
(8)
und etwas kompakter in Matrixform:
u1
L1 L12
i̇1
=
u2
L12 L2
i̇2
2.3 Verhalten bei harmonischer Anregung
Bei einer harmonischen Anregung z. B. mit der sinusförmigen Stromstärke i(t) = Iˆ sin(ωt) liegt
gemäss Gleichung (7) auch eine sinusförmige Spannung an der idealen Spule5 :
di(t)
= ωLIˆ cos(ωt) = Û cos(ωt)
dt
• Das Verhältnis der Amplitude der Spannung zur Amplitude der Stromstärke ist frequenzabhängig und beträgt
u(t) = L
Û
= ωL
Iˆ
Iˆ
1
=
Y =
ωL
Û
Z=
(9)
(10)
Das Verhältnis (9) wird Impedanz oder Scheinwiderstand Z genannt.
Das reziproke Verhältnis (10) wird Admittanz oder Scheinleitwert Y genannt.
• Zeitlich eilt die Spannung dem Strom um π/2 voraus.
5
Bei Schaltungen mit linearen Bauelementen werden bei harmonischer Anregung nach einer transienten Phase
(Übergangs-, Einschwingphase) alle Spannungs- und Stromstärkeverläufe ebenfalls harmonisch sein.
5
2 Verhalten bei zeitlich veränderlichen Grössen
2.4 Schaltvorgänge
Das Schalten6 einer idealen Spule kann anhand folgender Schaltung untersucht werden:
Abbildung 2: Prinzipschaltung für das Ein- und Ausschalten des Stroms in einem induktiven
Element
Die konstante Quellenstromstärke wurde mit I∞ bezeichnet, um hervorzuheben,
dass dieser Wert nach „langer“ Zeit im induktiven Ast fliessen wird.
Zum Zeitpunkt t = 0 s wird der Schalter geschlossen. Unmittelbar vor dem Umschalten soll
die Stromstärke in der Spule i(0) betragen (Anfangsbedingung7 ). Letztere kann beliebige
Werte annehmen. Da die Stromstärke in einer Spule nicht springen kann, hat sie unmittelbar
nach dem Umschalten denselben Wert wie davor.
Für das Ausschalten des Spulenstroms wird die Quellenstromsärke I∞ = 0 A gesetzt. Dabei
wird vorausgesetzt, dass beim Schliessen des Schalters in der Spule die Anfangsstromstärke
i(0) = I0 6= 0 fliesst.
Nach dem Schliessen des Schalters liefert der Knotensatz für die Schaltung aus Abb. 2 zusammen mit Gleichung (7):
u(t)
+ i(t) = I∞
R
L di(t)
+ i(t) = I∞
R dt
Mit der Zeitkonstante τ = L/R kann diese Gleichung in normierter Form wie folgt geschrieben werden:
di(t)
τ
+ i(t) = I∞
(11)
dt
Damit diese Gleichung8 eine eindeutige Lösung hat, muss noch die Anfangsbedingung i(0) = I0
gegeben sein. Die Kombination einer Differentialgleichung mit Anfangsbedingung wird Angfangswertproblem genannt. Dieses hat hier folgende allgemeine und eindeutige Lösung:
i(t) = I0 + (I∞ − I0 ) 1 − exp(−t/τ )
= I∞ 1 − exp(−t/τ ) + I0 exp(−t/τ )
für t ≥ 0
(12)
6
7
8
Dabei wird ganz allgemein das Ein- und Ausschalten eines Stroms gemeint.
Die Anfangsbedingung gibt (indirekt) an, welche Energie ursprünglich im Magnetfeld der Spule enthalten
war: W (0) = L i(0)2 /2.
Es handelt sich hier um eine lineare, nicht-homogene Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten
Koeffizienten. Die gesuchte Lösung dieser Differentialgleichung ist die Funktion i(t).
6
3 Energiegehalt
Daraus kann durch Ableitung nach der Zeit der Spannungsverlauf berechnet werden:
u(t) = L
−1
di(t)
= L (−I∞ + I0 ) exp(−t/τ ) = R (I∞ − I0 ) exp(−t/τ )
dt
τ
(13)
Bemerkungen:
• Beide Lösungen für i(t) und u(t) nach Gl. (12) und (13) bestehen aus zwei Teilen: die
erzwungene und die freie Antwort. Bei linearen Systemen gilt das Superpositionsprinzip: das Laden bei anfänglich stromloser Spule und das Ausschalten können getrennt
voneinander betrachtet werden (siehe die beiden nächsten Punkte):
• Für den Sonderfall einer anfänglich stromlosen Spule ergibt sich mit I0 = 0:
i(t) = I∞ 1 − exp(−t/τ )
u(t) = R I∞ exp(−t/τ )
• Für den Sonderfall Ausschalten des Stroms ergibt sich mit I∞ = 0 und I0 6= 0:
i(t) = I0 exp(−t/τ )
u(t) = −R I0 exp(−t/τ )
Der Anfangswert der Spannung nach dem Schliessen des Schalters macht einen Sprung
nach u(0) = −R I0 . Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Spannung entgegen der
in der Abb. 2 eingetragenen Bezugsrichtung zeigt.
• Die Einschalt- oder Ausschaltzeit, bzw. die Geschwindigkeit mit welcher die Exponentialfunktion asymptotisch zu ihrem Endwert strebt, hängt nur von der Zeitkonstante
τ = L/R ab. Zum erreichen des Endzustands wird in der Praxis die Zeit 5 τ angegeben.
