Inhalt : Der Teil II ergänzt die Grundlagen der Darstel
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© Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Inhalt : Der Teil II ergänzt die Grundlagen der Darstellenden Geometrie und Architekturperspektive des Teil I um die Themen: . Kegelschnitte . Abbildung von Kreis und Kugel . Die Spiegelung . Das Schattenbild 5. Auflage 2007 © Prof. Dipl.Ing. S.H. Bucher Seite Inhalt © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Kegelschnitte. Kreis und Ellipse 03 2-Tafelprojektion. Körperschnitte mit Höhenebenen. Ellipse Körperschnitte mit erstprojizierenden Ebenen. Ellipse Körperschnitte mit Höhenebenen. Parabel 2 - Tafelprojektion. Vom Kreis zur Ellipse 04 05 06 07 Axonometrie. Konjugierte Durchmesser der Ellipse Haupt - und Nebenachse der Ellipse. Rytzsche Konstruktion Korbbogenkonstruktion Tangentenkonstruktion Scheitelkrümmungskreiskonstruktion Papierstreifenkonstruktion Faden - oder Gärtnerkonstruktion 08 09 10 10 11 11 12 Perspektive. Kreis parallel zur Bildebene = Kreis Kreis senkrecht zur Bildebene = Ellipse Bestimmung der konjugierten Durchmesser der Ellipse Kreis senkrecht zur Bildebene = Parabel Abbildung der Kugel in der 3 - Tafelprojektion und in der Axonometrie 13 14 15 16 17 Abbildung der Kugel in der Perspektive Abbildung der Kugel mit Hilfe von Schnittebenen Abbildung der Kugel mit Hilfe der Konstruktion der Umrißellipse 18 19 20 Die Spiegelung Die konstruktiven Bedingungen der Spiegelung Perspektive. Spiegelkonstruktion einer Geraden Spiegelkonstruktion eines Prismas Spiegelkonstruktion eines Prismas mit geneigten Ebenen 21 22 23 24 25 Das Schattenbild Beleuchtungsarten Das Lichtdiagramm 26 27 28 2 -Tafelprojektion. Schatten allgemein Schattenbild eines Punktes im Grundriß Schattenbild eines Punktes im Grund- und Aufriß Schattenbild eines Punktes im Auf- und Grundriß Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden Schattenbild einer zweitprojizierenden Geraden Schattenbild einer beliebigen Geraden Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden auf schräge Fläche Schattenbild einer Fläche Schattenbild eines Würfels Schattenbild eines Würfels auf horizontale Fläche Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Fläche Schattenbild eines Würfels auf horizontale,vertikale und schräge Fläche Schattenbild einer Kugel 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Axonometrie. Das Schattenbild Schattenbild auf waagrechte und senkrechte Fläche Schattenbild auf waagrechte und senkrechte Fläche Schattenbild auf waagrechte, senkrechte und schräge Fläche Schattenbild auf waagrechte, senkrechte und schräge Fläche 43 44 45 46 46 Perspektive. Das Schattenbild Konstruktionsidee Parallel - und Zentralbeleuchtung. Lichtarten Parallelbeleuchtung. Zusammenhang von der Anlage der Perspektive und dem Schattenbild Parallelbeleuchtung. Zusammenhang von der Anlage der Perspektive und dem Schattenbild Schattenbild einer Geraden in der Standebene und die Variation der Geradenrichtungen Schattenbild einer Geraden in der schrägen Ebene Schattenbild einer Geraden in der Wandebene und die Variation der Geradenrichtungen Schattenbild eines Würfels bei Seitenlicht Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene bei Rückenlicht Schattenbild eines Würfels auf vertikale und schräge Ebene bei Gegenlicht Zentralbeleuchtung. Schattenbild einer Geraden bei endlicher Lichtquelle Schattenbild eines Würfels auf horizontale Ebene Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene Schattenbild eines Würfels auf horizontale und schräge Ebene 47 48 49 50 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 Geometrische Grundkonstruktionen Geometrische Grundkonstruktionen Geometrische Grundkonstruktionen Geometrische Grundkonstruktionen 62 63 64 65 Index Teil I Index Teil II 66 67 Symbole 68 Literaturliste 69 Seite Kegelschnitte. Kreis und Ellipse © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Neigungswinkel der Schnittebene = Neigungswinkel der Kegelmantellinie am Bsp. ist die Schnittebene parallel zur Rotationsachse des Doppelkegels. Schnittebene 1 Schnittebene 2 Schneidet eine Ebene (Schnittebene) einen Kreiskegel unter der Voraussetzung, daß die Schnittebene nicht durch die Spitze des Kegels geht, entstehen folgende Schnittfiguren : Der Kreis als Schnittfigur, wenn die Schnittebene senkrecht zur Kegelachse verläuft. Die Ellipse als Schnittfigur, wenn der Neigungswinkel der Schnittebene kleiner als der Neigungswinkel der Kegelmantellinie ist. Die Parabel als Schnittfigur, wenn der Neigungswinkel der Schnittebene und der der Kegelmantellinie gleich sind. Die Hyperbel als Schnittfigur, wenn der Neigungswinkel der Schnittebene größer als der der Kegelmantellinie ist. Seite © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II 2-Tafelprojektion. Körperschnitte mit Höhenebenen. Ellipse 2 - Tafelprojektion Aufriß Grundriß Gegeben ist das Bild eines Kegels in Grundund Aufriß und eine schräge, 2. - projizierende Ebene. Gesucht ist die Schnittfläche, mit Hilfe von horizontalen Hilfsschnittebenen und die wahre Größe der Schnittfläche. Seite © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Körperschnitte mit erstprojizierenden Ebenen. Ellipse 2 - Tafelprojektion Aufriß Grundriß Gegeben ist das Bild eines Kegels in Grundund Aufriß und eine schräge, 2. - projizierende Ebene. Gesucht ist die Schnittfläche, mit Hilfe von erstprojizierenden Ebenen, und die wahre Größe der Schnittfläche. Seite © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Körperschnitte mit Höhenebenen. Parabel 2 - Tafelprojektion Aufriß Grundriß Gegeben ist das Bild eines Kegels in Grundund Aufriß und eine schräge, 2. - projizierende Ebene. Gesucht ist die Schnittfläche, mit Hilfe von horizontalen Hilfsschnittebenen und die wahre Größe der Schnittfläche. Seite 2 - Tafelprojektion. Vom Kreis zur Ellipse © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II . die im Kreis zueinander senkrecht stehenden Durchmesser des Kreises werden in der Ellipse zu konjugierten = zugeordneten Durchmesser. Definition : Die Ellipse ist definiert als der geometrische Ort aller Punkte, deren Summe der Abstände von zwei festen Punkten ( den Brennpunkten F 1 und F 2 ) konstant ist. Winkels F1 und F2 mit A darstellt. . nur ein Rechtwinkelpaar des Kreises bleibt in der Ellipsenzuordnung rechtwinklig, die sog. Haupt- und Nebenachse der Ellipse. . ein Kreisbogen um einen Endpunkt der Nebenachse der Ellipse, mit dem Kreisradius r, ergibt als Schnittpunkte mit der Hauptachse der Ellipse, die Brennpunkte F1 und F2. . die Tangente an den Punkt A der Ellipse (beliebiger Punkt), ergibt sich aus dem Tangentenlot, das die Winkelhalbierende des Seite Axonometrie. Konjugierte Durchmesser der Ellipse © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Kavalierprojektion Der konstruktive Zusammenhang von Kreis und Ellipse, Objekt und Bild oder Objekt und Schattenbild ergibt sich aus der Vorstellung