Skript zu Kapitel 6

6 Relationen
Seien M und N Mengen.
M × N . Wir schreiben:
Eine Teilmenge
R ⊂ M ×N
heiÿt auch Relation auf
x ∼ y :⇔ (x, y) ∈ R.
Ein wichtiges Beispiel haben wir schon kennengelernt. Ist nämlich
eine Abbildung, so ist der Graph
Γf ⊂ M × N
f :M →N
eine Relation.
In der Praxis werden nur Relationen mit zusätzlichen Eigenschaften von In-
M = N zu betrachten.
In diesem Fall spricht man meist von einer Relatione auf M (statt auf M × M ).
teresse sein. Für unsere Zwecke genügt es den Spezialfall
Noch spezieller werden wir in den ersten Semestern meist von Äquivalenzrelationen oder Ordnungsrelationen reden. Dazu denieren wir zunächst:
Denition 6.1
Eine Relation auf
M
heiÿt
•
reexiv, falls für jedes x ∈ M
•
symmetrisch, falls x ∼ y auch y ∼ x impliziert.
•
antisymmetrisch, falls x ∼ y und y ∼ x die Beziehung x = y impliziert.
•
transitiv, falls x ∼ y und y ∼ z auch x ∼ z impliziert.
gilt:
x∼x
Ist eine Relation reexiv, symmetrisch und transitiv, so nennt man sie
lenzrelation. Wir lesen x ∼ y
als x
ist äquivalent zu
y
bezüglich
Relation reexiv, antisymmetrisch und transitiv, so nennt man sie
relation.
Beispiel 6.2
Es sei
genau dann wenn
x
M
Äquiva-
R.
Ist eine
Ordnungs-
die Menge der Tage des Jahres 2010. Sei zunächst
und
y
x∼y
der gleiche Wochentag sind. Zum Beispiel ist der
13.10.10 mit dem 20.10.10 in Relation, da beide Tage Dienstage sind. Anders
ausgedrückt besteht
R
aus den Paaren
{((13.10.10), (20.10.10)) , ((13.10.10), (27.10.10)) , . . . } ⊂ M × M
Welche der oben genannten Eigenschaften erfüllt diese Relation?
Beispiel 6.3
M die Menge der Tage des Jahres 2010. Nun sei x ∼ y
x vor oder gleich y ist. Zum Beispiel ist 13.10.10 mit 20.10.10
Wieder sei
genau dann wenn
in Relation, da der 13.10.10 vor dem 20.10.10 ist. Welche der oben genannten
Eigenschaften erfüllt diese Relation?
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6 Relationen
Beispiel 6.4
sind also
und
b
a
Betrachte
und
b
M =N
R = {(a, b) ∈ N × N | a + b gerade}. Dann
dann wenn a und b gerade sind oder wenn a
und
äquivalent genau
ungerade sind.
Beispiel 6.5
Betrachte
M =N×N
und die Relation
R := {((a, b), (c, d)) | a + d = c + b} .
Dann sind zum Beispiel die Paare
Beispiel 6.6
Auf
M =N
(1, 2)
und
(3, 4)
äquivalent.
sei eine Relation durch
x ∼ x :⇔ ∃n ∈ N x = y + n
deniert. Man prüfe nach, dass diese relation eine Ordnungsrelation ist.
Beispiel 6.7
Es sei
M
eine Menge. Auf Ihrer Potenzmenge
2M
wird durch
A ∼ B :⇔ A ⊂ B
eine Ordnungsrelation deniert.
Für den Rest dieses Kapitels beschäftigen wir uns ausschlieÿlich mit Äquivalenzrelationen. Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge
deniert eine zuge-
M in disjunkte Teilmengen. Dazu ist für
von x bezüglich R deniert als Teilmenge
hörige Zerlegung von
Äquivalenzklasse
M
jedes
x∈M
die
Kl(x) := {y ∈ M | x ∼ y}.
Satz 6.8
Für jede Äquivalenzrelation
R⊂M ×M
(a)
x ∈ Kl(x)
(b)
x ∼ y ⇔ Kl(x) = Kl(y)
(c)
Kl(x) 6= Kl(y) ⇔ Kl(x) ∩ Kl(y) = ∅.
gilt:
Beweis: (a) ist klar, wegen x ∼ x.
Kl(x) = Kl(y) ⇒ x ∼ y . Ist Kl(x) = Kl(y), so
gilt y ∈ Kl(y) = Kl(x), also y ∼ x. Nun beweisen wir x ∼ y ⇒ Kl(x) = Kl(y).
dazu zeigen wir zunächst, dass x ∼ y die Inklusion Kl(y) ⊂ Kl(x) impliziert. Sei
also z ∈ Kl(y), d.h. z ∼ y . Wegen x ∼ y folgt aus Reexivität und Transitivität
z ∼ x, also Kl(y) ⊂ Kl(x). Analog folgt Kl(x) ⊂ Kl(y).
(c) Für z ∈ Kl(x) ∩ Kl(y) 6= ∅ ist z ∼ x und z ∼ y also
(b) Wir beweisen zunächst
x ∼ y ⇒ Kl(x) = Kl(y).
Ist
Kl(x) = Kl(y),
so gilt
Kl(x) ∩ Kl(y) = Kl(x) 6= ∅,
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da
x ∈ Kl(x).
6 Relationen
Mit Hilfe einer Äquivalenzrelation kann man neue Mengen konstruieren.
Denition 6.9
M/R
R:
von
M
Sei
R
bezüglich
eine Äquivalenzrelation auf der Menge
R
ist deniert als
M.
Der
Quotient
die Menge der Äquivalenzklassen von
M/R := {Kl(x) | x ∈ M }.
Beispiel 6.10
Sei wieder
Beispiel 6.11
Gegeben sei
M = N und R = {(a, b) ∈ N × N | a + b gerade}.
Dann besteht die Menge M/R aus zwei Elementen, nämlich zum einem aus der
Menge der ungeraden Zahlen Kl(1) und der Menge der geraden Zahlen Kl(2).
M =N×N
und die Relation
R := {((a, b), (c, d)) | a + d = c + b} .
Die Element des Quotienten
M/R
sind die Klassen
. . . , Kl(1, 3), Kl(1, 2), Kl(1, 1), Kl(2, 1), Kl(3, 1), . . .
Wir werden die Konstruktion aus Beispiel 6.11 in Kapitel 4 wiedersehen, wenn
wir die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruieren.
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