Nach dieser Zeitspanne ist der Endwert bis zu einem Rest von e−5 ≈ 0.007 = 0.7% der
Differenz Start- zu Endwert erreicht.
3 Energiegehalt
Die Zunahme der in einer Spule gespeicherten elektrischen Energie kann aus dem Energiefluss
(Leistung) an den Klemmen (Pole) und dem Induktionsgesetz berechnet werden:
dW = p(t) dt = i(t) u(t) dt = i(t) dψ
Die infinitesimale Energiezunahme dW entspricht dem Produkt des momentanen Werts i(t) der
Spannung mit der infinitesimalen Veränderung dψ des magnetischn Flusses. Diese Beziehung
ist allgemeingültig und gilt auch bei nicht-proportionalität zwischen i(t) und ψ(t).
Die insgesamt bei der Stromstärke I, bzw. beim Fluss Ψ gespeicherte elektrische Energie kann
aus der Summe (Integral) der einzelnen Beiträge dW bestimmt werden. Dabei muss natürlich
berücksichtigt werden, dass der Stromwert i(t) vom Fluss ψ(t) abhängt. Bei Proportionalität
ergibt sich:
Z
Z Ψ
Z
1 Ψ
1 Ψ2
W = dW =
i(t) dψ =
ψ dψ =
L 0
2 L
0
7
3 Energiegehalt
und folglich
W =
1
1
Ψ I = L I2
2
2
(14)
Bemerkungen:
• Die gespeicherte elektrische Energie ist proportional zum Quadrat der herrschenden Stromstärke. Dieses Ergebnis gilt für beliebige Spulen, die eine stromunabhängige Induktivität
aufweisen (lineare Bauelemente).
In Anwesenheit von ferromagnetischen Materialien ist die Induktivität nicht unabhängig
von der Spannung. In diesem Fall kann das Integral nicht geschlossen gelöst werden und
das obige Endergebnis gilt nicht mehr.
• Das Ergebnis ist unabhängig von der der Art und Weise wie der magnetische Fluss in der
Spule aufgebaut wurde, d. h. unabhängig von seiner Entstehungsgeschichte. Insbesondere
ist es unabhängig von der Zeit die benötigt wurde, um diesen Fluss (bzw. das magnetische
Feld) aufzubauen.
In Fall von zwei magnetisch gekoppelten, linearen Spulen muss auch der Einfluss der Gegeninduktivität berücksichtigt werden:
dW
= i1 u1 dt + i2 u2 dt
= i1 (L1 di1 + L12 di2 ) + i2 (L12 di1 + L2 di2 )
= L1 i1 di1 + L2 i2 di2 + L12 (i1 di2 + i2 di1 )
W
= L1 i1 di1 + L2 i2 di2 + L12 d(i1 i2 )
Z
Z I1
Z I2
Z
=
dW = L1
i1 di1 + L2
i2 di2 + L12
0
0
I1 I2
d(i1 i2 )
0
daraus ergibt sich
W =
1
1
L1 I12 + L2 I22 + L12 I1 I2
2
2
8
(15)
4 Schaltungen mit Induktivitäten
4 Schaltungen mit Induktivitäten
Beim Zusammenschalten zweier induktiven Elementen kann eine Ersatzinduktivität bestimmt
werden. Zusätzlich zu den Selbstinduktivitäten L1 und L2 muss noch die magnetische Kopplung
mit die Gegeninduktivität L12 berücksichtigt werden.
4.1 Serieschaltung
Durch zwei in Serie geschaltete, ideale Spulen fliesst der gemeinsame Strom i(t). Die Spannung
über der ganzen Schaltung ist die Summe der über den einzelnen Spulen liegenden Spannungen:
u(t) = u1 (t) + u2 (t) = L1 i̇(t) + L12 i̇(t) + L2 i̇(t) + L12 i̇(t)
u(t) = (L1 + 2 L12 + L2 ) i̇(t) = L i̇(t)
L = L1 + L2 + 2 L12
(16)
4.2 Verlustloser, induktiver Spannungsteiler
Der induktive Spannungsteiler ist im Fall von Spartransformatoren von Bedeutung. Bei diesen
ist die Primär- und die Sekundärwicklung eine einzige Spule mit einem festen Primärabgriff und
einem beweglichen Schleifer als Sekundärabgriff. Das Ersatzschema ist in der Fig. 3 dargestellt.
Abbildung 3: Ersatzschaltung eines Spartransformators – induktiver Spannungsteiler
Primärseite: u1 (t), i1 (t); Sekundärseite: u(t), i2 (t)
(mit den hier gewählten Bezugsrichtungen der Ströme und den Kopplungspunkten
ist L12 > 0)
u1 (t) = L1 i̇1 (t) + i̇2 (t) + L12 i̇2 (t)
= L1 i̇1 (t) + (L1 + L12 ) i̇2 (t)
u(t) = u1 (t) + u2 (t)
= L1 i̇1 (t) + i̇2 (t) + L12 i̇2 (t) + L2 i̇2 (t) + L12 i̇1 (t) + i̇2 (t)
= (L1 + L12 ) i̇1 (t) + (L1 + L2 + 2 L12 ) i̇2 (t)
L1 + L12
für i2 (t) ≈ 0 ergibt sich u(t) ≈
u1 (t) > u1 (t)
L1
9