zweier, einander affin zugeordneten Ebenen. Konstruktion der Grundrißfigur aus dem gegebenen Aufrißbild und den konstruktiven Bedingungen der Affinität. Entspricht der Spiegelung der Figur. In der axonometrischen Darstellung ist die Abdrehung der Fläche und die Verkürzung gegeben. am Bsp. Kavalierprojektion. Verkürzung x : y : z = 1 : 2/3 : 1 Das affine Bild des Kreises der Aufrißebene in der Grundrißebene ist eine Ellipse, deren konjugierte Durchmesser in der Grundrißebene dargestellt sind. Aus den konjugierten Durchmessern der Ellipse lassen sich mit Hilfe der Rytzschen Konstruktion die Haupt- und Nebenachse der Ellipse ermitteln. Abdrehung der y-Achse zur Horizontale 45 Grad. Seite © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Haupt - und Nebenachse der Ellipse. Rytzsche Konstruktion In welcher Darstellungsart die konjugierten Durchmesser der Ellipse gegeben sind spielt keine Rolle. Die Rytzsche Konstruktion ist ein Verfahren in der Zeichenebene. In der axonometrischen Darstellung ist die Abdrehung der Fläche und die Verkürzung gegeben. am Bsp. Trimetrie. Das affine Bild des Kreises der Aufrißebene in der Grundrißebene ist eine Ellipse, deren konjugierten Durchmesser in der Grundrißebene darzustellen sind. Aus den konjugierten Durchmessern der Ellipse lassen sich mit Hilfe der Rytzschen Konstruktion die Haupt- und Nebenachse der Ellipse ermitteln. Gegeben sind die konjugierten Durchmesser einer Ellipse. Gesucht sind die Richtungen und die Länge von Haupt- und Nebenachse der Ellipse. Konstruktion : Ein konjugierter Durchmesser M1A wird um 90 Grad gedreht = (A). Der Endpunkt (A) wird mit dem Endpunkt des stehengelassenen Durchmessers D verbunden und verlängert. Um den Mittelpunkt der Strecke (A)D = M2 schlägt man einen Kreis durch M und erhält auf der verlängerten Strecke (A)D die Punkte U und V. Verbindet man beide Punkte mit M, so erhält man die Richtungen der Ellipsenachsen. Die Länge der Hauptachse entspricht der Strecke DV. Die Länge der Nebenachse der Strecke DU. Die Rytzsche Konstruktion erfolgt in der Zeichenebene, obwohl die Vorgabe = die konjugierten Durchmesser der Ellipse der Vorstellung einer räumlichen Figur entsprechen. Seite © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Korbbogenkonstruktion Tangentenkonstruktion In der Zeichenebene ist die Haupt - und Nebenachse der Ellipse gegeben. Vom Mittelpunkt des Haupt- und Nebenkreises ist eine Gerade in beliebiger Richtung zu zeichnen. Die Gerade schneidet den Nebenkreis in A und den Hauptkreis in B. Die Parallele zur Hauptachse durch A und die Parallele zur Nebenachse durch B ergibt als Schnittpunkt einen Punkt der Ellipse. Durch Wiederholung der Konstruktion bei unterschiedlichen Richtungen der Geraden läßt sich das Bild der Ellipse ermitteln. Ausgehend von der Korbbogenkonstruktion läßt sich an die Ellipse die Tangente konstruieren. Auf die Gerade sind im Punkt A und im Punkt B Lote zu errichten. Das Lot in A schneidet die verlängerte Nebenachse und das Lot in B die verlängerte Hauptachse. Die Verbindung ist die Tangente an die Ellipse in dem Punkt, der sich aus der Korbbogenkonstruktion dieser Geradenrichtung ergibt. Seite 10 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Scheitelkrümmungskreiskonstruktion In der Zeichenebene ist die Haupt - und Nebenachse der Ellipse gegeben. Papierstreifenkonstruktion M1 M2 Die Tangenten an die Scheitelpunkte ,des horizontalen Durchmessers des Hauptkreises und an die Scheitelpunkte des vertikalen Durchmessers des Nebenkreises, bestimmen ein Rechteck. Von einem Eckpunkt dieses Rechteckes ist auf die Diagonale des Rechteckes ein Lot zu fällen. Das verlängerte Lot bestimmt auf der Hauptachse den Mittelpunkt M1 des kleinen Scheitelkrümmungskreises und auf der verlängerten Nebenachse den Mittelpunkt M2 des großen Scheitelkrümmungskreises. Für die Papierstreifenkonstruktion (auch Faden- oder Gärtnerkonstruktion genannt) ist ein Papierstreifen der Gesamtlänge a + b auszuschneiden (die Länge b entspricht dem Radius des Nebenkreises und die Länge a entspricht dem Radius des Großkreises) . Wenn man die Endpunkte des Papierstreifens auf der Haupt- und gleichzeitig auf der Nebenachse wandern läßt, können am Schnittpunkt von a und b alle Punkte der Ellipse markiert werden. Die Konstruktion der Ellipse aus gegebener Haupt - und Nebenachse erfolgt in allen Konstruktionen punktweise. Je mehr Punkte konstruiert werden, desto genauer kann die Darstellung der Ellipse sein. Seite 11 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Faden - oder Gärtnerkonstruktion Aus der allgemeinen Definition der Ellipse ergibt sich die sogenannte Faden- oder Gärtnerkonstruktion. Der Faden mit der Länge 2a wird in den Brennpunkten F1 und F2 fixiert. Bei gespanntem Faden kann dann die elliptische Figur in den Boden graviert werden. Seite 12 Perspektive. Kreis parallel zur Bildebene = Kreis © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Perspektive Anlage Horizont Trimetrie Spur Horizontebene Grundrißebene Augpunkt Das perspektive Bild des Kreises, der parallel zur Bildebene steht, ist der Kreis. Die Bildgröße ist abhängig von der Lage des Kreises zur Bildebene und von der Lage der Bildebene zum Augpunkt. Augpunkt Seite 13 Kreis senkrecht zur Bildebene = Ellipse © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Trimetrie Perspektive Anlage Horizont Horizontebene Spur Augpunkt Grundrißebene Das Bild des Kreises, der senkrecht zur Bildebene liegt ist eine Ellipse. Da der projizierte Mittelpunkt des Kreises (auf Grund der perspektiven Teilung der Strecke) nicht dem tatsächlichen Mittelpunkt der Strecke entspricht, ist für die Ellipsenkonstruktion aus den konjugierten Durchmessern eine weitere Konstruktion notwendig. Augpunkt Seite 14 Bestimmung der konjugierten Durchmesser der Ellipse © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Perspektive Anlage Horizont Spur Konjugierte Durchmesser einer Ellipse stehen im Orginalkreis senkrecht aufeinander. Für die Perspektive wählt man einen Durchmesser, der senkrecht zur Bildebene verläuft = Tiefenlinie mit Fluchtpunkt in H. Dieser Durchmesser wird perspektiv abgebildet. Das perspektive Bild des Mittelpunktes des Durchmessers kann nicht Mittelpunkt der Ellipse werden, da der gefundene Mittelpunkt die Strecke perspektiv teilt, die konjugierten Durchmesser sich aber halbieren. M? Das perspektive Bild des Durchmessers ist zu teilen und der Teilpunkt in das Grundrißbild zu rekonstruieren. Durch den Grundrißpunkt zeichnen Sie eine Sehne (parallel zur Bildebene), die den Kreis in 2 Punkten schneidet. Damit sind, im perspektiven Bild wieder abgebildet, die konjugierten Durchmesser der Ellipse gegeben. M Kreismittelpunkt Aus den konjugierten Durchmessern der Ellipse sind dann mit Hilfe der Rytzschen Konstruktion die Haupt - und die Nebenachse zu ermitteln. Augpunkt Seite 15 Kreis senkrecht zur Bildebene = Parabel © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Perspektive