Einführung in die Mathematik (V orkurs 1

Einführung in die Mathematik (Vorkurs1 )
Wintersemester 2008/09
Dr. J. Jordan
Institut für Mathematik
Universität Würzburg
Germany
1 Modulbezeichnung 10-M-VKM
1
Inhaltsverzeichnis
1 Aussagen und Beweise
3
1.1
Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Beweistechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Aufgabentypen
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Mengen und Abbildungen
11
2.1
Mengen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3 Vollständige Induktion
22
3.1
Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2
Das Prinzip der vollständigen Induktion
23
4 Zahlenbereiche
. . . . . . . . . . . . .
27
2
1 Aussagen und Beweise
1.1 Aussagenlogik
Die formale Logik stellt die Regeln bereit, nach denen mathematische Aussagen
schlüssig und eindeutig formuliert und begründet (bewiesen) werden können.
Aussagen
Mathematische Aussagen sind immer genau eines von beiden, wahr oder falsch.
Jede mathematische Aussage hat also einen eindeutig bestimmten Wahrheits-
wert,
w
(für wahr) oder
f
1
(für falsch) .
Aussagen werden oft auch mit Groÿbuchstaben
A, B, C . . .
bezeichnet. Um
ein paar Beispiele diskutieren zu können, benutzen wir jetzt schon ein paar Be-
2
grie nämlich natürliche Zahlen, gerade Zahlen und Primzahlen
die aus der
Schule bekannt sein sollten, aber später nochmal exakt mathematisch eingeführt
werden.
Beispiel 1.1 Hier nun ein paar Beispiele zu Aussagen:
A: 9 ist eine Primzahl
B: Jede Primzahl ist ungerade
C: 2 ist eine Primzahl
D: Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge
A ist oenbar falsch (denn 3·3 = 9). In der Tat ist 2 eine Primzahl. Also
ist Aussage B falsch und Aussage C richtig. Ein Primzahlzwilling ist ein Paar
aus Primzahlen p, q , so dass p−q = 2 ist. Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge
3
gibt oder eben nur endlich viele ist unbekannt . Trotzdem, D ist entweder wahr
Aussage
oder falsch und damit eine Aussage. Der Satz Wie ist das Wetter heute ist keine
mathematische Aussage, weil sein Wahrheitsgehalt weder richtig noch falsch ist.
1 Die Logik der Mathematik ist somit zweiwertig. Es gibt auch mehrwertige oder sogar unscharfe (Fuzzy-)Logik, die in der Technik eine gewisse Rolle spielt (Fuzzy-Regelung . . . );
diese ist aber zur Grundlegung der Mathematik eher ungeeignet (. . . obwohl es inzwischen
schon Gebiete wie Fuzzy-Topologie, Fuzzy-Analysis, Fuzzy-Wahrscheinlichkeitstheorie
usw. gibt!).
2 Der Vollständihgkeit halber: Gerade Zahlen denieren wir als die natürlichen Zahlen, welche
durch zwei Teilbar sind. Primzahlen denieren wir als diejenigen natürlichen Zahlen welche
ungleich eins sind und nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind.
3 das ist übrigens ein seit langem ungelöstes Problem
3
1 Aussagen und Beweise
Operationen mit Aussagen
Aus einfachen Aussagen gewinnt man durch logische Verknüpfungen komplizier-
4
tere Aussagen .
(a) Konjunktion (und). Wir schreiben
A und C
A∧C :
Beispiel: Seien
die Aussage
A ∧ B.
die Aussagen aus Beispiel 1.1. Dann bedeutet
9 ist eine Primzahl und
2
ist eine Primzahl
Das ist eine neue Aussage (und zwar eine falsche). Der Wahrheitswert
der neuen Aussage
A∧B
ist durch folgende Tabelle (eine sogenannte
Wahrheitstafel) deniert:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∧B
w
f
f
f
Durch die folgende Wahrheitstafel werden weitere logische Verknüpfungen
deniert.
A B
w w
w f
f w
f f
(b) Disjunktion
¬A A ∧ B
f
w
f
f
w
f
w
f
A∨B
A∨B
w
w
w
f
A⇒B
w
f
w
w
A⇔B
w
f
f
w
(oder)
Bemerkung: Das logische oder,
∨, ist nicht, wie meist in der Umgangs-
sprache, als entweder-oder gemeint
5
, sondern als einschlieÿendes Oder.
4 Die Aussagenlogik ist kein reines Konstrukt der Mathematik; sie existiert in der Natur! In
der Schaltungstechnik werden logische Operationen durch geeignete Schaltkreise realisiert.
