2 Beweistechniken

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2 Beweistechniken
Direkter und indirekter Berweis
Gegeben seien zwei Aussagen
Aussage
A
die Aussage
wahr ist falls
A
B
A
und
B.
Man will nun beweisen, dass aus der
folgt. Wir müssen also zeigen, dass die Aussage
B
wahr ist.
q eine natürliche Zahl. Die Aussage A sei q ist eine gerade
B sei q ist kleiner als 5. Wir wollen zeigen, dass die Aussage
q eine gerade Primzahl, so ist sie kleiner als 5 wahr ist.
Beispiel: Sei
Primzahl und
A⇒B:
Ist
Wir probieren drei verschiedenen Ansätze:
•
Direkter Beweis: Man nehme an dass
Kette logischer Schlüsse, dass
A
Beispiel: Aus
B
A wahr ist und folgere durch eine
wahr ist.
folgt zunächst die Aussage
C : q
ist
2,
denn
2
ist eine
Primzahl und jede andere gerade Zahl ist durch zwei teilbar und daher
keine Primzahl. Aus
•
C
widerum folgt
B,
denn
2
ist kleiner als
5.
Beweis durch Kontraposition: Hier nutzt man, die Kontrapositionsre-
gel, d.h. die Tatsache, dass
A⇒B
genau dann wahr ist, wenn
B
wahr ist. Wir nehmen also an dass
¬B ⇒ ¬A
falsch ist und versuchen, wieder
durch eine Kette logischer Schlüsse, zu zeigen, dass dann auch
A
falsch
ist.
Beispiel: Ist
ungleich
2.
q
gröÿer oder gleich
(Es gelte also
¬B ),
dann ist
Da alle Primzahlen auÿer zwei ungerade sind, ist
oder keine Primzahl. Es gilt also
•
5
q
q
auch
ungerade
¬A.
Widerspruchsbeweis: Hier nutzt man, dass A ⇒ B äquivalent zu ¬A ∨
B ist. Die Negation dazu ist wiederum A ∧ ¬B . Um nun zu zeigen, dass
A ⇒ B wahr ist, zeigt man nun, dass A ∧ ¬B falsch ist.
Sei
q
eine gerade Primzahl gröÿer oder gleich 5. Als gerade Zahl ist
Vielfaches von
2
q
ein
und damit keine Primzahl. Ein Widerspruch.
Eine weitere wichtige Beweistechnik ist die Vollständige Induktion. Dazu
kommen wir aber erst in der kommenden Woche.
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2 Beweistechniken
Aufgabentypen
Viele Übungsaufgaben lassen sich mit einer Kombination der drei folgenden
Fragetypen formulieren.
•
Beweisen Sie: aus
A
folgt
B:
Dies ist die Standardsitutaion, wie sie in Abschnitt 2 beschrieben ist.
•
Beweisen Sie, dass
A
und
B
äquivalent sind:
Um eine Äquivalenz zu zeigen, muÿ man beide Implikationen
B⇒A
A⇒B
und
zeigen.
Beispiel 2.1 Wir beweisen, dass die Aussagen
Aussage
B : n2
A: n
ist gerade und die
ist gerade äquivalent sind. Zunächst zeigen wir
A ⇒ B:
gerade, so gibt es eine natürliche Zahl k so dass n = 2k . Damit ist
n2 = 2 · 2k 2 gerade.
Nun zeigen wir B ⇒ A. Hier probieren wir einen indirekten Beweis:
Wir nehmen an, n ist nicht gerade, also ungerade. Dann gibt es eine na2
türliche Zahl k , so dass n = 2k − 1. Dann ist n = 4k(k − 1) + 1 ungerade.
Eigentlich haben wir also ¬A ⇒ ¬B gezeigt. Wir wissen aber schon, dass
das Äquivalent zu B ⇒ A ist (Kontraposition).
Ist
n
auch
Beispiel 2.2 Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
G: Auÿer der 2 läÿt sich jede gerade natürliche Zahl als die Summe
zweier Primzahlen schreiben
H: Alle natürlichen Zahlen, welche gröÿer als 5 sind, lassen sich als
Summe dreier Primzahlen schreiben
G ist eine sehr alte unbewiesene Vermutung1 . Trotzzeigen, dass Aussage G und Aussage H äquivalent sind
Bemerkung: Aussage
dem können Sie
(Versuchen Sie es).
•
Beweisen oder widerlegen Sie Aussage
A:
in Übungsblättern und
Klausuren werden Sie häug mit einer Aussage konfrontiert, von der Sie
zunächst nicht wissen ob sie wahr oder falsch ist. Zunächst sollten Sie
schauen, ob Sie die Aussage schnell mit einem einfachen Gegenbeispiel
widerlegen können. Falls ja, dann ist die Aufgabe gelöst, denn ein Gegenbeispiel ist ein Beweis, nämlich dafür, dass eine Aussage falsch ist.
Beispiel: Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Für jede
natürliche Zahl
m
gibt es eine natürliche Zahl
n
so dass
n + m = nm
Wer es probiert wird schnell ein Gegenbeispiel nden. Die richtige Antwort
ist also: Die Aussage ist falsch. Z.B. für
1 Die sogenannte
m=1
gibt es kein solches
n,
Goldbachsche Vermutung. Seit 1742 haben Mathematiker vergeblich ver-
sucht sie zu bewiesen.
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2 Beweistechniken
n gilt n + 1 > n · 1. Achtung: Ein Beispiel
ist kein Beweis! Für gewisse natürliche Zahlen m gibt es ein n so dass
n + m = nm. Z.B. für m = 2 wähle man n = 2. Dieses Beispiel liefert aber
denn für jede natürliche Zahl
keinerlei Erkentnis darüber, ob obige Aussage wahr oder falsch ist.
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