Anlage Trimetrie Horizont Punkt A Spur Augpunkt Für den Punkt A des Kreises ist bei der perspektiven Abbildung, mit dem Projektionsstrahl durch den Augpunkt, kein Bild = Durchstoßpunkt mit der Bildebene zu finden, da die Projektionsrichtung parall zur Bildebene liegt. Dadurch ergibt sich die nach unten offene Figur der Parabel, die punktweise dargestellt wird. Verschwindungsgerade Seite 16 Abbildung der Kugel in der 3 - Tafelprojektion und in der Axonometrie © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II 3 - Tafelprojektion Der Schnitt durch den Mittelpunkt = Großkreis parallel zum Grundriß ergibt das Bild der Kugel im Grundriß. Der Schnitt durch den Mittelpunkt = Großkreis parallel zum Aufriß ergibt das Bild der Kugel im Aufriß. Der Schnitt durch den Mittelpunkt = Großkreis parallel zum Seitenriß ergibt das Bild der Kugel im Seitenriß. Trimetrie Die Hüllzylinder der Projektionsstrahlen der Kugel stehen jeweils senkrecht zu den Bildtafeln und ergeben als Schnittfläche einen Kreis mit der Tafel = Bild der Kugel, das in der Trimetrie als Ellipse erscheint. Das Bild der Kugel in den Tafeln entspricht der Schnittfläche durch den Mittelpunkt der Kugel parallel zur entsprechenden Tafel = Großkreis der Kugel. Seite 17 Abbildung der Kugel in der Perspektive © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Trimetrie Hauptpunkt Horizont Augpunkt Spur Entgegen der eigenen Seherfahrung erscheint die Kugel im perspekiven Bild elliptisch. Die Umrißellipse ergibt sich am Beispiel durch die Summe der abgebildeten Schnittebenen, einschließlich des Großkreises Seite 18 Abbildung der Kugel mit Hilfe von Schnittebenen © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Perspektive Anlage Horizont Spur Gegeben ist der Grundriß der Kugel und die perspektive Anlage. Gesucht ist das perspektive Bild der Kugel. Augpunkt Seite 19 Abbildung der Kugel mit Hilfe der Konstruktion der Umrißellipse © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Perspektive Anlage Horizont Spur Gegeben ist der Grundriß der Kugel und die perspektive Anlage. Gesucht ist das perspektive Bild der Kugel. Augpunkt Seite 20 Die Spiegelung © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Flache Arbeit. 1992 Adrian Schiess Autolack auf Verbundglas 4teilig 2 x 110 x 600 cm Documenta 9. Kassel 1992 Seite 21 Die konstruktiven Bedingungen der Spiegelung © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Trimetrie einfallender Lichtstrahl Punkt P Punkt 1 Augpunkt reflektierter Lichtstrahl Punkt 1 Punkt 2 Einfallswinkel = Ausfallswinkel Soiegelpunkt Wir unterscheiden waagrechte, senkrechte, schräge oder gekrümmte Spiegelflächen. In Architekturdarstellungen finden wir meist die senkrechte Fensterfläche oder die waagrechte Wasserfläche als Spiegelebene. Die konstruktiven Bedingungen der Spiegelung beziehen sich ausschließlich auf das Spiegelbild in waagrechter Spiegelebene. 3. Alle durch Punkt P einfallenden Strahlen werden so reflektiert, daß sich die rückwärtigen Verlängerungen der reflektierten Strahlen in einem Punkt = Spiegelpunkt schneiden. Spiegelpunkt 1 4. Die Distanz von Punkt 1 zur Spiegelebene entspricht der Distanz des Spiegelpunktes 1 zur Spiegelebene. entsprechend weitere Punkte. 5. Das vom Auge erkannte Spiegelbild ist nicht symmetrisch dem Orginal. Das Spiegelbild ist abhängig von der Lage des Objektes zum Augpunkt. am Bsp. liegen die Punkte 1 und 2 optisch hintereinander auf einem Sehstrahl. Dies gilt aber nicht für die Spiegelpunkte. 1. Der einfallende Lichtstrahl und der auf der Spiegelebene reflektierte Lichtstrahl liegen in einer zur Spiegelbebene senkrechten Ebene. 2. Einfallswinkel = Ausfallswinkel oder. der Winkel zwischen Lot und einfallendem Lichtstrahl und der Winkel zwischen Lot und reflektiertem Lichtstrahl sind gleich. Seite 22 Perspektive. Spiegelkonstruktion einer Geraden © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Perspektive Anlage mit Fußpunkt der Geraden in der Spiegelebene Perspektive Anlage mit Fußpunkt der Geraden über der Spiegelebene Horizont Horizont Spur Höhe der Standebene über 0.00 Spur in 0.00 Höhe der Standebene im persp. Bild gespiegelte Höhe der Standebene Spiegelgerade im persp. Bild Spiegelgerade Augpunkt Augpunkt Gerade in der Spiegelebene Gerade über der Spiegelebene Konstruktionsschritte : 1. von einem beliebigen Punkt P auf dem Horizont sind die Endpunkte der Geraden auf die Spur der Spiegelebene zu verlängern. 2. Geradenlänge in der Spiegelspur spiegeln und Endpunkt mit P verbinden. 3. Diese Verbindung begrenzt die Spiegelung senkrecht unterhalb der Geraden. Die Spiegelung wird außerdem begrenzt durch die Spiegelspur. Konstruktionsschritte wie a, wobei hier über den sog. Kellergrundriß der Geraden, Grundrißpunkt der Geraden in 0.00 gespiegelt wird und 4. Das Spiegelbild ist begrenzt durch die gespiegelte, erhöhte Standebene selbst. Seite 23 Spiegelkonstruktion eines Prismas © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Perspektive Anlage mit Prisma in der Spiegelebene Perspektive Anlage mit Prisma über der Spiegelebene Horizont Horizont Höhe der Standebene über 0.00 Spur Spur Spiegelgerade im Grundriß Spiegelgerade im Grundriß Augpunkt Augpunkt Seite 24 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Rampenfluchtpunkt links Spiegelkonstruktion eines Prismas mit geneigten Ebenen beliebiger Punkt Horizontalfluchtpunkt links eingedrehter Augpunkt Horizont Höhe der Standebene über 0.00 Spur zur Konstruktion : Die wahre Größe des Winkels der Dachneigung ist über die, in den Grundriß geklappte, Giebelwand zu ermitteln. Über den auf den Horizont eingedrehten Augpunkt, in dem die wahre Winkelgröße angetragen wird, ergibt sich als Schnitt mit der Senkrechten über dem entsprechenden Horizontalfluchtpunkt der Rampenfluchtpunkt. Spiegelgerade im Grundriß Konstruktion der wahren Größe der Dachneigung Geneigte Richtungen fluchten im Spiegelbild zu den entgegengesetzte = gespiegelten Höhenfluchtpunkten. gespiegelter Rampenfluchtpunkt links Augpunkt Seite 25 Das Schattenbild © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Eames House. Los Angeles Das Schattenbild, der Körperschatten und der Schlagschatten, unterstreicht die plastische Wirkung der architektonischen Erscheinung und betont ihre zeitliche Dimension in Abhängigkeit von der gewählten Lichtsituation. Seite 26 Beleuchtungsarten © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Parallelbeleuchtung Bei der Annahme einer Lichtquelle im Unendlichen sprechen wir von Parallelbeleuchtung. Dies gilt insbesondere für das Sonnenlicht, da die Entfernung Sonne zu Objekt im Verhältnis der Entfernung von Objekt zu Schattenbild als unendlich groß angenommen werden Kann. Die konstruktiven Zusammenhänge von Objekt und Schattenbild sind durch die affine Beziehung von Objekt, als Körperschnitt eines Zylinders und Schattenbild, als Grundfläche des Zylinders erläutert. Die einfallenden Lichtstahlen bestimmen die Mantellinien