Dabei bedeutet A wahr bzw. A falsch:
A wahr: Der
A falsch: Der
A-Schalter ist geschlossen, d.h. Strom kann
A-Schalter ist oen, d.h. Strom kann nicht
ieÿen.
ieÿen.
Durch eine Reihenschaltung von mehreren Schaltern lassen sich damit Und-Verknüpfungen
realisieren, durch eine Parallelschaltung Oder-Verknüpfungen. Die Und, Oder und NichtElemente können mittels Halbleitertechnik realisiert werden; damit können binäre logische
Aussagen im Prinzip auch experimentell überprüft (besser: erfahren) werden.
5 Ein ausschlieÿendes Oder (entweder oder) kann durch
A∆B := (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B).
denieren.
4
1 Aussagen und Beweise
C1 :
Beispiel: Betrachte die Aussagen
Aussage
Zahl
2
C2 :
Die Zahl
2
Die Zahl
2
ist gerade und die
ist eine Primzahl. Die Aussage
C1 ∨ C2 :
Die
ist gerade oder eine Primzahl ist auch wahr, da mindestens eine
C1 , C2
der beiden Aussagen
wahr ist. Tatsächlich ist sowohl
C1
wie
C2
wahr.
(c) Negation (nicht
A): ¬A.
Beispiel: Die Negation von
C ist ¬C : 2 ist keine Primzahl. Die Negation
von Alle Studenten wissen das es unendliche Primzahlen gibt ist Es gibt
mindestens einen Studenten, welcher nicht weiÿ, das es unendlich viele
Primzahlen gibt. Die Aussage
¬B
ist Nicht jede Primzahl ist ungerade.
Achtung: ein typischer Anfängerfehler wäre
¬B
mit Jede Primzahl ist
gerade gleichzusetzen. Das kann schon deshalb nicht richtig sein, da ja
entweder
B
oder
¬B
richtig sein muss.
A,
(d) Implikation (A impliziert B, aus
Bemerkung: Eine Implikation
folgt
A⇒B
B ): A ⇒ B
ist stets wahr, wenn
A
falsch ist!
Aus einer falschen Aussage kann man alles folgern!
Beispiel: Die verknüpfte Aussage
A ⇒ D :
Ist 9 eine Primzahl dann
gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge ist also wahr, obwohl wir nicht
wissen, ob die Aussage
D
wahr ist.
(e) Äquivalenz ( A ist äquivalent zu
Beispiel: Sei
q
B , A
genau dann, wenn
B ): A ⇔ B
eine natürliche Zahl. Die Aussage q ist eine gerade Prim-
zahl und die Aussage q ist
wahr (nämlich wenn
q
2
sind äquivalent. Sie sind entweder beide
tatsächlich 2 ist) oder beide falsch.
Mit Hilfe der Wahrheitstafel kann man nun Regeln verizieren. Z.B. stellt
man fast, dass die Aussage
A∧B
genau dann wahr ist, wenn
Die sogenannte Kommutativität von
A B
w w
w f
f w
f f
∧
B∧A
ist also durch die Tabelle
A∧B
w
f
f
f
B∧A
w
f
f
f
gezeigt. Analog geht man bei der Verikation weiterer Regeln vor.
Regel 1.2
(a) Kommutativität:
A∧B ⇔B∧A
A ∨ B ⇔ B ∨ A.
5
wahr ist.
1 Aussagen und Beweise
(b) Assoziativität:
A ∧ (B ∧ C) ⇔ (A ∧ B) ∧ C
A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C.
(c) Distributivität:
A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).
(d) Doppelte Negation:
¬(¬A) ⇔ A.
(e) de Morgansche Regeln:
¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B.
(f ) Kontraposition:
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A).
(g) Syllogismus:
((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C).
1.2 Beweistechniken
Gegeben seien zwei Aussagen
Aussage
A
die Aussage
wahr ist falls
A
B
A
und
B.
Man will nun beweisen, dass aus der
folgt. Wir müssen also zeigen, dass die Aussage
B
wahr ist.
q eine natürliche Zahl. Die Aussage A sei q ist eine gerade
B sei q ist kleiner als 5. Wir wollen zeigen, dass die Aussage
q eine gerade Primzahl, so ist sie kleiner als 5 wahr ist.
