Die Gaußschen Zahlen - Universität Paderborn

Universität Paderborn
Warburger Str. 100
33098 Paderborn
WS 2007/2008
Seminararbeit zur Zahlentheorie
Die Gaußschen Zahlen
Tatjana Linkin, Svetlana Krez
20. November 2007
INHALTSVERZEICHNIS
1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Primelementzerlegung in den Gaußschen Zahlen
3
3 Anwendung des Zerlegungsgesetzes
6
4 Pythagoräische Tripel
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EINLEITUNG
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Einleitung
Thema dieser Seminarausarbeitung lautet Gaußsche Zahlen. Wir richten
uns nach dem Buch von A.Schmidt (Einführung in die Algebraische Zahlentheorie, Springer Verlag 2007). Unsere Seminararbeit haben wir in drei
Abschnitte aufgeteilt. Im ersten Teil geht es um den Ring der Gaußschen
Zahlen und um die Zerlegung von Primelementen in diesem Ring. Der zweite Teil präsentiert eine wichtige Anwendung des im ersten Teil formulierten
Zerlegungsgesetzes. Der Begriff der pythagoräischen Tripel wird im letzten
Abschnitt erklärt. Die Nummerierung in unserer Ausarbeitung entspricht
der Nummer des Vortrags in der Veranstaltung.
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2
PRIMELEMENTZERLEGUNG IN DEN GAUSSSCHEN ZAHLEN
3
Primelementzerlegung in den Gaußschen Zahlen
In diesem Abschnitt wollen wir uns mit dem Ring der Gaußschen Zahlen
und einigen seiner Eigenschaften beschäftigen. Insbesondere interessiert uns
die Primelementzerlegung in diesem Ring. Das Ziel wird die Formulierung
des Zerlegungsgesetzes in Z [i] sein.
Die Darstellung einer komplexen Zahl sollte dem Leser bekannt sein. Eine
komplexe Zahl der Form a + ib, a, b ∈ Z heißt Gaußsche Zahl. Die Menge
dieser Zahlen ist bezüglich Additon und Multiplikation abgeschlossen und
bildet daher einen Ring. Nämlich den Ring
Z [i] = {a + ib, a, b ∈ Z}
der Gaußschen Zahlen. Wir wissen bereits, dass Z [i] euklidisch ist, mit der
Norm auf Z [i] als euklidische Normfunktion. Insbesondere ist Z [i] faktoriell,
also besitzt jede Nichteinheit ungleich Null, bis auf Einheiten und Reihenfolge, eine eindeutige Zerlegung in ein Produkt irreduzibler Elemente.
Als Erstes wenden wir uns der Einheitengruppe von Z [i] zu. Wir wiederholen
den Begriff der Norm.
Definition 5.1. Für jede komplexe Zahl z = a + ib, a, b ∈ R heißt
N (z) = |z|2 = z z̄ = a2 + b2
die Norm von z. Insbesondere ist die Norm multiplikativ. Betrachtet man
die Norm einer Gaußschen Zahl, so sieht man leicht ein, dass die Norm stets
eine nichtnegative ganze Zahl ist.
Der nächste Satz zeigt uns, wie wir Einheiten in Z [i] bestimmen können.
Satz 5.2. Die Einheiten in Z [i] sind genau die Elemente der Norm 1.
Beweis: Die Behauptung lautet: Z [i]× = {±i, ±1}.
Sei u eine Einheit in Z [i], dann existiert ein v mit uv = 1. Dann gilt
N (uv) = N (u)N (v) = N (1) = 1. Hieraus folgt N (u) = N (v) = 1. Sei
jetzt u ∈ Z [i] mit 1 = N(u) = uū, so ist u eine Einheit.
Setzt man u = a + ib, a, b ∈ Z, so impliziert 1 = N (u) = a2 + b2 , dass
u ∈ {±i, ±1}.
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PRIMELEMENTZERLEGUNG IN DEN GAUSSSCHEN ZAHLEN
4
Nächster wichtiger Punkt dieses Abschnitts ist die Charakterisierung der
Primelemente in Z [i]. Dabei interessiert uns insbesondere, ob eine Primzahl
p ∈ Z auch in Z [i] prim bleibt oder in mehrere Primfaktoren zerfällt.
Bemerkung 5.3. In einem faktoriellen Ring ist jedes irreduzible Element auch
Primelement. Siehe dazu Vortrag 4. über euklidische und faktorielle Ringe.
Lemma 5.4. Sei z ∈ Z [i] mit N (z) = p, wobei p eine Primzahl ist, dann ist
z Primelement in Z [i].