des Zylinders. s.S. 35 Skript 1.Semester: Der Körperschnitt des Zylinders und die Affinität Zentralbeleuchtung Bei einer punktförmigen Lichtquelle in endlicher Entfernung sprechen wir von Zentralbeleuchtung. Dies gilt für alle künstlichen Lichtquellen. Die konstruktiven Zusammenhänge von Objekt und Schattenbild sind durch die kollineale Beziehung von Objekt, als Körperschnitt eines Kegels und Schattenbild, als Grundfläche des Kegels erläutert. Die einfallenden Lichtstahlen bestimmen die Mantellinien des Kegels. s.S. 36 Skript 1.Semester: Der Körperschnitt des Kegels und die Kollineation Mehrfach - Zentralbeleuchtung Bei der Mehrfach - Zentralbeleuchtung ergeben sich je nach Lage des Objektes zu den Lichtquellen mehrere unterschiedliche Schattenbilder. z.B Theaterlicht oder Flutlicht. Diffuse Beleuchtung Von einer diffusen Beleuchtung spricht man, wenn sich kein Schattenbild entwickelt. Man kann sich auch vorstellen, daß das Ojekt von unendlich vielen Lichtquellen beleuchtet wird. z.B. Nebel. Wir unterscheiden: Schlagschatten = das Schattenbild eines Objektes auf einer Schattenauffangfläche. Rot anlegen Körperschatten = der Schatten der sich am Objekt selbst entwickelt. Grün anlegen Seite 27 Das Lichtdiagramm © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Würfel in 2 - Tafelprojektion Würfel in Trimetrie geklapptes Lichtdreieck Eine Lichtsituation (Rückenlicht von links. technischer Lichtstrahl)) ist in einem Würfel dargestellt. Für die Konstruktion der wahren Größe des Winkels zwischen Grundrißfläche und räumlichem Lichtstrahl, wird das Lichtdreieck in die Ebene geklappt. Die Lichtsituation muß in mindestens 2 Tafeln gegeben sein. s.S. 17 Skript 1.Semester: Wahrer Winkel und wahre Länge einer Geraden. Grundrißklappung wir unterscheiden : eine Lichtsiuation bei allgemeinem Lichtstrahl Rückenlicht von links Rückenlicht von rechts Gegenlicht von links Gegenlincht von rechts Seitenlicht von links Seitenlicht von rechts und eine Lichtsituation bei technischem Lichtstrahl, d.h. die Lichtrichtungen in den Tafeln sind jeweils 45 Grad zur Horizontalen geneigt und die räumliche Lichtrichtung beträgt 35 Grad. Seite 28 2 -Tafelprojektion. Schatten allgemein © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Trimetrie räuml. Lichtstrahl Lichtdreieck Grundrißrichtung Schattenauffangebene Schattenauffangebene und - die räumliche Lichtrichtung oder Höhenabweichung des Lichtes = bestimmt die Schattenlänge. Der räumliche Lichtstrahl, das Grundrißbild des Lichtstrahls und die Gerade, die den Schatten wirft, bilden eine Ebene, das sog. Lichtdreieck, das senkrecht auf dem Grundriß steht. Der Schlagschatten der Geraden ist bestimmt durch - die Grundrißrichtung oder Grundrißabweichung des Lichtes = bestimmt die Schattenrichtung in der Als Konstruktionsvorgaben benutzt man in 1. der 2 - Tafelprojektion die Grund- und Aufrißrichtung des Lichtes in 2. der Axonometrie die Grundrißrichtung des Lichtes und den räumlichen Lichtstrahl und in 3. der Perspektive die Grundrißrichtung des Lichtes, dargestellt im Fußpunkt der Lichtquelle und den räumlichen Lichtstrahl, dargestellt in der Lichtquelle. Seite 29 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Punktes im Grundriß 2. Grundrißrichtung des Lichtes durch Grundrißpunkt, ergibt den Schattenpunkt. Konstruktionsschritte in der 2 - Tafelprojektion: Am Bsp. ist bei gegebener Lichtsituation bei allgemeinem Lichtstrahl und Gegenlicht von rechts, die Grundrißfläche eine horizontale Fläche = Schattenauffangebene. Konstruktionsschritte in der Axonometrie: 1. räumliche Lichtrichtung durch Raumpunkt geschnitten mit der 1. Aufrißrichtung des Lichtes durch Aufrißpunkt, der Grundrißrichtung durch Grundrißpunkt zugeornet, ergibt den Schattenpunkt im Grundriß und 2. Grundrißrichtung des Lichtes durch Grundrißpunkt, der Aufrißrichtung durch Aufrißpunkt zugeordnet, ergibt den Schattenpunkt im Aufriß. am Bsp. ergibt sich kein Schattenpunkt im Aufriß. Seite 30 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Punktes im Grund- und Aufriß Am Bsp. ist bei gegebener Lichtsituation bei allgemeinem Lichtstrahl und Rückenlicht von rechts die Grundrißfläche und die Aufrißfläche, unterhalb der x - Achse, Schattenauffangebene. Der Schattenpunkt in der Aufrißebene wird mit - gekennzeichnet ( - SP im Aufriß ). Seite 31 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Punktes im Auf- und Grundriß Am Bsp. ist bei gegebener Lichtsituation bei allgemeinem Lichtstrahl und Rückenlicht von rechts, die Aufrißebene und die Grundrißfläche, hinter der x - Achse, Schattenauffangebene. Der Schattenpunkt im Grundriß wird mit - gekennzeichnet (-SP im Grundriß ). Seite 32 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden Das Schattenbild einer Geraden wird punktweise ermittelt. Die Konstruktion der Darstellung des Schattenbildes des Punktes P der Geraden, entspricht der vorhergehenden Konstruktion. s.S. 31: Schattenbild eines Punktes im Grund- und Aufriß Das Schattenbild der Geraden entspricht der Verbindung Schattenpunkt P mit Fußpunkt der Geraden in der Grundrißebene. Das Schattenbild der Geraden bricht über die x - Achse. Seite 33 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild einer zweitprojizierenden Geraden Das Schattenbild einer Geraden wird punktweise ermittelt. Die Konstruktion der Darstellung des Schattenbildes des Punktes P der Geraden, entspricht der vorhergehenden Konstruktion. s.S. 31: Schattenbild eines Punktes im Grund- und Aufriß Das Schattenbild der Geraden entspricht der Verbindung Schattenpunkt P mit Fußpunkt der Geraden in der Aufrißebene. Das Schattenbild bricht über die x - Achse. Seite 34 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild einer beliebigen Geraden Steht die Gerade nicht in der Grundriß - oder Aufrißebene, sind die zwei Endpunkte der Geraden als Schattenpunkte zu ermitteln. Die Verbindung beider stellt das Schattenbild der Geraden dar. Dabei werden die Schattenbilder der Geradenpunkte A und B im Grundriß - und im Aufriß dargestellt. Das Schattenbild der Geraden bricht am Bsp. über die x - Achse. Ohne die Darstellung der unsichtbaren Schattenpunkte ist das Schattenbild der Geraden nicht konstruierbar. Seite 35 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild einer erstprojizierenden Geraden auf schräge Fläche Das Lichtdreieck, das aus der gegebenen Geraden, der räumlichen Lichtrichtung und der Grundrißrichtung des Lichtes gebildet wird, steht senkrecht auf der Grundrißebene. Das Lichtdreieck ergibt mit der schrägen Fläche, der Schattenauffangebene geschnitten, eine gemeinsame Schnittebene (schraffiert). Auf der beiden Ebenen gemeinsamen Schnittspur liegt der gesuchte Schattenpunkt, das Schattenbild des Geradenpunktes A. Es ist der Schnittpunkt von Schnittspur und räumlicher Lichtrichtung. Seite 36 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild einer Fläche Konstruktionsschritte am Bsp. in der 2 - Tafelprojektion : 1. Aufrißrichtung des Lichtes durch Aufrißpunkte, der Grundrißrichtung durch Grundrißpunkte zuordnen, ergibt die Schattenpunkte im Grundriß. 