Beispiel: Sei
Primzahl und
A⇒B:
Ist
Man kann nun auf drei Weisen vorgehen:
•
Direkter Beweis: Man nehme an dass
Kette logischer Schlüsse, dass
Beispiel: Aus
A
B
A wahr ist und folgere durch eine
wahr ist.
folgt zunächst die Aussage
C : q
ist
2,
denn
2
ist eine
Primzahl und jede andere gerade Zahl ist durch zwei teilbar und daher
keine Primzahl. Aus
C
widerum folgt
6
B,
denn
2
ist kleiner als
5.
1 Aussagen und Beweise
•
Beweis durch Kontraposition: Hier nutzt man, die Kontrapositionsre-
A ⇒ B genau dann wahr ist, wenn ¬B ⇒ ¬A
B falsch ist und versuche, wieder durch
Schlüsse, zu zeigen, dass dann auch A falsch ist.
gel, d.h. die Tatsache, dass
wahr ist. Wir nehmen also an dass
eine Kette logischer
Beispiel: Ist
ungleich
2.
q
gröÿer oder gleich
(Es gelte also
¬B ),
q
dann ist
Da alle Primzahlen auÿer zwei ungerade sind, ist
oder keine Primzahl. Es gilt also
•
5
q
auch
ungerade
¬A.
A ⇒ B äquivalent zu ¬A ∨ B
ist. Die Negation dazu ist wiederum A ∧ ¬B . Um nun zu zeigen, dass
A ⇒ B wahr ist, zeigt man nun, dass A ∧ ¬B falsch ist.
Indirekter Beweis: Hier nutzt man, dass
Sei
q
eine gerade Primzahl gröÿer oder gleich 5. Als gerade Zahl ist
Vielfaches von
2
q
ein
und damit keine Primzahl. Ein Widerspruch.
Eine weitere wichtige Beweistechnik ist die Vollständige Induktion. Dazu
kommen wir aber erst in der kommenden Woche.
1.3 Quantoren
Mathematische Aussagen hängen oft von Variablen ab. Zum Beispiel hängt die
Aussage
A(n) : n
von der Variable
n
ist gröÿer als
2n
ab. Dabei sind die Variablen meist durch Annahme eines
gewissen Denitionsbereiches eingeschränkt. In obigem Beispiel etwa, sei
beliebige natürliche Zahl. Wir nehmen hier schon mal die Bezeichnung
für
n
n eine
n∈N
aus den natürlichen Zahlen vorweg. Wir schreiben
∀n ∈ N : A(n)
statt Für alle
n
gilt die Aussage
A(n).
Wir schreiben
∃n ∈ N : A(n)
statt Es existiert ein
n,
so dass die Aussage
ist der sogenannte Allquantor
A(n)
gilt. Die Symbole
In obigem Beispiel ist
bzw.
∃
bzw. Existenzquantor.
Beispiel 1.3 Die folgenden Aussagen seien für ganze Zahlen
•
∀
n
bzw.
m
erklärt.
A(n) für alle natürlichen Zahlen n falsch. Wir könn-
ten also schreiben
∀n ∈ N : ¬A(n).
7
1 Aussagen und Beweise
•
B(n) die Aussage n2 > n. Für gewisse n
für n = 3). Wir können also schreiben
Sei nun
(etwa
ist diese Aussage wahr
∃n ∈ N : B(n).
Beachten Sie, dass bei einer Negation einer Aussage die Quantoren
∀
und
∃
ihre Rollen vertauschen, d.h. es gilt
¬ (∀n ∈ N : A(n)) ⇔ ∃n ∈ N : ¬A(n).
Oder in Worten ausgedrückt: Ist
n,
mindestens ein
so dass
A(n)
A(n)
nicht für alle
n
richtig, dann gibt es
falsch ist. Analog gilt
¬ (∃n ∈ N : A(n)) ⇔ ∀n ∈ N : ¬A(n).
Beispiel 1.4 Die Aussage
chen Zahlen
n
Die Aussage
so dass
m
und
D:
n > m
C(n, m) n
ist gröÿer als
m
hängt von den natürli-
ab.
m
Für jede natürliche Zahl
gibt es eine natürliche Zahl
n
kann man abkürzend schreiben
D : ∀m ∈ N ∃n ∈ N : C(m, n).
Wir stellen zunächst fest, dass
D
etwas völlig anderes ist wie
E : ∃n ∈ N ∀m ∈ N : C(m, n).
In Worten: Es gibt eine natürliche Zahl
die Ungleichung
n>m
m
so dass für jede natürliche Zahl
n
gilt. Man kann also Existenzquantor und Allquantor
nicht einfach vertauschen.