Beweis: Ist z = ab, dann folgt p = N (z) = N (a)N (b). Nach Voraussetzung
ist p eine Primzahl. Dies impliziert N (a) = 1 oder N (b) = 1. Laut
Satz 5.2. ist dann a oder b eine Einheit. Damit ist z irreduzibel und
mit Bemerkung 5.3. folgt, dass z Primelement in Z [i] ist.
Beispiel 5.5. Wegen N (1 + i) = N (1 − i) = 2 sind (1 + i) und (1 − i) nach
dem vorherigen Lemma Primelemente und 2 = (1 + i)(1 − i) ist eine Primelementzerlegung von 2 in Z [i].
Satz 5.6. Sei z ∈ Z [i] Primelement. Dann gilt genau einer der beiden Fälle:
(a) N (z) = p2 für eine Primzahl p, wobei z und p assoziiert sind.
(b) N (z) = z z̄ = p ist eine Primzahl.
Umgekehrt ist jede Primzahl p entweder Primelement in Z [i] oder von der
Form p = z z̄ mit einem Primelement der Norm p.
Beweis: Sei p = z1 · · · zn eine Primelementzerlegung der Primzahl p in Z [i].
Dann gilt
p2 = N (p) = N (z1 ) · · · N (zn ).
Nach Satz 5.2. gilt N (zj ) > 1 für j = 1, . . . , n. Folglich ist n ≤ 2. Im
Fall n = 1 gilt p = z1 und damit ist p ein Primelement. Im Fall n = 2
gilt p = N (z1 ) = z1 z¯1 .
Sei nun z ein Primelement in Z [i]. Dann teilt z die natürliche Zahl
N(z) und deshalb auch eine Primzahl p. Ist dieses p Primelement in
Z [i], dann folgt z und p sind assoziiert und N (z) = N (p) = p2 . Gilt
aber p = z1 z¯1 mit einem Primelement z1 der Norm p, so ist, wegen
der Eindeutigkeit der Primelementzerlegung, z assoziiert zu z1 oder z
assoziiert zu z¯1 , das heißt also z z̄ = N (z) = N (z1 ) = p. Dies zeigt
dann (b).
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PRIMELEMENTZERLEGUNG IN DEN GAUSSSCHEN ZAHLEN
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Der folgende Satz zeigt uns, wann welcher Fall eintritt.
Satz 5.7. Eine Primzahl p ist Primelement in Z [i] genau dann, wenn p kongruent 3 modulo 4 ist.
Beweis: Wir setzen p 6= 2 voraus, weil 2 nach Beispiel 5.5 eine Primelementzerlegung in Z [i] besitzt. Und wir nehmen an, dass p kein Primelement
ist. Mit dem eben bewiesenen Satz hat p die Form p = z1 z¯1 für ein
Primelement z1 . Nun setzen wir z1 = a + ib, wobei a und b ganze
Zahlen sind, dann folgt p = a2 + b2 . Aufgrund der oben gemachten
Annahme, müssen wir jetzt p ≡ 3 mod 4 ausschließen. Uns ist bekannt,
dass p eine ungerade Primzahl ist, welche als Summe zweier Quadrate
dargestellt wird. Das bedeutet, dass eine der Zahlen a, b eine gerade
Zahl ist und die andere eine ungerade. Quadrat einer geraden ganzen
Zahl ist immer kongruent 0 modulo 4 und Quadrat einer ungeraden
ganzen Zahl ist immer kongruent 1 modulo 4.
Hieraus folgt
p ≡ 1 mod 4.
Dies zeigt eine Richtung. Ist p ≡ 1 mod 4, so existiert nach dem 1. Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz eine ganze Zahl
x mit x2 ≡ −1 mod p. Dann gilt p | (x2 + 1) = (x + i)(x − i), aber p
teilt keine der Faktoren. Also ist p kein Primelement.
Als Zusammenfassung der letzten beiden Sätze erhalten wir das Zerlegungsgesetz in Z [i].
Zerlegungsgesetz in Z [i] 5.8. Eine Primzahl p ∈ Z ist in Z [i]
(a) Produkt zweier assoziierter Primelemente
⇔ p = 2,
(b) Produkt zweier nicht assoziierter Primelemente ⇔ p ≡ 1 mod 4,
(c) Primelement
⇔ p ≡ 3 mod 4.
Beispiel 5.9. Man bestimme die Primelementzerlegung der Zahl 30 in Z [i].
Lösung: Als Erstes Zerlegung der Zahl 30 in Z:
30 = 2 · 3 · 5.