2. Grundrißrichtung des Lichtes durch Grundrißpunkte, der Aufrißrichtung durch Aufrißpunkte zuordnen, ergibt die Schattenpunkte im Aufriß. Die Schattenbilder von komplexen, regelmäßig oder unregelmäßigen Figuren werden punktweise ermittelt. Die Verbindung der Schattenpunkte miteinander ergibt die Schattenfläche. Steht die schattenbildende Fläche parallel zur Schattenauffangebene, wird das Schattenbild versetzt, gleichgerichtet und gleich groß abgebildet. (Am Beispiel das Schattenbild im Aufriß). Seite 37 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels Bei räumlichen Objekten ist neben dem Schlagschatten immer auch das Schattenbild am Objekt selbst = der Körperschatten zu bedenken. Bei untenstehendem Beispiel ist die Lichtsituation, als sog. Seitenlicht oder Streiflicht beschrieben, d.h. die Flächen, die parallel zur Grundrißrichtung des Lichtes liegen sind nicht beschattet. Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die Anlage in der 2 - Tafelprojektion und die Lichtsituation. Gesucht ist das Schattenbild des Würfels in der 2 - Tafelprojektion. Hinweis : Da am Beispiel nur in der Grundrißebene ein Schattenbild zu erwarten ist, genügt es die Aufrißrichtung des Lichtes durch die Aufrißpunkte, der Grundrißrichtung durch die entsprechenden Grundrißpunkte zuzuordnen, um die Schattenpunkte im Grundriß zu ermitteln. Seite 38 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels auf horizontale Fläche Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die Anlage in der 2 - Tafelprojektion und die Lichtsituation. Gesucht ist das Schattenbild des Würfels in der 2 - Tafelprojektion. Seite 39 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Fläche Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die Anlage in der 3 - Tafelprojektion und die Lichtsituation. Gesucht ist das Schattenbild des Würfels in der 3 - Tafelprojektion. Seite 40 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels auf horizontale,vertikale und schräge Fläche Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die Anlage in der 3 - Tafelprojektion und die Lichtsituation. Gesucht ist das Schattenbild des Würfels in der 3 - Tafelprojektion. Seite 41 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild einer Kugel Gegeben ist das Bild einer Kugel im Grundund Aufriß und die Lichtsituation. Gesucht ist das Schattenbild der Kugel in den Tafeln. Hinweis : Die Konstruktion des Grundrißbildes des Schattens erfolgt mit einer in Grundrißrichtung des Lichtes 1. - projizierenden Hilfsebene. Die Konstruktion des Aufrißbildes des Schattens erfolgt mit einer in Aufrißrichtung des Lichtes 2. - projizierenden Hilfsebene. Seite 42 Axonometrie. Das Schattenbild © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Five into one. 1992 Matt Mullican Seite 43 Schattenbild auf waagrechte und senkrechte Fläche © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Das Stuhlobjekt Modell. Zig - Zag von Gerrit Rietveld ist im Skript des 1.Semesters zum Thema Grundrißaxonometrie beschrieben. Gegeben ist das Objekt und die Lichtsituation (Grundrißlichtrichtung und Aufrißlichtrichtung) in der 2 - Tafelprojektion. Gesucht ist das Schattenbild. Gegeben ist das Objekt und die Lichtsituation (Grundrißlichtrichtung und räumliche Lichtrichtung) in der Trimetrie. Gesucht ist das Schattenbild. Seite 44 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild auf waagrechte und senkrechte Fläche Die Konstruktionsvorgabe könnte einer Ausstellungssituation entsprechen, die den ZIG-ZAG in einer Raumecke zeigt. Die Beurteilung des Schattenbildes nach gestalterischen Gesichtspunkten ist negativ. Die Dynamik des Objektes ist nicht im Schattenbild gespiegelt. Eine Reihe von Variationen der Parameter.die Lage des Objektes zu der Raumecke und/oder die Lichtsituation könnten in der Zeichnung oder im Modell Klarheit schaffen. Gegeben ist das Objekt und die Lichtsituation (Grundrißlichtrichtung und räumliche Lichtrichtung) in der Trimetrie. Gesucht ist das Schattenbild . Seite 45 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild auf waagrechte, senkrechte und schräge Fläche Gegeben ist das Objekt und die Lichtsituation (Grundrißlichtrichtung und räumliche Lichtrichtung) in der Trimetrie. Gesucht ist das Schattenbild. Seite 46 Perspektive. Das Schattenbild © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Robert Wilson. Bühne zu Lohengrin von Richard Wagner. 3.Akt. Zürich 1991 Seite 47 Konstruktionsidee © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Lichtquelle Fußpunkt Lichtquelle Horizont Endpunkt der Geraden Augpunkt Fußpunkt Schattenauffangebene Das Problem der Darstellbarkeit des Schattenbildes eines komplexen Körpers wird zunächst - um die Konstruktion zu erleichtern - auf die Frage nach dem Schattenbild einer, meist senkrecht stehenden, Geraden reduziert. Konstruktionsidee Der Schatten einer Geraden wird bestimmt durch : Der Schatten einer Geraden ist die Schnittgerade, die sich aus der Durchdringung zweier Ebenen ergibt. 1 die Lichtebene ( = Ebene 1 ), die durch die Lichtquelle und die Gerade aufgespannt wird und 2 die Schattenauffangebene ( = Ebene 2 ). 1 den Winkel der einfallenden Lichtstrahlen (Höhenabweichung) und Konstruktionsüberlegungen 2 die Richtung der einfallenden Lichtstrahlen (seitliche Abweichung). Die Koordinaten des Bildes der Lichtquelle zum Augpunkt machen diese Abweichungen erkennbar. . Ebene 1 ist durch einen Punkt und eine Gerade definiert (Lichtquelle, Endpunkt und Fusspunkt der Geraden in der Ebene 2). Geraden zur Lichtquelle und die Länge der Geraden selbst. Konstruktionsvorgang . Die Schattenrichtung der Geraden in der Ebene 2 ist definiert durch die Fluchtgerade der Ebene und die Ausbreitungsrichtung der Geraden. . Die Schattenlänge definiert der Abstand der In Ausbreitungsrichtung der Geraden durch die Lichtquelle, finden wir als Schnittpunkt mit der Fluchtgeraden der Schattenauffangebene, den Fußpunkt der Lichtquelle. Verbindung von Fußpunkt Lichtquelle mit Fußpunkt Gerade = Schattenrichtung. Verbindung von Lichtquelle mit Endpunkt Gerade = Schattenlänge. Seite 48 Parallel - und Zentralbeleuchtung. Lichtarten © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Wir unterscheiden : . Seitenlicht . Gegenlicht . die Zentralbeleuchtung, bei der eine Lichtquelle im Endlichen angenommen wird, was einer künstlichen Lichtsituation entspricht z.B. Theaterlicht siehe : Beispiele ab Seite 58 ff . die Parallelbeleuchtung, bei der die Lichtquelle im Unendlichen angenommen wird. Die Vorstellung der Lichtquelle im Unendlichen, entspricht dem natürlichen Licht. Zu den Bestimmungen der Grundriß- und Raumrichtung des Lichtes für das Schattenbild in den Axonometrien, kommt in der Perspektive die Bestimmung des Betrachters, als weitere Relation des Bildes dazu. siehe : Beispiele ab Seite 50 ff Die Lichtrichtung ist parallel zur Bildebene und Bildpunkt Sonne oder die Lichtquelle ist oberhalb hat deshalb keinen endlichen Bildpunkt. des Horizontes. Zur Konstruktion genügt die Angabe der Neigung des Lichtstrahles zum Horizont. - direktes Gegenlicht heißt, die Lichtquelle liegt auf dem Hauptsehstrahl . Rückenlicht Bildpunkt Sonne oder die Lichtquelle ist unterhalb des Horizontes. - direktes Rückenlicht heißt, die Lichtquelle liegt auf dem Hauptsehstrahl - Gegenlicht von rechts heißt, die Lichtquelle liegt rechts vom Hauptsehstrahl - Rückenlicht von rechts heißt, die Lichtquelle liegt links vom Hauptsehstrahl - Gegenlicht von links heißt, die Lichtquelle liegt links vom Hauptsehstrahl. - Rückenlicht von links heißt, die Lichtquelle liegt rechts vom Hauptsehstrahl. Seite 49 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Parallelbeleuchtung. Zusammenhang von der Anlage der Perspektive und dem Schattenbild Lichtquelle Fußpunkt Lichtquelle Horizont Spur Bildebene 1. die Lichtart (Seitenlicht, Rückenlicht oder Gegenlicht). 