Aussage
von
D.
D ist wahr, Aussage E
ist falsch.
E
ist aber auch nicht die Negierung
Die ergibt sich durch
¬D : ∃m ∈ N ∀n ∈ N ¬C(m, n).
In Worten: Es existiert eine natürliche Zahl
n
die Ungleichung
n≤m
m
so dass für jede natürliche Zahl
gilt.
Warnung: Die Symbole
∧, ∨, ¬, ⇒, ⇔, ∀
und
∃
sind oft sehr nützlich, et-
wa wenn man verschachtelte logische Ausdrücke negieren will. Keinesfalls sollten sie aber im Sinne stenographischer Abkürzungen in einem mathematischen
Text (z.B. bei der Bearbeitung von Übungsblättern, Klausuraufgaben oder Bachelorarbeiten) verwendet werden. Ein mathematischer Text sollte immer aus
vollständigen Sätzen bestehen.
8
1 Aussagen und Beweise
1.4 Aufgabentypen
Fast alle Übungsaufgaben lassen sich mit einer der drei folgenden Fragetypen
formulieren.
•
Beweisen Sie: aus
A
folgt
B:
Dies ist die Standardsitutaion, wie sie in Abschnitt beschrieben ist.
•
Beweisen Sie, dass
A
und
B
äquivalent sind:
Um eine Äquivalenz zu zeigen, muÿ man beide Implikationen
B⇒A
Beispiel 1.5 Wir beweisen, dass die Aussagen
Aussage
Ist
A⇒B
und
zeigen.
B : n2
A: n
ist gerade und die
ist gerade äquivalent sind. Zunächst zeigen wir
n
gerade, so gibt es eine natürliche Zahl
2
2
auch n = 2 · 2k gerade.
k
so dass
n = 2k .
A ⇒ B:
Damit ist
B ⇒ A. Hier probiern wir einen indirekten Beweis:
Wir nehmen an n ist nicht gerade, also ungerade. Dann gibt es eine na2
türliche Zahl k so dass n = 2k − 1. Dann ist n = 4k(k − 1) + 1 und das ist
ungerade. Eigentlich haben wir also ¬A ⇒ ¬B gezeigt. Wir wissen aber
schon, dass das Äquivalent zu B ⇒ A ist (Kontraposition).
Nun zeigen wir
Beispiel 1.6 Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
G: Auÿer der 2 läÿt sich jede gerade natürliche Zahl als die Summe
zweier Primzahlen schreiben
H: Alle natürlichen Zahlen, welche gröÿer als 5 sind, lassen sich als
Summe dreier Primzahlen schreiben
Bemerkung: Aussage
6
G
ist mal wieder eine sehr alte unbewiesene Ver-
mutung . Trotzdem können Sie zeigen, dass Aussage
G
und Aussage
H
äquivalent sind (Versuchen Sie es).
•
Beweisen oder Widerlegen Sie Aussage
A:
in Übungsblättern und
Klausuren werden Sie heug mit einer Aussage konfrontiert, von der Sie
7
zunächst nicht wissen ob sie wahr oder falsch ist . Zunächst sollten Sie
schauen ob Sie die Aussage schnell mit einem einfachen Gegenbeispiel
widerlegen können. Falls ja, dann ist die Aufgabe gelöst, denn ein Gegenbeispiel ist ein Beweis, nämlich dafür, dass eine Aussage falsch ist.
Beispiel: Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Für jede
natürliche Zahl
m
gibt es eine natürliche Zahl
n
so dass
n + m = nm
6 Die sogenannte Goldbachsche Vermutung. Seit 1742 haben Mathematiker vergeblich versucht sie zu bewiesen.
7 Im Beruf und in der Forschung ist das der Normalfall. Wenn man schon weiÿ ob die Aussage
falsch oder wahr ist, würde man Sie nicht fragen
9
1 Aussagen und Beweise
Wer es probiert wird schnell ein Gegenbeispiel nden. Die richtige Antwort
m = 1 gibt
n + 1 > n · 1. ist also: Die Aussage ist falsch. Z.B. für
denn für jede natürliche Zahl
n
gilt
es kein solches
n,
m
n = 2.
Achtung: Ein Beispiel ist kein Beweis! Für gewisse natürliche Zahlen
gibt es ein
n
so dass
n + m = nm.
Z.B. für
m = 2
wähle man
Dieses Beispiel liefert aber keinerlei Erkentnis darüber, ob obige Aussage
wahr oder falsch ist.
10