Danach bestimme für jeden Primfaktor die Zerlegung in Z [i]. Die Zerlegung
der Zahl 2 haben wir in Beispiel 5.5 gesehen. Die Zahl 3 ist in Z [i] irreduzibel,
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ANWENDUNG DES ZERLEGUNGSGESETZES
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besitzt daher die triviale Zerlegung, 3 = 3 · 1. Der Faktor 5 lässt sich in Z [i]
als Produkt der Zahlen (2+i) und (2−i) darstellen. Somit sieht die Zerlegung
der Zahl 30 in Z [i] wie folgt aus
30 = (1 + i)(1 − i) · 3 · (2 + i)(2 − i).
3
Anwendung des Zerlegungsgesetzes
Satz 5.9. Eine natürliche Zahl n ist genau dann Summe zweier Quadratzahlen, wenn in ihrer Primfaktorzerlegung jede Primzahl kongruent 3 modulo
4 in gerader Vielfachheit vorkommt.
Beweis: Eine natürliche Zahl ist genau dann Summe zweier Quadrate, wenn
sie als Norm einer Gaußschen Zahl z ∈ Z[i] vorkommt.
Sei nun n = N (z) und z = z1 · z2 · .. · zr eine Primelementzerlegung
von z in Z[i].
⇒ n = N (z) = N (z1 )·N (z2 ) · .. · N (zr ). Nach Satz 5.5. und dem Zerlegungsgesetz 5.7., für ein Primelement zj ∈ Z[i], j = 1, ..., r gilt:
N (zj ) = 2, eine Primzahl kongruent 1 modulo 4 oder das Quadrat
einer Primzahl kongruent 3 modulo 4.
lr+1
· .. · plnn eine Primelementzerlegung von n
Sei nun n = pl11 · .. · plrr · pr+1
mit l1 , .., lr ungeraden Exponenten und lr+1 , .., ln geraden Exponenten.
⇒pi 6≡ 3(mod4) für alle i = 1, .., r.
lr+1
· ... · plnn )
Dann ist n = (p1 · ... · pr ) (pl11 −1 · ... · plrr −1 )(pr+1
|
{z
}
(k)2
d.h
n = (p1 · ... · pr ) · (k)2
Nach dem Zerlegungsgesetz 5.7. finden wir Primelemente zj ∈ Z[i] mit
N (zj ) = pj für j = 1, ..., r ⇒ n = N (z) mit z = z1 · z2 · ... · zr · k
Damit ist n als Norm einer Gaußschen Zahl z als Summe zweier Quadrate darstellbar.
4
Pythagoräische Tripel
Definition 5.10. Ein Tripel ganzer Zahlen (a, b, c) mit a2 + b2 = c2 heißt
pythagoräisches T ripel. Ein solches Zahlentripel nennt man primitiv, wenn
a, b, c > 0, ggT (a, b, c) = 1 und a gerade ist.
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PYTHAGORÄISCHE TRIPEL
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Bemerkung 5.11.
1. Mit (a, b, c) sind auch die Tripel (±a, ±b, ±c), und für jedes d ∈ Z auch
(da, db, dc) pythagoräische Tripel.
2. Im folgendem nehmen wir an, dass a, b, c > 0 sind
3. a und b sind nicht gleichzeitig ungerade und c ist ungerade
Beweis: 3) Annahme: Seien a, b beide ungerade mit a = 2k+1 und b = 2l+1
mit k, l ∈ N ⇒ a2 + b2 = (2k + 1)2 +(2l + 1)2 =4k2 +4k+1+4l2 +4l+1
= 2(2k 2 +2k+2l2 +2l+1) ⇒ c ist eine garade Zahl.
Sei nun c = 2m eine garade Zahl mit m ∈ N ⇒ c2 = (2m)2 = 4m2 .
d.h.
2(2k 2 + 2k + 2l2 + 2l + 1) = 4m2
Wenn man nun die Gleichung durch 2 kürzt bekommt man
2k 2 + 2k + 2l2 + 2l + 1 = 2m2
dies ist ein Widerspruch, denn auf der linken Seite steht eine ungerade
Zahl und rechts eine gerade Zahl. Das heißt a und b können nicht
gleichzeitig ungerade sein.
Wir haben die Gleichung a2 + b2 = c2 gegeben, indem wir die Gleichnung
durch c2 teilen, werden wir zunächst auf die Frage nach den rationalen
Lösungen der Gleichung X 2 + Y 2 = 1 geführt. Dies
wir suchen
2 bedeutet
2
alle Punkte auf der Einheitskreislinie {(x, y) ∈ Q x + y = 1} . Wir interpretieren diese Punkte als komplexe Zahlen. Die Menge socher komplexen
Zahlen ist abgeschloßen unter Addition, Multiplikation und Division und
bildet daher einen Körper. Dieser heißt K örper der rationalen Gaußschen
Zahlen und wird mit Q[i] = {x + iy |x, y ∈ Q} bezeichnet.