2. die Winkeldrehung der Grundrißrichtung des Lichtes zum Hauptsehstrahl = seitliche Abweichung, die den Fußpunkt der Lichtquelle definiert. Für die Festlegung der Lichtquelle im perspektiven Bild sind 3 Bestimmungen notwendig : 3. der Winkel der einfallenden Lichtstrahlen zum Grundriß = Höhenabweichung (sichtbar in geklappter Ebene), die die Lichtquelle definiert. Am Bsp. handelt es sich um Gegenlicht von rechts. seitliche Abweichung = 24 Grad Höhenabweichung = 36 Grad Seite 50 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Fluchtpunkt der Geraden in allgemeiner Richtung Schattenbild einer Geraden in der Standebene und die Variation der Geradenrichtungen Lichtquelle Horizont Spur Fluchtpunkt der Schattenrichtung ist je nach Ausbreitungsrichtung der Geraden auf dem Horizont zu bestimmen. Bildebene 1 Gerade steht senkrecht auf der Standebene. 2 Gerade steht auf der Standebene gekippt. Alle Geradenrichtungen in der waagrechten Fläche , also auch die Schattenrichtungen der Geraden in der waagrechten Fläche haben ihren Fluchtpunkt auf dem Horizont. Der Fußpunkt der Lichtquelle, oder der 3 Gerade steht in allgemeiner Richtung, die durch den Fluchtpunkt definiert ist. In Ausbreitungsrichtung der Geraden bedeutet in dem Fall durch den Fluchtpunkt. s.S.53 : Schattenbild einer Geraden in der Wandebene und die Variation der Geradenrichtungen. Augpunkt Seite 51 Schattenbild einer Geraden in der schrägen Ebene © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Lichtquelle Gegenlicht von links Horizont Fußpunkt Lichtquelle Spur Bildebene Hinweis : Die Fluchtgerade der Rampenebene, die der Schattenauffangebene entspricht, ist durch den Rampenfluchtpunkt und den horizontalen Fluchtpunkt der Ebene definiert. Augpunkt Seite 52 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild einer Geraden in der Wandebene und die Variation der Geradenrichtungen Lichtquelle und Fußpunkt Lichtquelle Fluchtpunkt der Geraden in allgemeiner Richtung Der Fußpunkt der Lichtquelle ist je nach Ausbreitungsrichtung der Geraden zu bestimmen. 1 Gerade steht senkrecht auf der Wandebene. 2 Gerade steht auf der Wandebene gekippt. Die Fluchtgerade der Schattenauffangebene = Wandebene ist in den Beispielen eine durch den Fluchtpunkt der Wandfläche bestimmte Senkrechte. 3 Gerade steht in allgemeiner Richtung, die durch den Fluchtpunkt definiert ist. In Ausbreitungsrichtung der Geraden bedeutet in dem Fall durch den Fluchtpunkt. s.S.51 : Schattenbild einer Geraden in der Standebene und die Variation der Geradenrichtungen. Seite 53 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die perspektive Anlage und die Lichtsituation. Reines Seitenlicht, d.h. die Grundrißlichtrichtung des Lichtes entspricht einer Grund- Schattenbild eines Würfels bei Seitenlicht rißrichtung des Körpers, der x - Achse oder der y - Achse. Die Körperflächen in dieser Richtung erhalten Streiflicht. Da die Grundrißrichtung des Lichtes in der Perspektive parallel zur Bildebene verläuft ergibt sich bei dem Beispiel kein Fußpunkt Lichtquelle, d.h. der Schatten kann wie in der Axonometrie konstruiert werden. Allgemein gilt, dass der Fusspunkt Lichtquelle bei Streiflicht dem Fluchtpunkt der Grundrissrichtung entspricht. s.S. 49: Lichtarten Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels. Seite 54 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die perspektive Anlage und die Lichtsituation. Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels. Gegenlicht von links, d.h. die Lichtquelle liegt links vom Hauptsehstrahl und oberhalb des Horizontes. s.S. 49: Lichtarten Seite 55 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene bei Rückenlicht Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die perspektive Anlage und die Lichtsituation. Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels. Rückenlicht von rechts, d.h. die Lichtquelle liegt links vom Hauptsehstrahl und unterhalb des Horizontes. s.S. 49: Lichtarten Seite 56 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels auf vertikale und schräge Ebene bei Gegenlicht Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die perspektive Anlage und die Lichtsituation. Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels. Hinweis: Gegenlicht von links, d.h. die Lichtquelle liegt links vom Hauptsehstrahl und oberhalb des Horizontes. s.S. 49: Lichtarten Seite 57 Zentralbeleuchtung. Schattenbild einer Geraden bei endlicher Lichtquelle © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Lichtquelle Horizont Spur Fußpunkt Lichtquelle in der Standebene Gegeben ist das perspektive Bild eines Prismas und 2 senkrechte Geraden in der Standebene und die Lichtsituation. Die Lichtsituation bei der sog. Zentralbeleuchtung s.S. 49: Lichtarten wird beschrieben durch eine Gerade, deren Endpunkt die Lichtquelle und deren Fußpunkt, meist in der Standebene, den Fußpunkt der Lichtquelle im Endlichen darstellt. Die Schattenkonstruktion entspricht der Konstruktion bei Parallelbeleuchtung. Gesucht ist das perspektive Bild und das Schattenbild. Die Lichtsituation entspricht künstlichem Licht, wobei, wie bei einer Flutlichtanlage oder im Theater, mehrere Lichtquellen denkbar sind. Bildebene Augpunkt Seite 58 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels auf horizontale Ebene Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die perspektive Anlage und die Lichtsituation. Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels. Seite 59 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels auf horizontale und vertikale Ebene Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die perspektive Anlage und die Lichtsituation. Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels. Seite 60 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Schattenbild eines Würfels auf horizontale und schräge Ebene Gegeben ist das Bild eines Würfels in Trimetrie, die perspektive Anlage und die Lichtsituation. Gesucht ist das perspektive Schattenbild des Würfels. Seite 61 Geometrische Grundkonstruktionen © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Strecken Senkrechte im Punkt A Kreisbogen mit r um A schlagen. Um B und C Kreisbögen mit Radius BC. AD senkrecht auf BC. Senkrechte im Punkt B Um B, C und D Kreisbögen mit r schlagen. Die Verlängerung von CD über D hinaus schneidet den Kreis umd D in E. BE ist in B senkrecht auf AB. D Strecke AB teilen AC unter beliebigem Winkel zu AB. AC (z.B. in drei gleich lange Teilstrecken) teilen. C mit B verbinden und Parallelen zu BC durch D und E ziehen. Goldener Schnitt Senkrechte in B zeichnen und AB/2 abtragen. C und A verbinden. Kreisbogen um C mit Radius BC schneidet AC in D. Kreisbogen um A mit Radius AD schneidet AB in E. Es verhält sich a : b = b : c . Der Goldene Schnitt a : b etwa 1000 : 618 = 1 : 0,618 E C D C D D E B A C Strecke AB halbieren und Mittelsenkrechte auf AB Um A und B Kreisbögen mit r (r= größer als AB/2) schlagen. CD ist Mittelsenkrechte und halbiert AB. A C B A A B E B Lot auf Gerade BC Um A, B und C Kreisbögen mit r schlagen. AD ist senkrecht auf BC. Parallele zu AB durch C Um D ( auf AB beliebiger Punkt ), C und E Kreisbögen mit Radius CD schlagen. C mit F verbinden. Die Gerade durch CD und F ist parallel zu AB. A Winkel Halbieren eines Winkels Um A, B und C Kreisbögen mit r schlagen. AD halbiert den Winkel CAB. C B A B C C F D C D A A D E B B D Seite 62 Geometrische Grundkonstruktionen © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Kreise Winkel ohne Scheitel halbieren Parallele zu g 1 schneidet g 2 in S. Um S Kreisbogen mit r schlagen. A mit B verbinden und bis C verlängern. Mittelsenkrechte auf AC ist die Winkelhalbierende. Winkel übertragen Um A und D Kreisbögen mit r schlagen. Schenkelneigung BC abgreifen und Kreisbogen mit Radius BC um E schlagen. DF entspricht AC. C Kreismittelpunkt Zwei nichtparallele Kreissehnen zeichnen. Die Mittelsenkrechten dieser schneiden sich im Kreismittelpunkt. Tangente an Kreis von einem Punkt aus P mit M verbinden und über MP Thaleskreis zeichnen. Verbindung AP = Tangente an Kreis von P aus. F A g2 M M S B A B D E P C g1 Rechten Winkel dritteln Um A, B und C gleichgroße Kreisbögen schlagen. AD und AE dritteln den rechten Winkel Winkel von 30 Grad und 60 Grad konstruieren Tangente in einem Punkt des Kreises Um A, B und C Kreisbögen mit gleichem Radius Punkt P mit M verbinden. Auf MP in P Senkrechschlagen. AC ist Schenkel zu Winkel CAB, AD ist te zeichnen = Tangente. Schenkel zu Winkel DAB. Umkreis eines Dreiecks Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Dreiecksseiten = M. A C C D D M M P E A A B B Seite 63 Geometrische Grundkonstruktionen © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Innkreis eines Dreiecks Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden = M Regelmäßige Vielecke 5 - 10 - ... Eck MC halbieren und von E mit Radius EB Punkt F darstellen. BF entspricht der Länge der Fünfeckseite. Gleichseitiges Dreieck Kreisbogen mit r um D. 7 Eck Um A Kreisbogen mit r. BC/2 = 1/7 des Kreisumfanges. B M F E M B A D Abwicklung des Kreisumfanges Auf Waagrechte durch M Durchmesser d abtragen. Um A Kreisbogen mit d/2. Die Verbindung CB verlängern auf Senkrechte über D = E. DE entspricht 1/12 des Kreisumfanges. C 4 - 8 - ... Eck Punkte A, B, C, D zu einem Quadrat verbinden. Die Teilung der Quadratseiten ergibt das 8 - Eck... 6 - 12 - ... Eck Radius r von A aus auf Kreis abtragen. Radius r von B aus auf Kreis abtragen B A B E B 9 Eck Um A und B mit d C und D darstellen. AB in neun Teile teilen. Von C und D aus durch die geradzahligen Teilpunkte 2, 4, 6, und 8 auf den Kreis verbinden ergibt die Kreisteilpunkte. A D M C A M C A D C D B D Seite 64 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Geometrische Grundkonstruktionen 11 Eck AB in 11 Teile teilen. Über A und über C hinaus verlängern um 1/11 Teil der Strecke AB. Die Verbindung EF ergibt den Schnittpunkt G mit dem Kreis. Die Verbindung GD entspricht 1/11 des Kreises. D ist der 3. Teilpunkt. F C G E A D M B Seite 65 © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II A Abwicklung 46 Abwicklung durch Grundrißklappung 47 Abwicklung einer Pyramide über die Spitze 49 Abwicklung mit Hilfe der Höhenzuordnung 46 Abwicklung mit Hilfe des Querschnittes 48 Abwicklung des Kreisumfanges 85 Affinität 35 Aufrißaxonometrie 8, 56 Aufrißdrehung 18 Augpunkt 67, 76 Axonometrien 8, 50 B Beliebige Gerade 16 Besondere Geraden 19 Bildebene 67, 76 Bildtafeln 13 D dimetrische Axonometrie 58 dimetrische Darstellungen 52 DIN 5 8, 58 Distanzpunkte 81 Durchdringungen 39 Höhenebenenverfahren 40 Mantelebenenverfahren 41 Parallelebenenverfahren 42 Pendelebenenverfahren 43, 44, 45 Durchstoßpunkt 28 Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch eine 28 Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch zwei 29 Körperschnitt mit Hilfe der Durchstoßpunkte 37 E Ebene 22 Abstand eines Punktes von einer Ebene 26 Besondere Geraden einer Ebene 23 Fallinien 23 Frontlinie 23 Höhenlinie 23 Drei - Punkte - Ebene 25 Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch eine 28 Durchstoßpunkt einer beliebigen Geraden durch zwei 29 Pendelebenenverfahren 29 Punkt und Ebene 24 Punkt und Gerade spannen eine Ebene auf 30 Wahre Größe einer Ebene 33 Konstruktion mit hilfsprojizierender Ebene 34 Konstruktion mit Stützdreieck 33 Wahre Größe und Neigung des Abstandes von einer Eb 27 Wahrer Winkel zwischen zwei Ebenen 32 Ebenenarten 88 Einschneideverfahren 52 F Fallinie 23 Frontlinie 19, 23 G Gerade 16 Aufrißdrehung oder Mongsche Drehung 18 Beliebige Gerade 16 Besondere Geraden 19 Frontlinie 19 Index Teil I Hauptlinie 19 Höhenlinie 19 projizierende Gerade 19 Wahrer Winkel und wahre Länge 17 Zwei beliebige Geraden 20 Zwei sich schneidende Geraden 21 Gleichseitiges Dreieck 85 Goldener Schnitt 83 Grundrißaxonometrie 8, 54 H Hauptlinie 19 Hauptpunkt 67 Hauptsehstrahl 67 Höhenebenenverfahren 40 Höhenlinie 23 Höhenübertragung 74 Horizont 67 Horizontebene 67 I Ingineurprojektion 8 Inhaltsverzeichnis 2 Innkreis eines Dreiecks 85 Isometrie 60 isometrische Darstellungen 52 K Koinzidenzebene 15 Kollineation 36 Koordinatenachsen 51 Körper 37 Abwicklung durch Grundrißklappung 47 Abwicklung einer Pyramide über die Spitze 49 Abwicklung mit Hilfe der Höhenzuordnung 46 Abwicklung mit Hilfe des Querschnittes 48 Arten von Durchdringungen 39 Durchdringung und Höhenebenenverfahren 40 Durchdringung und Mantelebenenverfahren 41 Durchdringung und Parallelebenenverfahren 42 Durchdringung und Pendelebenenverfahren 43, 44, 45 Körperschnitt mit Hilfe der 3. Projektion 38 Körperschnitt mit Hilfe der Durchstoßpunkte 37 kotierte Projektion 8, 11 Kreise 84 L Linienarten 88 Literaturliste 87 Lot 83 M Mantelebenenverfahrens 41 Mittelsenkrechte 83 Mongsche Drehung 18 N Normalebene 32 P Parallele 83 Parallelprojektion 9 Pendelebenenverfahren 29 Perspektive 64 Begriffe 67 Die Höhenübertragung 74 Die