Satz 5.12.(Hilberts Satz 90 für Q[i]/Q). Eine rationale Gaußsche Zahl z ∈
Q[i] hat genau dann die Norm 1, wenn sie von der Gestalt
z = y · y −1
für ein von Null verschiedenes y ∈ Q[i] ist.
Beweis: Ist z von der angegebenen Gestalt, so gilt
N (z) = z · z =
y y
· = 1.
y y
4
PYTHAGORÄISCHE TRIPEL
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i
Ist z = −1, so gilt z = −i
.
Ist z =
6 −1, so gilt mit N (z) = 1
z(1 + z) = z + z · z = 1 + z.
Für y = 1 + z hat z die gewünschte Eigenschaft.
Jetzt sind wir in der Lage das Hauptergebnis zu formulieren, welches eine
vollständige Auflistung aller pythagoräischen Zahlentripel beinhaltet.
Satz 5.13. Ist (a, b, c) ein primitives pythagoräisches Tripel, so existieren
eindeutig bestimmte ganze Zahlen A > B > 0, ggT (A, B) = 1, A und B
nicht beide ungerade mit
a = 2AB, b = A2 − B 2 , c = A2 + B 2 .
(1)
Umgekehrt ist für jedes solche Paar A, B das Tripel (a, b, c) ein primitives
pythagoräische Tripel.
Beweis: Seien A, B mit angegebenen Eigenschaften gegeben.
1. Dann rechnet man die Gleichung a2 + b2 = c2 nach.
d.h. (2AB)2 + (A2 − B 2 )2 = (A2 + B 2 )2
2. a, b, c > 0, da A > B > 0
3. Es bleibt zu zeigen, dass ggT (a, b, c) = 1 ist. Dazu nehmen wir
an, dass es eine Primzahl p gibt mit p |a , p |b und p |c .
⇒ p |(b + c) d.h. es gilt p 2A2
⇒ p |(c − b) und es gilt p 2B 2 . Wegen ggT (A, B) = 1 verbleibt
nur die Möglichkeit, dass p = 2 ist. Aber A und B sind nicht beide
ungerade also ist c ungerade. Dies ist ein Widerspruch, dass p |c .
⇒ ggT (a, b, c) = 1.
Sei nun (a, b, c) ein primitives pythagoräische Tripel. Unser Ziel ist
eindeutig bestimmte ganze Zahlen zu finden A, B mit:
1. A > B > 0
2. ggT (A, B) = 1
3. A und B beide nicht ungerade
4
PYTHAGORÄISCHE TRIPEL
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Sei z = cb + ac i. Dann gilt N (z) = 1. Nach Satz 5.12. existieren α, β ∈ Q
mit
b a
α + βi
α2 − β 2
2αβ
+ i=z=
= 2
+ 2
i.
(2)
2
c c
α − βi
α +β
α + β2
Da ac 6= 0 ⇒ α, β 6=0. Durch geeignete Multiplikation von α und β
mit einer rationalen Zahl erreicht man, dass α und β ganzzahlig, teilerfremd und nicht negativ sind. Es bleibt zu zeigen, dass α > β und
beide nicht ungerade sind. Da cb > 0 ⇒ α > β. Um zu zeigen, dass
α und β beide nicht ungerade sind, nehmen wir an sie wären beide
ungerade mit α = 2k + 1 und β = 2l + 1 k, l ∈ N
2αβ
2(2k + 1)(2l + 1)
2(4kl + 2k + 2l + 1)
=
=
α2 + β 2
(2k + 1)2 + (2l + 1)2
2(2k 2 + 2l2 + 2k + 2l + 1)
Dieser Bruch ist durch 2 kürzbar und danach unkürzbar.
Wegen ac = α2αβ
2 +β 2 folgt hieraus a = αβ und dies ist ein Widerspruch,
denn a ist als gerade vorausgesetzt. Somit haben wir zwei ganze Zahlen
gefunden, die uns gewünschte Eingeschaften erfüllen.
4
PYTHAGORÄISCHE TRIPEL
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Wenn wir jetzt in (2) für α = A und für β = B setzen, dann bekommen
wir a, b und c wie in (1).
Schließlich bleibt noch die Eindeutigkeit von A und B zu zeigen.
Dazu nehmen wir an, dass es noch ein à mit gegebenen Eigenschaften
gibt. D.h. b + c = 2Ã und b + c = 2A ⇒ A = Ã.
Analog zeigt man die Eindeutigkeit von B.