perspektive Anlage 75 Bildebene und Augpunkt 76 Grundrißanlage 75 Horizont und Spur 78 Objektgrundriß und Augpunkt 79 Skalierung 76 Spur und Bildebene 77 Elemente der Perspektive 70 Darstellung einer Geraden 71 Darstellung einer im Grundriß beliebigen Geraden 72 Darstellung einer im Raum beliebigen Geraden 73 Darstellung eines Punktes 70 Klappung 69 Konstruktionsverfahren 80 Perspektive aus dem Grundriß 80 Perspektive aus zwei Rissen 80 Übereckperspektive mit Meßpunkten 82 Zentralperspektive mit Distanzpunkten 81 Perspektive bei geneigter Bildebene 66 Übereckperspektive 66 Verzerrung 68 Zentrale Projektionen 65 Zentralperspektive 66 Projektionsstrahlen 9 projizierende Ebene 18 projizierende Gerade 19 Punkt 13 in der Symmetrie- und in der Koinzidenzebene 15 Lage im Raum 14 Umklappung der Bildtafeln 13 R Rampenfluchtpunkt 73 Rechten Winkel dritteln 84 Regelmäßige Vielecke 85 S Schräge Projektionen 50 Senkrechte 83 Senkrechte Axonometrie 62 senkrechte Projektionen 8 Senkrechte Projektionen allgemein 10 Spur 67, 77 Spurgeraden 14 Standebene 67 Strecken 83 Symbole 88 Symmetrieebene 15 T Tangente 84 Tiefenlinie 71 trimetrische Axonometrie 52 trimetrische Darstellungen 52 U Übereckperspektive 8, 66 Umkreis eines Dreiecks 84 V Verkürzungsverhältnisse 51 Verschschwindungsgerade 69 Vielecke 85 W Winkel 83 Winkel ohne Scheitel halbieren 84 Winkel von 30 Grad und 60 Grad konstruieren 84 Z Zeichenebene 69 Zentrale Projektionen 8, 64 Zentralperspektive 8, 66 Zentralprojektion 9 ZIG - ZAG 53 Zweitafelprojektion 12 Seite 66 Index Teil II © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Höhenabweichung 48, 50 Hüllzylinder 17 Hyperbel 3 K Kegel 4, 5, 6 Konjugierte Durchmesser der Ellipse 8 Korbbogenkonstruktion 10 Kugel 17 Kugel in der Perspektive 18 Kugel mit Hilfe der Konstruktion der Umrißellipse 20 Kugel mit Hilfe von Schnittebenen 19 L Lichtart 50 Lichtdiagramm 28 Lichtdreieck 28 Lichtebene 48 Literaturliste s.Skript 1.Semester M Mehrfach - Zentralbeleuchtung 27 N Nebenachse der Ellipse 7 Neigungswinkel 3 P Papierstreifenkonstruktion 11 Parabel 3, 6, 16 Parallelbeleuchtung 27 R Rampenfluchtpunkt 52 Rückenlicht 28, 49, 56 Rytzsche Konstruktion 8, 9 S A Ausbreitungsrichtung der Geraden 48 B Brennpunkte 7 D Diffuse Beleuchtung 27 E Ellipse 3, 4, 5, 7, 14 Endpunkt der Geraden 48 F Faden - oder Gärtnerkonstruktion 12 Fluchtgerade der Ebene 48 Fußpunkt der Lichtquelle 48 Fußpunkt Lichtquelle 58 G Gegenlicht 28, 49 Geradenrichtung 53 H Schattenauffangebene 48 Schattenbild 34 Schattenbild einer beliebigen Geraden 35 Schattenbild einer Fläche 37 Schattenbild einer Geraden 33, 34, 35 Schattenbild einer Geraden auf 36 Schattenbild einer Kugel 42 Schattenbild eines Punktes 30, 31, 32 Schattenbild eines Würfels 38, 39, 40, 41 Schattenlänge 48 Scheitelkrümmungskreiskonstruktion 11 Seitenlicht 28, 49, 54 seitliche Abweichung 48, 50 Spiegelpunkt 22 Spiegelspur 23 Spiegelung 22 T Tangente an den Punkt 7 Tangentenkonstruktion 10 technischer Lichtstrahl 28 W Winkel der einfallenden Lichtstrahlen zum Grundriß 50 Winkeldrehung der Grundrißrichtung des Lichtes zum 50 Z Zentralbeleuchtung 27 Zig - Zag von Gerrit Rietveld 44 Hauptachse der Ellipse 7 Seite 67 Symbole © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Punkte Punkt im Grundriß Punkt im Aufriß Punkt im Seitenriß Schnittpunkt, Durchstoßpunkt, Spurpunkt Mittelpunkt Brennpunkt. Fluchtpunkt Augpunkt P 1, P 2, P 3, ... A, B, C, ... P‚ P ‚‘ P ‚‘‘ S M F 0.0 Geraden Strecken kartesische Koordinaten Spurgeraden Höhenlinien Frontlinien Fallinien g 1, g 2, g 3 ... AB, AC, BC ... x, y, z s 1, s 2, s 3 ... h 1, h 2, h 3 ... v 1, v 2, v 3 ... f 1, f 2, f 3 ... Ebenen Grundriß Aufriß Seitenriß E 1, E 2, E 3 ... π1 π2 π3 Polygone ABC, ABCD ... Länge l Höhe h Radius r Parallele || Winkel α,β,γ 90 Grad - Winkel Linienarten Körperkanten sichtbar Körperkanten sichtbar Körperkanten unsichtbar Körperkanten unsichtbar Konstruktionslinien Konstruktionslinien Ergebnislinien sichtbar Ergebnislinien unsichtbar schwarz. voll 0,25 schwarz. voll 0,15 schwarz. gepunktet 0,35 schwarz. gepunktet 0,25 grün. voll 0,15 grün. gepunktet 0,25 rot. voll 0.15 rot. gepunktet 0.25 Ebenenarten herausgehobene Ebene schraffiert. schwarz Schlagschattenebene gefüllt. rot Körperschattenebene gefüllt. grün Seite 68 Literaturliste © Hochschule München. Architektur Fakultät. Darstellende Geometrie und Architekturperspektive. Teil II Darstellende Geometrie Fucke, Kirch, Nickel Verlag Harri Deutsch, Frankfurt 1989 darstellung Cornelie Leopold Kohlhammer. Architektur 1999 Darstellende Geometrie für konstruierende Berufe Meyer. Heisig. Weber. Hohmann Schroedel.Gehlen Verlag 1975 Geometrie der Architekturzeichnung Einführung in Axonometrie und Perspektive. T. Hilpert Vieweg Verlag Braunschweig 1988 Darstellende Geometrie W.Noli. Teil 1.2 und 3. Selbstverlag. Gießen 1985 Grundlehre Geometrie Begriffe, Lehrsätze, Grundkonstruktionen. Kürpig. Niewiadomski Vieweg Verlag Braunschweig 1992 Darstellende Geometrie Teil 1 und 2. Pumann. Pumann Verlag. Coburg Darstellende Geometrie Walter Wunderlich. Verlag Bibliografisches Institut. Mannheim. 1984 Darstellende Geometrie Band 1 und 2. Fritz Reutter. Verlag G. Braun. Karlsruhe. 1988 Anschauliche Geometrie Hilbert. Cohn Vossen Springer Verlag 2. Auflage 1996 ARCH + 137 Anfänge moderner Raumkonzeption Juni 1997 Darstellende Geometrie Prof. Arno Bonanni. Skriptum des Fachgebietes für Architekturdarstellung und -gestaltung der TU Berlin. Berlin. 1985 Darstellende Geometrie W.Noli. Selbstverlag. Gießen. 1989 Darstellende Geometrie für konstruierende Baugeometrie Berufe Darstellende Geometrie als Zeichen- und KonMeyer. Heisig. Weber. Hohmann struktionshilfe für Architekten und Bauingenieure Schroedel.Gehlen Verlag 1975 I,II Brauner, Heinrich, Kickinger, Walter Entwerfen und Darstellen Wiesbaden, Berlin 1977 Die Zeichnung als Mittel des architektonischen Entwurfs Darstellende Geometrie Roland Knauer Hochschulwissen in Einzeldarstellungen Ernst und Sohn-Verlag. 1991 Graf, Barner Heidelberg 1973 Faszination des Scheins 500 Jahre Geschichte der Perspektive. Darstellende Geometrie Otto Patzelt Klix. Nickel Verlag für Bauwesen GmbH. Berlin 1991 VEB Fachbuchverlag Leipzig 1990 Geometrische Grundlagen der Architektur- Grundlagen der Darstellung Perspektive und perspektives Zeichnen. 2 Bände. Vorlesungsskript der TU München. Prof. Wienands Lehre der Perspektive und ihre Anwendung R.Schmidt. Augustus Verlag. Augsburg 1991 Perspektiven. Projektionen Grundlagen - Anwendungsbeispiele - Übungen Andreas Wieser. Werner Verlag 97 Perspektive Schritt für Schritt. R.Schmidt, Bauverlag 1988 Perspektive und Axonometrie R.Thomae, Kohlhammer 1976 Perspektive MPZ - München 1989 Zeichnen und Darstellende Geometrie K. Henke Universität Stuttgart. Institut für Entwerfen und Konstruieren. Vorlesungsskript. 1994 Zirkel und Lineal Kulturgeschichte des konstruktiven Zeichnens. Jörg Sellenriek Callwey. München 1987 Seite 69
